人教版九年级数学上册教案及作业题含解析_

教材内容

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解a（a≥0）是一个非负数，（a）2=a（a≥0），a=a（a≥0）． （3）掌握a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b；

2aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．

bbbb （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点

1．二次根式a（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（a）2＝a（a≥0）；

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a2=a（a≥0）•及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点

1．对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）2＝a（a≥0）及a=a（a≥0）的理解及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键

1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3课时 21．2 二次根式的乘法 3课时 21．3 二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结 2课时

221．1 二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用 教学目标

理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键

1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程

一、复习引入

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（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=

3，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐x标是___________．

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

AB

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=3，所以所求点的坐标（3，3）． 问题2：由勾股定理得AB=10 C 问题3：由方差的概念得S= 二、探索新知 很明显3、10、4. 64，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方6根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）•的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号．

（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？

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老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、x（x>0）、x0、42、-2、

1、xy（x≥0，y•≥0）． xy”；第二，被开方数是正数

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“或0．

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、次根式的有：33、；不是二xy（x≥0，y≥0）

114、2、． xxy 例2．当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•3x1才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥

1 31时，3x1在实数范围内有意义． 3 三、巩固练习

教材P练习1、2、3． 四、应用拓展

例3．当x是多少时，2x3+ 分析：要使2x3+

1在实数范围内有意义？ x11在实数范围内有意义，必须同时满足2x3中的≥0和x11中的x+1≠0． x1 解：依题意，得 由①得：x≥-

2x30

x103 2 由②得：x≠-1

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当x≥-

31且x≠-1时，2x3+在实数范围内有意义． 2x1 例4(1)已知y=2x+x2+5，求

x的值．(答案:2) y2) 5(2)若a1+b1=0，求a+b的值．(答案:

五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业

1．教材P8复习巩固1、综合应用5．

2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计 一、选择题

1．下列式子中，是二次根式的是（ ）

A．-7 B．37 C．x D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A．4 B．16 C．8 D．

1 x 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A．5 B．5 C．

1 D．以上皆不对 5 二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x是多少时，2x32

+x在实数范围内有意义？ x第- 5 -页 共247页

3．若3x+x3有意义，则x2=_______．

2 4.使式子(x5)有意义的未知数x有（ ）个．

A．0 B．1 C．2 D．无数

5.已知a、b为实数，且a5+2102a=b+4，求a、b的值．

第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B

二、1．a（a≥0） 2．a 3．没有

三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=5．

32x30x 2．依题意得：，2

x0x0∴当x>-

32x3且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义． 2x3.

1 3 4．B

5．a=5，b=-4

21.1 二次根式(2)

第二课时

教学内容

1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）． 教学目标

理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

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通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键|

1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）． 教学过程

一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：

（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；

（1272

）=______；（）=_______；（0）2=_______． 32 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．

同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（121727）=，（）=，（0）

3232第- 7 -页 共247页

2

=0，所以

（a）2=a（a≥0） 例1 计算 1．（325272

） 2．（35）2 3．（） 4．（）

226 分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．

解：（323） =，（35）2 =32·（5）2=32·5=45，

2252572(7)27． （）=，（）=622426 三、巩固练习

计算下列各式的值：

（18）2 （2272 92） （） （0）2 （4）438(35)2(53)2

四、应用拓展

例2 计算

1．（x1）2（x≥0） 2．（a）2 3．（a2a1）2 4．（4x12x9）2

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （x1）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（a）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2

2222第- 8 -页 共247页

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴a2a1=a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（4x12x9）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：

1．a（a≥0）是一个非负数；

2．（a）=a（a≥0）;反之:a=（a）（a≥0）．

2

2

22 六、布置作业

1．教材P8 复习巩固2．（1）、（2） P9 7．

2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题

2222 1．下列各式中15、3a、b1、ab、m20、144，二次根式的个数是（ ）．

A．4 B．3 C．2 D．1

2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0 二、填空题

1．（-3）2=________．

2．已知x1有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算

（1）（9）2 （2）-（3）2 （3）（

126）2 （4）（-322

）3第- 9 -页 共247页

(5) (2332)(2332) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）

3．已知xy1+1 （4）x（x≥0） 6x3=0，求xy的值．

4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5

第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C

二、1．3 2．非负数

三、1．（1）（9）2=9 （2）-（3）2=-3 （3）（

12136）2=×6=

42（4）（-3222）=9×=6 (5)-6

332．（1）5=（5）2 （2）3.4=（3.4）2

（3）

121=（） （4）x=（x）2（x≥0） 66 3．xy10x3 xy=34=81 x30y44.（1）x2-2=（x+2）（x-2）

（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+3）（x-3） (3)略

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21.1 二次根式(3)

第三课时

教学内容

a2＝a（a≥0）

教学目标

理解a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

通过具体数据的解答，探究a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键

1．重点：a＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0时，a＝a才成立． 教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．a（a≥0）是一个非负数； 3．(a)2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，a=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知

（学生活动）填空：

22222122=_______；0.012=_______；()2=______；

1023()2=________；02=________；()2=_______． 37

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

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12312322=2；0.012=0.01；()2=；()2=；02=0；()2=．

103710372 因此，一般地：a=a（a≥0） 例1 化简

22 （1）9 （2）(4) （3）25 （4）(3)

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用a=a（a≥0）•去化简．

22解：（1）9=3=3 （2）(4)=42=4

222（3）25=5=5 （4）(3)=3=3 2 三、巩固练习 教材P7练习2． 四、应用拓展

例2 填空：当a≥0时，a=_____；当a<0时，a=_______，•并根据这一性质回答下列问题．

（1）若a=a，则a可以是什么数？ （2）若a=-a，则a可以是什么数？ （3）a>a，则a可以是什么数？

分析：∵a=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，

22应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，a=(a)，那么-a≥0．

222222 （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为a=a，所以a≥0； （2）因为a=-a，所以a≤0；

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（3）因为当a≥0时a=a，要使a>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，a=-a，要使a>a，即使-a>a，a<0综上，a<0

22例3当x>2，化简(x2)-(12x)．

2222分析：(略) 五、归纳小结

本节课应掌握：a=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，a＝－a的应用拓展．

六、布置作业

1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．

2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第三课时作业设计 一、选择题

1．(2)(2)的值是（ ）． A．0 B．

2213213222 C．4 D．以上都不对 33222 2．a≥0时，a、(a)、-a，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．

222222 A．a=(a)≥-a B．a>(a)>-a 222222 C．a<(a)<-a D．-a>a=(a) 二、填空题

1．-0.0004=________．

2．若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________． 三、综合提高题

1．先化简再求值：当a=9时，求a+12aa的值，甲乙两人的解答如下：

2第- 13 -页 共247页

2 甲的解答为：原式=a+(1a)=a+（1-a）=1；

2乙的解答为：原式=a+(1a)=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+a2000=a，求a-19952的值．

（提示：先由a-≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）

223. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x3)+x10x25。

答案:

一、1．C 2．A

二、1．-0．02 2．5

三、1．甲 甲没有先判定1-a是正数还是负数 2．由已知得a-••≥0，•a•≥

所以a-1995+a2000=a，a2000=1995，a-=19952，

所以a-19952=．

3. 10-x

21．2 二次根式的乘除

第一课时

教学内容

a·b＝ab（a≥0，b≥0），反之ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标

理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出ab=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

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教学重难点关键

重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用．

难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）． 关键：要讲清

ab（a<0,b<0）=ab，如(2)(3)=(2)(3)或

(2)(3)=23=2×3．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空

（1）4×9=_______，49=______； （2）16×25=_______，1625=________． （3）100×36=________，10036=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

4×9_____49，16×25_____1625，100×36________

10036 2．利用计算器计算填空

（1）2×3______6，（2）2×5______10， （3）5×6______30，（4）4×5______20， （5）7×10______70．

老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

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一般地，对二次根式的乘法规定为 反过来: 例1．计算

（1）5×7 （2）a·b＝ab．（a≥0，b≥0） ab=a·b（a≥0，b≥0） 11×9 （3）9×27 （4）×6 3 分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可． 解：（1）5×7=35 （2）13×9=139=3 （3）9×27=927923=93 （4）112×6=26=3 例2 化简

（1）916 （2）1681 （3）81100

（4）9x2y2 （5）54 分析：利用ab=a·b（a≥0，b≥0）直接化简即可． 解：（1）916=9×16=3×4=12 （2）1681=16×81=4×9=36 （3）81100=81×100=9×10=90

（4）9x2y2=32×x2y2=32×x2×y2=3xy （5）54=96=32×6=36 第- 16 -页 共247页

2 三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①

16×8 ②36×210 ③5a·20; 18;

1ay 5(2) 化简:

24; 54; 12a2b2 教材P11练习全部 四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(4)(9)49 （2）4121212×25=4××25=4×25=412=83 252525 解：（1）不正确．

改正：(4)(9)=49＝4×9=2×3=6 （2）不正确．

改正：41211211225=112=167＝47 ×25=×25=252525

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）a·b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用． 六、布置作业

1．课本P15 1，4，5，6．（1）（2）．

2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计 一、选择题

1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，•那么此直角三角形斜边长是（ ）．

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A．32cm B．33cm C．9cm D．27cm 2．化简a1的结果是（ ）． a A．a B．a C．-a D．-a 3．等式

x1x1x21成立的条件是（ ）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（ ）．

A．45×25=8 5 B．53×42=205 C．43×32=75 D．53×42=206

二、填空题

1．1014=_______． 2．自由落体的公式为S=

12

gt（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的2高度为720m，则下落的时间是_________． 三、综合提高题

1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

2．探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）222=2 332222223(232)22验证：2=2×== 33333223222(221)22== 3221221221221 （2）333=3 88第- 18 -页 共247页

333333332验证：3=3×==

88321833(321)33(321)33== 2228313131 同理可得：4444 1515 5555，…… 2424a=_______（a>0）,并验证你的结论． a21 通过上述探究你能猜测出： a答案:

一、1．B 2．C 3.A 4.D 二、1．136 2．12s

三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，

则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，

x=3030×2=302．

2． aaaa= 22a1a1aaa32验证：a=a2 a21a1a21aa3aaa3aaa(a21)aa===. 222222a1a1a1a1a1a1

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21．2 二次根式的乘除

第二课时

教学内容

aaaa=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化

bbbb简．

教学目标 理解aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

bbbb 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出

逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1．重点：理解aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计

bbbb算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1）99=________，=_________；

16161616=________，=________；

3636 （2） （3）44=________，=_________；

16163636=________，=________．

8181 （4）第- 20 -页 共247页

规律：16949164______；______；_______；

3616163616163636_______．

8181 3．利用计算器计算填空: （1）3227=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________． 4358 规律：32273227______；_______；_____；_____。

43584358 每组推荐一名学生上台阐述运算结果．

（老师点评） 二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

aa=（a≥0，b>0）， bb反过来，aa=（a≥0，b>0） bb 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例1．计算：（1）31111264 （2） （3） （4） 2841683 分析：上面4小题利用aa=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

bb解：（1）1212==4=2

3331313834=3×=23 =28282 （2）第- 21 -页 共247页

（3）1111116=4=2 =41641646464==8=22

88（4） 例2．化简：

364b25x9x （1） （2） （3） （4） 222649a169y64y 分析：直接利用aa=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． bb解：（1）333= 6486464b28b64b2 （2）=23a9a29a （3）9x3x9x= 28y64y264y5x5x5x= 2213y169y169y （4） 三、巩固练习

教材P14 练习1． 四、应用拓展

x25x49x9x 例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值． 2x6x1x6分析：式子aa=，只有a≥0，b>0时才能成立． bb因此得到9-x≥0且x-6>0，即69x0x9 解：由题意得，即

x6x60第- 22 -页 共247页

∴6∴原式=（1+x）(x4)(x1)

(x1)(x1) =（1+x）x4 x1x4=(1x)(x4)

(x1) =（1+x） ∴当x=8时，原式的值=49=6． 五、归纳小结 本节课要掌握aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．

bbbb 六、布置作业

1．教材P15 习题21．2 2、7、8、9．

2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》

第二课时作业设计 一、选择题 1．计算1213121的结果是（ ）． 35 A．

27225 B． C．2 D．

772．阅读下列运算过程：

13322525， 35333555 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简

2的结果6第- 23 -页 共247页

是（ ）．

A．2 B．6 C． 二、填空题 1．分母有理化:(1)

136 D．6

132=_________;(2) 110=________;(3) =______. 1225 2．已知x=3，y=4，z=5，那么 三、综合提高题

yzxy的最后结果是_______．

1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，•现用直径为315cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2．计算

nnn1n3 （1）·（-）÷（m>0，n>0） 333m2m2mmm3mna23m23n2 （2）-3÷（）× （a>0） 222amn2a

答案:

一、1．A 2．C

二、1．(1)

1025233;(2) ;(3) 6622525 2．15 3三、1．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为3xcm，依题意， 得：（3x）2+x2=（315）2， 4x2=9×15，x=

3215（cm），

13543x·x=3x2=3（cm2）．

第- 24 -页 共247页

n2．（1）原式＝-2mnn4n÷=-2m3m22m5n42m3 2m5nn2nn3nn=-22n=-3n 2mmmmm3(mn)(mn)a2a23a2 （2）原式=-2=-2=-6a 2a2mnmn2

21.2 二次根式的乘除(3)

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键

1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 1．计算（1）3328，（2），（3） 5272a3153282a6=，=，= a552732a 老师点评： 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么

它们的传播半径的比是_________．

第- 25 -页 共247页

它们的比是2Rh12Rh2．

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．

老师点评：不是．

2Rh12Rh2=2Rh12Rh2h1h2h1h2. h28x2y3 例1．(1) 35; (2) 12x2y4x4y2; (3) 例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

AB 解：因为

AB2=AC2+BC2

22C

所以AB=2.56=()3652216916913=6.5（cm） 424 因此AB的长为6.5cm．

三、巩固练习

教材P14 练习2、3 四、应用拓展

例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

11(21)21==2-1， 2121(21)(21)第- 26 -页 共247页

11(32)32==3-2， 3232(32)(32) 同理可得：1=4-3，……

43 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （1111+++……）（2002+1）的值．

20022001213243 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可

以达到化简的目的．

解：原式=（2-1+3-2+4-3+……+2002-2001）×（2002+1） =（2002-1）（2002+1）

=-1=

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、布置作业

1．教材P15 习题21．2 3、7、10．

2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》

第三课时作业设计 一、选择题 1．如果x（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． y A．xyx（y>0） B．xy（y>0） C．（y>0） D．以上都不对

yy 2．把（a-1）1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． a1 A．a1 B．1a C．-a1 D．-1a 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）

第- 27 -页 共247页

A．511=315 B．=±

23242

C．ab=a2 4．化简b D．

x3x2=xx1 32的结果是（ ） 27226 B．- C．- D．-2

333 A．- 二、填空题

422 1．化简xxy=_________．（x≥0）

2．aa1化简二次根式号后的结果是_________． 2a 三、综合提高题

1．已知a为实数，化简：a-a若不正确，•请写出正确的解答过程： 解：a-a331，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？a11=aa-a·

aaa=（a-1）a

2．若x、y为实数，且y=

x244x21，求xyx2xy的值．

答案:

一、1．C 2．D 3.C 4.C

22 二、1．xxy 2．-a1

三、1．不正确，正确解答：

a30因为1，所以a<0，

0a第- 28 -页 共247页

原式＝aa-a·2aa2=·-a·=-aa+a=(1-a) a aa22aa21x402．∵ ∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y= 244x0 ∴

xyxyx2y24163. 16421.3 二次根式的加减(1)

第一课时

教学内容

二次根式的加减 教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法．

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简． 重难点关键

1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式．

3

（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减． 二、探索新知

学生活动：计算下列各式．

（1）22+32 （2）28-38+58 （3）7+27+397 （4）33-23+2 老师点评：

第- 29 -页 共247页

（1）如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题吗？ 22+32=（2+3）2=52 （2）把8当成y；

28-38+58=（2-3+5）8=48=82 （3）把7当成z； 7+27+97 =27+27+37=（1+2+3）7=67 （4）3看为x，2看为y． 33-23+2 =（3-2）3+2 =3+2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．

（板书）32+8=32+22=52 33+27=33+33=63 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并． 例1．计算

（1）8+18 （2）16x+64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52

第- 30 -页 共247页

（2）16x+64x=4x+8 例2．计算 （1）348-9x=（4+8）x=12x 1+312 3 （2）（48+20）+（12-5） 解：（1）348-91+312=123-33+63=（12-3+6）3=153 3 （2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5 =43+25+23-5=63+5 三、巩固练习

教材P19 练习1、2． 四、应用拓展

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（

2x9x+y23y1x2）-（x-5x）的值． 3xxy2+2=0， 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）（y-3）

即x=

1，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并2同类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 ∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=

1，y=3 22x9x+y23 原式=

yx21-x+5x

xxy3 =2xx+xy-xx+5xy =xx+6xy 第- 31 -页 共247页

当x=

1，y=3时， 2 原式=

1312×+6=+36 2224 五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 1、2、3、5．

2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题

1．以下二次根式：①12；②22；③2；④27中，与3是同类二次根式的3是（ ）．

A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2．下列各式：①33+3=63；②

17③2+6=8=22；④7=1；

24=22，3其中错误的有（ ）．

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 1．在8、112275a、9a、125、3a3、30.2、-2中，与3a是33a8同类二次根式的有________．

2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________． 三、综合提高题

1．已知5≈2.236，求（80-1 2．先化简，再求值．

41445））-（3+的值．（结果精确到0.01）

555第- 32 -页 共247页

（6xy33xxy3）-（4x++36xy），其中x=，y=27．

2xyy

答案:

一、1．C 2．A

1275a 3a3 2．6b-2a 3a341211 三、1．原式=45-5-5-5=5≈×2.236≈0.45

55555 二、1．2．原式=6xy+3xy-（4xy+6xy）=（6+3-4-6）xy=-xy，

当x=

33927=-，y=27时，原式=-2222

21.3 二次根式的加减(2)

第二课时

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标

运用二次根式、化简解应用题．

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题． 重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．

二、探索新知

例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

第- 33 -页 共247页

CQAB

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．

解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米． 则有PB=x，BQ=2x 依题意，得： x2=35 x=35 所以35秒后△PBQ的面积为35平方厘米．

22 PQ=PBBQP1x·2x=35 2x24x25x2535=57 答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为57厘米．

例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．

解：由勾股定理，得 AB=AD2BD2422220=25 2222 BC=BDCD21=5 所需钢材长度为

第- 34 -页 共247页

AB+BC+AC+BD =25+5+5+2 =35+7 ≈3×2.24+7≈13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材． 三、巩固练习 教材P19 练习3 四、应用拓展

例3．若最简根式3ab4a3b与根式2abb6b是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式

2322ab2b36b2不是最简二次根式，因此把2ab2b36b2化简成

|b|·2ab6，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b． 解：首先把根式2abb6b化为最简二次根式：

2232 2abb6b=b(2a16)=|b|·2ab6 2324a3b2ab6 由题意得

3ab2 ∴2a4b6

3ab2 ∴a=1，b=1 五、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 7．

2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 作业设计 一、选择题

1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结

第- 35 -页 共247页

果用最简二次根式）

A．52 B．50 C．25 D．以上都不对

2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）

A．13100 B．1300 C．1013 D．513

二、填空题

1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽

是_______m．（结果用最简二次根式） 2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式） 三、综合提高题 1．若最简二次根式223m22与n14m210是同类二次根式，求m、n的值． 3 2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （2-1）2=（2）2-2·1·2+12=2-22+1=3-22 反之，3-22=2-22+1=（2-1）2 ∴3-22=（2-1）

2

∴322=2-1 求：（1）322；

（2）423；

第- 36 -页 共247页

（3）你会算412吗？

（4）若a2b=mn，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．

答案:

一、1．A 2．C

二、1．202 2．2+22

3m224m210m28m22三、1．依题意，得2 ，2 ， n12n3n3m22m22m22m22所以或 或 或 n3n3n3n32．（1）322=(21)=2+1 （2）423=(31)=3+1 （3）412=423（4）22(31)2=3-1 mna 理由：两边平方得a±2b=m+n±2mn

mnbamn

bmn所以

21.3 二次根式的加减(3)

第三课时

教学内容

第- 37 -页 共247页

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算

（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

二、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立． 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 例1．计算:

（1）（6+8）×3 （2）（46-32）÷22 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．

解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3 =18+24=32+26

解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22 =23-3 2 例2．计算

（1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7）

第- 38 -页 共247页

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解：（1）（5+6）（3-5） =35-（5）2+18-65 =13-35 （2）（10+7）（10-7）=（10）-（7）2

2

=10-7=3

三、巩固练习

课本P20练习1、2． 四、应用拓展

例3．已知

xbxa=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0， ba化简x1xx1x+，并求值．

x1xx1xx）（x1-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母

分析：由于（x1+有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．

(x1x)2(x1x)2解：原式=+

(x1x)(x1x)(x1x)(x1x)(x1x)2(x1x)2=+

(x1)x(x1)x =（x+1）+x-2x(x1)+x+2x(x1) =4x+2 ∵

xbxa=2- ba ∴b（x-b）=2ab-a（x-a）

∴bx-b2=2ab-ax+a2

∴（a+b）x=a2+2ab+b2

∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b

第- 39 -页 共247页

∴原式=4x+2=4（a+b）+2 五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 1、8、9． 2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

作业设计 一、选择题

1．（24-315+22 A．

2）×2的值是（ ）． 3232033-330 B．330-233 C．230-3 D．

2033-30 2．计算（x+x1）（x-x1）的值是（ ）． A．2 B．3 C．4 D．1 二、填空题 1．（-

132

+）的计算结果（用最简根式表示）是________． 222的计算结果2．（1-23）（1+23）-（23-1）（用最简二次根式表示）是_______．

3．若x=2-1，则x2+2x+1=________．

4．已知a=3+22，b=3-22，则a2b-ab2=_________． 三、综合提高题 1．化简

57

10141521x1x2xx1x2x1 2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根

2221x1xxx1xx式表示）

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课外知识

1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式． 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．

A．2x与2y B．834958ab与ab 92C．mn与n D．mn与mn

2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-x2x与x+1+

2x22x就是互为有理化因式；x与1也是互为有理化因式． x 练习：2+3的有理化因式是________； x-y的有理化因式是_________．

-x1-x1的有理化因式是_______．

3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的． 练习：把下列各式的分母有理化 （1）1123342； （2）； （3）； （4）．

12351623342 4．其它材料：如果n是任意正整数，那么nnn=n 22n1n1nnn3nnn3 理由：n2==n 222n1n1n1n1 练习：填空2

342=_______；3=________；4=_______．

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答案:

一、1．A 2．D 二、1．1-3 2．43-24 3．2 4．42 2三、1．原式＝

57 25273537157=

232(57)3(57)=

=-（2-3）=3-2 2．原式＝(x1x2x)2(x1x2x)2(x1)(xx)222 2(x1)2(x2x)22(x1)(x1x)=== 2（2x+1）

x1x1 ∵x=

1=2+1 原式＝2（22+3）=42+6. 21二次根式复习课

教学目标

1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算．

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习

1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．

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指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．

2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．

指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，

计算结果要把分母有理化．

3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：

4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：

二、例题

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例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：

分析：

(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；

(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；

(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．

x≥-2且x≠0．

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解因为n-9≥0，9-n≥0，且n-3≠0，所以n=9且n≠3，所以

222

例3

分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0． 解 因为1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a．

(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．

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这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．

问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？

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分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．

解

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注意：

所以在化简过程中，

例6

分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．

2

2

a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)-(n-4)＝4(n+2)，

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三、课堂练习 1．选择题：

A．a≤2 B．a≥2 C．a≠2 D．a＜2

A．x+2 B．-x-2 C．-x+2 D．x-2

A．2x B．2a C．-2x D．-2a

2．填空题：

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4．计算：

四、小结

1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．

2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．

3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．

4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．

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五、作业

1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？

2．把下列各式化成最简二次根式：

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第二十三章 旋转

单元要点分析 教学内容

1．主要内容：

图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对称及其有关概念：中心对称、对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形．中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形．中心对称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）．课题学习．图案设计．

2．本单元在教材中的地位与作用：

学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用． 教学目标

1．知识与技能

了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质． 了解中心对称的概念并理解它的基本性质．

了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法． 2．过程与方法

（1）让学生感受生活中的几何，•通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题．

（2）•通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用它解决一些实际问题． （3）经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，•不同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类．

（4）复习对称轴和轴对称图形的有关概念，•通过知识迁移讲授中心对称图形和对称中心的有关内容，并附加练习巩固这个内容．

（5）通过几何操作题，探究猜测发现规律，并给予证明，附加例题进一步巩固． （6）复习中心对称图形和对称中心的有关概念，然后提出问题，让学生观察、•思考，老师归纳得出中心对称图形和对称中心的有关概念，最后用一些例题、练习来巩固这个内容．

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（7）复习平面直角坐标系的有关概念，•通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题．

（8）通过复习平移、轴对称、旋转等有关概念研究如何进行图形设计． 3．情感、态度与价值观

让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识．让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情． 教学重点

1．图形旋转的基本性质． 2．中心对称的基本性质．

3．两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系． 教学难点

1．图形旋转的基本性质的归纳与运用． 2．中心对称的基本性质的归纳与运用． 教学关键

1．利用几何直观，经历观察，产生概念；

2．利用几何操作，通过观察、探究，•用不完全归纳法归纳出图形的旋转和中心对称的基本性质．

单元课时划分

本单元教学时间约需10课时，具体分配如下： 23．1 图形的旋转 3课时 23．2 中心对称 4课时 23．3 课题学习；图案设计 1课时 教学活动、习题课、小结 2课时

23.1 图形的旋转（1）

第一课时

教学内容

1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 教学目标

了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．

通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题． 重难点、关键

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1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下面各题．

1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．

2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′．

3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）•的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知

我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究．

1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？•从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？

（口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．•如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度．

2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）

3．第1、2两题有什么共同特点呢？

共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．

像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．

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下面我们来运用这些概念来解决一些问题．

例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？

（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．

（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置． 例2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ （2）请画出旋转中心和旋转角．

（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？ （老师点评） （1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）•画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H．

最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，•但旋转角和对应点都是不唯一的．

三、巩固练习

教材P65 练习1、2、3． 四、应用拓展

例3．两个边长为1的正方形，如图所示，•让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为

1，现把其中一个正方形固定不动，•另一个正方形绕4其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？•说明理由． 分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，•要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE`=S△ODD`，那么只要说明△OEF′≌△ODD′． 解：面积不变．

理由：设任转一角度，如图所示． 在Rt△ODD′和Rt△OEE′中 ∠ODD′=∠OEE′=90°

∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE OD=OD

∴△ODD′≌△OEE′ ∴S△ODD`=S△OEE`

∴S四边形OE`BD`=S正方形OEBD=

1 4 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握：

1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．

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2．旋转的对应点及其它们的应用． 六、布置作业

1．教材P66 复习巩固1、2、3．

2．《同步练习》 一、选择题

1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（ ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（ ）． A．20° B．26° C．30° D．36°

3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，•将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（ ）． A．70° B．80° C．60° D．50°

(1) (2) (3) 二、填空题．

1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．

2．如图2，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，•点E•在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．

3．如图3，△ABC为等边三角形，D为△ABC•内一点，•△ABD•经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）•旋转角度是________；•（•3）•△ADP•是________三角形．

三、综合提高题． 1．阅读下面材料：

如图4，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置． 如图5，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置．

(4) (5) (6) (7)

如图6，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像这样，•其中

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一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换． 回答下列问题

如图7，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=

1AB． 2 （1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，•使△ABE移到△ADF的位置？

（2）指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．

2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，•现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？

答案:

一、1．B 2．C 3．B

二、1．旋转 旋转中心 旋转角 2．A 45° 3．点A 60° 等边 三、1．（1）通过旋转，即以点A为旋转中心，将△ABE逆时针旋转90°．

（2）BE=•DF，BE⊥DF

2．翻滚一次 滚120° 翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径是2．

23.1 图形的旋转(2)

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第二课时

教学内容

1．对应点到旋转中心的距离相等．

2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3．旋转前后的图形全等及其它们的运用． 教学目标

理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用．

先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质． 重难点、关键

1．重点：图形的旋转的基本性质及其应用．

2．难点与关键：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）老师口问，学生口答．

1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 3．请独立完成下面的题目．

如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？

（老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的． 二、探索新知

上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题： 1．A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等？ 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等？ 3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等吗？

老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验．

请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，•再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，•在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板．

（分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明） 1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？ 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？

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3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？

老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等．

2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，•即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．

3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等． 综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出 （1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等．

例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．

分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD

（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点． （4）连结DB′

则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形． 例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=

1，△ABF4是△ADE的旋转图形．

（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF的长度是多少？

（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？ 分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A点．

（2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的 ∴B是D的对应点

∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE=

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∴AE=1()=214217 4 ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点 ∴AF=17 4 （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形． 三、巩固练习

教材P64 练习1、2． 四、应用拓展

例3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．

分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．

解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形

∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°

∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的 ∴BK=DM

五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握：

1．对应点到旋转中心的距离相等；

2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用． 六、布置作业

1．教材P66 复习巩固4 综合运用5、6．

2．作业设计．

作业设计

一、选择题

1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，•则旋转角等于（ ）

A．50° B．210° C．50°或210° D．130° 2．在图形旋转中，下列说法错误的是（ ） A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B．图形上每一点移动的角度相同

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C．图形上可能存在不动的点

D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等

3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（ ）

二、填空题

1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．

2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，•其中BD=_________．

3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，•∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+•DF•与EF的关系是________．

三、综合提高题

1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一

条曲线，•将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？

2．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，•则图中三个扇形面积之和是多少？

3．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O点，若点E在AC的延长线上，•AG•⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，则△OAF与△OBE重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？

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答案:

一、1．C 2．A 3．D

二、1．相等 2．△ACE 图形全等 CE 3．相等 三、1．这四个部分是全等图形 2．∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴绕AB、AC的中点旋转180°，可以得到一个半圆， ∴面积之和=

1． 23．重合：证明：∵EG⊥AF ∴∠2+∠3=90°

∵∠3+∠1+90°=180° ∵∠1+∠3=90° ∴∠1=∠2

同理∠E=∠F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC ∴△ABF≌△BCE，∴BF=CE，∴OE=OF，∵OA=OB ∴△OBE绕O点旋转90°便可和△OAF重合．

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23.1 图形的旋转(3)

第三课时

教学内容

选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案． 教学目标

理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．

复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案． 重难点、关键

1．重点：用旋转的有关知识画图．

2．难点与关键：根据需要设计美丽图案． 教具、学具准备 小黑板 教学过程

一、复习引入 1．（学生活动）老师口问，学生口答．

（1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？

（2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？ （3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？ 2．请同学独立完成下面的作图题．

如图，△AOB绕O点旋转后，G点是B点的对应点，作出△AOB旋转后的三角形．

（老师点评）分析：要作出△AOB旋转后的三角形，应找出三方面：第一，旋转中心：O；第二，旋转角：∠BOG；第三，

A点旋转后的对应点：A′． 二、探索新知

从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究． 1．旋转中心不变，改变旋转角

画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形．

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2．旋转角不变，改变旋转中心

画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30•°的旋转图形．

因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案． 例1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O•为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案．

分析：只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化，•旋转长度为菊花的最长OA，按菊花叶的形状画出即可． 解：（1）连结OA

（2）以O点为圆心，OA长为半径旋转45°，得A． （3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270°、315°的A、A、A、A、A、A．

（4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶．

那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形．

例2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点O′为旋转中心，•请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？

老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一种花了．

三、巩固练习

教材P65 练习． 四、应用拓展

例3．如图，如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°的图形． 分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合图形

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组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再根据旋转的特征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图案作出旋转后的图案． 解：（1）连结OA，过O点沿OA逆时针作∠AOA′=90°，在射线OA′上截取OA′=OA； （2）用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′；

（3）作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A•′G′、G′D′、D′H′、H′A′；

（4）所作出的图案就是所求的图案． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：

1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案；

2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，•要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等． 六、布置作业

1．教材P67 综合运用7、8、9． 2．选作课时作业设计．

第三课时作业设计

一、选择题

1．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（ •） A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可

B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45° C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180

D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90° 2．同学们曾玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃镜片围成的，如图23-•33是看到的万花筒的一个图案，图中所有三角形 均是等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为中心（ ）

A．顺时针旋转60°得到的 B．顺时针旋转120°得到的 C．逆时针旋转60°得到的 D．逆时针旋转120°得到的

3．下面的图形23-34，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是（ ）

A．（1），（4） B．（1），（3） C．（1），（2） D．（3），（4）

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二、填空题

1．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每次旋转的角度是________．

2．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换．

3．如图，过圆心O和图上一点A连一条曲线，将OA绕O点按同一方向连续旋转三次，每次旋转90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________．

三、综合提高题．

1．请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标．

2．如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，•将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，•你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！

3．如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′

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重合，如果AP=3，求PP′的长．

答案:

一、1．D 2．D 3．C

二、1．4 72° 2．旋转 3．相等

三、1．答案不唯一，学生设计的只要符合题目的要求，都应给予鼓励． 2．略

3．∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合， ∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，

∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°， △PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边， ∴PP′=2AP=32．

23.2 中心对称(1)

第一课时

教学内容

两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问题． 教学目标

了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题． 复习运用旋转知识作图，•旋转角度变化，•设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题． 重难点、关键

1．重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题． 2．难点与关键：从一般旋转中导入中心对称． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程

一、复习引入

请同学们独立完成下题．

如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，•并写出简要作法．

老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋

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转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，•一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；•已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可． 作法：（1）连结OA、OB、OC、OD；

（2）分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD； （3）分别截取OE=OB，OF=OC； （4）依次连结DE、EF、FD；

即：△DEF就是所求作的三角形，如图所示．

二、探索新知

问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题： 1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？

2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？

老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．

像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．

（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．

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分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，•对称中心就是旋转中心．

（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点． 解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD （2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D

（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示．

答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点． （2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．

例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD•成中心对称的三角形．

分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可． 解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B•点关于中心D的对称点为C（B′） （2）连结A′B′、A′C′．

则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．

三、巩固练习

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教材P74 练习2． 四、应用拓展

例3．如衅，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．

（1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．

（2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式．

分析：（1）∵BC=4，AC=4

∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1 （2）∵平移的距离为x，∴BC′=4-x 解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC ∴BC′=C′D=1 ∴S△BDC`=

11×1×1= 22 （2）∵CC′=x，∴BC′=4-x

∵AC=BC=4 ∴DC′=4-x ∴S△BDC`=

112

（4-x）（4-x）=x-4x+8 22 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1．中心对称及对称中心的概念；

2．关于中心的对称点的概念及其运用． 六、布置作业

1．教材P73 练习1． 2．选作课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题

1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4

2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（ ）个

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A．1 B．2 C．3 D．4

3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，•点D、

C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（ ） A．55° B．125° C．70° D．110°

二、填空题

1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．

2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说

这两个图形是_________图形．

3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（•填序

号）

（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（6）

•梯形．

三、综合提高题

1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

对称 轴对称 旋转 中心 形式 只有一条对称轴 有两条对称轴 对称 对称 2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法．

3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，•画出此图形关于点B

成中心对称的图形．

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答案:

一、1．B 2．D 3．D

二、1．这一点（对称中心） 2．中心对称 3．（1）（4）（5） 三、1．略 2．作法：（1）延长CB且BC′=BC；

（2）延长DB且BD′=DB，延长AB且使BA′=BA； （3）连结A′D′、D′C′、C′B

则四边形A′BC′D′即为所求作的中心对称图形，如图所示．

3.略.

23.2 中心对称(2)

第二课时

教学内容

1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，第- 72 -页 共247页

而且被对称中心所

•平分．

2．关于中心对称的两个图形是全等图形． 教学目标

理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用． 复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质． 重难点、关键

1．重点：中心对称的两条基本性质及其运用．

2．难点与关键：让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质． 教学过程

一、复习引入

（老师口问，学生口答）

1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？ 2．什么叫关于中心的对称点？

3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，•画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论． （每组推荐一人上台陈述，老师点评）

（老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形 （1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形； （2）作关于一定点O为对称中心的对称图形． 第一步，画出△ABC．

第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′和△A′B′C′，如图1和用2所示．

(1) (2) 从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；

分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段． 下面，我们就以图2为例来证明这两个结论． 证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中， OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′ ∴△AOB≌△A′OB′ ∴AB=A′B′

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同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′

（2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O•旋转180•°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段AA′的中点．

同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点．

因此，我们就得到

1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

2．关于中心对称的两个图形是全等图形．

例1．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．

分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．

解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．

（2）同样画出点B和点C的对称点E和F． （3）顺次连结DE、EF、FD．

则△DEF即为所求的三角形． 例2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B•′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．

二、巩固练习

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教材P70 练习． 三、应用拓展

例3．如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC．

分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，•旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内．

解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B•的位置，则△AOC≌△AO′B．

∴AO=AO′，OC=O′B

又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O为等边三角形． ∴AO=OO′

在△BOO′中，OO′+OB>BO′ 即OA+OB>OC

四、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握：

中心对称的两条基本性质：

1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，•而且被对称中心所平分；

2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用． 五、布置作业

1．教材P74 复习巩固1 综合运用6、7． 2．选作课时作业设计．

第二课时作业设计

一、选择题

1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A．直角 B．等边三角形 C．直角梯形 D．两条相交直线 A．两个等腰三角形一定全等

B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少

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C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．两直线平行，同旁内角相等

3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的

大小是（ ）

A．60° B．50° C．75° D．55°

二、填空题

1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__________，而且被对称中心

所________．

2．关于中心对称的两个图形是_________图形．

3．线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是_________，•它的对称中

心是__________． 三、综合提高题

1．分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：（1）•

以顶点A为对称中心，（2）以BC边的中点K为对称中心．

2．如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．

3．如图，A、B、C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修

建了一所学校M，现计划修建居民小区D，其要求：（1）到学校的距离与其它小区到学校的距离相等；（2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试写居民小区D•的位置．

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答案:

一、1．D 2．C 3．A

二、1．对称中心 平分 2．全等 3．线段中垂线，线段中点．

三、1．略 2．作出已知圆圆心关于O点的对称点O′，以O′为圆心，已知圆的半

径为半径作圆．

3．连结AB、AC，分别作AB、AC的中垂线PQ、GH相交于M，学校M所在位置，•就是

△ABC外接圆的圆心，小区D是在劣弧BC的中点即满足题意．

23.2 中心对称(3)

第三课时

教学内容

1．中心对称图形的概念．

2．对称中心的概念及其它们的运用． 教学目标

了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用． 复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用． 重难点、关键

1．重点：中心对称图形的有关概念及其它们的运用．

2．难点与关键：区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形． 教具、学具准备 小黑板、三角形 教学过程

一、复习引入 1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？ （老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

关于中心对称的两个图形是全等图形． 2．（学生活动）作图题．

（1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．

AO

第- 77 -页 共247页

（2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．

AOB （2）延长AO使OC=AO， 延长BO使OD=BO， 连结CD

则△COD为所求的，如图所示．

二、探索新知 从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA=•OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合．

上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四

AD边形，如图所示．

∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD

O ∴△AOB≌△COD ∴AB=CD

也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合． CB 因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

（学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形． 老师点评：老师边提问学生边解答．

（学生活动）例2：请说出中心对称图形具有什么特点？ 老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳．

例3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形．

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AODBC

分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．

证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、•BD必过点O，且AO=CO，BO=DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，•四边形ABCD是平行四边形．

三、巩固练习 教材P72 练习． 四、应用拓展

例4．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，•求折痕EF的长．

分析：将矩形折叠，使C点和A点重合，折痕为EF，就是A、C两点关于O点对称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积． 解：连接AF，

∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC．

∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AB=CD=3，AD=•BC=4 设CF=x，则AF=x，BF=4-x，

由勾股定理，得AC2=BC2+AB2=52

∴AC=5，OC=

15AC= 22 ∵AB2+BF2=AF2 ∴32+（4-x）=2=x2 ∴x=

25 8252515215）-（）2=（） OF=

2888 ∵∠FOC=90° ∴OF2=FC2-OC2=（

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同理OE=

1515，即EF=OE+OF= 84 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1．中心对称图形的有关概念；

2．应用中心对称图形解决有关问题． 六、布置作业

1．教材P74 综合运用5 P75 拓广探索8、9．

2．选用作业设计

作业设计

一、选择题

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．正六边形

2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）．

21085 A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形

3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085•”在镜子中的像是（ ）

A．21085 B．28015 C．58012 D．51082 二、填空题

1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形叫做__________．

2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．

3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________． 三、解答题

1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，•那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：•正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，•所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．

①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ） ②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ）

（2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°是_____．（•写出所有正确结论的序号）

①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．

（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．

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2．如图，将矩形A1B1C1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处；沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点．

（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；

（2）连接BB，判断△B1BG的形状，并写出判断过程．

AA1EFB1DBD1GC1C

3．如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△AOB绕点O•顺时针旋转90°得到△A1OB1．

（1）在图中画出△A1OB1；

（2）设过A、A1、B三点的函数解析式为y=ax2+bx+c，求这个解析式．

y2BA-1Ox

答案：

一、1．D 2．D 3．D

二、1．中心对称图形 2．答案不唯一 3．答案不唯一 三、1．（1）①假 ②真 （2）①③

（3）①例如正五边形 正十五边形 •②例如正十边 正二十边形 2．（1）证明：∵A1D1∥B1C1，∴∠A1BD=∠C1FB 又∵四边形ABEF是由四边形A1B1EF翻折的， ∴∠EFB=90°-

11∠C1FB，∠FBG=90°-∠A1BD， 22第- 81 -页 共247页

∴∠EFB=∠FBG

∴EF∥BG，∵EB∥FG

∴四边形BEFG是平行四边形． （2）直角三角形，理由：连结BB，

∵BD1∥FC1，∴∠BGF=∠D1BG，∴∠FGB=∠FBG 同理可得：∠B1BF=∠FB1B．

∴∠B1BG=90°，∴△B1BG是直角三角形 3．解：（1）如右图所示

y2A-2-11BA1B1O12x-1

（2）由题意知A、A1、B1三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0）

1a20abc1 ∴1c 解这个方程组得b

204a2bcc1 ∴所求五数解析式为y=-

121x+x+1． 2223.2 中心对称（4）

第- 82 -页 共247页

第四课时

教学内容

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原点的对称点为P′（-x，-y）及其运用． 教学目标

理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用．

复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．

重难点、关键

1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）•关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用．

2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下面三题．

1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′．

lA

2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．

3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．

第- 83 -页 共247页

老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略） 二、探索新知

（学生活动）如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、•D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：

这些坐标与已知点的坐标有什么关系？

y43CAB-4-3-2-121D123O-1-3x-2

老师点评：画法：（1）连结AO并延长AO （2）在射线AO上截取OA′=OA

（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″． ∵△AD′O与△A′D″O全等 ∴AD′=A′D″，OA=OA′ ∴A′（3，-1）

同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标． （学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？ 提问几个同学口述上面的问题．

老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，

即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．

例1．如图，利

第- 84 -页 共247页

用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形．

y4321-4-3-2-1B123-2O-1Ax-3

分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可．

解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）， 因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（1，0），B（-3，0）． 连结A′B′．

则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′． （学生活动）例2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．

老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′． 三、巩固练习 教材P73 练习． 四、应用拓展

例3．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．

（1）在图中画出直线A1B1．

（2）求出线段A1B1中点的反比例函数解析式．

（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b（我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．

第- 85 -页 共247页

y432BO123A-4-3-2-11x-1-2-3

分析：（1）只需画出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1、B1，连结A1B1． （2）先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=

k代入求k． x （3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的线段作A1、B1关于原点的对称点A2、B2，连结A2B2的直线就是我们所求的直线． 解：（1）分别作出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1（1，0），B1（2，0），连结A1B1，那么直线A1B1就是所求的． （2）∵A1B1的中点坐标是（1， 设所求的反比例函数为y= 则

1） 2k x1k1=，k= 2121 ∴所求的反比例函数解析式为y=2

x （3）存在．

∵设A1B1：y=k′x+b′过点A1（0，1），B1（2，0）

b`11b` ∴ ∴1

02kbk`2 ∴y=-

1x+1 2 把线段A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线． 根据点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）得： A1（0，1），B1（2，0）关于原点的对称点分别为A2（0，-1），B2（-2，0）

第- 86 -页 共247页

∵A2B2：y=kx+b

11bk ∴ ∴2

02k`bb1 ∴A2B2：y=-

1x-1 211 下面证明y=-x-1与双曲线y=2相切

2x1yx11212x+2=-1  -x-1=12xx2yx x2+2x+1=0，b2-4ac=4-4×1×1=0

11 ∴直线y=-x-1与y=2相切

2x ∵A1B1与A2B2的斜率k相等

∴A2B2与A1B1平行 ∴A2B2：y=-

1x-1为所求． 2 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握：

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），•关于原点的对称点P′（-x，-y），及其利用这些特点解决一些实际问题． 六、布置作业

1．教材P74 复习巩固3、4． 2．选用作业设计．

作业设计

一、选择题

1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（ ） A．y=

1 B．y=2x+1 C．y=-2x+1 D．以上三种都不可能 x2．如图，已知矩形ABCD周长为56cm，O是对称线交点，点O到矩形两条邻边的距离之差

第- 87 -页 共247页

等于8cm，则矩形边长中较长的一边等于（ ）

AODBC

A．8cm B．22cm C．24cm D．11cm 二、填空题

1．如果点P（-3，1），那么点P（-3，1）关于原点的对称点P′的坐标是P′_______． 2．写出函数y=-

33与y=具有的一个共同性质________（用对称的观点写）． xx三、综合提高题

1．如图，在平面直角坐标系中，A（-3，1），B（-2，3），C（0，2），画出△ABC•关于x轴对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于y轴对称的△A″B″C″，那么△A″B″C″与△ABC有什么关系，请说明理由．

yBA-44321-3-2-1-1CO123x-2-3

2．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且A（0，3），B（3，0），现将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1． （1）在图中画出直线A1B1；

（2）求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式； （3）是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y=kx+b（我们发现互相平行的两条直线斜率k相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由．

第- 88 -页 共247页

y4321-4-3-2-1-1ABO123x-2-3

答案:

一、1．A 2．B 二、1．（3，-1） 2．答案不唯一 参考答案：关于原点的中心对称图形． 三、1．画图略，△A″B″C″与△ABC的关系是关于原点对称． 2．（1）如右图所示，连结A1B1；

（2）A1B1中点P（1.5，-1.5），设反比例函数解析式为y=

k2.25，则y=-．

xx（3）A1B1：设y=k1x+b1 ∴y=x+3

k11b13 

03k13b132.25相切的直线是A1B1•旋转而得到的． x∵与A1B1直线平行且与y=∴所求的直线是y=x+3， 下面证明y=x+3与y=-

2.25相切， xx2+3x+2.25=0，b2-4ac=9-4×1×2.25=0，

∴y=x+3与y=-

2.25相切． x第- 89 -页 共247页

23.3 课题学习 图案设计

教学内容

课题学习──图案设计 教学目标

利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案．

通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大胆联想，设计出一幅幅美丽的图案． 重难点、关键

1．重点：设计图案．

2．难点与关键：如何利用平移、轴对称、•旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．

教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下面的各题．

1．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B•点的对称点，•作出线段AB，并回答，AB与CD有什么位置关系．

CB

2．如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴L的对称线段C′D′，•并说明CD与对称线段C′D′之间有什么关系？

D第- 90 -页 共247页

ClD

3．如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，•并说明这两条线段之间有什么关系？

CD

老师点评：

1．AB与CD平行且相等；

2．过D点作DE⊥L，垂足为E并延长，使ED′=ED，同理作出C′点，连结C′D•′，•则CD′就是所求的．CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在L上并且CD=•C′D′．

3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D′，垂足为D，并且CD=C′D． 二、探索新知

请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或组合完成下面的图案设计． 例1．（学生活动）学生亲自动手操作题．

按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案． （1）准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图a） （2）把纸片任意撕成两部分（如图b，如图c）

（3）将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形．

（4）并将（3）得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图（d）（如图c）保持不动）

（5）把如图（d）平移到如图（c）的右边，得到如图（e）

（6）对如图（e）进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图（f）的图案．

老师必要时可以给予一定的指导．

三、巩固练习

教材P78 活动1．

第- 91 -页 共247页

四、应用拓展 例2．（学生活动）请利用线段、三角形、矩形、菱形、圆作为基本图形，•绘制一幅反映你身边面貌的图案，并在班级里交流展示．

老师点评：老师点到为止，让学生自由联想，老师也可在黑板上设计一、二图案． 五、归纳小结 本节课应掌握：

利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案． 六、布置作业

1．教材P78 活动2 P80 综合运用4、5、6、7． 2．选用作业设计．

作业设计

一、选择题

1．在图所示的4个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是（ ）

2．将三角形绕直线L旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）

二、填空题

1．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的______和______都保持不

变．

2．如上右图，是由________关系得到的图形． 三、综合提高题 1．（1）图案设计人员在进行图设计时，•常常用一个模具板来设计一幅幅美丽漂亮的

图案，你能说出用同一模具板设计出的两个图案之间是什么关系吗？

（2）现利用同一模具板经过平移、旋转、轴对称设计一个图案，•并说明你所表达的

意义．

2．如图，你能利用平移、旋转或轴对称这样的变化过程来分析它的形成过程吗？

第- 92 -页 共247页

答案:

一、1．D 2．B

二、1．形状 大小 2．旋转 三、1．（1）用同一块模块设计出的两个图案之间可能是由平移、旋转、的，或者是由这三种变化的组合而成的； （2）略 2．略

第二十二章 一元二次方程

单元要点分析 教材内容

第- 93 -页 共247页

轴对称变化得到• 1．本单元教学的主要内容．

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用．

一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标

1．知识与技能

了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法

（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．

（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等． （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．

（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．

（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．

3．情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣． 教学重点

1．一元二次方程及其它有关的概念．

2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题． 教学难点

1．一元二次方程配方法解题．

2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别． 教学关键

第- 94 -页 共247页

1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导． 课时划分

本单元教学时间约需16课时，具体分配如下： 22．1 一元二次方程 2课时 22．2 降次──解一元二次方程 7课时 22．3 实际问题与一元二次方程 4课时 教学活动、习题课、小结 3课时

22．1 一元二次方程

第一课时

教学内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．

1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．态度、情感、价值观

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点关键

1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程

一、复习引入

学生活动：列方程． 问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”

大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？

如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________． 整理、化简，得：__________．

第- 95 -页 共247页

问题（2）如图，如果

ACCB，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． ABACAwww.czsx.com.cnCB

如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________．

问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．

整理，得：________．

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 二、探索新知

学生活动：请口答下面问题．

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18

移项，得：4x2-26x+22=0

其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22． 例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．

第- 96 -页 共247页

解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1

移项，合并得：2x2+2x-4=0

其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4． 三、巩固练习

教材P32 练习1、2 四、应用拓展

例3．求证：关于+17）取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．

证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握：

（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用． 六、布置作业

1．教材P34 习题22．1 1、2． 2．选用作业设计．

作业设计 一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-

5=0 x A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（ ）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为

_________．

2．一元二次方程的一般形式是__________．

3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 三、综合提高题

第- 97 -页 共247页

1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=3x-（+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：

设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：

第一步：

x 所以，________第二步：

x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 1 2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；

（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．

答案:

一、1．A 2．B 3．C 二、1．3，-2，-4

2．ax+bx+c=0（a≠0） 3．a≠1 三、1．化为：ax2+（a-3+1）x+1=0，所以，当a≠0时是一元二次方程．

m12 2．可能，因为当2，

2mm0第- 98 -页 共247页

∴当m=1时，该方程是一元二次方程．

3．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3

22．1 一元二次方程

第二课时

教学内容

1．一元二次方程根的概念；

2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标

了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．

提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．

重难点关键

1．重点：判定一个数是否是方程的根；

2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学独立完成下列问题．

问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？

8 设梯子底端距墙为xm，那么，

根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________．

列表：

10

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，•苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为．

根据题意，得________． 整理，得________．

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列表：

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解． （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．

回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．

例2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义． 解：（1）移项得x2=64

根据平方根的意义，得：x=±8 即x1=8，x2=-8

（2）移项、整理，得x2=2 根据平方根的意义，得x=±2 即x1=2，x2=-2 （3）因为x2-3x=x（x-3）

所以x2-3x=0，就是x（x-3）=0 所以x=0或x-3=0 即x1=0，x2=3 三、巩固练习

教材P33 思考题 练习1、2． 四、应用拓展

例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该

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怎样剪？ 设长为

列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题：

（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．

（2）完成下表：

x 10 11 12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？ 分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根． 解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意． x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．

（2）

x 10 11 12 13 14 15 16 17 …… 26 54 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 （3）铁片长x=15cm

五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：

（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处； （2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根； （3）要会用一些方法求一元二次方程的根． 六、布置作业

1．教材P34 复习巩固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9． 2．选用课时作业设计． 作业设计 一、选择题

1．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．

A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）． A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=

11 C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2

aa 3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则 A．1 B．-1 C．0 D．2

二、填空题

ac=（ ）． bb第- 101 -页 共247页

1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，的值为________． 3．方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________． 三、综合提高题

1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．

2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．

x21 3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（）

x22x1x12-2x+1=0，•令=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解xx决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．

答案:

一、1．D 2．B 3．A

二、1．9，-9 2．-13 3．-1，1-2 三、1．由已知，得a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=9． 2．a+c=b，a-b+c=0，把x=-1代入得

ax2+bx+c=a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c=0， ∴-1必是该方程的一根．

3．设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1， 即当x2-1=0，x1=1，x2=-1； 当y2=-1时，x2-1=-1，x2=0， ∴x3=x4=0，

第- 102 -页 共247页

∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根．

22.2.1 直接开平方法

教学内容

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 重难点关键

1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．

2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如）2=n（n≥0）的方程． 教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空

2；2； （1）x2-8x+______=（x-______）（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）（3）x2+px+_____=

（x+______）2．

问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

CQA 老师点评：

www.czsx.com.cn

PB 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ 问题2：设2

p2p） ． 22第- 103 -页 共247页

则PB=x，BQ=2x 依题意，得： x2=8

根据平方根的意义，得x=±22 即x1=22，x2=-22 可以验证，22和-22都是方程1x·2x=8 21x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 2 所以22秒后△PBQ的面积等于8cm2． 二、探索新知

上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论）

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±22 即2t+1=22，2t+1=-22 方程的两根为t1=2-11，t2=-2- 22 例1：解方程：x2+4x+4=1

分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1

所以，方程的两根x1=-1，2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．

第- 104 -页 共247页

所以，每年人均住房面积增长率应为20%．

（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”． 三、巩固练习 教材P36 练习． 四、应用拓展

例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x． 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）当成一个数，配方得：

123）=2.56，即（x+）2=2．56 22333 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6

222 （1+x+

方程的根为x1=10%，x2=-3.1

因为增长率为正数，

所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%． 五、归纳小结 本节课应掌握：

由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±形如（mx+n=±p转化为应用直接开平方法解p，达到降次转化之目的．

六、布置作业

1．教材P45 复习巩固1、2． 2．选用作业设计:

一、选择题

1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．

A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（ ）．

A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根 3．用配方法解方程x2-

2x+1=0正确的解法是（ ）． 3第- 105 -页 共247页

A．（x- B．（x-

128122）=，x=± 3933128）=-，原方程无解 39 C．（x- D．（x-

5225225）=，x1=+，x2= 393332251）=1，x1=，x2=- 333 二、填空题

1．若8x2-16=0，则x的值是_________．

2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果a、b为实数，满足3a4+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______． 三、综合提高题| 1．解关于）2=n．

2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．

（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？ （2）鸡场的面积能达到210m2吗？

3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？

答案:

一、1．B 2．D 3．B

第- 106 -页 共247页

二、1．±2 2．9或-3 3．-8

三、1．当n≥0时，x+m=±n，x1=n-m，x2=-n-m．当n<0时，无解 2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，

依题意，得：x（40-2x）=180

整理，•得：•x2-20x+90=0，x1=10+10，x2=10-10； 同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．

（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，

b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．

3．因要制矩形方框，面积尽可能大，

所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．

22.2.2 配方法

第1课时

教学内容

间接即通过变形运用开平方法降次解方程． 教学目标

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 通过复习可直接化成x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重难点关键

1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤． 2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们解下列方程

（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得

x=±． p或mx+n=±p（p≥0）

如：4x2+16x+16=（2x+4）2

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二、探索新知

列出下面二个问题的方程并回答：

（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？ 问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”． 大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的

1的平方，另一队猴子数是812，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？

问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？

www.czsx.com.cn 老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得： x=（

1x）2+12 8 整理得：x2-64x+768=0

问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500 整理，得：x2-36x+70=0

（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有． （2）不能．

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768

两边加（

642

）使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024 2左边写成平方形式 → （x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16

可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子． 学生活动：

例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．

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2

老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）=254，x-18=±254，x-18=254或x-18=-254，x1≈34，x2≈2．

可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2． 例2．解下列关于x的方程

（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上． 解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6 x-1=6，x-1=-6 x1=7，x2=-5

可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．

11=0 x2-2x= 2231 x2-2x+12=+1 （x-1）2=

22 （2）x2-2x- x-1=±666即x-1=，x-1=- 22266，x2=1- 2266，x2=1-都是方程的根． 22 x1=1+

可以验证：x1=1+ 三、巩固练习

教材P38 讨论改为课堂练习，并说明理由． 教材P39 练习1 2．（1）、（2）． 四、应用拓展

例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．

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APCQB

www.czsx.com.cn 分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式．

解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

根据题意，得：

111（8-x）（6-x）=××8×6 222 整理，得：x2-14x+24=0

（x-7）2=25即x1=12，x2=2

x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 五、归纳小结 本节课应掌握：

左边不含有x的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程． 六、布置作业

1．教材P45 复习巩固2． 2．选用作业设计． 一、选择题

1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）． A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3 2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1

C．x2+8x+42=1 D．x2-4）≠0）的左边是一个关于等于（ ）． A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9 二、填空题

1．方程x2+4x-5=0的解是________．

x2x2 2．代数式的值为0，则x的值为________．

x21 3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．

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三、综合提高题

1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．

2．如果x2-4x+y2+6y+z2+13=0，求（xy）z的值．

3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

答案:

一、1．B 2．B 3．C

二、1．x1=1，x2=-5 2．2 3．z2+2z-8=0，2，-4 三、1．（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，

∴三角形周长为9（∵x2=1，∴不能构成三角形） 2．（x-2）2+（y+3）2+z2=0，

1 362900x3．设每台定价为x，则：（x-2500）（8+×4）=5000，

50∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=x2-5500x+7506250=0，解得x=2750

22.2.2 配方法

第2课时

教学内容

给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程． 教学目标

了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．

重难点关键

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1．重点：讲清配方法的解题步骤．

2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．

教具、学具准备 小黑板 教学过程

一、复习引入

（学生活动）解下列方程：

（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0

老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9 x-4=±3即x1=7，x2=1 （2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22 （x+2）2=3即x+2=±3 x1=3-2，x2=-3-2 二、探索新知

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 例1．解下列方程

（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方． 解：（1）移项，得：x2+6x=-5

配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5 （2）移项，得：2x2+6x=-2

二次项系数化为1，得：x2+3x=-1 配方x2+3x+（

32335）=-1+（）2（x+）2= 2224 由此可得x+

535335=±，即x1=-，x2=-- 222222 （3）去括号，整理得：x2+4x-1=0

移项，得x2+4x=1

第- 112 -页 共247页

配方，得（x+2）2=5

x+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2 三、巩固练习

教材P39 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）． 四、应用拓展

例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=

1111（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方

6226程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．

解：设6x+7=y 则3x+4=

1111y+，x+1=y- 22661111 依题意，得：y2（y+）（y-）=6

2266 去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72， y4-y2=72

12289）=

42117 y2-=±

22 （y2- y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-

2 35 325 所以，原方程的根为x1=-，x2=-

33 当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=- 五、归纳小结

本节课应掌握：

配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤． 六、布置作业

1.教材P45 复习巩固3． 2.作业设计 一、选择题

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4x-2=0应把它先变形为（ ）． 3182 A．（x-）2= B．（x-）2=0

39311018 C．（x-）2= D．（x-）2=

3939 1．配方法解方程2x2- 2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．

A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（

1x-a）2=a 2 3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）． A．1 B．2 C．-1 D．-2 二、填空题

1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．

2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数． 3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________． 三、综合提高题

1．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=23x

2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求

x2y的值．

x2y2

3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销

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售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．

①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．

答案:

一、1．D 2．B 3．B

5 41344三、1．（1）y2-2y-=0，y2-2y=，（y-1）2=，

999二、1．1，-5 2．正 3．x-y=

y-1=±131313，y1=+1，y2=1-

333 （2）x2-23x=-3 （x-3）2=•0，x1=x2=3 2．（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，

∴原式=

268 13133．（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200， x2-30x+200=0，x1=10，x2=20

（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，

则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250

∵-2（x-15）2≤0，

∴x=15时，赢利最多，y=1250元． 答：略

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22.2.3 公式法

教学内容

1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念；

3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键

1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．

2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52

（老师点评） （1）移项，得：6x2-7x=-1

71x=- 6672172 7 配方，得：x2-x+（）=-+（）

121266725 （x-）2=

12144755775x-=± x1=+==1 121212121257751x2=-+==

1212126 二次项系数化为1，得：x2- （2）略

总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

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二、探索新知

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

bb24ac 问题：已知ax+bx+c=0（a≠0）且b-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，2a2

2

bb24acx2= 2a 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax2+bx=-c

bcx=- aab2cbb2

配方，得：x2+x+（）=-+（）

2aaa2a 二次项系数化为1，得x2+

b2b24ac 即（x+）= 22a4a ∵b2-4ac≥0且4a2>0

b24ac ∴≥0 24ab24acb 直接开平方，得：x+=±

2a2abb24ac 即x= 2abb24acbb24ac ∴x1=，x2=

2a2a 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，

bb24ac•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．

2a （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

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（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1

b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0

x=

(4)2442626 2242 ∴x1=2626，x2= 22 （2）将方程化为一般形式

3x2-5x-2=0

a=3，b=-5，c=-2

b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0

x=(5)4957 2361 3 x1=2，x2=-

（3）将方程化为一般形式

3x2-11x+9=0

a=3，b=-11，c=9

b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0

∴x=(11)131113 23611131113，x2= 66 ∴x1=

（3）a=4，b=-3，c=1

b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0

因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习 教材P42 练习1．（1）、（3）、（5）

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四、应用拓展

例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm22+（m-2）是否存在？若存在，求

出m并解此方程．

（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．

（2）要使它为一元一次方程，必须满足:

m211m210m10①或②或③

(m1)(m2)0m20m20 解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2

m2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0

当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1

b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 x=(1)913 2241 21． 2 x1=，x2=-

因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0

因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意．

②当m2+1=0，m不存在．

③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．

当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：=-1时，一元一次方程是-3x-1=0

解得x=-

1 3 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；

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当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-

1． 3 五、归纳小结 本节课应掌握：

（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；

（3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业

1．教材P45 复习巩固4． 2．选用作业设计:

一、选择题

1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．

A．x=3636 B．x=

22323323 D．x= 22C．x= 2．方程2x2+43x+62=0的根是（ ）．

A．x1=2，x2=3 B．x1=6，x2=2 C．x1=22，x2=2 D．x1=x2=-6 3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．

A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2 二、填空题

1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x2-8的值是_____． 三、综合提高题

1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．

2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-

b，x1·x2=ac；（2）•求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值． a 3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，•那么这户居

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民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时

A元收费． 100 （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A表示）

（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 4 80 45 25 10 根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？

答案:

一、1．D 2．D 3．C

bb24ac二、1．x=，b2-4ac≥0 2．4 3．-3

2a2a4a24b24a2三、1．x==a±│b│

22．（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，

bb24acbb24ac ∴x1=，x2=

2a2abb24acbb24acb ∴x1+x2==-，

a2abb24acbb24acc x1·x2=·=

a2a2a （2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0

原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2

=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c） =0

3．（1）超过部分电费=（90-A）· （2）依题意，得：（80-A）·

A129=-A+A

10010010A=15，A1=30（舍去），A2=50 100第- 121 -页 共247页

22.3 实际问题与一元二次方程(1)

教学内容

由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．

教学目标

掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．

通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题． 重难点关键

1．重点：用“倍数关系”建立数学模型

2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程

一、复习引入

（学生活动）问题1：列方程解应用题

下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：

星期 一 甲 乙 12元 二 三 四 五 13.75元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，•星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？

老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式． 解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．

x1000(股)0.5x(0.2)y200 则 解得

y1500(股)0.4x0.6y1300 答：（略）

二、探索新知

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上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．

（学生活动）问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？ 老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．

2•=3.31 解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）

去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31 整理，得：x2+3x-0.31=0 解得：x=10% 答：（略）

以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．

例1．某电脑公司的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系． 解：设平均增长率为x

则200+200（1+x）+200（1+x）2=950 整理，得：x2+3x-1.75=0 解得：x=50%

答：所求的增长率为50%． 三、巩固练习

（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?

（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________． 四、应用拓展

例2．某人将元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存元取1000元，剩下的本金和利息是1000+x·80%；第二次存，本金就变为1000+x·80%，其它依此类推．

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解：设这种存款方式的年利率为x

则：1000+x·80%+（1000+x·8%）x·80%=1320 整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去），x2=

1=0.125=12.5% 8 答：所求的年利率是12．5%． 五、归纳小结 本节课应掌握：

利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它． 六、布置作业

1．教材P53 复习巩固1 综合运用1． 2．选用作业设计． 作业设计 一、选择题 1．一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）． A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250 C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2

2．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）． A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元 C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元

3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）． A．

p100p100p B．p C． D．

100p1000p100p二、填空题

1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．

2．某糖厂食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计的产量将是________．

3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，••年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________． 三、综合提高题

1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，我省某地退耕还林1600亩，计划到一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，•从二月份起，甲型

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每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，•求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．

3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=

年利润×100%）

年初投入资金 （2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．

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答案:

一、1．B 2．B 3．D

二、1．6（1+x） 6（1+x）2 6+6（1+x）+6（1+x）2

2．a（1+x）2t

3．

100a 39三、1．平均增长率为x，则1600（1+x）2=1936，x=10% 2．设乙型增长率为x，甲型一月份产量为y：

3y10 则16(1x)2

(y20)16(1x)265 即16x2+56x-15=0，解得x=

y24x14 216xy32x2901=25%，y=20（台） 43．（1）第一年年终总资金=50（1+P） （2）50（1+P）（1+P+10%）=66，整理得：P2+2.1P-0.22=0，解得P=10%

22.3 实际问题与一元二次方程(2)

教学内容

建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况． 教学目标

掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法． 重难点关键

1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．

2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况． 教具、学具准备 小黑板

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教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下面的题目． 问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，•则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+ 解：设每张贺年卡应降价x元 则（0.3-x）（500+

x×100） 0.1100x）=120 0.1 解得：x=0.1

答：每张贺年卡应降价0.1元． 二、探索新知

刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．

例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．

分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；

0.30.75100，0.10.2534从这些数目看，•好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题． 解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．

（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元， 则：（0.75-y）（200+ 即（

y×34）=120 0.253-y）（200+136y）=120 4 整理：得68y2+49y-15=0

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y=496481

268 ∴y≈-0.98（不符题意，应舍去） y≈0.23元

答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．

因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．

（学生活动）例2．两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t•乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t•乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 老师点评：

绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，•乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大． 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题． 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，

则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元． 依题意，得5000（1-x）2=3000

解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去） 设乙种药品成本的平均下降率为y． 则：6000（1-y）2=3600 整理，得：（1-y）2=0.6 解得：y≈0.225

答：两种药品成本的年平均下降率一样大．

因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等． 三、巩固练习

新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为元，市场调研表明：当销售价为2500元时，•平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，•商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 四、应用拓展

例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

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（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少? 分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）] （3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过

10000=250kg，在这个提前40下，•求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少． 解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000 （3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000 解得：x1=80，x2=60

当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意． 当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）． 五、归纳小结 本节课应掌握：

建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

六、布置作业

1．教材P53 复习巩固2 综合运用7、9． 2．选用作业设计： 一、选择题

1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）． A．12人 B．18人 C．9人 D．10人

2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（ ）．

A．12% B．15% C．30% D．50%

3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（ ）．

A．600 B．604 C．595 D．605 二、填空题

1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．

2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．

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3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，•则列出的方程是________． 三、综合提高题

1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为

200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产

量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每

个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、•周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．

（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a、b的代数式表示） （2）若一名检验员1天能检验

答案：

一、1．C 2．B 3．D 二、1．2 2．1 3．（1-

4b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员? 5x228）= 6363三、1．甲：设上升率为x，则100（1+x）2=121，x=10%

乙：设上升率为y，则200（1+y）2=288，y=20%， 那么乙商场年均利润的上升率大． 2．设多种x棵树，则（100+x）（1000-2x）=100×1000×（1+15.2%）•，•

整理，•得：•x2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0， 解得x1=20，x2=380 3．（1）

2a22b2a25b=a+2b或 232a10b，解得：a=4b 3 （2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同． 所以a+2b=

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所以（a+2b）÷

4430b=6b÷b==7.5（人） 554 所以至少要派8名检验员．

22.3 实际问题与一元二次方程(3)

教学内容

根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标

掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．

利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重难点关键

1．•重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．

2．•难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教具、学具准备 小黑板 教学过程

一、复习引入

（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？

5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知

现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题． 例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？

分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，•渠底为

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x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模． 解：（1）设渠深为xm 则渠底为（ 依题意，得：

1（x+2+x+0.4）x=1.6 2 整理，得：5x2+6x-8=0

4=0.8m，，渠底为1.2m． 51.6750 （2）=25天

48 解得：x1=

答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．

学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？

九 年级 练数 学 习同步

老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9，依题意，得：中央矩形的长为（27-18．

因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 所以（27-18x）（21-14x）= 整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x=1，则中央矩形的面积是封面面积的． 43×27×21 4633， 4 ，x2≈0.2

所以：9（舍去），9，7

因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm． 三、巩固练习

有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）

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四、应用拓展 例3．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A•开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C•后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q•作DQ⊥CB，垂足为D，则：

DQCQ） ABACCCQQDPAA(a)B(b)

www.czsx.com.cnwww.czsx.com.cn 分析：（1）设经过2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方

程的数学模型．

（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模． 解：（1）设2． 则：

PB1（6-x）·2处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求． 2DQCQ ABAC （2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有 ∵AB=6，BC=8

∴由勾股定理，得：AC=68=10 226(2y8)6(y4) 1056(y4)1 则：（14-y）·=12.6

52 ∴DQ=

整理，得：y2-18y+77=0

解得：y1=7，y2=11

即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm

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处（CQ=•2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．

经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10， ∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在． ∴本小题只有一解y1=7． 五、归纳小结 本节课应掌握：

利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P53 综合运用5、6 拓广探索全部． 2．选用作业设计: 一、选择题

1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）． A．37 B．5 C．38 D．7

2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）． A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m; B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m; C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m; D．以上都不对

3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．

A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2 二、填空题

1．矩形的周长为82，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．

2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．

3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．

三、综合提高题

1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：

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1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：•背水坡度

CF1DE1）=，迎水坡度（精确到0.1m）

BF2AE1DCA

2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?

3．谁能量出道路的宽度:

如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，•只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?

请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．

EFB

www.czsx.com.cnDHGCE

答案:

FB Awww.czsx.com.cn第- 135 -页 共247页

一、1．B 2．B 3．D 二、1．22+7 22-7

2．32cm

3．20m和7.5m或15m和10m 三、

1．设坝的高是x，则AE=x，BF=2x，AB=3+3x，

依题意，得：

1（3+3+3x）x×30=4500 2 整理，得：x2+2x-100=0 解得x≈

220.10即） 22．设宽为x，则12×8-8=2×8x+2（12-2x）x 整理，得：x2-10x+22=0

解得：x1=5+3（舍去），x2=5-3 3．设道路的宽为x，AB=a，AD=b 则（a-2x）（b-2x）= 解得：x=

1ab 2122 [（a+b）-ab] 422 量法为：用绳子量出AB+AD（即a+b）之长，从中减去BD之长（对角线BD=ab），

aba2b2ABADBD得L=•AB+AD-BD，再将L对折两次即得到道路的宽，即．

44

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22.3 实际问题与一元二次方程(4)

教学内容

运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题． 教学目标

掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题． 通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题． 重难点关键

1．重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题． 2．难点与关键：建模． 教具、学具准备 小黑板 教学过程

一、复习引入

（老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？ 二、探究新知

我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度×时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题． 请思考下面的二道例题．

例1．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）•之间的关系为：•s=10t+3t2，那么行驶200m需要多长时间?

分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200•代入求关系t的一元二次方程即可．

解：当s=200时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0 解得t=

20（s） 320s． 3 答：行驶200m需

例2．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，•紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．

（1）从刹车到停车用了多少时间?

（2）•从刹车到停车平均每秒车速减少多少?

（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）? 分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．•因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为

200=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间． 2第- 137 -页 共247页

（2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．

（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．•由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出；从刹车到停车的平均车速是 那么从刹车到停车所用的时间是

200=10（m/s） 225=2.5（s） 10 （2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是

20=8（m/s） 2.5 （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了/s 则这段路程内的平均车速为 所以x（20-4x）=15 整理得：4x2-20x+15=0 解方程：得x=20(208x)=（20-4x）m/s

2510 2 x1≈4.08（不合，舍去），时约用0.9s． 三、巩固练习

（1）同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多少时间．（精确到0.1s） （2）刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时间．（精确到0.1s） 四、应用拓展

例3．如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，•在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：•小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛D和小岛F相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，•那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）

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ADBEFC www.czsx.com.cn 分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长． （2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求． 解：（1）连结DF，则DF⊥BC ∵AB⊥BC，AB=BC=200海里． ∴AC=2AB=2002海里，∠C=45° ∴CD=

1AC=1002海里 2 DF=CF，2DF=CD ∴DF=CF=22CD=×1002=100（海里）

22 所以，小岛D和小岛F相距100海里．

（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里， EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2=1002+（300-2x）2

整理，得3x2-1200x+100000=0 解这个方程，得：x1=200-1006≈118.4 3 x2=200+1006（不合题意，舍去） 3 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里． 五、归纳小结 本节课应掌握：

运用路程＝速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题．

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六、布置作业

1．教材P53 综合运用9 P58 复习题22 综合运用9． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，•则这个两位数为（ ）． A．25 B．36 C．25或36 D．-25或-36

2．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ ）．

A．正好8km B．最多8km C．至少8km D．正好7km 二、填空题

1．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）•与标

v2枪出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s=+2

9.8 如果抛出40m，那么标枪出手时的速度是________（精确到0.1） 2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，•通过仪器观察得到小球滚动的距离（sm）与时间t（s）的数据如下：

时间t（s） 1 2 3 4 …… 距离s（m） 2 8 18 32 …… 写出用t表示s的关系式为_______． 三、综合提高题

1．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．

（1）小球滚动了多少时间?

（2）平均每秒小球的运动速度减少多少?

（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）?

2．某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30•节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至A处时，

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电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里，•如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，•最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由．

北A东Bwww.czsx.com.cn

答案:

一、1．C 2．B

二、1．19.3m/s 2．s=2t2 三、

1．（1）小球滚动的平均速度=（2）

20100=5（m/s） 小球滚动的时间：=4（s）

52100=2.5（m/s） 4（3）小球滚动到5m时约用了xs 平均速度= 依题意，得：x·

10(102.5x)202.5x=

22202.5x=5，整理得：x2-8x+4=0 2 解得：x=4±23，所以x=4-23 2．能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰，则（90-30x）2+（20x）2=502 整理，得：13x2-54x+56=0，即（13x-28）（x-2）=0，x1=2∴最早再过2小时能侦察到．

2，x2=2， 13

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第二十四章 圆

单元要点分析 教学内容

1．本单元数学的主要内容．

（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．

（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．

（3）正多边形和圆．

（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积． 2．本单元在教材中的地位与作用．

学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程． 教学目标

1．知识与技能

（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．

（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．

（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算． 2．过程与方法

（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．

（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．

（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．

（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力． （5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．

3．情感、态度与价值观

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经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望． 教学重点

1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．

4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

6．直线L和⊙O相交dr及其运用．

7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．

8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．

9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．

10．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离d>r1+r2；外切d=r1+r2；相交│r2-r1│11．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．

nR2nR 12．n°的圆心角所对的弧长为L=，n°的圆心角的扇形面积是S扇形=及

180360其运用这两个公式进行计算．

13．圆锥的侧面积和全面积的计算． 教学难点

1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．

2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．

3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用． 4．点与圆的位置关系的应用． 5．三点确定一个圆的探索及应用．

6．直线和圆的位置关系的判定及其应用． 7．切线的判定定理与性质定理的运用． 8．切线长定理的探索与运用．

9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．

10．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ的关系的应用．

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nR2nR 11．n的圆心角所对的弧长L=及S扇形＝的公式的应用．

180360 12．圆锥侧面展开图的理解．

教学关键

1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、•性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．

2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．

3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生有条理的思考能力及语言表达能力． 单元课时划分

本单元教学时间约需13课时，具体分配如下： 24．1 圆 3课时 24．2 与圆有关的位置关系 4课时 24．3 正多边形和圆 1课时 24．4 弧长和扇形面积 2课时 教学活动、习题课、小结 3课时

24．1 圆

第一课时

教学内容

1．圆的有关概念．

2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用． 教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键

1．重点：垂径定理及其运用．

2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

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教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个．

2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结．

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形． 同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧．

BOAC

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （学生活动）请同学们回答下面两个问题．

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？

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2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．

（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． 因此，我们可以得到： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． （学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

CAMOBD

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．

（2）AM=BM，ACBC，ADBD，即直径CD平分弦AB，并且平分AB及ADB． 这样，我们就得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M 求证：AM=BM，ACBC，ADBD.

分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、•OB或AC、BC即可．

证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中

COAOB OMOM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM

∴点A和点B关于CD对称 ∵⊙O关于直径CD对称

AMOB第- 146 -页 共247页

∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合，AD与BD重合． ∴ACBC，ADBD

进一步，我们还可以得到结论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （本题的证明作为课后练习）

例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点O是CD的圆心，•其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径． 分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC

设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m

C ∵OE⊥CD

11 ∴CF=CD=×600=300（m）

22EF 根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 DO 即R2=3002+（R-90）2 解得R=545

∴这段弯路的半径为545m． 三、巩固练习

教材P86 练习 P88 练习． 四、应用拓展

例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否需要采取紧急措施，•只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R． 解：不需要采取紧急措施

D 设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18

NEM R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324

解得R=34（m）

CAB 连接OM，设DE=E=16

O 342=162+（34-x）2

162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合设） ∴DE=4

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∴不需采取紧急措施．

五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆的有关概念；

2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 3．垂径定理及其推论以及它们的应用． 六、布置作业

1．教材P94 复习巩固1、2、3． 2．车轮为什么是圆的呢？ 3．垂径定理推论的证明． 4．选用课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题．

1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（ ）．

A．CE=DE B．BCBD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD

ACOCBEDAOOMBAPDB (1) (2) (3) 2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）

A．4 B．6 C．7 D．8

3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的

是（ ）

A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．ADBD D．PO=PD 二、填空题

1．如图4，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．

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EAODCE

BOFD

BAC (4) (5)

2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．

3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论） 三、综合提高题

1．如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．

ONACMBD

2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

DBEAC

3．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC的度数．

O第- 149 -页 共247页

答案:

一、1．D 2．D 3．D

二、1．8 2．8 10 3．AB=CD

三、1．AN=BM 理由：过点O作OE⊥CD于点E，则CE=DE，且CN∥OE∥DM． ∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，

D∴AN=BM．

2．过O作OF⊥CD于F，如右图所示 BF∵AE=2，EB=6，∴OE=2，

EO∴EF=3，OF=1，连结OD，

AC在Rt△ODF中，42=12+DF2，DF=15，∴CD=215．

3．（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示: ∵AB=16，AC=8，AD=83， ∴

111AC=（AB），∴∠CAB=60°， 222 同理可得∠DAB=30°，

∴∠DAC=30°．

（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．

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24.1 圆(第2课时)

教学内容

1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标

了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．

通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键

1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．

2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下题．

已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．

ABO

老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′=30°． 二、探索新知

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

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BAO

（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

BAOA'B'

AB=A'B'，AB=A′B′

理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′ ∴半径OB与OB′重合

∵点A与点A′重合，点B与点B′重合 ∴AB与A'B'重合，弦AB与弦A′B′重合 ∴AB=A'B'，AB=A′B′

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作．

（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，•分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．

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BAOOO'O(O')B'A'O'B'BO(O')AA'

(1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：AB=A'B'，AB=A/B/．

现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等． （学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评．

例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF． （1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？

（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？•为什么？∠AOB与∠COD呢？

AEOBCFD

分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．

（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中， 又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt•△COF，

∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到AB=CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF

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理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD

∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=

11AB，CF=CD 22 ∴AE=CF

又∵OA=OC

∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF

（2）如果OE=OF，那么AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD 理由是：

∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF

又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=

11AB，CF=CD 22 ∴AB=2AE，CD=2CF

∴AB=CD

∴AB=CD，∠AOB=∠COD

三、巩固练习

教材P89 练习1 教材P90 练习2． 四、应用拓展

例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

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AFMPECAEBBODN

NDMPFC

(3) (4) 分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，•只要说明它们的一半相等．

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF

连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD

五、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆心角概念．

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 六、布置作业

1．教材P94-95 复习巩固4、5、6、7、8．

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2．选用课时作业设计．

第二课时作业设计

一、选择题．

1．如果两个圆心角相等，那么（ ）

A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对

2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（ ） A．AB=2CD B．AB>CD C．AB<2CD D．不能确定 3．如图5，⊙O中，如果AB=2AC，那么（ ）．

A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC

CACOB

EAD

OB (5) (6) 二、填空题

1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．

3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________． 三、解答题

1．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、

N•在⊙O上． （1）求证：AM=BN；

（2）若C、D分别为OA、OB中点，则AMMNNB成立吗？

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2．如图，以

ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，

若∠D=50°，求BE的度数和EF的度数．

3．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求

证：AE=BF=CD．

答案:

一、1．D 2．A 3．C 二、1．圆的旋转不变形 2．

15或 3．3 33 三、1．（1）连结OM、ON，在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON，OA=OB，

∵AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN，

∴∠AOM=∠BON，∴AMNB

2．BE的度数为80°，EF的度数为50°．

3．连结AC、BD，∵C、D是AB三等分点， ∴AC=CD=DB，且∠AOC=

1×90°=30°， 3∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，

又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°， ∴AE=AC，

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同理可证BF=BD，∴AE=BF=CD

24.1 圆(第3课时)

教学内容

1．圆周角的概念．

2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．

教学目标

1．了解圆周角的概念．

2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．

4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重难点、关键

1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？

2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知

问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，•设球员们只能在EF所

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在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．

1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．

2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”

（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示 ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO AC ∵OA=OB

∴∠ABO=∠BAO

O ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=

1∠AOC 2B（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=

1∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的2ADOB说明过程． 老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．

C（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、

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AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=

1∠AOC吗？请同学们独立完成证明． 2 老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=

111∠AOD-∠COD=∠AOC 222 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，

因此，同弧上的圆周角是相等的． 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．

例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D

是BC的中点，•只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可． 解：BD=CD

理由是：如图24-30，连接AD ∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD

三、巩固练习

1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展

例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O

abc===2R． sinAsinBsinCabcabc 分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，

sinAsinBsinCsinAsinBsinC半径为R，求证：

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即sinA=

abc，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行． 2R2R2R 证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB

∵CD是直径

∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D

BCa，即2R= DCsinAbc 同理可证：=2R，=2R

sinBsinCabc ∴===2R

sinAsinBsinC 在Rt△DBC中，sinD=

五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；

2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；

3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业

1．教材P95 综合运用9、10、11 拓广探索12、13．

2．选用课时作业设计．

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第三课时作业设计

一、选择题

1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．

A．140° B．110° C．120° D．130°

A4213BCDO

(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2

C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2

3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于

（ ）．

A．3 B．3+3 C．5- 二、填空题

1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为23a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．

2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•

123 D．5

EA1OCB2D

(4) (5) 3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．

三、综合提高题

1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．

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OA

2．如图，已知AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC是等边三角形．

（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．

B

APOBC

3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，

4），M是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB为⊙C直径．

（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

yACB答案:

一、1．D 2．B 3．D

二、1．120°或60° 2．90° 3．MOx

3 3三、1．3 2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，

又ABAC，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形． （2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，

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在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°， 设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC= 3．（1）略 （2）4，（-23，2）

点和圆的位置关系

教学目标 (一)教学知识点

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．

(二)能力训练要求

1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．

(三)情感与价值观要求

1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．

433 第- 164 -页 共247页

2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点

1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．

教学方法

教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 投影片三张

第一张：(记作§3．4A) 第二张：(记作§3．4B) 第三张：(记作§3．4C) 教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．

Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§3．4A)

1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？

[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

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作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于

1AB长为半径画弧，在AB的两侧找出2两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．

[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？

[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．

2．做一做(投影片§3．4B)

(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？

(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？

[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．

[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．

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(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．

(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆． [师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)

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作法 图示 1．连结AB、BC 2．分别作AB、BC的垂直 平分线DE和FG，DE和 FG相交于点O 3．以O为圆心，OA为半径作圆 ⊙O就是所要求作的圆 他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求．

因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结

BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．

[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习

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已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？

解：如下图．

O为外接圆的圆心，即外心．

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．

Ⅳ．课时小结 本节课所学内容如下：

1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 方法．

3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题3．6 Ⅵ．活动与探究

如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？

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解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．

板书设计

§3．4 确定圆的条件

一、1．回忆及思考(投影片§3．4A)

2．做一做(投影片§3．4B)

3．过不在同一条直线上的三点作圆． 4．有关定义 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业

直线和圆的位置关系

教学目标 (一)教学知识点

1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系． 2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系． (二)能力训练要求

1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力．

2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．

(三)情感与价值观要求

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通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点

经历探索直线与圆位置关系的过程． 理解直线与圆的三种位置关系． 了解切线的概念以及切线的性质． 教学难点

经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系． 探索圆的切线的性质． 教学方法

教师指导学生探索法． 教具准备 投影片三张

第一张：(记作§3．5．1A) 第二张：(记作§3．5．1B) 第三张：(记作§3．5．1C) 教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？ [生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内．

[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．

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Ⅱ．新课讲解

1．复习点到直线的距离的定义

[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．

如下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离．

2．探索直线与圆的三种位置关系

[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？

[生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系．

[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？ [生]有三种位置关系：

[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：

它们分别是相交、相切、相离．

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当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent

line)．

当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交． 当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？ [生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切； 当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交； 当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．

[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？

[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d＜r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系．

[师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定．

投影片(§3．5．1A) (1)从公共点的个数来判断：

直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．

(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：

d＜r时，直线与圆相交； d＝r时，直线与圆相切； d＞r时，直线与圆相离．

投影片(§3．5．1B)

[例1]已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．

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(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？

(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？

分析：根据d与r间的数量关系可知：

d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离．

解：(1)如上图，过点C作AB的垂线段CD． ∵AC＝4cm，AB＝8cm； ∴cosA＝

AC1， AB2∴∠A＝60°．

∴CD＝ACsinA＝4sin60°＝23(cm)． 因此，当半径长为23cm时，AB与⊙C相切．

(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝23cm，所以，当r＝2cm时，d＞r，⊙C与

AB相离；

当r＝4cm时，d＜r，⊙C与AB相交． 3．议一议(投影片§3．5．1C)

(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？

(2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？ (3)如图(2)，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说一说你的理由．

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对于(3)，小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD．你同意他们的观点吗？ [师]请大家发表自己的想法．

[生](1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交； 自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切； 杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离． (2)图(1)中的三个图形是轴对称图形．因为沿着d所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合．对称轴是d所在的直线，即过圆心O且与直线l垂直的直线．

(3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线CD与⊙

O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，因为图(2)是轴对称图形，AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此∠BAC＝∠BAD＝90°．

[师]因为直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，直线CD是⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径．

这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论．

在图(2)中，AB与CD要么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此

CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直．

这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立．

Ⅲ．课堂练习 随堂练习

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Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容： 1．直线与圆的三种位置关系． (1)从公共点数来判断．

(2)从d与r间的数量关系来判断．

2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 3．例题讲解． Ⅴ．课后作业 习题3．7 Ⅵ．活动与探究

如下图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．

(1)A城是否会受到这次台风的影响？为什么？

(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？ 分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A城能否受到影响，即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小．若d＞200，则无影响，若d≤200，则有影响．

解：(1)过A作AC⊥BF于C．

在Rt△ABC中，∵∠CBA＝30°，BA＝300，

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∴AC＝ABsin30°＝300×

1＝150(千米)． 2∵AC＜200，∴A城受到这次台风的影响．

(2)设BF上D、E两点到A的距离为200千米，则台风中心在线段DE上时，对A城均有影响，而在DE以外时，对A城没有影响．

∵AC＝150，AD＝AE＝200， ∴DC＝200150507． ∴DE＝2DC＝1007．

22∴t＝

s1007＝10(小时)． v107答：A城受影响的时间为10小时． 板书设计

§3．5．1 直线和圆的位置关系(一)

一、1．复习点到直线的距离的定义

2．探索直线与圆的三种位置关系 (1)从公共点个数来判断

(2)从点到直线的距离d与半径r间的数量关系来判断． 3．议一议 二、课堂练习

随堂练习 三、课时小结 四、课后作业

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直线和圆的位置关系(2)

教学目标 (一)教学知识点

1．能判定一条直线是否为圆的切线． 2．会过圆上一点画圆的切线． 3．会作三角形的内切圆． (二)能力训练要求

1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力． 2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力． (三)情感与价值观要求

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．

教学重点

探索圆的切线的判定方法，并能运用． 作三角形内切圆的方法． 教学难点

探索圆的切线的判定方法． 教学方法 师生共同探索法． 教具准备

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投影片三张

第一张：(记作§3．5．2A) 第二张：(记作§3．5．2B) 第三张：(记作§3．5．2C) 教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．

由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件．

Ⅱ．新课讲解

1．探索切线的判定条件 投影片(§3．5．2A)

如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时，

(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？

(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？

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[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．

[生](1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线

l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为

直角，点O到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2＜r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离．

[师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了．

[生](2)当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．

[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流．

[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点．

[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．

2．做一做

已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．

分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．

[生]如下图．

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(1)连接OA．

(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线． 3．如何作三角形的内切圆． 投影片(§3．5．2B)

如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．

分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．

解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图)． (2)过I作ID⊥BC，垂足为D． (3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I． ⊙I就是所求的圆．

[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？

[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．

[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定

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的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)．

4．例题讲解 投影片(§3．5C)

如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．

求证：AT是⊙O的切线．

分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝

AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°．

由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB． 请大家自己写步骤．

[生]证明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°． ∴∠ATB＝∠ABT＝45°．

∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°． ∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结

本节课学习了以下内容： 1．探索切线的判定条件． 2．会经过圆上一点作圆的切线．

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3．会作三角形的内切圆．

4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念． Ⅴ．课后作业 习题3．8 Ⅵ．活动与探究

已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．

求证：DC是⊙O的切线．

分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．

证明：连结OD． ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，

∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4． ∵OD＝OB，OC＝OC， ∴△ODC≌△OBC． ∴∠ODC＝∠OBC． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°． ∴∠ODC＝90°．

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∴DC是⊙O的切线． 板书设计

§3．5．2 直线和圆的位置关系(二)

一、1．探索切线的判定条件

2．做一做

3．如何作三角形的内切圆 4．例题讲解 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业

圆和圆的位置关系

教学目标 (一)教学知识点

1．了解圆与圆之间的几种位置关系．

2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系． (二)能力训练要求

1．经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．

2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．

(三)情感与价值观要求

1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维． 教学重点

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探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．

教学难点

探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．

教学方法

教师讲解与学生合作交流探索法 教具准备 投影片三张

第一张：(记作§3．6A) 第二张：(记作§3．6B) 第三张：(记作§3．6C) 教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢？没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨．

Ⅱ．新课讲解 一、想一想

[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？

[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．

[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么．

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二、探索圆和圆的位置关系

在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？

[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流． [生]我总结出共有五种位置关系，如下图：

[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．

[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部； (2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部； (3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；

(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部； (5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．

[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗？

[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；相交有两个公共点． [师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种． 经过大家的讨论我们可知：

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投影片(§3．6A)

(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．

外离(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离，相

内含切外切

内切．三、例题讲解 投影片(§3．6B)

两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点O，O＇是圆心)，分隔两个肥

皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O＇P，即∠OPT＝∠O＇PN＝90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT＋∠O＇PN＋∠OPO＇即可．

解：∵OP＝OO＇＝PO＇， ∴△PO＇O是一个等边三角形． ∴∠OPO＇＝60°．

又∵TP与NP分别为两圆的切线， ∴∠TPO＝∠NPO＇＝90°．

∴∠TPN＝360°－2×90°－60°＝120°．

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四、想一想

如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？切点与对称轴有什么位置关系？如果⊙O1与⊙O2内切呢？〔如图(2)〕

[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢？这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立．

证明：假设切点T不在O1O2上．

因为圆是轴对称图形，所以T关于O1O2的对称点T＇也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假设不成立．

则T在O1O2上．

由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上．

在图(2)中应有同样的结论．

通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．

五、议一议 投影片(§3．6C)

设两圆的半径分别为R和r．

(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系？反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？

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(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系？反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？

[师]如图，请大家互相交流．

[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即d＝R＋r；反之，当d＝R＋r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、

O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．

在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B．因为切点B在连心线O1O2上，所以O1O2＝

O1B－O2B，即d＝R－r；反之，当d＝R－r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2＝O1B－O2B，

说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．

[师]由此可知，当两圆相外切时，有d＝R＋r，反过来，当d＝R＋r时，两圆相外切，即两圆相外切d＝R＋r．

当两圆相内切时，有d＝R－r，反过来，当d＝R－r时，两圆相内切，即两圆相内切

d＝R－r．

Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容： 1．探索圆和圆的五种位置关系；

2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；

3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系．

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Ⅴ．课后作业 习题3．9 Ⅵ．活动与探究

已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径．

分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3的半径为r，则O1O3＝

O2O3＝R＋r，连接OO3就有OO3⊥O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得

⊙O3的半径r．

解：连接O2O3、OO3，

∴∠O2OO3＝90°，OO3＝2R－r，

O2O3＝R＋r，OO2＝R．

∴(R＋r)＝(2R－r)＋R． ∴r＝

2

2

2

2R． 3板书设计

§3．6 圆和圆的位置关系

一、1．想一想 2．探索圆和圆的位置关系

3．例题讲解 4．想一想 5．议一议 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业

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弧长及扇形的面积

教学目标 (一)教学知识点

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力． (三)情感与价值观要求

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．

教学重点

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题． 教学难点

1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学方法

学生互相交流探索法 教具准备 2．投影片四张 第一张：(记作§3．7A)

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第二张：(记作§3．7B) 第三张：(记作§3．7C) 第四张：(记作§3．7D) 教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．

Ⅱ．新课讲解 一、复习

1．圆的周长如何计算？ 2．圆的面积如何计算？ 3．圆的圆心角是多少度？

[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr，圆的圆心角是360°． 二、探索弧长的计算公式 投影片(§3．7A)

如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．

2

(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

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[师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的转n°，传送带上的物品A被传送转1°时传送距离的n倍．

[生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm；

1；转动轮36020cm； 3601820n(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×＝cm． 360180(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送

[师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家互相交流．

[生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心角对应

2RR，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n360180RnR×． 180180的弧长为

[师]表述得非常棒．

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：

l＝

nR． 180下面我们看弧长公式的运用． 三、例题讲解 投影片(§3．7B)

制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即AB的长(结果精确到0.1mm)．

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分析：要求管道的展直长度，即求AB的长，根根弧长公式l＝长，其中n为圆心角，R为半径．

解：R＝40mm，n＝110． ∴AB的长＝

nR可求得AB的180n110πR＝×40π≈76.8mm． 180180因此，管道的展直长度约为76.8mm． 四、想一想 投影片(§3．7C)

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．

(1)这只狗的最大活动区域有多大？

(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？ [师]请大家互相交流．

[生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；

(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的

11，即×9π＝，n°的圆心角对应的圆面积为36036040n×

n＝． 4040[师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式．

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R2[生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°

3602

R2nR2n的圆心角对应的扇形面积为n·．因此扇形面积的计算公式为S扇形＝π360360360R2，其中R为扇形的半径，n为圆心角．

五、弧长与扇形面积的关系

[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝

nnπR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个180360公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．

nnπR，S扇形＝πR2， 180360n1n1∴πR2＝R·πR．∴S扇形＝lR． 36021802[生]∵l＝

六、扇形面积的应用 投影片(§3．7D)

扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm)

分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．

解：AB的长＝

2

120π×12≈25.1cm． 180S扇形＝

120π×122≈150.7cm2． 3602

因此，AB的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm． Ⅲ．课堂练习 随堂练习

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Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

nπR，并运用公式进行计算； 180n2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算；

3601．探索弧长的计算公式l＝

3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方． Ⅴ．课后作业 习题3．10 Ⅵ．活动与探究

如图，两个同心圆被两条半径截得的AB的长为6π cm，CD的长为10π cm，又

AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．

分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝

1lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只2要能求出OA即可．

解：设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有：

n6R18010n(R12)180①3R得． ②5R12∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18．

①

②第- 196 -页 共247页

∴OC＝18＋12＝30． ∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝

112

×10π×30－×6π×18＝96π cm． 222

所以阴影部分的面积为96π cm． 板书设计

§3．7 弧长及扇形的面积

一、1．复习圆的周长和面积计算公式；

2．探索弧长的计算公式； 3．例题讲解； 4．想一想；

5．弧长及扇形面积的关系； 6．扇形面积的应用． 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业

圆锥的侧面积

教学目标

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(一)教学知识点

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．

2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力． (三)情感与价值观要求

1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．

2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．

教学重点

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． 教学难点

经历探索圆锥侧面积计算公式． 教学方法

观察——想象——实践——总结法 教具准备

一个圆锥模型(纸做) 投影片两张

第一张：(记作§3．8A) 第二张：(记作§3．8B) 教学过程

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Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？ [主]见过，如漏斗、蒙古包．

[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流． [生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．

[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．

Ⅲ．新课讲解

一、探索圆锥的侧面展开图的形状

[师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状．

[生]圆锥的侧面展开图是扇形． [师]能说说理由吗？

[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形．

[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗？

[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．

[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？

[生]是扇形．

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[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象．

二、探索圆锥的侧面积公式

[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝面积为S侧＝πrl．

1·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧2

圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S＋πrl．

三、利用圆锥的侧面积公式进行计算． 投影片(§3．8A)

圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)

分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧＝πrl中即可．

2

全

＝πr2

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解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则r＝

58 2l＝(582)202≈22.03cm， 212

×58×22.03＝638.87cm． 22

2

S圆锥侧＝πrl≈

638.87×20＝12777.4cm． 所以，至少需要12777.4cm的纸． 投影片(§3．8B)

如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．

分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据S侧＝

nπR2或S侧＝πrl可知，用第二个公式比较好求，360但是得求出底面圆的半径，因为AB垂直于底面圆，在Rt△ABC中，由OC、AB＝BC、AC可求出r，问题就解决了．

解：在Rt△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm， ∴BC＝12cm．

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∵OC·AB＝BC·AC， ∴r＝OC＝

．

∴S表＝πr(BC＋AC)＝π×＝

60×(12＋5) 131020π cm2． 13Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算． Ⅴ．课后作业 习题3．11 Ⅵ．活动与探究 探索圆柱的侧面展开图

在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆形柱子等，在小学我们已知圆柱是由两个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离是圆柱的高．

圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都相等，并等于圆柱的高，圆柱的两个底面是平行的．

如图，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，侧面的展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高．

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[例1]如图(1)，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已知AD＝18cm，AB＝30cm，求这个圆柱形木块的表面积(精确到1cm)．

2

解：如图(2)，AD是圆柱底面的直径，AB是圆柱的母线，设圆柱的表面积为S，则S＝2S圆＋S侧．

∴S＝2π(

182182

)＋2π××30＝162π＋540π≈2204cm． 222

所以这个圆柱形木块的表面积约为2204cm． 板书设计

§3．8 圆锥的侧面积

一、1．探索圆锥的侧面展开图的形状；

2．探索圆锥的侧面积公式； 3．利用圆锥的侧面积公式进行计算． 二、课堂练习 三、课时小结

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四、课后作业

回顾与思考

教学目标 (一)教学知识点

1．掌握本章的知识结构图． 2．探索圆及其相关结论． 3．掌握并理解垂径定理．

4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 5．掌握圆心角和圆周角的关系定理． (二)能力训练要求

1．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．

2．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操作能力．

3．用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系，发展学生的推理能力． 4．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力． (三)情感与价值观要求

通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．

教学重点

掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．

教学难点

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上面这些内容的推导及应用． 教学方法

教师引导学生自己归纳总结法． 教具准备 投影片三张： 第一张：(记作A) 第二张：(记作D 第三张：(记作C) 教学过程

Ⅰ．回顾本章内容

[师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？

[生]首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又研究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积．

[师]很好，大家对所学知识掌握得不错．本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由圆引出了圆的概念、对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在对称性方面又学习了垂径定理，圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的位置关系，其中包括切线的性质与判定，切线的作图；第三部分是圆和圆的位置关系．这三部分构成了全章内容，结构如下：(投影片A)

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Ⅱ．具体内容巩固

[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾． 一、圆的有关概念及性质

[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．

[师]圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？

[生]车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性．车轮在平坦的地面上行驶时，它与地面线相切，当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径．把车厢装在过轮子中心的车轴上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳．如果车轮不是圆形，坐在车上的人会觉得非常颠．

二、垂径定理及其逆定理

[生]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． (投影片B)

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1．如图(1)，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE是正方形吗？请说明理由．

2．如图(2)，在⊙O中，半径为50mm，有长50mm的弦AB，C为AB的中点，则OC垂 直于AB吗？OC的长度是多少？

[师]在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？ [生]在第1题中，OD、OE都是过圆心的，又OD⊥AB、OE⊥AC，所以已知条件是直径垂直于弦，应用垂径定理；在第2题中，C是弦AB的中点，因此已知条件是平分弦(不是直径)的直径，应用逆定理．

[师]很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？ [生]1．解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC， ∴四边形ADOE是矩形． ∵AC＝AB，∴AE＝AD． ∴四边形ADOE是正方形． 2．解：∵C为AB的中点， ∴OC⊥AB， 在Rt△OAC中，AC＝

1AB＝25mm，OA＝50mm． 22222∴由勾股定理得OC＝OAAC5025253(mm)． 三、圆心角、弧、弦之间关系定理 [师]大家先回忆一下本部分内容．

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[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

[师]下面我们进行有关练习 (投影片C)

1．如图在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的

1，圆的半径为2cm，求AB的长． 3

[生]解：由题意可知AB的度数为120°， ∴∠AOB＝120°． 作OC⊥AB，垂足为C，则 ∠AOC＝60°，AC＝BC． 在Rt△ABC中，

AC＝OAsin60°＝2×sin60°＝2×∴AB＝2AC＝23(cm)． 四、圆心角与圆周角的关系

33． 3[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积

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[师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌握公式并能运用．

[生]弧长公式l＝

nR，π是圆心角，R为半径． 180nR21扇形面积公式S＝或S＝lR．n为圆心角，R为扇形的半径，l为扇形弧长．

2360圆锥的侧面积S侧＝πrl，其中l为圆锥的母线长，r为底面圆的半径．

S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2．

Ⅲ．课时小结

本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．

Ⅳ．课后作业 复习题 A组 Ⅴ．活动与深究 弓形面积

如图，把扇形OAmB的面积以及△OAB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积．如图(1)中，弓形AmB的面积小于半圆的面积，这时S弓形

＝S扇形

－S△OAB；图(2)中，弓形AmB的面积大于半圆的面积，这时S弓形＝S扇形＋S△OAB；图(3)中，弓形AmB的面积等于半圆的面积，这时S弓形＝

1S圆． 2

例题：水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m，求截面上有水的弓形的面积(精确到0.01m)．

2

第- 209 -页 共247页

解：如图，在⊙O中，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交AB于点C．

∵OA＝0.6，DC＝0.3，

∴OD＝0.6－0.3＝0.3，∠AOD＝60°，AD＝0.33． ∵S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB，

12022

·0.6＝0.12π(m)， 36011S△OAB＝AB·OD＝×0.63×0.3＝0.093(m2)

22∴S扇形OACB＝

∴S弓形ACB＝0.12π－0.093≈0.22(m)．

2

板书设计

回顾与思考

一、1．圆的有关概念及性质；2．垂径定理及其逆定理；

3．圆心角、弧、弦之间关系定理；4．圆心角与圆周角的关系； 5．弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．二、课时小结 三、课后作业

回顾与思考(2)

教学目标

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(一)教学知识点

1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系． 2．了解切线的概念，切线的性质及判定． 3．会过圆上一点画圆的切线． (二)能力训练要求

1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．

2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．

3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．

4．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力． (三)情感与价值观要求

1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

教学重点

1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．

2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线． 教学难点

探索各种位置关系及切线的性质． 教学方法

学生自己交流总结法． 教具准备 投影片五张：

第- 211 -页 共247页

第一张：(记作A) 第二张：(记作B) 第三张：(记作C) 第四张：(记作D) 第五张：(记作E) 教学过程

Ⅰ．回顾本章内容

[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．

Ⅱ．具体内容巩固 一、确定圆的条件

[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．

[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．

经过两点也可以作无数个圆．|

设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．

经过在同一直线上的三点不能作圆．

经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既

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两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．

[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？

[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．

例题讲解(投影片A)

矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？ [师]请大家互相交流．

[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．

∵四边形ABCD为矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD．

∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半． ∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上． 二、三种位置关系

[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．

1．点和圆的位置关系

[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，

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说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．

[师]总结得不错，下面看具体的例子． (投影片B)

1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的 距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？

2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？

分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径． [生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，

∵OD＝3，PD＝4，

∴OP＝ODPD34＝5＝r． 所以点P在圆上．

2222同理可知OR＝ODDR＜5，OQ＝ODDQ＞5．

2222所以点R在圆内，点Q在圆外．

2．如图(2)，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是各边的中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形，又由于E、F、G、H分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE＝

1111AB，OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，而AB＝BC2222第- 214 -页 共247页

＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点O的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．

2．直线和圆的位置关系

[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．

[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？

[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．

当d＜r时，直线和圆相交； 当d＝r时，直线和圆相切； 当d＞r时，直线和圆相离． [师]很好，下面我们做一个练习． (投影片C)

如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？

分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．

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[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)， ∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4． 又因为⊙A的半径为4，

∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径． ∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．

由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．

[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．

[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．

切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． [师]下面我们看它们的应用． (投影片D)

1．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．

2．如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，你认为AE与⊙O相切吗？为什么？

分析：1．由⊙O与AC相切可知OE⊥AC，又∠C＝90°，所以△AOE∽△ABC，则对应边成比例，

OAOE．求出半径和OA后，由OA－OD＝AD，就求出了AD． BABC2．根据切线的判定，要求AE与⊙O相切，需求∠BAE＝90°，由AB为

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⊙O的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°．

[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤． [生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9， ∴由勾股定理得AB＝15． ∵⊙O切AC于点E，连接OE， ∴OE⊥AC．

∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC．

OAOEABOEOE，即． ABBCABBC15OEOE45∴．∴OE＝ 15984515∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－×2＝．

48∴

2．解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．∴∠CAB＋∠B＝90°． ∴∠CAE＝∠B， ∴∠CAB＋∠CAE＝90°， 即BA⊥AE．∵BA为⊙O的直径， ∴AE与⊙O相切． 3．圆和圆的位置关系

[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．

[生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．

[师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？

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[生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来判断．

当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．

当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内切．

两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外部时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．

[师]只有这一种判定方法吗？

[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，当d＝R＋r时是外切，当d＝R－r(R＞r)时是内切．

[师]下面我们还可以用d与R，r的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的．

当d＞R＋r时，两圆外离； 当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交； 当d＜R－r(R＞r)时，两圆内含． (投影片E)

设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？

①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm； ②R＝6cm，r＝3cm，d＝0； ③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm； ④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；

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⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm； ⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm； ⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．

[生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm， ∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交；

(2)∵d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含； (3)∵d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切； (4)∵d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切； (5)∵d＞R＋r，∴两圆的位置关系是外离； (6)∵R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交； (7)∵d＜r－R，∴两圆的位置关系是内含． 三、有关外接圆和内切圆的定义及画法

[生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点．

因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．

和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆．

Ⅲ．课堂练习

1．画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切．

2．两个同心圆中，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E，则DE与BC的位置关系怎样？DE与BC之间有怎样的数量关系？(DEⅣ．课时小结

1BC) 2第- 219 -页 共247页

本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角形的外接圆和内切圆．

Ⅴ．课后作业 复习题 B组 Ⅵ．活动与探究

如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，求图中阴影部分的面积．

分析：根据图形，阴影部分的面积等于三角形ABC的面积与⊙O的面积差，由勾股定理可求出直角边BC的长度，则能求出S△ABC，要求圆的面积，则需求⊙O的半径OD或OE、

OF．连接OA、OB、OC，则把△ABC分成三个三角形，即△OAB，△OBC、△OCA，则有S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，从中可求出半径．

解：如图连接OA、OB、OC，则△ABC分成三个三角形，△OAB、△OBC、△OCA，OE、

OF、OD分别是三角形各边上过切点的半径．

∴S△OAB＝

111AB·OF，S△OBC＝BC·OD，S△OCA＝CA·OE． 222∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA， ∴

1111AC·BC＝AB·OF＋BC·OD＋CA·OE． 2222∵OD＝OE＝OF，

∴AC·BC＝(AB＋BC＋CA)·OD．

在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝12，由勾股定理得BC＝5．

第- 220 -页 共247页

∴12×5＝(12＋13＋5)·OD． ∴OD＝2． ∴S阴影＝S△ABC－S⊙O＝板书设计

回顾与思考

一、确定圆的条件 二、三种位置关系；

1．点和圆的位置关系；2．直线和圆的位置关系． 3．圆和圆的位置关系

三、有关外接圆和内切圆的定义及画法 四、课堂练习五、课时小结 六、课后作业

12

×12×5－π·2＝30－4π． 2第二十五章 概率

课题： 25.1 随机事件

教学目标： 知识技能目标

了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点. 数学思考目标

学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程,发展学生从纷繁复杂的表 象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力.

解决问题目标

能根据随机事件的特点,辨别哪些事件是随机事件. 情感态度目标

引领学生感受随机事件就在身边,增强学生珍惜机会，把握机会的意识.

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教学重点： 随机事件的特点. 教学难点：

判断现实生活中哪些事件是随机事件. 教学过程 <活动一> 【问题情境】 摸球游戏

三个不透明的袋子均装有10个乒乓球.挑选多名同学来参加游戏. 游戏规则

每人每次从自己选择的袋子中摸出一球,记录下颜色,放回,搅匀,重复前面的试验.每人摸球5次.按照摸出黄色球的次数排序,次数最多的为第一名,其次为第二名,最少的为第三名.

【师生行为】

教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个

黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球.

学生积极参加游戏,通过操作和观察,归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的,在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的,在第3个袋子中摸出黄色球是必然的.

教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点. 【设计意图】

通过生动、活泼的游戏,自然而然地引出必然发生的事件、随机事件和不可能发生的

事件,不仅能够激发学生的学习兴趣,并且有利于学生理解.能够巧妙地实现从实践认识到理性认识的过渡.

<活动二> 【问题情境】

第- 222 -页 共247页

指出下列事件中哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？ 1.通常加热到100°C时，水沸腾； 2.姚明在罚球线上投篮一次，命中； 3.掷一次骰子，向上的一面是6点； 4.度量三角形的内角和，结果是360°；

5. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； 6.某射击运动员射击一次，命中靶心； 7.太阳东升西落；

8.人离开水可以正常生活100天； 9.正月十五雪打灯；

10.宇宙飞船的速度比飞机快. 【师生行为】

教师利用多媒体课件演示问题,使问题情境更具生动性.

学生积极思考,回答问题,进一步夯实必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件的特点.在比较充分的感知下，达到加深理解的目的.

教师在学生完成问题后应注意引导学生发现在我们生活的周围大量地存在着随机事件.

【设计意图】

引领学生经历由实践认识到理性认识再重新认识实践问题的过程, 同时引入一些常识问题,使学生进一步感悟数学是认识客观世界的重要工具.

<活动三> 【问题情境】 情境1

5名同学参加讲演比赛,以抽签方式决定每个人的出场顺序.签筒中有5根形状、大小相同的纸签,上面分别标有出场的序号1,2,3,4,5.小军首先抽签,他在看不到纸签上的数

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字的情况下从签筒中随机地抽取一根纸签. 情境2

小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数. 在具体情境中列举不可能发生的事件、必然发生的事件和随机事件. 【师生行为】

学生首先独立思考,再把自己的观点和小组其他同学交流,并提炼出小组成员列举的主要事件，在全班发布.

【设计意图】

开放性的问题有利于培养学生的发散性思维和创新思维,也有利于学生加深对学习内容的理解.

<活动四> 【问题情境】

请你列举一些生活中的必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件.

【师生行为】

教师引导学生充分交流，热烈讨论. 【设计意图】

随机事件在现实世界中广泛存在.通过让学生自己找到大量丰富多彩的实例，使学生从不同侧面、不同视角进一步深化对随机事件的理解与认识.

<活动五> 【问题情境】

李宁运动品牌打出的口号是“一切皆有可能”，请你谈谈对这句话的理解. 【师生行为】

教师注意引导学生独立思考,交流合作,提升学生对问题的理解与判断能力. 【设计意图】

有意识地引领学生从数学的角度重新审视现实世界，初步感悟辩证统一的思想.

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<活动六> 【问题情境】 归纳、小结 布置作业

设计一个摸球游戏,要求对甲乙公平.

【师生行为】

学生反思、讨论. 学生在设计游戏的过程中，进一步感悟随机事件的特点.作业的开放性为学生创设了更大的学习空间.

【设计意图】

课堂小结采取学生反思汇报形式,帮助学生形成较完整的认知结构.作业使课堂内容得以丰富和延展.

教 学 设 计 说 明

现实生活中存在着大量的随机事件，而概率正是研究随机事件的一门学科.本课是“概率初步”一章的第一节课.教学中，教师首先以一个学生喜闻乐见的摸球游戏为背景，通过试验与分析，使学生体验有些事件的发生是必然的、有些是不确定的、有些是不可能的，引出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件.然后，通过对不同事件的分析判断，让学生进一步理解必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点.结合具体问题情境，引领学生设计提出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件，具有相当的开放度，鼓励学生的逆向思维与创新思维，在一定程度上满足了不同层次学生的学习需要.

做游戏是学习数学最好的方法之一，根据本节课内容的特点，教师设计了摸球游戏，力求引领学生在游戏中形成新认识，学习新概念，获得新知识，充分调动了学生学习数学的积极性，体现了学生学习的自主性.在游戏中参与数学活动，在游戏中分析、归纳、合作、思考，领悟数学道理.在快乐轻松的学习氛围中，显性目标和隐性目标自然达成,在一定程度上,开创了一个崭新的数学课堂教学模式.

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课题: 25.1.2 概率的意义

教学目标: 〈一〉知识与技能

1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 〈二〉教学思考

让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系.

〈三〉解决问题

在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念.

〈四〉情感态度与价值观

在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育.

【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解 【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件 【教学过程】

一、创设情境，引出问题

教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.

学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……

教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币）

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追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？

由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大 在学生讨论发言后，教师评价归纳.

用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大.

质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？

引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下.

说明：现实中不确定现象是大量存在的， 指出：“学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础.

二 、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则.

把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行.

（2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上” 的频数及 “正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来..

2．教师巡视学生分组试验情况. 注意：

（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难.

（2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3.各组汇报实验结果.

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由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入.

提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性， 引导他们小组合作，进一步探究.

解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作. 4．全班交流.

把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图.

表25-2

抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “正面向上”的频数m “正面向上”的频率 mn 50 100 0.5 1 m正面向上的频率 n150 200 250 300 350 450 500 投掷次数n

图25.1-1

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想一想1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？

注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动.

想一想2（投影出示）

随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？

在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.

说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难.通过以上实践探究活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.鼓励学生在学习中要积极合作交流，思考探究.学会倾听别人意见，勇于表达自己的见解.

为了给学生提供大量的、快捷的试验数据,利用计算机模拟掷硬币试验的课件，丰富学生的体验、提高课堂教学效率，使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的规律性--大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近 .

其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表（看书P141表25-3）.

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表25-3

试验者 抛掷次数（n） “正面朝上”次数（m） 棣莫弗 布丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊

通过以上学生亲自动手实践,电脑辅助演示,历史材料展示, 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率.

在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度.

5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？

学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到0.5.

教师归纳：

（1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样.

（2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等.

4040 10000 1 24000 1061 4979 6019 1 “正面向上”频率（m/n） 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 第- 230 -页 共247页

说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验——收集数据——分析结果的探索过程，在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构，为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫.

三、评价概括，揭示新知

问题1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其他作用？

学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的值（或常数）估计或去描述.

通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正，但要求不必过高.

归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小.

那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率

m会稳定在某个常数p附近，那么这个常数pn就叫做事件A的概率（probability）, 记作P（A）= p.

注意指出：

1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.

2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.

想一想(学生交流讨论)

问题2．频率与概率有什么区别与联系?

从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.

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说明：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.为下节课进一步研究概率和今后的学习打下了基础. 当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教学应把握教学难度，注意关注学生接受情况.

四．练习巩固，发展提高. 学生练习

1．书上P143.练习.1. 巩固用频率估计概率的方法. 2．书上P143.练习.2 巩固对概率意义的理解.

教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题. 五．归纳总结，交流收获：

1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使学生对知识掌握条理化、系统化.

2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的数学价值与合作交流学习的意义.

【作业设计】

（1）完成P144 习题25.1 2、4

（2）课外活动分小组活动，用试验方法获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率. 【教学设计说明】

这节课是在学习了25.1.1节随机事件的基础上学习的，学生通过大量重复试验，体验用事件发生的频率去刻画事件发生的可能性大小，从而得到概率的定义.

1．对概率意义的正确理解，是建立在学生通过大量重复试验后，发现事件发生的频率可以刻画随机事件发生可能性的基础上.结合学生认知规律与教材特点，这节课以用掷硬币方法分配球票为问题情境，引导学生亲身经历猜测试验—收集数据—分析结果的探索过程.这符合《》“从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程”的理念.

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贴近生活现实的问题情境，不仅易于激发学生的求知欲与探索热情，而且会促进他们面对要解决的问题大胆猜想，主动试验，收集数据，分析结果，为寻求问题解决主动与他人交流合作.在知识的主动建构过程中，促进了教学目标的有效达成.更重要的是，主动参与数学活动的经历会使他们终身受益.

2．随机现象是现实世界中普遍存在的，概率的教学的一个很重要的目标就是培养学生的随机观念.为了实现这一目标，教学设计中让学生亲身经历对随机事件的探索过程，通过与他人合作探究，使学生自我主动修正错误经验，揭示频率与概率的关系，从而逐步建立正确的随机观念，也为以后进一步学习概率有关知识打下基础.

3．在教学中，本课力求向学生提供从事数学活动的时间与空间，为学生的自主探索与同伴的合作交流提供保障，从而促进学生学习方式的转变，使之获得广泛的数学活动经验.教师在学习活动中是组织者、引导者与合作者，应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，给学生以适时的引导与鼓励.

课题: 25.2 列举法求概率

教学目标： 知识与技能目标

学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。 过程与方法目标

经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。

情感与态度目标

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通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。

教学重点：

习运用列表法或树形图法计算事件的概率。 教学难点：

能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。 教学过程

1.创设情景，发现新知

教材是通过P151—P152的例5、例6来介绍列表法和树形图法的。 例5（教材P151）：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两个骰子的点数相同； (2) 两个骰子的点数的和是9； (3) 至少有一个骰子的点数为2。

这个例题难度较大，事件可能出现的结果有36种。若首先就拿这个例题给学生讲解，大多数学生理解起来会比较困难。所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏（前一课已有例２作基础）。

（1）创设情景

引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。

1 6 8 第- 234 -页 共247页

4 7 5 A B

【设计意图】 选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近学生生活的联欢晚会为背景，创设转盘游戏引入，能在最短时间内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入情境。

（2）学生分组讨论，探索交流

在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即：

“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”

由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A、B两转盘， 即涉及2个因素，与前一课所讲授单转盘概率问题（教材P148例2）相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢？

实际上，可以将这个游戏分两步进行。 于是，指导学生构造表格 （3）指导学生构造表格

A B 1 6 8 4 5 7 首先考虑转动A盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有3个。接着考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4、5、7三个数字中的任意一个，这是列举法的简单情况。当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个。一共会产生9种不同的结果。

【设计意图】 这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数学思想。

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（4）学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法）

A B 1 6 8 4 （1，4） （6，4） （8，4） 5 （1，5） （6，5） （8，5） 7 （1，7） （6，7） （8，7） 从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。

54∴P(A数较大)= , P(B数较大)=

99 ∴P(A数较大)＞ P(B数较大)

∴选择A装置的获胜可能性较大。

.

在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性。

由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。即先转动Ａ盘，可能出现1，6，8三种结果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现4，5，7三种结果。

（5）解法二：

由图知：可能的结果为： （1，4），（1，5），（1，7），

A装置

1 6 8 开始

B装置 4 5 7 4 5 7 4 5 7

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（6，4），（6，5），（6，7），

（8，4），（8，5），（8，7）。共计9种。

54∴P(A数较大)= , P(B数较大)=

99 ∴P(A数较大)＞ P(B数较大)

∴选择A装置的获胜可能性较大。

.

然后，引导学生对所画图形进行观察：若将图形倒置，你会联想到什么？这个图形很像一棵树，所以称为树形图（在幻灯片上放映）。列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。

【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。 2.自主分析，再探新知

通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这两种方法，我选用了下列两道例题（本节教材P151—P152的例5和例6）。

例1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两个骰子的点数相同； (2) 两个骰子的点数的和是9； (3) 至少有一个骰子的点数为2。

例1是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作基础，学生不难发现：引例涉及两个转盘，这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。于是，学生通过类比列出下列表。

第2个 1 第1个 1 2 （1，1） （2，1） （1，2） （2，2） （1，3） （2，3） （1，4） （2，4） （1，5） （2，5） （1，6） （2，6） 2 3 4 5 6 第- 237 -页 共247页

3 4 5 6 （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。由所列表格可以发现：

（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，即（1，1），（2，2），

61（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)==

366[满足条件的结果在表格的对角线上]

。

（2）满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B）的结果有4个，即（3，6），（4，5），

41（5，4），（6，3），所以P(B)==。

369[满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上]

11（3）至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，所以P(C)=。

36[满足条件的结果在数字2所在行和2所在的列上] 接着，引导学生进行题后小结：

当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。运用列表法求概率的步骤如下：

①列表 ；

m②通过表格计数，确定公式P(A)=中m和n的值；

n第- 238 -页 共247页

m③利用公式P(A)=计算事件的概率。

n分析到这里，我会问学生：“例1题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”，还可以使用列表法来做吗？”由此引出下一个例题。

例2： 甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I。从三个口袋中各随机地取出1个球。

（1）取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？ （2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？

例2与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到3个因素。此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树形图法。

本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。

甲

乙 丙

C H I D H I E H I C H I D H I E H I A B 从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：

A

C H A C I A D H A D I A E H A E I B C H B C I B D H B D I B E H B E I

（幻灯片上用颜色区分） 这些结果出现的可能性相等。

（1）只有一个元音字母的结果（黄色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以

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P（一个元音）5； 12有两个元音的结果（白色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以

P(两个元音)41； 123全部为元音字母的结果（绿色）只有1个，即AEI ，所以P(三个元音)1。 12。

（2）全是辅音字母的结果（红色）共有2个，即BCH，BDH，所以通过例2的解答，很容易得出题后小结：

P(三个辅音)21126当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。运用树形图法 求概率的步骤如下：（幻灯片） ①画树形图 ；

m②列出结果，确定公式P(A)=中m和n的值；

nm③利用公式P(A)=计算事件概率。

n接着我向学生提问：到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？ 列表法和画树形图法求概率有什么优越性？什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”更好呢？

【设计意图】 通过对上述问题的思考，可以加深学生对新方法的理解，更好的认识到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法。

3.应用新知，深化拓展

为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提高应用所学知识解决问题的能力，在此我选择了教材P154课后练习作为随堂练习。

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（1）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：

①三辆车全部继续前行； ②两辆车向右转，一辆车向左转； ③至少有两辆车向左转。

[随堂练习（1）是一道与实际生活相关的交通问题，可用树形图法来解决。] （2）在6张卡片上分别写有1——6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？

通过解答随堂练习（2），学生会发现列出的表格和例1的表格完全一样。不同的是：变换了实际背景，设置的问题也不一样。这时，我提出：我们是否可以根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢？

为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思考： 在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你能把它改成一个公平的游戏吗？ 【设计意图】 以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质，做到举一反三，融会贯通。

4.归纳总结，形成能力

我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求每个学生在组内交流，派小组代表发言。

【设计意图】 通过这个环节，可以提高学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，增强自信，也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依据。

5.布置作业，巩固提高

考虑到学生的个体差异，为促使每一个学生得到不同的发展，同时促进学生对自己的

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学习进行反思，在第五个环节“布置作业，巩固提高”里作如下安排： （1）必做题：书本P154/ 3，P155/ 4，5 （2）选做题：

①请设计一个游戏，并用列举法计算游戏者获胜的概率。

②研究性课题：通过调查学校周围道路的交通状况，为交通部门提出合理的建议等。 【设计意图】 通过教学实践作业和社会实践活动，引导学生灵活运用所学知识，让学生把动脑、动口、动手三者结合起来，启发学生的创造性思维，培养协作精神和科学的态度。

25．3 利用频率估计概率

疑难分析：

1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．

2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P． 3．利用频率估计出的概率是近似值. 例题选讲

例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：

投篮次数n 8 10 12 9 16 10 9 7 12 7 进球次数m 6 8 第- 242 -页 共247页

进球频率m n (1)计算表中各次比赛进球的频率；

(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？ 解答：（1）0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；

（2）0.75．

评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值．

例2 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： (1) 计算并完成表格：

转动转盘的次数n 落在“铅笔”的次数m 落在“铅笔”的频率100 150 200 500 800 1000 68 111 136 345 546 701 m n(2) 请估计，当n很大时，频率将会接近多少？ (3) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？ (4) 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到1°) 解答：（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701； （2）0.69； （3）0.69；

（4）0.69×360°≈248°．

评注：（1）试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；

（2）频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率． 基础训练

一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）

1．盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( )

A．90个 B．24个 C．70个 D．32个

2．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（ ）．

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A．

1111 B． C． D．

2200510003．下列说法正确的是( )．

A．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；

B．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行； C．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；

D．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论． 4．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如

人数图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（ ）．

1111、 B．、 10101021111C．、 D．、

21022A．

59.569.579.589.599.5分数(分)5．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（ ）． A．10粒 B．160粒 C．450粒 D．500粒

6．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是

33，这个的含义是（ ）．

55A．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷；

B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8； C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的

3； 5D．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．

7．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为

1，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）． 5A．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；

B．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球； C．装入红球5个，白球13个，黑球2个；

D．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．

8．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.

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假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是（ ）． A． 2元 B．5元 C．6元 D．0元

二、填一填

9． 同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表： 结果 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 两个正面 3 3 5 1 4 2 一个正面 6 5 5 5 5 7 没有正面 1 2 0 4 1 1 由上表结果，计算得出现“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种结果的频率分别是___________________．当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：______________．

10．红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下，其中数据不在分点上

组别 频数 频率 46 ~ 50 51 ~ 55 56 ~ 60 61 ~ 65 66 ~ 70 71~ 75 40 80 160 80 30 10 从中任选一头猪，质量在65kg以上的概率是_____________． 11．为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛（满分100分，得分全为整数）。为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表：

组别 1 2 3 4 5 分 组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～99.5 合 计 频 数 60 120 180 130 b a 频率 0.12 0.24 0.36 c 0.02 1.00 表中a=________,b=________, c＝_______；若成绩在90分以上（含90分）的学生获一等奖，估计全市获一等奖的人数为___________． 三、做一做

12．小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：

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实验次数 3的倍数的频数 3的倍数的频率 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 5 13 17 26 32 36 39 49 55 61 （1）完成上表； （2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？

（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？

（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？

13．甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a. 得分为正数或0；b. 若8次都未投进，该局得分为0；c. 投球次数越多，得分越低；d.6局比赛的总得分高者获胜 .

(1) 设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案； (2) 若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：

甲 乙 第一局 5 8 第二局 × 2 第三局 4 4 第四局 8 2 第五局 1 6 第六局 3 × 根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜.

四、试一试

16．理论上讲，两个随机正整数互质的概率为P=

62．请你和你班上的同学合作，每人

随机写出若干对正整数（或自己利用计算器产生），共得到n对正整数，找出其中互质的对数m，计算两个随机正整数互质的概率，利用上面的等式估算的近似值．

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解答

一、 1．D 二、 9．

2．B

3．B 4．A

5．C

6．C 7．C

8．B

3113111,,；,, 10202042410. 0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025；0.1

11．50,10,0.26；200 三、 12．（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31； （2）0.31； （3）0.31； （4）0.3

13．解：(1)计分方案如下表： n(次) 1 2 3 4 5 6 7 8 M(分) 8 7 6 5 4 3 2 1 (用公式或语言表述正确，同样给分.) (2) 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得24分，乙共得分23分，所以甲在这次比赛中获胜． 四、 14. 略

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