6-2-屈服准则和本构关系和例题与习题

1.5σ 0.5σ

0.5σ

0.5σ

0.5σ 例4.1（3）图

例4.1（1）图 例4.1（2）图

解：由题图可见，三种应力状态均已转化为主应力状态。于是可直接由图获得三个主应力值，然后再按三个屈服准则分别进行计算和判别。

（1）1,232

根据Tresca准则，13s，表明该点已发生塑性屈服； 根据Mises准则，等效应力122(12)22331s，所以

2也表明该点达到了塑性屈服状态；

根据双剪应力准则，式（4-16），取b1，则较大的两个主剪应力为：

1312132s2

因此屈服函数为：f13b12s，表明该点发生塑性屈服。 （2）10.5,230.5

根据Tresca准则，13s，表明该点已发生塑性屈服； 根据Mises准则，等效应力122(12)22331s，

2表明，该点已发生塑性屈服；

根据双剪应力准则，式（4-16），取b1，则较大的两个主剪应力为：

1312132s2

因此屈服函数为：f13b12s，表明该点发生塑性屈服。 （3）1,21.5,32

根据Tresca准则，13s，表明该点已发生塑性屈服；

1

按Mises准则，等效应力1322(12)22331ss，

22表明，该点尚未发生塑性屈服，仍处于弹性变形状态；

根据双剪应力准则，式（4-16），取b1，则较大的两个主剪应力为：

13s2,12122s4

因此屈服函数为：f13b123ss，表明该点尚处于弹性变形状态。 4补充分析：

（1）比较本例题的第一、二小题可见，在例4.1（1）图中的三向压应力状态下，只有当单一方向的主应力值超过材料的屈服强度，材料才可能发生塑性屈服；而在例4.1（2）图中，当质点处于两压一拉的主应力状态时（m代数值较大），尽管单一方向的主应力值未达到材料的屈服强度，材料也可能发生塑性屈服。

（2）比较三个小题的判别结果可见，在一些特殊应力状态下（如前两小题均有两个主应力分量相等），三种屈服准则的判别是一致的，但在一般情况下（如第三小题的三个主应力分量均不相等），三个准则的判别出现不一致的结果。此时，一般按Mises准则判别。

（3）在该例题中，若三个主应力相等，则该质点永远也不可能达到塑性屈服状态；

（4）在例4.1（2）图中，若1,230.5，则根据Tresca屈服准则，

3131.5ss；按Mises屈服准则，等效应力ss，表明，对于无应变硬

2化的理想材料，该应力状态不存在。

例题4.2：在Oxyz直角坐标系中，已知变形体内某点的应力张量（各分量单位为MPa）：

740 （i,j=x,y,z）

ij410

004

若该材料理想弹塑性材料，其屈服强度s10MPa，试分别采用Tresca、Mises和双剪应力屈服准则判别该点的变形状态。

解：采用Mises屈服准则判别时，可直接引用式（4-8）：

212222(xy)2yzzx6xyyzzx2122(71)214476(4)200

2136996160053(MPa)10(MPa)2表明，该点尚未发生塑性屈服，仍处于弹性变形阶段。

若采用Tresca屈服准则判别，则必须先求解主应力。由题中应力分量的特征可以见，由于 yzzx0，因此很容易判断，z4MPa就是其中的一个主应力分量。另外两

2

个主应力分量就可以直接应用Oxy平面内主应力的求解公式（计算过程略）。计算结果按

123的顺序排列，得到：11MPa,24MPa,39MPa。根据Tresca准

则，1310MPas，表明该点已发生塑性屈服。

求出主应力后，若需要采用Mises屈服准则判别，也可以引用式（4-8a）：

122(12)223312122(14)2499153(MPa)s2

表明该点处于弹性变形阶段。

根据双剪应力准则，按式（4-16），取b=1，则较大的两个主剪应力为： 13因此屈服函数为：

s2,12122s4

表明该点尚处于弹性变形状态。

3f13b12ss

4例题4.3：如图所示为理想材料变形体内某质点的主应力状态示意图（图中0）。若已知受力材料的屈服强度s300MPa，试采用Mises屈服准则判别，当达到多少时，该点材料开始发生塑性变形？求主应力方向的塑性应变增量之比，并判断塑性变形的类型。 解：由图可得：1,23

根据Mises屈服准则：

当s时材料开始发生塑性变形，即：

1(12)2(23)2(31)221(2)2(22)2(2)2 211823300MPa22

例题4.3图

所以，当100MPa时，该点发生塑性屈服。

m1233223

由增量理论可得：

3

''d1p:d2p:d3p1':2:3(1m):(2m):(3m)d1p:d2p:d3p2:(1):1)

可见，该点的塑性变形是一种延伸类型的变形。

例题4.4：已知理想材料变形体内某些质点已达到塑性屈服状态，其主应力如下表所示

ppp（其中为非负应力参数）。试求该点的塑性应变之比1:2:3。

质点序号 1 2 3 0 4 5 0 6 0 0 7 1 2 3 2  0  0 0   0  0    0 1：0：-1 2    m 1p:2p:3p  1：0：-1 1 32 31 31:1：-2 2 31：1：-2 1：0：-1 2：-1：-1 2：-1：-1 补充分析：（1）由计算结果可见，尽管1，2，3质点属于三种不同的平面应力状态，但塑性主应变状态相同；（2）比较质点1和7、3和5，可见，虽然主应力状态相同，但主应力分量大小发生改变时，主应变状态截然不同；（3）对于单向主应力状态（如质点4和6），只可能对应一种主应变状态。（4）如前所述，根据塑性变形体积不变的原理可以推断，塑性变形只有三种主应变状态，如本题中1，2，3质点的塑性主应变状态被称为平面变形，4和5质点的应变状态称为延伸变形，6和7 质点的应变状态称为压缩变形。

例题4.5：已知直径为r=200mm，壁厚为t=4mm的薄壁球承受内压p=20N/mm2的作用，如果材料是不可压缩的，应力应变关系为500直径的变化量。

解：承受内压的球壳体，其应力分量为： 于是可得等效应力：

0.5N/mm2。试求材料进入塑性状态时

pr,r0,ij0 2t1pr22[(r)2()2(r)26(r2)] r22t根据Levy-Mises增量理论，式（4-27），有：

1dddrr()d

2对上式积分可得：rlnt t0 4

而 lnr r0由体积不变条件 r0 可得：因此球壳厚度和半径分别为：

tt0exp(),rr0exp(将具体数据代入后可得：r22

1) 2pr250N/mm2 2t0.52由题可知 500N/mm

因此

0.25

1)r0exp(0.50.25)1.133r0 2故有 rr0exp(因此直径增长量为 r1.133r0r02000.13326.6mm

习 题

1．设I1,I2为应力张量的第一和第二不变量，试用I1,I2表示Mises屈服准则。 2．写出Tresca和Mises屈服准则的主应力表达式，并作出两向主应力状态下Tresca 和 Mises准则的屈服轨迹(设30)，并从屈服轨迹图上说明在哪些情况下，两种屈服准则一致；在哪些情况下，两种屈服准则差别最大?

3．某理想塑性材料的屈服应力σs＝100MPa，请分别用Tresca准则和Mises准则判断下列应力状态下的质点处于什么变形状态（是否存在、弹性变形状态或者塑性变形状态）。

10000000 ；00100150000500 ；0050120000100 ；00050000-500(MPa) 0004．有一薄壁管，平均直径为80mm，壁厚为4mm，承受内压p，材料屈服应力σs

为300MPa，设管壁上的径向应力r0。试用Tresca和Mises两个屈服准则分别求出下列情况下管子屈服时的p。

a）管子两端自由；（b）管子两端封闭；（c）管子两端加62.8kN的压力。

5．试分别用Tresca和Mises屈服准则判断下列应力状态是否存在？如果存在，判别该应力使材料处于弹性变形状态还是塑性变形状态（材料为理想塑性材料）。

s a）ij0000s； b）ij000s0000.5s0 ；1.5s00 5

1.2sc）ij0000.1s0000； d）ij0.45s000.45s0000。 0-15005-1500，6．已知塑性状态下某质点的应力张量为0应力分量dx0.1，

50-350试求应变增量的其余分量。

7．已知一外径为φ30mm，壁厚为1.5mm，长为250mm，两端封闭的金属薄壁管，受到轴向拉伸载荷Q和内压力p的复合作用，加载过程保持f/z1。若该材料的

e1000(e)1/3MPa。试求当z600MPa时，a）等效应变e；b）管材尺寸；c）所需

加Q与p值大小。

8．试分析变形抗力对金属材料加工生产有何影响，对制品性能有何意义？

6