品质统计原理——描样方法与描样分布

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第五章抽樣方法與抽樣分佈

從被研究的母體中，隨機抽取具有代表性的樣本來進行分析，即是抽樣調查。從人力、財力或時間的觀點來看，抽樣調查是比普查有效率。

5.1 抽樣方法

抽樣調查的方法很多，若考慮人力、財力、時間或母體性質等因素，可分為：(1) 簡單隨機抽樣、(2) 分層抽樣、(3) 群落抽樣、(4) 系統抽樣。

係指母體中的任一元素被選中的機率均相同的抽樣方法。常以抽籤方式或亂數表進行。由簡單隨機抽樣法所得的樣本稱之簡單隨機樣本，簡稱隨機樣本。此法可分為抽出放回(每次為1/N)或抽出不放回[1/N，1/(N-1)，…，1/(N-n-1)]的抽樣方式。

係將母體的元素排列序後，每隔一定時間選取一樣本，直到選滿為止。間隔可以時間或空間為單位。

5.2 抽樣分佈

5.2.1 樣本比例的抽樣分佈

母體的比例p未知，須以抽樣方法來估計。通常從母體抽取n個樣本，觀察其中具有某種屬性的個數為x，並以= x/n表示樣本比例。為p的估計值，即估計母體中具有某種屬性的比例p。

根據二項分佈，執行n次試驗中，若每次成功發生的機率為p，則隨機變數X的期望值與變異數分別為E[x] = np，Var[x] = np(1-p)。因此可得樣本比例的期望值與變異數：

E[] =E[x/n] =E[x]/n= (np)/n = p (5.1)

Var[] =V[x/n] =V[x]/ n² = np(1-p)/ n²= p(1-p)/n(5.2)

依極限定理，當n很大時，之抽樣分佈近似常態分佈，即

~N(p, p(1-p)/n)(5.3)

當樣本數n愈大，的變異數愈趨近於零，表示樣本比例會因樣本愈大而愈接近母體比例p。將轉為標準常態分佈，即

Z = (-p)/[p(1-p)/n]^1/2 ~ N(0, 1)

範例、致遠管理學院學生有10%的比例有體重過重的現象，茲隨機抽取400位該校學生，試問體重過重的比例之期望值與變異數? 又體重過重比例大於12%之機率?

SOL：(a) E[] = p = 0.1

Var[] = p(1-p)/n = 0.1*0.9/400 = 0.000225

(b) P(> 0.12) =

P((-0.1)/(0.000225)^1/2> (0.12-0.1) /(0.000225)^1/2)

= P(Z >1.33) = 0.0918

公式、查表、Excel

範例、致遠管理學院學生之統計學檢定，正常下PASS之機率80%，茲200位該校學生進行該課程檢定，試問PASS的比例 (a) 介於0.75~0.85之機率? (b) 大於0.9之機率?

SOL：(a) E[] = p = 0.8

Var[] = p(1-p)/n = 0.8*0.2/200 = 0.0008

P(0.75 < < 0.85) = P(-1.77 < Z<1.77)= 0.9232

(b) P(>0.9) » P(Z >3.5) » 0

公式、查表、Excel

5.2.2 樣本平均值的抽樣分佈

利用樣本平均值來推論母體的的平均值m，藉此了解母體集中趨勢。依極限定理，從任何以期望值m，變異數s²的母體中，隨機抽出n個樣本{x₁, x₂,…,x_n}(當n很大)，則樣本平均值將趨近母體的期望值為m、變異數為s²/n，即為標準常態分佈

(-m)/[s²/n]^1/2= Z_n ®N(0, 1)(5.4)

即樣本平均值~N(m, s²/n)。

5.2.3 兩樣本平均值的抽樣分佈

通常是應用在『不同母體間某性質差異之比較』，如工管系兩班學生統計學成績的差異。由兩樣本平均值的抽樣分佈，去衡量推論母體平均值差m₁- m₂的狀況。

兩母體分別為(m₁, s²₁)、(m₂, s²₂)，且兩者的分佈並不一定是常態。倘各自從中取出兩組樣本，因此兩組樣本互為獨立，且®N(m₁, s²₁/n₁)，®N(m₂, s²₂/n₂)，故

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