兼职员工工伤赔偿责任应由受伤时工作的单位承担，根据《工伤保险条例》规定，用人单位应参加工伤保险并支付费用。如用人单位未参保，社会保险行政部门可要求其补缴并处罚款。工伤纠纷可通过行政复议、行政诉讼或调解、仲裁、民事诉讼等方式解决。需注意，提起民事诉讼前必须先进行仲裁。
法律分析
一、兼职员工出工伤是否公司要赔偿
就兼职人员的工伤赔偿应当向谁主张的问题，劳动和社会保障部《关于实施工伤保险条例若干问题的意见》第一条规定：“职工在两个或两个以上用人单位同时就业的，各用人单位应当分别为职工缴纳工伤保险费。职工发生工伤，由职工受到伤害时其工作的单位依法承担工伤保险责任。”
《工伤保险条例》第二条也已明确提及：“中华人民共和国境内的企业、事业单位、社会团体、民办非企业单位、基金会、律师事务所、会计师事务所等组织和有雇工的个体工商户应当依照本条例规定参加工伤保险，为本单位全部职工或者雇工缴纳工伤保险费。”
如果兼职的用人单位没有购买工伤保险，能依据《工伤保险条例》第六十二条用人单位依照本条例规定应当参加工伤保险而未参加的，由社会保险行政部门责令限期参加，补缴应当缴纳的工伤保险费，并自欠缴之日起，按日加收万分之五的滞纳金;逾期仍不缴纳的，处欠缴数额1倍以上3倍以下的罚款。
依照本条例规定应当参加工伤保险而未参加工伤保险的用人单位职工发生工伤的，由该用人单位按照本条例规定的工伤保险待遇项目和标准支付费用。
用人单位参加工伤保险并补缴应当缴纳的工伤保险费、滞纳金后，由工伤保险基金和用人单位依照本条例的规定支付新发生的费用。
二、工伤纠纷的救济途径
(1)申请行政复议
根据有关规定，申请工伤认定的职工或者其直系亲属、该职工所在单位对工伤认定结论不服的;工伤职工或者其直系亲属对经办机构核定的工伤保险待遇有异议的，可以依法申请行政复议。
(2)提起行政诉讼
申请工伤认定的职工或者其直系亲属、该职工所在单位对工伤认定结论不服的，工伤职工或者其直系亲属对经办机构核定的工伤保险待遇有异议的，在经过行政复议后，对行政复议还不服的，可以依法提起行政诉讼。
(3)申请调解、仲裁或者提起民事诉讼或者协商解决
职工与用人单位发生工伤待遇方面的争议，按照处理劳动争议的有关规定处理。用人单位与劳动者发生劳动争议，当事人可以依法申请凋解、仲裁、提起诉讼，也可以协商解决。可见，就有关工伤待遇方面的争议，可以协商解决，申请调解、仲裁或者提起民事诉讼。需要指出的是，提起民事诉讼之前必须先经过仲裁，否则法院不予受理。
结语
根据《工伤保险条例》的规定，兼职员工的工伤赔偿责任应由其受伤时的工作单位承担，如果用人单位未购买工伤保险，将面临社会保险行政部门的处罚。对于工伤纠纷，职工或其直系亲属可以通过行政复议、行政诉讼等途径来解决争议。对于劳动争议，包括工伤待遇方面的争议，可以通过调解、仲裁、民事诉讼等方式解决。在提起民事诉讼之前，必须先经过仲裁程序。以上是根据相关法律规定提供的简要解释。如需深入了解或具体咨询，请咨询专业律师。
法律依据
工伤保险条例（2010修订）：第五章 工伤保险待遇 第三十一条 社会保险行政部门作出认定为工伤的决定后发生行政复议、行政诉讼的，行政复议和行政诉讼期间不停止支付工伤职工治疗工伤的医疗费用。
中华人民共和国社会保险法（2018修正）：第四章 工 伤 保 险 第三十六条 职工因工作原因受到事故伤害或者患职业病，且经工伤认定的，享受工伤保险待遇；其中，经劳动能力鉴定丧失劳动能力的，享受伤残待遇。
工伤认定和劳动能力鉴定应当简捷、方便。
工伤保险条例（2010修订）：第五章 工伤保险待遇 第三十条 职工因工作遭受事故伤害或者患职业病进行治疗，享受工伤医疗待遇。
职工治疗工伤应当在签订服务协议的医疗机构就医，情况紧急时可以先到就近的医疗机构急救。
治疗工伤所需费用符合工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录、工伤保险住院服务标准的，从工伤保险基金支付。工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录、工伤保险住院服务标准，由国务院社会保险行政部门会同国务院卫生行政部门、食品药品监督管理部门等部门规定。
职工住院治疗工伤的伙食补助费，以及经医疗机构出具证明，报经办机构同意，工伤职工到统筹地区以外就医所需的交通、食宿费用从工伤保险基金支付，基金支付的具体标准由统筹地区人民政府规定。
工伤职工治疗非工伤引发的疾病，不享受工伤医疗待遇，按照基本医疗保险办法处理。
工伤职工到签订服务协议的医疗机构进行工伤康复的费用，符合规定的，从工伤保险基金支付。