坐标系与参数方程_知识点

坐标系与参数方程 知识点

一、极坐标与极坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

xxyy(0)(0)设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的

作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴

Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫

做点M的极坐标,记作M(,).

一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.

特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长

度单位,如图所示:

(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是

(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M 直角坐标(x,y) 极坐标(,)

互化公式 xcos ysin2x2y2 ytan(x0)x在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为rr(02) 的圆 圆心为(r,0),半径为r2rcos(22) 的圆 圆心为(r,),半径为r22rsin(0) 的圆 过极点,倾斜角为的直线 (1)(R)或(R) (2)(0)和(0)

过点(a,0),与极轴垂直cosa(22) 的直线 过点(a,),与极轴平行2sina(0) 的直线

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即

(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯

一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点M(,)可以表示为

445(,2)或(,2)或(-,)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方程44444444.

二、参数方程 1.参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数

xf(t)t的函数①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都

yg(t)在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫

做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如xf(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系yg(t),那么xf(t)就是曲线的参数方程,在

yg(t)参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数

如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆

xrcosO上作匀速圆周运动，设M(x,y)，则(为参数)。

yrsin这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转过的角度。

圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(xa)2(yb)2r2，

xarcos(为参数)。

ybrsin它的参数方程为：4．椭圆的参数方程

x2y2以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为221(ab0),abxacos其参数方程为(为参数)，其中参数称为离心角；焦点在y轴上的椭圆

ybsinxbcosy2x2的标准方程是221(ab0),其参数方程为(为参数),其中参数仍

abyasin为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。

注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当

02时，相应地也有02，在其他象限内类似。

5．双曲线的参数方程

以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为

x2y221(a0,b0),2ab其参数方程为

3. 2xasec(为参数)ybtan，其中

[0,2)且2,y2x2焦点在y轴上的双曲线的标准方程是221(a0,b0),其参数方程为

ab

xbcot(为参数，其中(0,2)e且.以上参数都是双曲线上任意一点的离yacsc心角。

6．抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y22px(p0)的参数方程为

x2pt2(t为参数). y2pt7．直线的参数方程

经过点M0(x0,y0)，倾斜角为()的直线l的普通方程是yy0tan(xx0),2而过M0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为xx0tcos(t为参数)。

yy0tsin注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M0(x0,y0)，倾斜角为的直线lxx0tcos(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任一的参数方程为yy0tsin点M(x,y)为终点的有向线段M0M的数量，当点M在M0上方时，t＞0；当点M在

M0下方时，t＜0；当点M与M0重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以M0为

原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。