误差分离理论.

误差分离理论

《制造工程中的精密技术》

1.误差分离的一般方程

假设1 在布置传感器时均需使某一或一些被测误差量，在传感器中的反映可以借助于测量系统配置的几何特征，表述为该被测误差量在测量空间中的“时延”。同时该被测误差量本身是或者认为使之是周期性的，时不变的，以使得该误差量在所有测量传感器中的反映，仅为测量空间的“时延”或者“相位”不同，也就是说该误差量在所有传感器中的反映是完全相关的。

假设2 根据几何量测量的Abbe原理，传感器的测量方向应在被测误差量的延长线上，因此该误差量在传感器中的传递是1：1的。

假设3 其他诸项误差量则通过处理测量系统的几何关系，使之加权后反映到不同位置的测量传感器中。一般这些误差量在诸传感器中的反映，不能表述为误差量在测量空间的时延或相移。这些误差量可以是确定的，也可以是随机性的。

总之，所有被测量或将被分离的误差量，都将通过测量系统的几何关系映射为传感器的输出信号。这种由测量系统几何参数决定的映射关系，在此称之为误差映射关系或误差映射矩阵。

设在线误差测量和分离系统中的某一被测误差量1、2描述的特性。其余的有限个被测误差量

，在诸传感器中的输出满足假设满足假设3描述的特征。

设测量系统中安装一个或m个测量传感器，且其在测量空间的位置为别为：

则应用一个传感器进行m次移位测量后，或应用m个传感器进行一次测

量后可得传感器的输出矩阵方程：

式中 ——被测误差量

的误差映射矩阵，为

阶单位矩阵。

——满足假设1、2的被测误差量经系列时延后的序列构成的列向量。

——满足假设3的k个被测误差量构成的列向量。

——由测量机构几何参数决定的k个误差量的阶误差映射矩阵。

式中，元素

表示被测误差量

对测量传感器输出的映射系数，其取值和测量系

统的配置及传感器的安装位置有关。

设有不为零的行向量：，左乘矩阵方程，有：

针对上式，若有这样的m阶行向量C使得：

则上式可转化并展开为：

上式即为误差分离的一般方程。

对上式做傅氏变换，并应用傅氏变换的时延相移性质得：

式中 ——由测量系统几何参数决定的相移旋转因子。

——测量和分离系统的误差分离权函数。

如果对于任意的有

，则可得误差量

的频域可表示为：

这是误差分离一般方程的频域形式。

对上式求逆傅氏变换，则可得出误差量在测量空间的取值如下：

式中

——误差量

2 传感器个数的确定

上节给出了误差分离的一般方程，本节讨论权值系数的求取及确定测量传感器个数的一般方法。考察误差分离的时域表达式和频域表达式，若能求出权值系数向量C，那么由

和即可接触被测误差量。

从误差分离一般方程的导出过程知，权值系数向量的取值应满足知，

方程等价于

。由矩阵理论

显然，上述方程为齐次方程。权值系数向量C的取值则转化为齐次方程的求解问题。该方程组未知数为向量

，系数矩阵为

。根据矩阵理论知方程的解的情形为：

（1）若，由于误差列向量中的元素是各自的，矩阵中的行构成的向量集

合是线性无关的。即矩阵的秩大于或等于m，此时矩阵方程只有零解C=0。

（2）若，矩阵为降秩的，齐次方程组有非零解。

根据误差分离技术的一般理论，若要使误差分离技术得以实施，必须有非零的权值系数向量C有非零解，必须有含有的误差项数为

和

。从误差分离一般理论的导出过程可知，假设测量系统

共计

个，使用的测量传感器的个数为m，若要

权值系数向量C有非零解，必须满足：

上式表明，若要实现误差

和

的测量和分离，测量系统中使用的测量

传感器的个数至少和被测误差项的个数相等。若测量传感器的个数小于被测误差项的个数，则权值系数向量C只能取零值，就不能实现对误差

和

的分离。对

于测量传感器大于被测误差项的个数时，只是权值系数向量的取值更为灵活而已。

由式求出权值系数向量C后，根据：

可以应是时域递推方法或者根据，从而也就得出的由

决定的列向量：

应用频域方法首先分离出误差量

改写矩阵方程

有：

显然，根据上式，利用矩阵理论容易解出误差项：

的取值，至此被测误差的分离已全部完成。

1.3 误差分离的不完全性

考察误差分离的权函数式程

为单位矩阵。其中权值系数向量C的取值由线性齐次方

决定。由于元素是由测量机构的特性决定，因此权值系数向量的取值同样由测

可以看出，对任意的谐波，相移旋转因子列

量机构决定。由式

向量只和测量传感器的安装位置有关，因此也取决于测量系统的配置参数。所以误差分离的权函数式

仅是测量系统配置参数的函数。

若将误差分量过程看作一个系统，则系统的输入参数为测取信号的加权组合Cy。该系统具有这样的特性：

和，输出为测量传感器

（1）系统输出Cy中完全消除了误差项

（2）误差项Cy。

通过由系统配置参数决定的权函数的滤波器后全部送至系数输出

在测量过程中，系统的输出Cy是可观测的，系统的权函数误差项

的获取在频域内可表示为：

也是预知的，因此对

由上式可以看出，误差分离过程是对系统的输出或者观测值进行反滤波的过程。

若误差分离的权函数无零点，则由

和表示的误差分离将是完全的，即可以将误差项

完全分离。一般情况下，权函数

和其余误差项

总是有零点存在，所以由上述表示的

误差分离是不完全的。比如直线度形状误差分离中的零阶谐波分量、圆度形状误差分离中的一阶谐波分量、螺纹导程误差分离中零阶谐波分量及和导程同周期的谐波分量等均是由于权函数的零点存在难以分离。

从对误差分离权函数的讨论可知，权函数中出现的零点有些可以通过调整测量机

构的几何参数予以消除，但仍然存在某些零点无法消除，这是所采用的误差测量和分离方法自身所固有的。由于误差分离权函数

中固有零点的存在，被测误差项总是不能被完

全分离，这就是误差分离的不完全性。尽管某些未被分离出的谐波分量并不一定影响被测零件形状误差的评定中，如直线度形状误差的零阶谐波分量及圆度形状误差的一阶谐波分量并不影响零件的直线度误差及圆度形状误差的平度，但从误差分离的角度上看，其分离依旧是不完全的。这是因为这些未被分离的谐波分量将被记入到其他的误差项中。

除误差权函数存在零点导致误差分离的不完全外，其取值的大小不同也会使误差

测量和分离系统对不同谐波成分的误差传递率不同，从而使不同阶次的误差谐波分量的分离精度有很大的差异。因此误差分量权函数

的取值应是设计误差测量和分离机构时考

虑的首要问题，也是各种误差分离技术都必须重视的具有共性的问题。在设计测量系统时，通过对误差分离权函数

的研究即可对测量系统的分离特性作出客观准确的评价。

1.4 误差分离的时、频域统一

观察式，其形式显然为一差分方程。为分析由其

描述的系统的动态性能，对上式进行Z变换得出其传递特性：

根据z变换和傅氏变换的关系，令

则可得：

此式表明，误差分离的时域递推方法的传递特性数

的倒数，权函数

的零点即是传递函数

，为误差分离的频域方法的权函

的极点。当某一谐波阶次使得权函数

为零点时，在应用频域误差分离方法时，总是强行使该阶谐波处的误差谐波分量取零值，从而造成误差分离的不完整。此式传递特性

为极点，使得递推系统不稳定，递

推结果中的该阶误差谐波分量无意义，应从结果中去除。

综上所述，误差分离的时域方法和频域方法本质上并无区别，只是对误差分离过程中出现的谐波抑制现象采取的措施不同，这就是误差分离技术的时域方法和频域分离方法的统一性。事实上也应如此，对于某一具体的误差测量和分离系统，其固有的传递特性不会因在时域描述或频域描述而发生变换，只是其表现形式有所不同。