四川省德阳市2019届高三“一诊”考试数学(文)试题

数学试卷（文史类）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A{x|y3x}，B{0,1,2,3,4}，则AB

A． B．{0,1,2} C．{0,1,2,3} D．(,3){4} 2.设i是虚数单位，复数

ai为纯虚数，则实数a的值为 1iA．-1 B．1 C．-2 D．2

3.将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知：

A．甲队得分的众数是3

B．甲、乙两队得分在[30,39)分数段频率相等 C．甲、乙两队得分的极差相等 D．乙队得分的中位数是38.5

4.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为

A．29 B．25 C.20 D．13 5.如图所示的程序框图输出的结果是

A．34 B．55 C.78 D．89

6.已知等差数列{an}中，a2、a7是函数f(x)x4x2的两个零点，则{an}的前8项和为 A．-16 B．8 C. 16 D．322

7.若函数f(x)3sinxcosx在[m,m]上是增函数，那么m的最大值为 A．

2 B． C. D． 23468.我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛，立两表齐、高三丈，前后相去千步，今后表与前表相直，从前表却行百二十三步，人目著地望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何？”

（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆的底部和岛的．．．．底部在同一水平直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测

到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）.则海岛高度为 A．1055步 B．1255步 C. 1550步 D．2255步

9.在边长为4的菱形ABCD中，A60，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点，若

|ABNB||AMAN|，则AMAN

A．16 B．14 C.12 D．8

2xy2010. 已知实数x、y满足x2y40，若yk(x1)1恒成立，那么k的取值范围是

3xy30A．[,3] B．(,] C.[3,) D．(,] A． B． C. D．

11.已知点P(3,0)在动直线m(x1)n(y3)0上的投影为点M，若点N(2,)，那么|MN|的最小值为

A．2 B．

1243123231 C. 1 D． 22C是函数f(x)图12.已知点A是函数f(x)sin(x)(0,0)的图像上的一个最高点，点B、

像上相邻两个对称中心，且三角形ABC的面积为1.若m0，使得f(xm)mf(x)，则函数f(x)的解析式为 A．ysin(x) B．ysin(x) 2423C.ysin(x) D．ysin(x)

43第Ⅱ卷（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若函数f(x)2x，g(x)log2x，则f[g(2019)]g[f(2019)] ． 14.已知正数x、y的等差中项为1，则

y8的最小值为 ． x7P，|F1F2|2|PO|，椭圆和双曲线的离心率分别是e1、15.已知有相同焦点F1、F2的椭圆和双曲线交于点

e2，那么

11． 2 （点O为坐标原点）2e1e22x2,x0f(x)10成立，则实数a的取值16.已知函数f(x)，若存在唯一的整数x，使得

xa3|x1|3,x0范围为 ．

三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知等比数列{an}的各项均为正数，a11，公比为q，等差数列{bn}中，b13，且{bn}的前n项和为Sn，a3S327，qS2. a2（1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）设数列{cn}满足cn3，求{cn}的前n项和Tn. 2Sn18. 在ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若(2ab)cosCccosB0. （1）求角C； （2）若c2631且sinAcosB时，求ABC的面积. 3419. 某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：

中型企业 小型企业 合计 支持 240 不支持 40 合计 560 已知从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为

4. 7（1）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？ （2）从支持节能降耗的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家企业，然后从这8家企业选出2家进行奖励，分别奖励中型企业20万元，小型企业10万元.求奖励总金额为20万元的概率.

n(adbc)2附：K

(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2k0) k0 20. 已知函数f(x)0.05 3.841 0.025 5.024 0.01 6.635 x(x1)(x2)1,x2(a0)和函数g(x)k(x1)1.

a(x2)1,x2（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）已知a2k，且函数yf(x)g(x)有三个零点x1、x2、x3，若f(x1)f(x2)f(x3)3成立，求实数k的取值范围.

21. 已知函数f(x)eaxbx在x1处的切线斜率为eb1. （1）若函数f(x)在R上单调，求实数b的最大值；

（2）当b1时，若存在不等的x1,x2(0,)使得|f(x1)f(x2)|k|x1x2|，求实数k的取值范围.

x2请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为4和4sin，曲线6(0)分别交圆O1和圆O2于

A、B两点，以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.

（1）将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）已知点C在圆O2上，求三角形ABC面积取最大值时，点C的直角坐标. 23.已知函数f(x)|xa|a2，g(x)|x1||2x4|. （1）解不等式g(x)6；

（2）若存在x1、x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围.

德阳市高中2016级“一诊”试题

数学参考答案与评分标准

（文科）

一、选择题

1-5:CADAB 6-10: CBBBD 11、12：DA

二、填空题

13. 4038 14. 8 15. 2 16.[1,0][1,2]

三、解答题

q2S3272qS32717.解：（1）由题意得： S2S2即：2qaqqS22所以S2S327，解得所以得：an3n1d3（d是等差数列的公差）.

q3，bn3n.

（2）由（1）得：Sn所以cn3n(n1) 23111 2Snn(n1)nn11111111. 223nn1n1所以Tn118. 解：（1）在ABC中，由正弦定理得：(2sinAsinB)cosCsinCcosB0 即2sinAcosCsinBcosCsinCcosB2sinAcosCsin(BC)

2sinAcosCsinA0

所以sinA0（不合题意舍去）或cosC得：C1且C(0,) 22. 3（2）由（1）知AB得：即

3及sinAcosB3131得：sinAcos(A) 43413231 sinAcosAsinA224131cos2A13cos2A331 sin2Asin2A42244441整理得：sin(2A)

32∵0A所以2A3∴32A33

36即A，B 124262csinBbc324 在ABC中由正弦定理得：即bsinBsinCsinC332所以SABC114264662623bcsinAsin15. 22339494. 719.解：（1）由从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为可知：支持技术改造的企业共有320家，故列联表为

中型企业 小型企业 合计 2支持 80 240 320 不支持 40 200 240 合计 120 440 560 n(adbc)2所以K

(ab)(cd)(ac)(bd)560(8020040240)2

1204403202405.6575.024

故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关. （2）由（1）可知支持技术改造的企业中，中小企业比为1:3.所以按分层抽样的方法抽出8家企业中2家中型企业，分别用x、y表示，6家小型企业，分别用1、2、3、4、5、6表示.则从中选取2家的所有可能为xy、x1、x2、x3、x4、x5、x6、y1、y2、y3、y4、y5、y6、12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56，共28种.其中总奖金为20万的有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56，共15种. 所以奖励总金额为20万元的概率为

15. 2820. 解：（1）显然x2时，f(x)单增.

2当x2时，f(x)3x6x2

令f(x)0得：x13(,2]. 3x13333x1或x1时，f(x)0；1时，f(x)0.

333333]，[1,)； 33故：函数f(x)的单调增区间为(,1单调减区间为(133,1). 33（2）当x2时，令f(x)g(x)0得：x3

当x2时，令f(x)g(x)0即：x(x1)(x2)1k(x1)1 即：(x1)(x22xk)0(x2) 得x1，x1k1（舍去1k1）

所以f(x1)f(x2)f(x3)g(x1)g(x2)g(x3)kk12k3. 由f(x1)f(x2)f(x3)3得：kk12k33 即k(2k1)0且k0，故只要k12 解得：k3

综上，实数k的取值范围为(0,3).

21. 解：（1）函数f(x)eaxbx在x1处的切线斜率为e2abeb1 解得ax21. 2x所以f(x)e12xbx，故f(x)exxb 2因为函数f(x)在R上单调

故f(x)exb0或f(x)exb0在R上恒成立. 显然f(b)exxxb0即f(x)exxb0在R上不恒成立.

所以bex恒成立即可. 因为(ex)e1

可知yex在(,0)上单减，(0,)单增 故(ex)min1，所以实数b的最大值为1.

xxxx（2）当b1时，由（1）知函数f(x)在R上单调递增 不妨设0x1x2，使得|f(x1)f(x2)|k|x1x2| 即为存在不等的x1,x2(0,)，且x1x2使得

f(x2)f(x1)kx2kx1f(x2)kx2f(x1)kx1.

其否定为：任意0x1x2，都有f(x2)kx2f(x1)kx1 即：函数g(x)f(x)kxe由（1）知：k11即k0

所以若存在不等的x1,x2(0,)使得|f(x1)f(x2)|k|x1x2| 实数k的取值范围为(0,).

22. 解：（1）圆O1的直角坐标方程为xy16 圆O2的直角坐标方程为xy4y. （2）将2222x12x(k1)x在(0,)上单增. 2(0)代入圆O1和圆O2的极坐标方程得A(4,)、B(2,) 666所以|AB|2，要使三角形ABC面积取最大值，只要圆O2上的点C到直线AB的距离最大

y3x2解

22xy4y得：点C的直角坐标为(1,23).

3x3,x123. 解：（1）因为g(x)|x1||2x4|x5,2x1

3x3,x2故由g(x)6得：3x36x563x36或或

x12x1x2解得原不等式解集为：(3,1).

（2）由（1）可知g(x)的值域为[3,)，显然f(x)的值域为(,a2]. 依题意得：[3,)(,a2] 所以实数a的取值范围为[1,).