变量之间的关系讲解+例题+练习+详解

变量之间的关系复习

知识要点

表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法 ◆要点1 变量、自变量、因变量

(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。则T为自变量，路程为因变量。 ◆要点2 列表法与变量之间的关系

(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小 ◆要点3 用关系式表示变量之间的关系

(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。 (2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。 ◆要点4 用图象法表示变量的关系

(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。

(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。 (4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象

★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。

★若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”

BL—01 ①表示物体匀速运动；“水平线段”②表示物体停止运动，

“下降的线段”③表示物体反向运动。如图BL—01(1)、(2)： 易错易混点

(1) 在列表中，不能够通过表格中的数据全面得出两个变量之间的关系规律，易出现片面性错误；(2) 有的变量是由不变量与变量之和组成的，在解题时易忽略不变部分（在个别问题中，一定条件下变量也可能成为不变量）而导致错误；

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典型例题

【例1】 果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？

相关题型：在弹性限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表：

所挂物体的质量/kg 弹簧的长度/cm 0 12 1 12.5 2 13 3 13.5 4 14 5 14.5 6 15 7 15.5 8 16

(1) 弹簧不挂物体时的长度是多少？

(2) 如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？请写出y与x之间的关系式。

(3) 如果此弹簧的最大挂重为25千克，您能够预测当挂重为14千克时，弹簧的长度是多少吗？

【例2】 一辆汽车正常行驶时每小时耗油8升，油箱现有52升汽油。(1) 如果汽车行驶时间为t(时)，

那么油箱中所存油量Q (升)与t(时)的关系式是什么？(2) 油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？(3) 当t的值分别为1，2，3时，Q相应的值是多少？

【例3】 一个梯形，它的下底长比上底长长2cm，它的高为3cm，设它的上底长为x cm，它的面积为

y cm2。

(1) 写出y与x之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量？ (2) 当x由5变到7时，y如何变化？

(3) 用表格表示当x从3变到10时(每次增加1)，y的相应值； (4) 当x每增加1时，y如何变化？并说明你的理由；

(5) 这个梯形的面积能等于9cm2吗？能等于2cm2吗？为什么？

相关题型：长方形的长是20cm，当宽由小到大地变化时，长方形面积也随之变化。 (1) 在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是___________。

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(2) 如果长方形的宽为a cm，面积为S cm2，则S与a之间的关系式为_________。 (3) 当a=15cm时，S是__________。

(4) 当面积S是280时，这时的宽a是______________。 【例4】 小丽和她的邻居小明一起离家步行上学。

(1) 小丽一开始就跑，跑累了便走着去，小明开始走着，当他快到学校时跑了起来，他们同时到达学校。图BL—02中，图________表示小丽的行程，图______表示小明的行程最好。

BL—02

(2) 若小丽在上学的路上以固定的速度前进，如图BL—03中虚线所示，小明在上学的路上以小丽速

BL—03

度的2倍行进，小名的速度以实线表示，他们先后到达学校，则图______可以描述这种情况。

相关题型：小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，如图BL—04中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用的时间t（分）之间的关系（ ）

BL—04

【例5】 某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果校长买全票一张，

则学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”，若全票价甲乙旅行社均为240元。

(1) 设学生为x，甲乙旅行社收费分别为y甲(元)和y乙(元)，分别写出两个旅行社收费的关系式； (2) 哪家旅行社收费更优惠？

【例6】 某移动通信公司开设了“全球通”和“金卡快捷通”两种业务，前者每月先缴30元月租费，

每通话1分钟付费0.4元，后者不缴月租费，但每分钟付费0.6元，若某人的每月通话时间在200分钟左右，则他应选用哪种业务比较合算？并简明叙述理由。（思路1：直接计算200分钟应付的话费进行比较；思路2：先求出付费相同的通话时间，再看200分钟比这个时间多还是少。）

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参

例1：(1)时间与高度两个变量的关系；时间t是自变量，高度h为因变量。(2) 关系式为h=5t2，当t=2时，h=20 (米)。

相关题1：(1) 12 cm；

(2) y随着x的增大而增大；y=12+0.5x。 (3) 当x=14 (kg)时，y=19 (cm) 例2：(1) Q=52-8t;

(2) 当Q=0时，t=6.5(小时)

(3) 当t=1, 2 ,3时，Q=44，36，28（小时）

例3：(1) y=3x+3，期中x为自变量，y为因变量； (2) 当x由5变到7时，y由18变为24(cm2) (3). 略

(4) 当x每增加1时，y增加3(cm2) 。

(5) 令y=9，则x=2，可以等于9，令y=2，则x=-1/3，因为x表示的是线段，所以不能。 例4：(1) C，E； (2) C

相关题2：D

例5：(1) y甲=240+120x y乙=240·60%(x+1)

(2) 令y甲=y乙, y甲＜y乙,

y甲＞y乙,得：当x=5时，两家收费一样，当x＞5时，甲比乙优惠，当x＜5时，乙比甲优惠。 例6：略（思路同例5）

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1. 一棵树苗栽下去时高0.8m，以后10年内每年平均长高0.4m，x年后树高y m。

(1) 这个问题中，常量是_________，变量是_________； (2) 这个问题中x值是________量，y值是_________量；

(3) 生长5年后树高_______m，生长了10年树高__________m； (4) 请你写出y随x变化而变化的关系式_______________。

2. 长方形的长为a cm，宽为6 cm，则它的周长C与长a 之间的关系为______。 3. 某种情况下，声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x (℃)之间存在如下关系：

y3x331，(1) 当气温x=15℃时，声音的速度y=________ m/s； 5(2) 当气温x=22℃时，某人看到烟花燃放5s 后才听到声音响，则此人与燃放的烟花所在地相距________m。

4. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x与售价y的关系如下表：

数量x(kg) 售价y(元) 1 2+0.1 2 4+0.2 3 6+0.3 4 8+0.4 5 10+0.5 则y与x的关系式为___________。 5. 如图BL—05，一个矩形推拉窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积a(平方米)与拉开长度b(米)

之间的关系式为__________。

BL—05 BL—06 BL—07

6. 某电影院有1000个座位，门票每张3元可达客满，若每张票提高x元，将有200x张门票不

能售出，提价后每场电影票房收入y元与提高的票价x元之间的关系是_______________。 7. 小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，形成情况如图BL—06所示，若返回时上坡、下

坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是________分钟。

8. 根据河道的剩水量Q(m3)与水泵抽水时间t (h)的关系图象如图BL—07，回答下列问题：

(1) 水泵抽水前，河道内有_________的水，水泵最多抽________小时； (2) 水泵抽8小时后，河道剩水量为_________ m3；

(3) 当河道剩水量为100 m3时，水泵已抽水__________小时； (4) 水泵平均每小时抽水_________ m3。

9. 有一边长为2 cm的正方形，若边长增加x cm，面积就增加y (cm2)，则y =________。 10. 一杯开水10分钟后冷却下来，在这个变化过程中，自变量是_________，因变量是________。 11. 亮亮拿6元钱去邮局买面值为0.80元的邮票，买邮票所剩钱数y(元)与买邮票的枚数x(枚)

的关系式为______________，最多可以买________枚。 12. 根据图BL—08所示的程序计算，若输入

的x的值是

3，则输出的结果是（ ） 2

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BL—08

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A.

7939 B. C. D.

224213. 在关系式y=3x+5中，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③

y是变量，它的值与x无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示。其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①②⑤

14. 中国工程院院士袁隆平研究的超级杂交水稻以单季亩产1138kg创世界纪录，农户王文清家

有x亩地，今年晚稻改种超级杂交水稻，如果每亩产量达到1130kg，那么王文清家水稻的总产量y与x之间的关系为（ ）

A. y=1130x B. y=1138x C. y=(1138-1130)x D. y=(1130+1138)x 15. 托运行李p千克(p为整数)的费用为c元，已知

托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克(不足1千克按1千克计)需增加费用5角，BL—09 则计算托运行李费用c的公式是（ ） A. c=0.5p B. c=0.5p+1 C. c=0.5p+1.5 D. c=0.5p+2 16. 在地球某地，温度T(℃)与高度d (m)的关系可近似地用T10d来表示，则当高度d=900 150m时，温度T为（ ） A. 4℃ B. 3℃ C. 2℃ D. 1℃

17. 如图BL—09是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，

日温差最大的一天是（ ）

A. 5月1日 B. 5月2日 C. 5月3日 D. 5月5日

18. 从山顶上滚到山脚下的一块石头，图BL—10中能大致描述速度v随时间t变化的图象是

（ ）

BL—10

19. 某礼堂的座位排列呈弧形，横排座位按下列方式设置：

则第n排有座位( )个

1 2 3 4 排数 „ A. 10n+4 B. 20+4n

座位数 20 24 28 32 „ C. 20+4(n-1) D. 20+3(n-1) 20. 丽丽放学回家进门后觉得口渴，可家里没有凉开水，于是她用水壶接了水，放在炉子上烧开，

烧开后又倒入水杯中晾凉后才喝到嘴里，如图BL—11中，可以近似地刻画出水的温度随时间的变化而变化的图象是（ ）

6 BL—11

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21. 三峡工程在2003年6月1日至10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平

湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么如图BL—12所示的图象中，能正确反映这10天水位h(米)随时间t (天)变化的是（ ）

22. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，

当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用s1、s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图BL—13的图象中与故事情节相吻合的是（ ）

23. 小明早上7:00点出发到社区作义务劳动，开始匀速步行，后碰上小亮，小明就停下和小亮

聊了一会儿，为了保证能准时到达，他加快了速度，但仍然保持匀速步行，结果准时到达，如图BL—14中，以下四个图象中能准确描述小明离家的距离与时间的关系的是（ ）

BL—12

BL—13

BL—14

24. 下表给出了桔农老李去年卖桔子的收入随桔子卖出的质量变化的有关数据。

质量(千克) 收入(元) 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 7 14 8 16 9 18 (1) 上表反映了那两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2) 当桔子卖出5千克时，收入是多少？当桔子卖出50千克时，收入又是多少？

(3) 如果用x表示桔子卖出的质量，y表示收入，按表中的关系，用一个式子表示出来。

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25. 在课堂45分钟内，什么时候学生的接受能力最强?心理学家发现，学生对概念的接受能力与

老师提出概念所在的时间(单位：分钟)之间，有如下关系： 时间(分钟) 接受能力 0 43 2 47.8 10 59 12 59.8 13 59.9 14 59.8 16 59 24 47.8 26 43 (1) 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2) 根据表中的数据，你认为老师在第_________分钟提出概念比较适宜？说说你的理由。

26. 如图BL—15，一边靠墙，其他三边用12米长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花圃。

(1) 如果设花圃靠墙的一边的长为x(米)，花圃的面积为y(平方米)，求x，y 满足的关系式； (2) 当长x从4米变到6米时，面积y变化如何？ (3) 当长x从6米变到8米时，面积y变化如何？

BL—15

27. 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行

调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，获得了每千克蔬菜的利润与月份的关系如下表(表中数据前“－”表示亏损)

月份 利润(元·千克) 2 -0.67 3 1 4 2.33 5 2.67 6 2 7 1 8 -0.67 (1) 上表反映了哪两个变量间的关系？自变量和因变量各是什么？ (2) 如果4月份该基地生产这种蔬菜4.5吨，则4月份该基地可获得多少利润？

(3) 如果你是该市场负责人之一，你认为这种蔬菜应在哪几个月上市最好？为什么？

28. 某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表： 每月每户用水量 不超过10吨部分 超过10吨而不超过20吨部分 超过20吨部分 每吨价(元) 0.50 0.75 1.50

(1) 现已知小明家4月份用水21吨，应缴水费_______元；

(2) 写出每月用户的水费y（元）与用水量x(吨)之间的关系式； (3) 若小明家某月缴水费17元，问：他家该月用水多少吨？

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29. 如图BL—16，已知△ABC中，AB=AC=5 ，BC=6，F为BC的中点，P是BF上一动点，连接AP，在这个变化过程中，设BP=x，且把x看成是自变量。

(1) 图中哪些三角形的面积可以看成是因变量？ (2) 图中哪些线段可以看成是因变量？

(3) 试一试，你能求出自变量x的取值范围吗？

30. 两个人分别骑自行车和摩托车从甲地到乙地，时间与

路程关系如图BL—17所示，根据图象回答下列问题：

(1) 甲地到乙地的路程是多少千米？自行车的速度与摩托车的速度各是多少？

(2) 自行车比摩托车早出发几小时？摩托车比自行车早到几小时？

(3) 摩托车出发后几小时追上骑自行车的人？

BL—17

BL—16

31. 小丽家离学校2 km ，步行到校需30 min ，小丽的同学小军上学要经过小丽家，小军骑车

上学行驶的路程与时间的关系如图BL—18所示． (1)小军家离学校多远？骑车上学的平均速度是多少？

(2)如果小丽与小军同时从家里出发上学，试在小军上学的路程与时间的关系图上画出小丽上学的路程与时间的关系图．

(3)他们同时从家里出发，途中能相遇吗？

BL—18

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参

1. (1) 每年平均长的高度，树高及年数 (2) 自变量，因变量 (3) 2.8，4.8 (4) y=0.8+0.4x 2. C=2a+12 3. (1)340, (2) 1721 3. y=2.1x 4. a=1.5b 5. 37.2分钟

6. (1) 600m3 ，12 (2) 200 ；(3) 10 ；(4) 50 7. y=x2+2x 8. 时间，温度 9. y=6-0.8x, 7

10-11 C D A C A D C C C B DC

22. (1) 质量与收入；质量是自变量，收入是因变量； (2) 10元，100元； (3) y=2x

23. 上课时间与接受能力，时间是自变量，接受能力是因变量。10~16分钟 24. (1) y12xx；

225. (1) 月份与利润，月份是自变量，利润是因变量。 (2) 4500×2.33=10485元； (3) 3~7月份 10. (1) 14元；

(2) y=0.5x(x≤10); y=5+0.75(x-10) (10＜x≤20); y=12.5+1.5(x-20) (20＜x) (3) 23吨

26.(1) ABP，APE，APC (2) PF，PC (3) 0≤x≤3

27、(1) 80千米，自行车是10千米/时，摩托车是40千米/时

(2) 自行车比摩托车早出发3小时，摩托车比自行车早到3小时 (3) 1小时 28、(1) 小军离学校3千米，平均速度是200米/分钟；

(2) (3)能

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