天津市宝坻二中2016届九年级数学上学期第一次月考试题
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2
+bx+c=0
B．+=3 C．x2+2x=x2﹣1 D．2（x﹣1）2
=2（x+1）
2．下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A．y=x2﹣（x﹣1）x B．y+ax2=﹣3 C．x2=2y+3 D．y=x2+x﹣2
3．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2
﹣m的值等于( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．一元二次方程x2
+3x+5=0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
5．同一坐标系中作y=3x2
，y=﹣3x2
，y=x2
的图象，它们的共同特点是( ) A．关于y轴对称，抛物线开口向上 B．关于y轴对称，抛物线开口向下 C．关于y轴对称，抛物线的顶点在原点 D．关于x轴对称，抛物线的顶点在原点
6．关于x的方程kx2
+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≤ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0
7．以x1=1，x2=2为根的一元二次方程是( )
A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2
+3x+2=0
8．若抛物线y=a（x﹣2）2+a2
+a顶点在x轴上，则a的值为( ) A．﹣1 B．0 C．0或﹣1 D．任意实数
9．抛物线y=x2
﹣3x+2不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．若α、β是方程x2+2x﹣2015=0的两个实数根，则α2
+3α+β的值为( ) A．2015 B．B、2013 C．﹣2015 D．4030
11．如图是抛物线y=ax2
+bx+c的图象，则下列说法正确的有( )个．
①a＜0；②b＞0；③c＞0；④abc＞0；⑤a﹣b+c＞0；⑥a+b+c＞0；⑦2a﹣b＜0．
1
A．4 B．5 D．7
2
12．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是( )
C．6
A． B． C．
D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．方程化为一元二次方程的一般形式是__________，它的一次项系数
是__________．
14．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=63，那么a+b的值为__________．
22
15．将二次函数y=﹣x+2x﹣3配方化为形如y=a（x+h）+k的形式是__________．
16．2015年某市人均GDP约为2013年的1.21倍，如果该市每年的人家GDP增长率相同，那么增长率为__________．
22
17．若正数a是一元二次方程x﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x+5x﹣m=0的一个根，则a的值是__________．
18．已知a，b关于x的一元二次方程1﹣（x﹣m）（x﹣n）=0的两个不想等的实数根，且a＞b，m＜n．则比较a、b、m、n的大小关系为__________．
2
三、解答题 19．（18分）解方程：
2
（1）（x+2）=2
2
（2）x=2x
（3）2x（x﹣3）+x=3 （4）x+2
2
x﹣1=0（用配方法解方程）
（5）（2x﹣1）（x﹣2）=1（用公式法解）
22
（6）9（x﹣1）﹣4（2x+1）=0．
20．请画出函数y=﹣+x+的图象，并说明这个函数具有哪些性质？
2
21．已知关于x的方程x+（m+2）x+2m﹣1=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
2
22．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
2
23．如图二次函数y=ax+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式； （2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）观察图象，当x取何值时，y＜0，y=0，y＞0．
2
24．学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃．
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案；
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经
3
市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
4
2015-2016学年天津市宝坻二中九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax+bx+c=0
2
B．+=3 C．x+2x=x﹣1 D．2（x﹣1）=2（x+1）
222
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、a=0时是一元一次方程，故A错误； B、是分式方程，故B错误； C、是元一次方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确； 故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．下列各式中，y是x的二次函数的是( )
2222﹣2
A．y=x﹣（x﹣1）x B．y+ax=﹣3 C．x=2y+3 D．y=x+x 【考点】二次函数的定义．
2
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
【解答】解：A、整理后没有x的二次方项，故此选项错误； B、如果a=0，则不是二次函数，故此选项错误； C、符合二次函数定义，故此选项正确； D、不是整式，故此选项错误； 故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
22
3．已知m是方程x﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m﹣m的值等于( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=m代入方程即可求出所求式子的值．
2
【解答】解：将x=m代入方程得：m﹣m﹣1=0， 2
m﹣m=1． 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5
4．一元二次方程x+3x+5=0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【考点】根的判别式．
2
【分析】求出b﹣4ac的值，再判断即可．
2
【解答】解：x+3x+5=0，
22
△=b﹣4ac=3﹣4×1×5=﹣11＜0， 即方程无实数根， 故选C．
2
【点评】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax+bx+c=0（a、b、c为常数，
222
a≠0）的根的判别式是b﹣4ac，当b﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b﹣4ac=0
2
时，方程有两个相等的实数根，当b﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
5．同一坐标系中作y=3x，y=﹣3x，y=x的图象，它们的共同特点是( ) A．关于y轴对称，抛物线开口向上 B．关于y轴对称，抛物线开口向下 C．关于y轴对称，抛物线的顶点在原点 D．关于x轴对称，抛物线的顶点在原点 【考点】二次函数的性质．
2
【分析】本题的三个抛物线解析式都符合y=ax形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点．
2
【解答】解：因为y=ax形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点， 所以它们的共同特点是：关于y轴对称，抛物线的顶点在原点． 故选：C．
2
【点评】此题主要考查了二次函数图象，要掌握y=ax形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点是解题关键．
2
6．关于x的方程kx+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≤ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0 【考点】根的判别式．
【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程； 当方程为一元一次方程时，k=0；
是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满
2
足△=b﹣4ac≥0．
【解答】解：当k=0时，方程为3x﹣1=0，有实数根，
22
当k≠0时，△=b﹣4ac=3﹣4×k×（﹣1）=9+4k≥0， 解得k≥﹣．
综上可知，当k≥﹣时，方程有实数根； 故选C．
【点评】本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．
6
2
2
2
2
7．以x1=1，x2=2为根的一元二次方程是( )
2222
A．x+3x﹣2=0 B．x﹣3x+2=0 C．x﹣2x+3=0 D．x+3x+2=0 【考点】根与系数的关系． 【分析】先计算1与2的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一个一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意得1+2=3，1×2=2，
2
所以以1和2为根的一元二次方程可为x﹣3x+2=0． 故选B．
2
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
22
8．若抛物线y=a（x﹣2）+a+a顶点在x轴上，则a的值为( ) A．﹣1 B．0 C．0或﹣1 D．任意实数 【考点】二次函数的性质．
22
【分析】抛物线y=a（x﹣h）的顶点在x轴上，则a+a=0，且a≠0，由此即可解答．
22
【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣2）+a+a顶点在x轴上， 2
∴a+a=0，且a≠0， 解得：a=﹣1或0， ∴a=﹣1． 故选：A． 【点评】此题考查二次函数的性质与意义，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键．
2
9．抛物线y=x﹣3x+2不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】二次函数的性质． 【专题】压轴题．
【分析】由函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为x=，与y轴交于正半轴，画出函数大致图象，判断不经过的象限．
【解答】解：∵a=1＞0，抛物线开口向上，对称轴为x=，与y轴交于（0，2）， ∴抛物线经过一、二、四象限，不经过第三象限． 故选C．
【点评】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．
22
10．若α、β是方程x+2x﹣2015=0的两个实数根，则α+3α+β的值为( ) A．2015 B．B、2013 C．﹣2015 D．4030 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 【专题】计算题．
22
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α+2α﹣2015=0，则α+2α=2015，于是2
α+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=﹣2，然后利用整体代入
7
的方法计算．
2
【解答】解：∵α是方程x+2x﹣2015=0的根，
2
∴α+2α﹣2015=0，
2
∴α+2α=2015，
2
∴α+3α+β=2015+α+β，
2
∵α、β是方程x+2x﹣2015=0的两个实数根， ∴α+β=﹣2，
2
∴α+3α+β=2015=﹣2=2013． 故选B．
2
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．
2
11．如图是抛物线y=ax+bx+c的图象，则下列说法正确的有( )个．
①a＜0；②b＞0；③c＞0；④abc＞0；⑤a﹣b+c＞0；⑥a+b+c＞0；⑦2a﹣b＜0．
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴的符号进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①∵根据图示知，二次函数图象的开口方向向下， ∴a＜0；
故本选项正确；
②∵对称轴x=﹣＜0， ∴b＜0；
故本选项错误；
③∵该函数图象与y轴交于正半轴， ∴c＞0；
故本选项正确；
④a＜0，b＜0，c＞0， abc＞0，
故本选项正确； ⑤∵当x=﹣1时，
∴y＞0，即a﹣b+c＞0； 故本选项正确；
⑥当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0； 故本选项错误；
8
⑦∵﹣＞﹣1， ∴2a﹣b＞0， 故本选项错误；
综上所述，以上说法中正确的有①③④⑤，共4个． 故选：A． 【点评】此题考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
2
12．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是( )
A． B． C．
D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】代数综合题． 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的
2
确定，对于二次函数y=ax+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）． 【解答】解：解法一：逐项分析
2
A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y
轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
2
C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
2
D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx+2x+2开口方向朝上，对称轴为
x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：系统分析
9
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0， 一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x=＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧， 一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D． 【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．方程化为一元二次方程的一般形式是x+4x﹣4=0，它的一次项系数
2
是4．
【考点】一元二次方程的一般形式． 【专题】计算题．
2
【分析】按照去分母，去括号，移项及合并的步骤把所给方程整理为ax+bx+c=0的形式，x的系数即为它的一次项系数．
2
【解答】解：去分母得（x﹣1）+6x=5，
2
去括号得：x﹣2x+1+6x=5，
2
移项及合并得：x+4x﹣4=0，
2
故答案为：x+4x﹣4=0；4．
【点评】考查一元二次方程的一般形式的相关知识；用到的知识点为：一元二次方程的一般
2
形式为：ax+bx+c=0（a≠0），b就是一次项的系数．
14．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=63，那么a+b的值为±4． 【考点】平方差公式．
【分析】将2a+2b看做整体，用平方差公式解答，求出2a+2b的值，进一步求出（a+b）的值．
【解答】解：∵（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=63，
22
∴（2a+2b）﹣1=63，
2
∴（2a+2b）=64， 2a+2b=±8，
两边同时除以2得，a+b=±4．
【点评】本题考查了平方差公式，整体思想的利用是解题的关键，需要同学们细心解答，把（2a+2b）看作一个整体．
222
15．将二次函数y=﹣x+2x﹣3配方化为形如y=a（x+h）+k的形式是y=﹣（x﹣1）﹣2． 【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
222
【解答】解：y=﹣x+2x﹣3=﹣（x﹣2x+1）+1﹣3=﹣（x﹣1）﹣2．
10
【点评】二次函数的解析式有三种形式：
2
（1）一般式：y=ax+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
2
（2）顶点式：y=a（x﹣h）+k； （3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
16．2015年某市人均GDP约为2013年的1.21倍，如果该市每年的人家GDP增长率相同，那么增长率为10%．
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题．
【分析】利用2015年某市人均GDP约为2013年的1.21倍，得出等式求出即可． 【解答】解：设该增长率为x，根据题意可得：
2
（1+x）=1.21
解得：x1=﹣2.1，x2=0.1=10%． 故答案为：10%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确利用增长率问题得出等式是解题关键．
22
17．若正数a是一元二次方程x﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x+5x﹣m=0的一个根，则a的值是5．
【考点】一元二次方程的解． 【专题】计算题．
222
【分析】把x=a代入方程x﹣5x+m=0，得a﹣5a+m=0①，把x=﹣a代入方程方程x+5x﹣m=0，
2
得a﹣5a﹣m=0②，再将①+②，即可求出a的值．
22
【解答】解：∵a是一元二次方程x﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x+5x﹣m=0的一个根， 22
∴a﹣5a+m=0①，a﹣5a﹣m=0②，
2
①+②，得2（a﹣5a）=0， ∵a＞0， ∴a=5．
故答案为：5． 【点评】本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
18．已知a，b关于x的一元二次方程1﹣（x﹣m）（x﹣n）=0的两个不想等的实数根，且a＞b，m＜n．则比较a、b、m、n的大小关系为b＜m＜n＜a． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】数形结合．
【分析】可设抛物线解析式为y=（x﹣m）（x﹣n），于是得到抛物线与x轴的交点坐标为（m，0），（n，0），再判断当自变量为a、b时二次函数值为1，即y=（x﹣m）（x﹣n）=1，然后画出图象，利用图象可得判断a、b、m、n的大小关系． 【解答】解：设抛物线解析式为y=（x﹣m）（x﹣n），则此抛物线与x轴的交点坐标为（m，0），（n，0），
∵a，b关于x的一元二次方程1﹣（x﹣m）（x﹣n）=0的两个不等的实数根， ∴当自变量为a、b时y=（x﹣m）（x﹣n）=1，
11
即a、b为直线y=1与抛物线y=（x﹣m）（x﹣n）两交点的横坐标， 如图：
∴b＜m＜n＜a．
故答案为b＜m＜n＜a．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．解决本题的关键是要画出大致图象．
三、解答题 19．（18分）解方程：
2
（1）（x+2）=2
2
（2）x=2x
（3）2x（x﹣3）+x=3 （4）x+2
2
x﹣1=0（用配方法解方程）
（5）（2x﹣1）（x﹣2）=1（用公式法解）
22
（6）9（x﹣1）﹣4（2x+1）=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
2
（5）整理后求出b﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（6）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
2
【解答】解：（1）（x+2）=2， x+2=x1=﹣2+
， ，x2=﹣2﹣
；
2
（2）x=2x， 2
x﹣2x=0， x（x﹣2）=0， x=0，x﹣2=0， x1=0，x2=2；
12
（3）2x（x﹣3）+x=3， 2x（x﹣3）+x﹣3=0， （x﹣3）（2x+1）=0， x﹣3=0，2x+1=0， x1=3，x2=﹣； （4）x+2x+2x+2（x+x+x1=﹣
22
2
x﹣1=0
x=1， x+（
2
）=1+（
2
），
2
）=4， =±2， +2，x2=﹣
﹣2；
（5）（2x﹣1）（x﹣2）=1，
2
整理得：2x﹣5x+1=0， 22
b﹣4ac=（﹣5）﹣4×2×1=33， x=
，
x1=，x2=；
22
（6）9（x﹣1）﹣4（2x+1）=0，
[3（x﹣1）+2（2x+1）][3（x﹣1）﹣2（2x+1）]=0， 3（x﹣1）+2（2x+1）=0，3（x﹣1）﹣2（2x+1）=0，
x1=，x2=﹣5． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
20．请画出函数y=﹣+x+的图象，并说明这个函数具有哪些性质？ 【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【分析】可根据二次函数的解析式，列出函数经过的坐标，在直角坐标系中描出这些点，再用光滑的曲线顺次连接各点，即可画出函数的图象；可从函数的单调性以及最值方面来说明函数具有的性质．
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2
【解答】解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数对应值表； x … ﹣2 ﹣1 0 1 y … 1 3
﹣ 2
（2）描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点． （3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=﹣
2
2 2
+x+的图象．
则可得到这个函数的性质如下：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=3．
【点评】本题综合考查了二次函数的性质，同时应掌握由函数的几个关键点画函数图象．掌握正确的作图方法，画出抛物线的图象，得出有关性质．
2
21．已知关于x的方程x+（m+2）x+2m﹣1=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【考点】根的判别式；根与系数的关系． 【专题】计算题．
222
【分析】（1）先计算出△=（m+2）﹣4（2m﹣1），变形得到△=（m﹣2）+4，由于（m﹣2）≥0，则△＞0，然后根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根；
2
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，则原方程化为x﹣5=0，然后利用直接开平方法求解．
2
【解答】（1）证明：△=（m+2）﹣4（2m﹣1） 2
=m﹣4m+8
2
=（m﹣2）+4，
2
∵（m﹣2）≥0，
2
∴（m﹣2）+4＞0， 即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根为x1，x2，由题意得： x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2， 当m=﹣2时，方程两根互为相反数，
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当m=﹣2时，原方程为x﹣5=0， 解得：x1=﹣
，x2=
．
2
2
2
【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和根与系数的关系．
2
22．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状． 【考点】根的判别式．
22
【分析】根据题意可知△=b﹣4ac=0，即可推出4（b﹣a）﹣4（c﹣b）（a﹣b）=0，通过整理可推出（b﹣a）（c﹣a）=0，且c≠b，即可推出a、c，此三角形为等腰三角形．
2
【解答】解：∵x的方程（c﹣b）x+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，
2
∴△=b﹣4ac=0，且c﹣b≠0，即c≠b．
2
∴4（b﹣a）﹣4（c﹣b）（a﹣b）=0， ∴（b﹣a）（c﹣a）=0， ∴b﹣a=0或c﹣a=0， ∴b=a，或c=a．
∴此三角形为等腰三角形．
2
【点评】本题主要考查根的判别式，关键在于根据题意推出4（b﹣a）﹣4（c﹣b）（a﹣b）=0，然后进行正确的整理．
2
23．如图二次函数y=ax+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式； （2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）观察图象，当x取何值时，y＜0，y=0，y＞0．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质． 【分析】（1）直接利用图中的三个点的坐标代入解析式用待定系数法求解析式； （2）把解析式化为顶点式求顶点坐标和对称轴；
（3）依据图象可知，当图象在x轴上方时，y＞0，在x轴下方时，y＜0，在x轴上时，y=0． 【解答】解：（1）A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5），
2
设解析式为y=ax+bx+c，
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代入可得：，
解得：．
2
故解析式为：y=x﹣2x﹣3；
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（2）y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4， 故顶点坐标为：（1，﹣4），对称轴为直线x=1；
（3）观察图象可得：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0， 当x=﹣1或x=3时，y=0， 当﹣1＜x＜3时，y＜0．
【点评】主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数及其图象的性质．
24．学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃．
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案；
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题． 【分析】（1）本题根据实际有多种不同的方案．
2
（2）设长方形花圃的长为x米，则宽为16﹣x．即可列方程，然后根据b﹣4ac可知方程有无解．
【解答】解：（1）方案1：长为
米，宽为7米．
方案2：长为9米，宽为7米． 方案3：长=宽=8米；
（注：本题方案有无数种，写对一个得，共．用图形示意同样给分．）
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米． 由题意得长方形长与宽的和为16米．
设长方形花圃的长为x米，则宽为（16﹣x）米． 方法一：x（16﹣x）=63+2， 2
x﹣16x+65=0，
2
∵△=（﹣16）﹣4×1×65=﹣4＜0， ∴此方程无实数根．
∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米．
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方法二：S长方形=x（16﹣x）=﹣x+16x=﹣（x﹣8）+64．
∴在长方形花圃周长不变的情况下，长方形的最大面积为64平方米，因此不能增加2平方米．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，同时考生要注意考虑实际问题，懂得开放性思考．
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 【考点】二次函数的应用；二次函数的最值． 【专题】应用题．
【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值． 【解答】解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）=6 000 解得x=5或x=10，
为了使顾客得到实惠，所以x=5．
（2）设涨价z元时总利润为y， 则y=（10+z）（500﹣20z）
2
=﹣20z+300z+5 000
2
=﹣20（z﹣15z）+5000
=﹣20（z﹣15z+﹣）+5000
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=﹣20（z﹣7.5）+6125
当z=7.5时，y取得最大值，最大值为6 125． 答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多． 【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配
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方法较好，如y=﹣x﹣2x+5，y=3x﹣6x+1等用配方法求解比较简单．
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