《椭圆的定义及其标准方程》教学设计

鹿城中学 田光海

一、教案背景：

1.面向对象：高中二年级学生 2.学科：数学 3.课时：2课时

4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程§2.1.1椭圆及其标准方程 二. 教材分析

本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析

结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。

2. 学法分析

从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。

从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语

言转换能力。

从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

3.教学目标

知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。

过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。

情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。

4.教学重点与难点

重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 难点：椭圆的标准方程的建立和推导教学方法 5.教学准备

通过百度搜索与椭圆有关的图片资料，利用百度搜索相关的教学资料制作多媒体课件，自制教具：绘图板、图钉、细绳。 三、教学过程 教学环教师活动 学生活动 设计意图 节 情景1：用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形．当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形．（演示） 问题1：联想生活中还有哪些是椭圆图形？ 情景2： 问题2：（1）圆是怎么画出来的？ 创设情景 引入新课 （2）圆的定义是什么？ （3）圆的标准方程是什么形式的？ 猜想：1、椭圆是怎么画出来的？2、椭圆的定义是什么？3、椭圆的标准方程又是什么形式？ 学生观察 学生举例 学生思考后回答。 引入生活情境激发学生的学习欲望，自然引入新课，同时与其实际相联系，拓宽学生思维，发展他们联想、类比能力。 使学生在感叹祖国科技辉煌发展的氛围中认识椭圆。 用类比的思想，通过已经学过的圆的知识猜想椭圆，开展后续教学。 给学生提供一个动探究1 手操作，合将圆心从一点“分裂”成两点，给你两个图钉，同桌同学作学习的一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆按照老师机会；通过互动探究 形成概念 吗？ 的要求合实验让学让学生自己动手画图，使其探究性学习，作画图，并生去探究再提出以下问题： 思考1：在纸板上作图说明什么？ 思考轨迹“满足什上的点具么样的条思考2：在作图过程中，有哪些物体的位备什么特件下的点置没变？有哪些量没有变？ 点。 的集合为思考3：若调节两图钉的相对位置，所得展示学生椭圆”；让到的图形有何变化？ 成果。请学每个人都根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义——与两个生代表本动手画图，定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为小组交流自己思考椭圆（绳长大于两定点间距离）． 动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想 探究结论： 问题，由此培养学生的自信心。 探究2 在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？ F2 F1 当两个图钉重合在一起时，画出的图形是M 什么？ 当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？ 利用动使学生经当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个画显示结历椭圆概互动探究 深化概念 图钉之间的距离吗？ 定义：平面内与两个定点数（大于果 念的生成距离的和等于常学生通过和完善过课件观察程，提高其）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点变化情况 归纳概括的距离叫椭圆的焦距。 思考1：焦点为么性质？ 令椭圆上任一点M，则有 ， 补充：若时，无轨迹。 思考2：刚才在画图时，大家的绳长是一样的，但是画出的椭圆一样吗？椭圆的圆扁程度与什么有关？ F1 、F2位置越近椭圆愈圆，F1 、F2位置越远椭圆越扁 时，轨迹是线段；若请学生给能力，加深的椭圆上任一点M，有什出经过修对椭圆本改的椭圆质的认识，定义 并逐渐养学生思考成严谨的后回答 科学作风 前面我们已经得到椭圆的定义，那么由椭圆定义，我们能不能推导出椭圆的方程。 问题3：求曲线方程的一般步骤是什么？ ①建系、取点；②列式；③代换；④化简；⑤证明 下面由同学根据这两个问题分组讨论椭圆方程的求法。（1）要建立椭圆方程应该如何建立坐标系？ 研讨探究 推导方程 （2）椭圆上动点M满足什么条件？ 尤其在化简过程中，对于根式的处理，学生会感到困难，教师进行提示。 学生回答 学生先独立思考，之后全班交流，确定最后的解决方案，然后充分发挥学生的学习主动性。 通过坐标系的不同选择，用不同的方法得到不同的方程，通过比较体会曲线的分工合作，（把学生推导椭圆方程的具有代表性的方法，方程的不共同完成，在实物展台上投影。） 确定性，理之后再交问题：通过对比学生求出椭圆各种形式的方解曲线与流。 程，你能发现什么规律？哪一种方程最简洁？ 方程的关学生思考x2y2系，感受恰方程221（ab0）（☆）叫做椭圆的标后主动发ab当选择坐准方程。它表示焦点在x轴上，焦点坐标为言回答。 标系的优222F1(c,0)，F2(c,0)，其中cab． 以上三条，越性，感受y2x2尽量由学1（），它也是椭圆的标准ab0标准方程a2b2生总结出 方程。 的简洁、对此时，椭圆的焦点在y轴上， 焦点坐标为F1(0,c)F2(0,c)，其中c2a2b2 我们可以发现，以上两种方案是最好的。 称、和谐之美，并在实践中通过问：观察一下焦点分别在x轴、y轴上的椭圆的标准方程，如何根据方程判断其焦点在x轴上还是在y轴上？(看分母大小，哪个分母大焦点就在哪一条轴上) 说明： (1)在两个方程中，总有a>b>0 (2)椭圆的三个参数a、b、c满足：c2a2b2即 a2b2c2，a最大 (3)要分清焦点的位置，只要看x2和y2的分母的x2y2大小。例如椭圆1（m0，n0，mn）mn对比提高决策能力、计算能力、培养学生简约的思维能力。 培养学生的观察、分析归纳能力。 当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。 例1.适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴 例题研讨 变式精析 (2) a =4，c= 15 ，焦点在 y 轴上 培养学生运用知识(3)两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2） 并且经过点（ -1.5 ，2.5） 解: (1)因为焦点在x轴上,所以设所求方程为 x2y2∵ 2 a=4, b=1 1,(ab0)2ab学生独立解决问题完成学生能力 讨论 解决情景设置中的问题 ∴ 所求方程为 x22y1(2) 因为焦点在y轴上,所以设所求方程为 16∵ a=4, b=1 x2y221(ab 0)2 所求方程为∴ bax2y21x2y2(3) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 b2a21(ab0) 35352a()2(2)2()2(2)2由椭圆的定义知2, 222所以所求椭圆方程为 例2.我国发射的神舟八号飞船变轨前，是在以地心F2为一个焦点的椭圆轨道上运行，已知它的近地点B距地面200公里，远地点A距地面330公里，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km，求轨道方程（精确到1km）。 练习检测 当堂巩固 总结概括 课1、如果椭圆x2100y2361上一点P到焦点F1距离是6，则点P到另一个焦点F2距离是 。 2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程 学生练习 检测学习成果 （1）两个焦点坐标分别是（0，2），（0，-2），椭圆经过点P(,) (2)a+b=10,c=25 3522最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个学生总结摆脱传统别提问，然后集体补充，最后教师才引导和完出在知识、教学中教善。师生应共同归纳本节所学内容、知识规律数学思想师小结的以及所学的数学思想和方法。 这一节课你收获到了什么？ 等方面的做法，以表收获 格形式出后提升 布置作业 层次1 1.教材练习A 3.4题 练习B 第二题 2.你能用直尺和圆规作出椭圆上的任意一点吗？作图的依据是什么？根据你的作图方法，能找到与之相应的方法求出椭圆方法吗？ 层次2 课后利用【百度搜索】深入的对椭圆的相关知识进行了解。 现，让学生自己总结，加深对本节课内容的认识 层次1的目的是强化巩固本节内容 层次2的目的是激发学生学习的兴趣，提高数学文化品位。 六、板书设计

椭圆的标准方1、椭圆的定义 2、椭圆的标准方程 （1）、焦点在x轴上 （2）、焦点在y轴上 椭圆标准方程的推导过程书写 例1： 例2： （1）详写 （2）写关键步骤 七、教学反思

本节课整个教学过程为：提出问题——探索——解决问题——归纳反思——提高。在问题的设计中，从多角度探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。

本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，学生在自觉进入问题情境后，在问题的指引下和老师的指导下，通过实践、探索、体验、反思等活动把探究活动层层展开、步步深入，亲身经历知识的产生过程。使学生在知识的形成过程中，获得数学的情感体验，享受到成功的乐趣，同时在思想方法运用、思维能力等方面得到提高和发展。课堂进行中通过实际操作、多媒体课件演示等，激发学生的学习兴趣，使学生让学生在生生互动、师生互动中把学生的学习过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用。

本节课学生活动较多，知识拓展较深，运算较困难，因此本节课不能按预计完成，剩余问题下节课解决。