法律分析：被拘留13日，派出所所发的“公函”应该是《被拘留人员家属通知书》。违法行为人被行政拘留的，公安机关应当通知被拘留人员的家属，通知内容如下：
拘留期限；
拘留原因；
执行拘留的拘留所的名称和位置。
对于无法联系到被拘留人员家属的，公安机关会以挂号信的方式，将《被拘留人员家属通知书》寄送至被拘留人员的家属的户籍地。
法律依据：《中华人民共和国刑事诉讼法》 第一百九十五条 在被告人最后陈述后，审判长宣布休庭，合议庭进行评议，依据已经查明的事实、证据和有关的法律制定，分别作出以下判决：
(一)案件事实清楚，证据确实、充分，依据法律认定被告人有罪的，应当作出有罪判决；
(二)依据法律认定被告人无罪的，应当作出无罪判决；
(三)证据不足，不能认定被告人有罪的，应当作出证据不足、指控的犯罪不能成立的无罪判决。