沪科版数学七年级上册教案

1.1 正数和负数

教学目标 【知识与技能】

1.会判断一个数是正数还是负数.

2.会用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量. 【过程与方法】

1.了解负数产生的背景是从实际需要产生的.

2.培养学生的数学应用意识,渗透对立统一的辩证思想. 【情感、态度与价值观】

体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要,激发学生学习数学的兴趣. 教学重难点

【重点】了解正数与负数是由实际需要产生的并会用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量. 【难点】明白学习负数的必要性,能结合生活情境举出具有相反意义的量的典型例子. 教学过程 一、新课引入

1.师:同学们,你们看过电视或听过广播中的天气预报吗?中国地形图上的温度阅读.(可让学生模拟预报)请大家来当小小气象员,记录温度计所示的气温:25℃,10℃,零下10℃,零下30℃.

为书写方便,将测量气温写成25℃,10℃,-10℃,-30℃.

2.师:同学们,我们已经学了哪些数,它们是怎样产生和发展起来的?

教师引导学生说出:在生活中为了表示物体的个数或事物的顺序,产生了数1,2,3,…;为了表示“没有”,引入了数0;有时分配和测量的结果不是整数,需要用分数(小数)表示.总之,数是为了满足生产和生活的需要而产生和逐步发展起来的. 二、讲授新课

1.相反意义的量:

师:同学们,在我们的日常生活中,常会遇到这样一些量(事情): 例1:汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米. 例2:温度是零上10℃和零下5℃. 例3:收入500元和支出237元. 例4:水位升高1.2米和下降0.7米.

例5:买进100辆自行车和卖出20辆自行车.

(1)试着让学生考虑这些例子中出现的每一对量有什么共同特点.

(都具有相反意义,向东和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、买进和卖出都具有相反意义.)

(2)你能举出几对日常生活中具有相反意义的量吗? 2.正数和负数:

(1)能用我们已学过的数表示这些具有相反意义的量吗?例如,零上5℃用5来表示,零下5℃呢?也用5来表示,行吗?

说明:在天气预报图中,零下5℃是用-5℃来表示的.一般地,对于具有相反意义的量,我们可把其中一种意义的量规定为正,用过去学过的数来表示;把与它意义相反的量规定为负,用过去学过的数(零除外)前面放一个“-”(读作“负”)号来表示.

以温度为例,通常规定零上为正,零下为负;零上10℃就用10℃表示,零下5℃则用-5℃来表示. (2)怎样表示具有相反意义的量呢?你们能否从天气预报出现的标记中得到一些启发呢?

在例1中,我们如果规定向东为正,那么向西则为负.汽车向东行驶3千米记作3千米,向西2千米应记作-2千米.

后面的例子让学生来说(注意词的表达). 在以上的讨论中,出现了哪些新数?

为了表示具有相反意义的量,上面我们引进了-5,-2,-237,-0.7等数.像这样的一些新数,叫做负数(negative number).过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,1.2等,叫做正数(positive number).正数前面有时也可放一个“+”(读作“正”),如5可以写成+5.

注意:零既不是正数,也不是负数. 三、例题讲解

【例1】 (1)与去年相比,某乡今年的水稻种植面积扩大了10hm(公顷),小麦的种植面积减少了2

5hm,油菜的种植面积不变,写出这三种农作物今年种植面积的增加量;

(2)某市12315中心2011年国庆期间受理消费申诉件数:日用百货类比上年同期增长了10%,家用电子电器类比上年下降了20%,写出这两类消费商品申诉件数的增长率.

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【答案】 (1)与去年相比,该乡今年的水稻种植面积增加了10hm,小麦种植面积增加了-5hm,油

2

菜种植面积增加了0hm.

(2)与上年同期相比,消费商品申诉件数:日用百货类增长了10%,家用电子电器类增长了-20%. 【例2】 (1)一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;

(2)某年,下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是: 美国减少6.4%, 德国增长1.3%,

法国减少2.4%, 英国减少3.5%, 意大利增长0.2%, 中国增长7.5%.

写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.

【答案】 (1)这个月小明体重增加2kg,小华体重增加-1kg,小强体重增加0kg. (2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率是: 美国 -6.4%, 德国 1.3%, 法国 -2.4%, 英国 -3.5%, 意大利 0.2%, 中国 7.5%. 四、巩固练习

1.-10表示支出10元,那么+50表示 ;如果零上5度记作5℃,那么零下2度记

作 ;如果上升10m记作10m,那么-3m表示 ;太平洋中的马里亚纳海沟低于海平面达11 034米,可记作海拔 米(即低于海平面11 034米).比海平面高50m的地方,它的高度记作海拔 ;比海平面低30m的地方,它的高度记作海拔 .?

2.一种零件的内径尺寸在图纸上是10±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是10mm,加工要求最大不超过标准尺寸 ,最小不超过标准尺寸 .?

【答案】 1.收入50元,-2℃ 五、课堂小结

正数和负数表示的是一对具有相反意义的量,哪种意义的量为正是可以任意规定的.如果把一种意义的量规定为正,则相反意义的量规定为负.常将“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负.

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1.2 数轴、相反数和绝对值

第1课时 数轴

教学目标 【知识与技能】

使学生知道数轴上有原点、正方向和单位长度,能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上的已知点所表示的数,知道有理数都可以用数轴上的点表示. 【过程与方法】

在探索数轴画法的过程中,鼓励学生类比、猜想,初步理解数与形的结合. 【情感、态度与价值观】

向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点及数形结合的数学思想. 教学重难点

【重点】初步理解数形结合的思想方法,正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数. 【难点】正确理解有理数与数轴上点的对应关系. 教学过程 一、复习导入

师:在上课之前老师先提几个问题,看大家学得怎样. 1.有理数包括哪些数?0是正数还是负数?

2.温度计的用途是什么?类似于这种用带有刻度的物体表示数的东西还有哪些(直尺、弹簧秤等)? 教学中,在一条直线上画出刻度,标上读数,用直线上的点表示正数、负数和零.

演示从温度计抽象成数轴,激发学生学习的兴趣,使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,同时把类比的思想方法贯穿于概念的形成过程. 二、讲授新课

1.师:请同学们阅读课本第7页,思考并讨论:

(1)25℃用正数 表示;0℃用数 表示;零下10℃用负数 表示.? (2)数轴要具备哪三个要素?

(3)原点表示什么数?原点右方表示什么数?原点左方表示什么数? (4)表示+2的点在什么位置?表示-3的点在什么位置?

(5)原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数?原点向左12个单位长度的B点表示什么数? 2.数轴的画法.

师生共同总结数轴的画法步骤:

第一步:画一条直线(通常是水平的直线),在这条直线上任取一点O,叫做原点,用这点表示数0(相当于温度计上的0℃);

第二步:规定这条直线的一个方向为正方向(一般取从左到右的方向,用箭头表示出来).相反的方向就是负方向(相当于温度计0℃以上为正,0℃以下为负);

第三步:适当地选取一条线段的长度作为单位长度,也就是在0的右面取一点表示1,0与1之间的长就是单位长度(相当于温度计上1℃占1小格的单位长度).

在数轴上从原点向右,每隔一个单位长度取一点,这些点依次表示1,2,3,……,从原点向左,每隔一个单位长度取一点,它们依次表示-1,-2,-3,…….

3.数轴的定义.

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,原点位置的选定、正方向的选择、单位长度大小的确定,都是根据需要人为规定的,此外,直线也不一定是水平的.

1

动态演示各种类型的数轴,认识并掌握判断一条直线是不是数轴的依据. 三、例题讲解

师:同学们,下面我们一起来做几个例题.

【例1】 判断下图中所画的数轴是否正确;如不正确,指出错在哪里.

分析 原点、正方向、单位长度,数轴的这三要素缺一不可.

【答案】 都不正确,(1)缺少单位长度;(2)缺少正方向;(3)缺少原点;(4)单位长度不一致. 【例2】 说出下图所示的数轴上A、B、C、D各点表示的数.

【答案】 点C在原点表示0,点A在原点左边与原点距离2个单位长度,故表示-2.同理,点B表示-3.5.点D在原点右边与原点距离2个单位长度,故表示2.

【例3】 把下面各小题的数分别表示在三条数轴上:

(1)2,-1,0,-33,+3.5; (2)-5,0,+5,15,20;

(3)-1 500,-500,0,500,1 000. 【答案】 略. 四、课堂小结

教师引导学生小结:

1.数轴是非常重要的数学工具,它使数和直线上的点建立了一一对应的关系,它揭示了数与形之间的内在联系;所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但并不是数轴上的所有点都表示有理数.

2.画数轴时,原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取,注意不要漏画正方向、不要漏画原点,单位长度一定要统一,数轴上数的排列顺序(尤其是负数)要正确.

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第2课时 相反数

教学目标 【知识与技能】

1.使学生了解互为相反数的几何意义.

2.会求一个已知数的相反数;会对含有多重符号的数进行化简. 【过程与方法】

培养学生的观察、归纳与概括的能力,渗透数形结合思想. 【情感、态度与价值观】

通过由具体实例抽象概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生积极参与、善于与他人合作交流的学习习惯. 教学重难点

【重点】理解相反数的代数定义与几何定义,熟练地求出一个已知数的相反数. 【难点】多重符号的数的化简问题的理解. 教学过程 一、复习导入

师:同学们,在上课之前,老师先出几个题目考考大家. 1.在数轴上分别找出表示下列各数的点: 6与-6,-32与32,-1.5与1.5.

想一想:在数轴上,表示每对数的点有什么相同?有什么不同?

1

1

2.观察数6与-6,-32与32,-1.5与1.5有何特点.观察每组数所对应的两个点的位置关系有什么规律.

学生归纳:每组中的每个数只有符号不同,它们所对应的两点分别在原点的两侧,到原点的距离相等. 二、讲授新课

师:下面我们一起来学习新课.

1.发现并总结相反数的定义.

只有符号不同的两个数称互为相反数. 理解:

代数定义:只有符号不同的两个数互为相反数.0的相反数是0.

几何定义:在数轴上原点两旁,与原点的距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数.0的相反数是0.

说明:“互为相反数”的含义是相反数是成对出现的,因而不能说“-6是相反数”.“0的相反数是0”是相反数定义的一部分.这是因为0既不是正数,也不是负数,它到原点的距离就是0,0是唯一的相反数仍等于它本身的数. 三、例题讲解

教师出示例题.

【例1】 判断下列说法是否正确: (1)-5是5的相反数.( ) (2)5是-5的相反数.( ) (3)5与-5互为相反数.( ) (4)-5是相反数.( )

【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

【例2】 (1)分别写出5、-7、-32、+11.2的相反数;(2)指出-2.4是什么数的相反数. 【答案】 (1)5的相反数是-5.-7的相反数是7.-32的相反数是32.+11.2的相反数是-11.2. 我们通常在一个数的前面添上“-”号,表示这个数的相反数.例如-(-4)=4,-(+5.5)=-5.5;同样,在一个数前面添上“+”号,表示这个数本身.例如+(-4)=-4,+(+12)=12.

(2)-2.4是2.4的相反数. 【例3】 化简下列各数:

(1)-(+10); (2)+(-0.15); (3)+(+3); (4)-(-20).

【答案】 (1)-(+10)=-10;(2)+(-0.15)=-0.15;(3)+(+3)=+3=3;(4)-(-20)=20. 四、巩固练习

课本P10练习的第1~3题.

【答案】 1.5,-1,3,2.6,-1.2,0.9,-2. 2.(1)2.8 -3.2 (2)4 -7 (3)-8 9 3.C 五、课堂小结

1.只有符号不同的两个数互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0,从数轴上看,求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点.

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1

1

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2.相反数是表示具有特定关系(只有符号不同)的两个数,单独一个数不能被称为相反数,相反数是成对出现的.

3.正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认;而负号“-”的功能是对一个数的符号予以改变.

第3课时 绝对值

教学目标 【知识与技能】

1.使学生初步理解绝对值的概念.

2.明确绝对值的代数定义和几何意义,会求一个已知数的绝对值,会在已知一个数的绝对值的条件下求这个数. 【过程与方法】

培养学生用数形结合思想解决问题的能力,渗透分类讨论的数学思想. 【情感、态度与价值观】

通过由具体实例抽象概括的独立思考和合作学习的过程,培养学生积极主动的学习习惯. 教学重难点

【重点】让学生掌握求一个已知数的绝对值的方法及正确理解绝对值的概念.

【难点】对绝对值的几何意义和代数定义的导出与对“负数的绝对值是它的相反数”的理解. 教学过程 一、复习导入

师:同学们,我们先来做几个题目来复习一下上节课所学的知识. 1.在数轴上分别标出-5,3.5,0及它们的相反数所对应的点. 2.在数轴上找出与原点距离等于6的点. 3.相反数是怎样定义的?

引导学生从代数与几何两方面的特点出发回答相反数的定义.从几何方面可以说在数轴上原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数;从代数方面说只有符号不同的两个数互为相反数.那么互为相反数的两个数有什么相同的特征呢?由此引入新课,归纳出绝对值的定义. 二、讲授新课

师:下面我们一起来学习新课. 1.发现、总结绝对值的定义.

我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|.

例如,在数轴上表示数-6与表示数6的点与原点的距离都是6,所以-6和6的绝对值都是6,记作|-6|=|6|=6.同样可知|-4|=4,|+1.7|=1.7.

2.试一试:你能从中发现什么规律?由绝对值的意义,我们可以知道:

(1)|+2|= ,||= ;? (2)|0|= ;?

(3)|-3|= ,|-0.2|= .?

师引导学生概括:通过对具体数的绝对值的讨论,并注意观察在原点右边的点表示的数(正数)的绝对值有什么特点,在原点左边的点表示的数(负数)的绝对值又有什么特点.由学生分类讨论,归纳出数a的绝对值的一般规律:

(1)一个正数的绝对值是它本身;(2)0的绝对值是0;(3)一个负数的绝对值是它的相反数. 即①若a>0,则|a|=a; ②若a<0,则|a|=-a;

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③若a=0,则|a|=0. 3.绝对值的非负性.

由绝对值的定义可知:不论有理数a取何值,它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数),绝对值具有非负性,即|a|≥0. 三、例题讲解

【例1】 求下列各数的绝对值:-72,+10,-4.75,10.5. 【答案】 |-7|=7;|+

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|=;|-4.75|=4.75;|10.5|=10.5 1010

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【例2】 计算:(1)|0.32|+|0.3|;

(2)|-4.2|-|4.2|; (3)|-|-(-).

分析 求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数,然后由绝对值的性质得到.在(3)中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义.

【答案】 (1)0.62; (2)0; (3)3. 四、巩固练习

课本P11~P12练习的第1~5题.

【答案】 1.略 2.3,1.5,0,5,0.02,,,100 3.(1)17 (2)1 (3)0 (4)6 4.D 5.8,8,, 五、课堂小结

教师引导学生小结:

1.对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑,从几何方面看,一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,它具有非负性;从代数方面看,一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.

2.求一个数的绝对值时注意先判断这个数是正数还是负数.

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1.3 有理数的大小

教学目标 【知识与技能】

会借助数轴直观比较两个有理数的大小. 【过程与方法】

培养学生的逻辑思维能力,渗透数形结合思想,注意培养学生的推理论证能力. 【情感、态度与价值观】

通过两个负数大小比较的推理分析,培养学生良好的思维能力. 教学重难点

【重点】有理数比较大小的法则. 【难点】比较两个负数的大小. 教学过程 一、复习引入

师:同学们,上节课我们学习了什么知识?一起来回顾一下吧!

1.任意写出两个正数,在数轴上画出表示它们的点,较大的数与较小的数的对应点的位置有什么关系?

2.1℃与-2℃哪个温度高?-1℃与0℃哪个温度高?这个关系在温度计上表现为怎样的情况? 二、讲授新课

1.发现、总结:

(1)师:同学们,请仔细观察温度计的刻度,发现上面的温度总比下面的高,与之类似,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.

(2)在数轴上,所有的负数都在0的左边,所有的正数都在0的右边,这说明了什么? (3)由学生归纳出:正数都大于0,负数都小于0;正数大于一切负数;

(4)在数轴上,画出表示-2和-5的点,这两个数中哪个较大?再找几对类似的数试一下,从中你能概括出直接比较两个负数大小的法则吗?

(5)我们发现:两个负数,绝对值大的反而小.

这样,比较两个负数的大小,只要比较它们的绝对值的大小就可以了.

2.例如:(1)比较-3,0,2的大小;(2)比较两个负数-4和-3的大小.

(1)解法一 先在数轴上分别找出表示-3,0,2的点,由右边的数总比左边的数大,得到-3<0<2. 解法二 直接由“正数大于0,负数小于0,正数大于负数”的规律得出-3<0<2. (2)①先分别求出它们的绝对值:|-4|=4=12,|-3|=3=12. ②比较绝对值的大小:∵> ∴> ③得出结论:-<-. 3.归纳:

有理数大小比较的一般法则:

(1)负数小于0,0小于正数,负数小于正数; (2)两个正数,应用已有的方法比较; (3)两个负数,绝对值大的反而小. 三、例题讲解

师:下面一起来做几个例题巩固一下吧! 【例1】 比较下列各对数的大小: (1)-1与-0.01; (2)-|-2|与0; (3)-(-0.3)与-3; (4)-(-9)与-|-10|.

【答案】 (1)这是两个负数比较大小.

∵|-1|=1,|-0.01|=0.01,且1>0.01, ∴-1<-0.01.

(2)化简:-|-2|=-2,因为负数小于0,所以-|-2|<0. (3)这是一个正数、一个负数比较大小, ∵-(-0.3)=0.3,正数大于负数, ∴-(-0.3)>-3.

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(4)分别化简两数,得: -(-9)=9,-|-10|=-10, ∵正数大于负数,∴-(-)>-|-19

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说明:①要求学生严格按此格式书写,训练学生逻辑推理的能力; ②注意符号“∵”、“∴”的写法、读法和用法;

③对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行; ④异分母分数比较大小时要通分,将分母化为相同. 【例2】 用“>”连接下列各数: 2.6,-4.5,10,0,-23.

分析 多个有理数比较大小时,应根据“正数大于一切负数和0,负数小于一切正数和0,0大于一切负数而小于一切正数”进行分组比较,即只需正数和正数比、负数和负数比.

【答案】 2.6>10>0>-23>-4.5. 四、巩固练习

课本P15练习第1~3题. 【答案】略 五、课堂小结

教师引导学生小结:

1.先由学生叙述比较有理数大小的两种方法——利用数轴比较大小;利用绝对值比较大小,然后教师引导学生得出:比较两个有理数的大小,实际上是由符号与绝对值两方面来确定.学习了绝对值以后,就可以不必利用数轴来比较两个有理数的大小了.

2.要求学生严格按格式书写,训练学生逻辑推理的能力,提醒学生注意符号“∵”、“∴”的写法、读法和用法.

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1.4 有理数的加减

第1课时 有理数的加法(1)

教学目标 【知识与技能】

使学生了解有理数加法的意义,理解有理数加法的法则,能熟练地进行有理数加法运算. 【过程与方法】

在有理数加法法则的导出和运用过程中,注意培养学生独立分析问题和口头表达以及运用数形结合的方法解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】

通过观察、归纳、比较,体验数学学习交流的探索性和创造性,在运用知识解决问题时体验成功的喜悦. 教学重难点

【重点】有理数加法法则. 【难点】异号两数相加的法则. 教学过程 一、复习导入

1.师:同学们,在小学里我们已经学过了正整数、正分数(包括正小数)及数0的四则运算.现在引入了负数,数的范围扩大到了有理数,那么如何进行有理数的运算呢?

2.问题:

一位同学沿着一条东西向的跑道,先走了20米,又走了30米,能否确定他现在位于原来位置的哪个方向,相距多少米?

我们知道,求两次运动的总结果,可以用加法来解答.可是上述问题得不到确定的答案,因为问题中并未指出行走方向. 二、讲授新课

1.发现、总结:

师:同学们,我们必须把问题说得详细些,并规定向东为正,向西为负.

(1)若两次都是向东走,很明显,一共向东走了50米,写成算术就是:(+20)+(+30)=+50,即这位同学位于原来位置的东方50米处.这一运算在数轴上表示如图:

(2)若两次都是向西走,则他现在位于原来位置的西方50米处,写成算式就是:(-20)+(-30)=-50.

思考:还有哪些可能情形?你能把问题补充完整吗?

(3)若第一次向东走20米,第二次向西走30米.我们先在数轴上表示如图: 写成算式是(+20)+(-30)=-10,即这位同学位于原来位置的西方10米处.

(4)若第一次向西走20米,第二次向东走30米,写成算式是:(-20)+(+30)=( ),即这位同学位于原来位置的( )方( )米处.

后两种情形中两个加数符号不同(通常可称异号),所得和的符号似乎不能确定,让我们再试几次:

你能发现和与两个加数的符号和绝对值之间有什么关系吗? (+4)+(-3)=( ); (+3)+(-10)=( ); (-5)+(+7)=( ); (-6)+2=( ). 再看两种特殊情形:

(5)第一次向西走了30米,第二次向东走了30米.写成算式是:(-30)+(+30)=( ).

(6)第一次向西走了30米,第二次没走.写成算式是:(-30)+0=( ).我们不难得出它们的结果. 2.概括.

师:综合以上情形,我们得到有理数的加法法则:

(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

(2)绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; (3)互为相反数的两个数相加得0; (4)一个数同0相加,仍得这个数.

注意:

一个有理数由符号和绝对值两部分组成,所以进行加法运算时,必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同. 三、例题讲解

教师出示例题. 【例1】 计算:

(1)(+2)+(-11); (2)(+20)+(+12); (3)(-12)+(-3); (4)(-3.4)+4.3. 【答案】 (1)原式=-(11-2)=-9; (2)原式=+(20+12)=+32=32; (3)原式=-(12+3)=-26; (4)原式=+(4.3-3.4)=0.9.

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【例2】 足球循环赛中,红队胜黄队4∶1,黄队胜蓝队1∶0,蓝队胜红队1∶0,计算各队的净胜球数.

分析 (1)每队进球总数记为正,失球总数记为负,这两个数的和为该队的净胜球数.

(2)比赛双方中一方的进球数也是对方的失球数.三场比赛中,红队共进 球,失 球,净胜数为 + = ;黄队共进 球,失 球,净胜球数为 + = ;蓝队共进 球,失 球,净胜球数为 + = .? 四、巩固练习

课本P19练习的第1、2题. 【答案】 略 五、课堂小结

1.这节课我们从实例出发,经过比较、归纳,得出了有理数加法的法则.今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题.

2.应用有理数加法法则进行计算时,要同时注意确定“和”的符号与计算“和”的绝对值这两个问题.

第2课时 有理数的加法(2)

教学目标 【知识与技能】

理解加法运算律在加法运算中的作用,能运用加法运算律简化加法运算. 【过程与方法】

通过灵活运用加法运算律优化运算过程,培养学生观察、比较、归纳及运算的能力. 【情感、态度与价值观】

在优化运算的过程中体验成功的喜悦,培养仔细观察的学习习惯. 教学重难点

【重点】有理数加法运算律. 【难点】灵活运用运算律使运算简便. 教学过程 一、复习导入

师:上节课我们学习了什么,一起来复习一下吧! 1.指名学生叙述有理数加法法则. 2.计算:(1)6.18+(-9.18); (2)(+5)+(-12);

(3)3.75+2.5+(-2.5); (4)+(-)+(-)+(-).

说明:通过练习巩固加法法则,突出计算简化问题,引出新课. 二、讲授新课

1.发现、总结. (1)提出问题:

师:同学们,在小学里,我们曾经学过加法的交换律、结合律,这两个运算律在有理数加法运算中也是成立的吗?

(2)探索:

任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□和○内,并比较两个算式的运算结果.

12

23

12

13

□+○和○+□

任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□、○和◇内,并比较两个算式的运算结果.

(□+○)+◇和□+(○+◇)

(3)总结:

让学生总结出加法的交换律、结合律.

加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=b+a.

加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变,即(a+b)+c=a+(b+c). 这样,多个有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可先把其中的几个数相加,使计算简化. 三、例题讲解

教师板书例题并和学生共同完成. 【例1】 计算:

(1)(+26)+(-18)+5+(-16); (2)(-13)+12+(+74)+(-23)+(-82).

【答案】 (1)原式=(26+5)+[(-18)+(-16)]=31+(-34)=-(34-31)=-3.

(2)原式=[(-1)+(-2)]+[1+(-8)]+7=(-4)+(-7)+7=(-4)+[(-7)+7]=(-4)+=-(4-)=-3. 从几个例题中你能发现应用运算律时,通常将哪些加数结合在一起,能使运算简便吗? 【例2】 运用加法运算律计算下列各题:

(1)(+66)+(-12)+(+11.3)+(-7.4)+(+8.1)+(-2.5); (2)(+3)+(-2)+(-3)+(-1)+(+5)+(+5); (3)(+6)+(+)+(-6.25)+(+)+(-)+(-).

分析 利用运算律将正、负数分别结合,然后相加,可以使运算比较简便;有分数相加时,利用运算律把分母相同的分数结合起来,将带分数拆开,计算比较简便.一定要注意不要遗漏括号.相加的若干个数中出现了相反数时,先将相反数结合起来抵消掉,或通过拆数、部分结合凑成相反数抵消掉,这样计算比较简便.

【答案】 (1)原式=(66+11.3+8.1)+[(-12)+(-7.4)+(-2.5)]=85.4+(-21.9)=63.5.

(2)原式=(3+)+(5+)+[-(2+)]+[-(1+)]+(5+)+[-(3+)] =3+5+5+5+(-2)+(-1)+(-8)+(-8)+5+(-3)+12+(-12)=7. (3)原式=(+6)+(-6.25)+(+)+(-)+(-)=-.

【例3】 10袋小麦的质量(单位:kg)分别如

下:91,91,91.5,89,91.2,91.3,88.7,88.8,91.8,91.1,这10袋小麦一共多少kg?如果每袋小麦以90kg为标准,10袋小麦总计超过多少kg或不足多少kg?

【解】 91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4(kg). 90×10=900(kg),905.4-900=5.4(kg).

答:这10袋小麦一共905.4kg.如果每袋小麦以90kg为标准,10袋小麦总计超过5.4kg. 四、巩固练习

课本P20练习的第4、5题. 【答案】 略

14

1123

56

79

79

23

7

1

5

5

25

35

78

18

512

512

14

12

13

79

56

25

78

512

18

35

512

23

13

12

12

14

14

14

14

14

34

2

1

1

1

1

五、课堂小结

师引导学生小结:

三个以上的有理数相加,可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置,简化运算.常见技巧有: 1.凑零凑整:互为相反数的两个数结合先加;和为整数的加数结合先加. 2.同号集中:按加数的正负分成两类分别结合相加,再求和. 3.同分母结合:把分母相同或容易通分的结合起来.

4.带分数拆开:计算含带分数的加法时,可将带分数的整数部分和分数部分拆开,分别结合相加.注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号.

第3课时 有理数的减法

教学目标 【知识与技能】

理解并掌握有理数减法法则,会进行有理数的减法计算. 【过程与方法】

1.经历由特例归纳出一般规律的过程,培养学生的抽象概括能力及表达能力. 2.通过减法到加法的转化,让学生初步体会化归的数学思想. 【情感、态度与价值观】

使学生感受事物之间的相互联系,培养他们的辩证唯物主义的思想. 教学重难点

【重点】有理数减法法则. 【难点】法则本身的推导和理解. 教学过程 一、复习导入

师:同学们,上课之前老师先问你们几个问题,看大家对上节课的知识掌握得怎么样. 1.指名学生叙述有理数的加法法则. 2.计算:(1)(-2)+(-6);(2)(-8)+(+6). 3.问题:

在月球表面,“白天”的温度可达127℃,太阳落下后的“月夜”气温竟下降到-183℃,请问在月球上温差是多少度?(310℃.)

通过分析启发学生应该用减法计算上题,从而引出新课. 二、讲授新课

1.发现、总结. (1)回忆:

师:同学们,我们知道,已知两个数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算叫做减法.

例如计算(-8)-(-3)也就是求一个数,使这个数与-3相加等于-8.根据有理数加法运算法则,有(-5)+(-3)=-8,所以(-8)-(-3)=-5.①

减法运算的结果得到了.

试一试:再做一个填空:(-8)+( )=-5,容易得到(-8)+(+3)=-5.② 比较①、②两式,我们发现:-8“减去-3”与“加上+3”结果是相等的. (2)再试一次:10-6=(4),10+(-6)=(4),得10-6=10+(-6).

(3)概括:上述两例启发我们可以将减法转化为加法来进行计算. 有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.

如果用字母a、b表示有理数,那么有理数减法法则可表示为:a-b=a+(-b).

三、例题讲解

【例1】 计算:

(1)(-32)-(+5); (2)7.3-(-6.8); (3)(-2)-(-25); (4)12-21.

【答案】 (1)(-32)-(+5)=-32-5=-37. (2)7.3-(-6.8)=7.3+6.8=14.1.

(3)(-2)-(-25)=(-2)+25=23. (4)12-21=12+(-21)=-9.

【例2】 某次法律竞赛中规定:抢答题答对一题得20分,答错一题扣10分,答对一题与答错一题得分相差多少分?

【答案】 20-(-10)=20+10=30(分), 即答对一题与答错一题相差30分. 四、巩固练习

课本P21~P22练习的第1~4题. 【答案】 略 五、课堂小结

1.教师指导学生阅读教材后强调指出:

由于把减数变为它的相反数,从而减法转化为加法.有理数的加法和减法,把引进负数后就可以统一用加法来解决.

2.不论减数是正数、负数或是零,都符合有理数减法法则.在使用法则时,注意被减数不变.

第4课时 有理数的加减混合运算

教学目标 【知识与技能】

理解有理数的加减法可以互相转化,并了解代数和概念. 【过程与方法】

让学生进一步体会到有理数减法可以转化为加法进行计算,能熟练地进行有理数的加减混合运算,并体会在实际中的应用. 【情感、态度与价值观】

通过由具体实例抽象、概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生积极主动参与的学习习惯. 教学重难点

【重点】能准确迅速地进行有理数的加减混合运算. 【难点】将减法直接转化为加法及混合运算的准确性. 教学过程 一、复习导入

师:同学们,我们先一起来回顾一下前面所学的知识. 教师指名学生说出: 1.叙述有理数加法法则.

2.叙述有理数减法法则. 3.叙述加法的运算律.

4.符号“+”和“-”各表达什么意义? 5.指名化简:+(+3);+(-3);-(+3);-(-3). 6.学生口算:

(1)2-7; (2)(-2)-7; (3)(-2)-(-7); (4)2+(-7); (5)(-2)+(-7); (6)7-2; (7)(-2)+7; (8)2-(-7). 二、讲授新课

师:下面我们一起来学习新课.

1.加减法统一成加法算式.

以上口算题中(1),(2),(3),(6),(8)都是减法,按减法法则可写成加上它们的相反数.同样,(-11)-7+(-9)-(-6)按减法法则应为(-11)+(-7)+(-9)+(+6),这样便把加减法统一成加法算式.几个正数或负数的和称为代数和.

再看16-(-2)+(-4)-(-6)-7写成代数和是16+2+(-4)+6+(-7).既然都可以写成代数和,正号可以省略,每个括号都可以省略,如:(-11)+(-7)+(-9)-(-6)=-11-7-9+6,读作“负11、负7、负9、正6的和”,运算上可读作“负11减7减9加6”;16+2+(-4)+6+(-7)=16+2-4+6-7,读作“正16、正2、负4、正6、负7的和”,运算上读作“16加2减4加6减7”.

2.加法运算律的运用:

既然是代数和,当然可以运用有理数加法运算律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c). 三、例题讲解

【例1】 把(+)+(-)-(+)-(-)-(+1)写成省略正号的和的形式,并把它读出来. 【答案】 原式=(+3)+(-5)+(-5)+(+3)+(-1)=3-5-5+3-1=-1. 读作:“3、-5、-5、3、-1的和”. 【例2】 计算:

(1)(+7)-(+8)+(-3)-(-6)+2; (2)4+(-6)-3-(-8).

【答案】 (1)(+7)-(+8)+(-3)-(-6)+2 =(+7)+(-8)+(-3)+(+6)+2(减法法则) =(7+6+2)+(-8-3)(加法交换律、结合律) =15-11=4. (2)+(-)--(-)

=+(-)+(-)+(+)(减法法则) =(+)+(--)(加法交换律、结合律) =8-2=8.

【例3】 一批大米,标准质量为每袋25kg.质检部门抽取10袋样品进行检测,把超过标准质量的千克数用正数表示,不足的用负数表示,结果如下表: 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 与标准 +1 -0.5 -1.5 +0.75 -0.25 +1.5 -1 +0.5 0 +0.5 相差 这10袋大米总计质量是多少千克? 【答案】 1+(-0.5)+(-1.5)+0.75+(-0.25)+1.5+(-1)+0.5+0+0.5

7133148

1163

34

16

13

18

34

16

13

18

3

1

1

1

2

4

1

12

4

1

1

2411

23

45

15

13

=[1+(-1)]+[(-0.5)+0.5]+[(-1.5)+1.5]+[0.75+(-0.25)]+0.5=1(kg) 25×10+1=251(kg).

答:这10袋大米的总计质量是251kg. 四、巩固练习

(1)课本P25练习题.

(2)-3,+5,-7的代数和比它们的绝对值的和小多少? 【答案】 (1)略 (2)(|-3|+|+5|+|-7|)-(-3+5-7)=20 五、课堂小结

教师引导学生小结:

1.有理数的加减法可统一成加法.

2.因为有理数加减法可统一成加法,所以在加减运算时,适当运用加法运算律,把正数与负数分别相加,可使运算简便.但要注意交换加数的位置时,要连同前面的符号一起交换.

1.5 有理数的乘除

第1课时 有理数的乘法(1)

教学目标 【知识与技能】

了解有理数乘法的意义,掌握有理数乘法法则,并熟练进行两个有理数乘法的运算. 【过程与方法】

经历对有理数乘法法则的探索过程,加深对法则的理解并能熟练使用. 【情感、态度与价值观】

通过师生交流合作,让学生体会从特殊到一般的归纳方法,提高学生的认知水平. 教学重难点

【重点】有理数乘法的运算. 【难点】有理数乘法中的符号法则. 教学过程 一、复习导入

师:我们先来复习一下前面所学的知识. 1.指名计算:(-2)+(-2)+(-2).

2.师:你们知道有理数包括哪些数吗?小学学习四则运算是在有理数的什么范围中进行的?(非负数) 生讨论并发言.

3.师:那么在有理数的加减运算中,关键问题是什么?和小学所学的运算最主要的不同点是什么?(符号问题)

学生讨论并发言.

4.根据有理数加减运算中引出的新问题主要是负数加减,运算的关键是确定符号问题,你能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的新内容以及关键问题是什么?(负数问题,符号的确定) 二、讲授新课

1.师生共同探究有理数乘法法则. (1)研究实际问题.

教师出示问题1:一只小虫沿一条东西向的跑道,以每分钟3米的速度向东爬行2分钟,那么它现在位于原来的位置的哪个方向,相距多少米?

我们知道,这个问题可用乘法来解答:3×2=6①

即小虫位于原来位置的东方6米处.

注意:这里我们规定向东为正,向西为负.如果上述问题变为:

问题2:小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟,那么结果有何变化? 这也不难,写成算式就是:(-3)×2=-6② 即小虫位于原来位置的西方6米处.

(2)引导学生比较上面两个算式.

当我们把“3×2=6”中的一个因数“3”换成它的相反数“-3”时,所得的积是原来的积“6”的相反数“-6”,一般地,我们有:

把一个因数换成它的相反数,所得的积是原来的积的相反数. (3)这是一条很重要的结论,应用此结论,3×(-2)=? (-3)×(-2)=? (学生答)把3×(-2)和①式对比,这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”,所得的积应是原来的积“6”的相反数“-6”,即3×(-2)=-6.把(-3)×(-2)和②式对比,这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”,所得的积应是原来的积“-6”的相反数“6”,即(-3)×(-2)=6.此外,把(-3)×0=0同3×0=0作比较. (4)综合上面的各种情况,引导学生自己归纳出有理数乘法的法则: 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘; 任何数同0相乘,都得0. (5)继而教师强调指出:

“同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学时期学习的乘法,有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”.

用有理数乘法法则与小学学习的乘法相比,由于介入了负数,使乘法变得较复杂了,但并不难,关键仍然是乘法的符号法则:“同号得正,异号得负”,符号一旦确定,就归结为小学的乘法了.

因为,在进行有理数乘法运算时更需时时强调:先定符号后定值. 三、例题讲解

【例1】 计算:

(1)(-5)×(-6); (2)(-)×; (3)(-5)×(-3); (4)8×(-1.25). 【答案】 (1)(-5)×(-6)=+(5×6)=30. (2)(-)×=-(×)=-. (3)(-5)×(-3)=+(5×3)=1. (4)8×(-1.25)=-(8×1.25)=-10.

【例2】 用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负,登山队攀登一座山峰,每向上攀登1km气温的变化量为-6℃,向上攀登3km后气温有什么变化?学生口述,教师板书. 四、巩固练习

课本P31练习第1~3题. 【答案】 略 五、课堂小结

今天主要学习了有理数的乘法法则,要牢记两个负数相乘得正数,简单地说就是“负负得正”.

3

5

3

5

32

16

32

16

14

3

5

32

16

第2课时 有理数的乘法(2)

教学目标 【知识与技能】

1.掌握有理数乘法的运算律,并利用运算律简化乘法运算. 2.掌握多个有理数相乘的积的符号法则. 3.培养学生观察、归纳、概括及运算能力. 【过程与方法】

经历探索多个有理数乘法法则的过程,培养学生观察、归纳、概括及运算的能力. 【情感、态度与价值观】

通过由具体实例抽象概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生实事求是、善于质疑和独立思考的良好学习习惯. 教学重难点

【重点】乘法的符号法则和乘法的运算律. 【难点】积的符号的确定. 教学过程 一、复习导入

1.师:同学们,你们谁能叙述一下有理数的乘法法则? 2.指名口算:

(1)5×(-6); (2)(-6)×5; (3)[3×(-4)]×(-5); 二、讲授新课

1.师生共同研究有理数乘法运算律: (1)问题:

在小学里,我们曾经学过乘法的交换律、结合律、分配律.这三个运算律在有理数乘法运算中也是成立的吗?

(2)探索:

任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□和○内,并比较两个算式的运算结果.

□×○和○×□

任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□、○和◇内,并比较两个算式的运算结果.

(□×○)×◇和□×(○×◇)

任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□、○和◇内,并比较两个算式的运算结果.

□×(○+◇)和□×○+□×◇

(3)总结:让学生总结出乘法的交换律、结合律.

乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变.即ab=ba.

乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.即(ab)c=a(bc). 乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加,即a(b+c)=ab+ac.

(4)根据乘法交换律和结合律可以推出:三个以上有理数相乘, 可以任意交换乘数的位置,也可以先把其中的几个数相乘.

(5)师:多个有理数相乘,有一个因数为零时,积是多少?因数都不为零时,积的符号怎样确定? 生:①几个有理数相乘,有一个因数为零,积为零.②几个不为零的有理数相乘,积的符号由负数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.

2.问题:

(1)计算:(-2)×5×(-3),有多少种不同的算法?你认为哪种算法比较好?

(4)3×[(-4)×(-5)].

(2)计算:(4+6-2)×12,有几种不同的算法?你认为哪种算法比较好? 三、例题讲解

【例1】 计算:

(1)(-10)××0.1×6= ;? (2)(-10)×3×0.1×(-6)= ;? (3)(-10)×(-)×(-0.1)×6= ;? (4)(-10)×(-3)×(-0.1)×(-6)= .? 【答案】 (1)-2 (2)2 (3)-2 (4)2

我们可以发现:一般地,几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.

【例2】 计算:

(1)8+(-0.5)×(-8)×4; (2)(-3)×6×(-15)×(-0.25); (3)×(8-1-);

(4)4×(-12)+(-8)×(-5)+16.

【答案】 (1)原式=8+2×4×8=8+3=11.(先乘后加) (2)原式=-3××× (先定符号) =-18. (后定值)

(3)原式=4×8-4×3-4×15=6-1-10=410.

(4)原式=8×(-6)+8×5+8×2=8×(-6+5+2)=8×1=8.

从上面的例子可以看出,应用运算律,可使运算简便.有时需要先把算式变形,才能用分配律.如(3),还有时需反向运用分配律. 四、巩固练习

课本P32练习第1~3题. 【答案】 略 五、课堂小结

教师指导学生看书,精读多个有理数乘法的法则及乘法运算律,并强调运算过程中应该注意的问题.

3

3

43

14

7

3

1

56

95

14

1

3

34

1143155

4

3

113113

111

第3课时 有理数的除法

教学目标 【知识与技能】

1.理解有理数倒数的意义.

2.掌握有理数的除法法则,能够熟练地进行除法运算.

【过程与方法】

经历探索有理数除法法则及运算的过程,培养学生观察、归纳、概括及运算的能力. 【情感、态度与价值观】

通过师生合作交流,让学生体会从特殊到一般的归纳方法,提高学生的认知水平. 教学重难点

【重点】有理数除法法则.

【难点】商的符号的确定以及对零不能作除数的理解. 教学过程 一、复习导入

师:在新课开始之前,我们先来回顾一下前面的知识. 1.教师指名学生叙述有理数乘法法则. 2.叙述有理数乘法的运算律. 3.计算: (1)(-6)×2;

(2)(-0.5)×(-1)××(-8)×1; (3)(-3)×(+7)-9×(-6); (4)25÷(5). 二、讲授新课

1.师生共同研究有理数除法法则: (1)问题:

“一个数与2的乘积是-6,这个数是几?”你能否回答?这个问题写成算式有两种: 2×(?)=-6,(乘法算式) 也就是(-6)÷2=(?) (除法算式)

由2×(-3)=-6,我们有(-6)÷2=-3.另外,我们还知道:(-6)×=-3.所以,(-6)÷2=(-6)×.这表明除法可以转化为乘法来进行计算.

(2)探索:

填空:

8÷(-2)=8×( ); 6÷(-3)=6×( ); -6÷( )=-6×3; -6÷( )=-6×3. (3)总结:

让学生总结除法法则、倒数的概念,乘积是1的两个数互为倒数. 有理数除法法则:除以一个数等于乘上这个数的倒数. 注意:0不能作除数.

2.探讨总结出有理数除法类似有理数乘法的法则.

因为除法可化为乘法,所以有理数的除法有与乘法类似的法则: 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除. 0除以任何一个不为0的数,都得0.

21

12

12

6

4

316

13

1

三、例题讲解

【例1】 计算:

(1)(-18)÷6; (2)(-)÷(-); (3)25÷(-5).

【答案】 (1)(-18)÷6=(-18)×6=-3. (2)(-5)÷(-5)=(-5)×(-2)=2. (3)÷(-)=×(-)=-. 【例2】 化简下列分数: (1)

-12; 3625

45

625

54

310

1

2

1

5

1

1

6

4

15

25

(2)-16.

1

-24

【答案】 (1)原式=(-12)÷3=-(12÷3)=-4. (2)原式=(-24)÷(-16)=24÷16=12. 【例3】 计算:

(1)(-5)÷(-2); (2)(-247)÷(-6); (3)-3.5÷8×(-4).

【答案】 (1)原式=÷=×=.[或原式=(-×(-)=] (2)原式=(24+)×=4+=4. (3)原式=2×7×4=3. 四、巩固练习

课本P34练习的第1~3题. 【答案】 略 五、课堂小结

1.指导学生看书,重点是除法法则.

2.引导学生归纳有理数除法的一般步骤:(1)确定商的符号;(2)把除数化为它的倒数;(3)利用乘法计算结果.

7

8

367

16

17

1735

3325

2235

35

23

25

7

3

3

3

6

第4课时 有理数的乘除混合运算

教学目标 【知识与技能】

1.有理数的加减乘除混合运算. 2.合理使用运算律简化运算. 【过程与方法】

通过学生做题,提高学生的灵活解题能力和运算技能. 【情感、态度与价值观】

通过师生共同的活动,培养学生的应用意识,训练学生的思维. 教学重难点

【重点】按有理数的运算顺序 ,正确而合理地进行有理数的混合运算. 【难点】按有理数的运算顺序,合理地运用运算律简化计算. 教学过程 一、复习导入

师:上新课之前,老师先出个题目考考大家. 1.指名学生计算: (1)8+5×(-4);

解 (1)原式=8+(-20) (先乘后加) =-12.

(2)(-3)×(-7)-9×(-6).

解 (2)原式=21-(-54) (先乘后减) =75.

2.再次强调:在有理数乘法计算中,首先要掌握积的符号法则,当符号确定后又归结到小学数学的乘法运算上,四则运算顺序也同小学一样,先进行第二级运算,再进行第一级运算,若有括号先算括号里的式子.

二、例题讲解

【例1】 计算:5×(3-2)×11÷4.

学生板演,教师点评,然后分析:既要考虑运算顺序,又要考虑运算法则. 【答案】 原式=5×(-6)×11×5=-25. 【例2】 计算: (1)8+(-0.5)×(-8)×; (2)(-3)××(-1)×(-0.25); (3)4+5÷(-5)-5×(-4); (4)-5+(1-0.2×3)÷(-2). 学生板演,教师点评学生解法. 【答案】 (1)原式=8+2×4×8=8+3=11. (2)原式=-3×6×5×4=-18. (3)原式=4+5×(-4)-5×(-4) =4-4+2=1.

(4)原式=-5+(1-3)÷(-2) =-5+3×(-2)=-5-3=-3.

2

1

1

161

311

31

5

2

5

5

9

1

11

3

5

31

4

2

5

56

45

3411

1

3

4

2

11

11

3

5

【例3】 计算:

(1)30×(2-3+0.4); (2)4.98×(-5).

【答案】 (1)原式=30×-30×+30×=15-20+12=7. (2)原式=4.98×(-5)=(5-0.02)×(-5)=-25+0.1=-24.9. 从上面的例子可以看出,应用运算律,有时可使运算简便. 三、课堂练习

课本P36~P37练习的第1~3题. 【答案】 略 四、课堂小结

通过本节课的学习,你获得了哪些新的知识,你认为你有哪些方面的进步? 学生自主总结,教师补充完善.

三个优先:运算顺序优先考虑,运算结合的符号优先考虑,能运用运算律的优先考虑.

12

23

25

12

1.6 有理数的乘方

第1课时 乘方(1)

教学目标 【知识与技能】

理解有理数乘方的概念,掌握有理数乘方的运算. 【过程与方法】

培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力以及探索精神. 【情感、态度与价值观】

通过在现实背景中理解有理数乘方的意义,体会数学的应用价值. 教学重难点

【重点】有理数乘方的运算. 【难点】有理数乘方运算的符号法则. 教学过程 一、复习导入

1.师:同学们,请列式表示:(1)边长为a的正方形面积;(2)棱长为a的长方体体积.

23

2.师:在小学我们已经学过a·a,记作a,读作a的平方(或a的二次方);a·a·a记作a,读作a的立方(或a的三次方).那么a·a·a·a可以记作什么?读作什么?a·a·a·a·a呢?

𝑎·𝑎·⏟ 𝑎·……· 𝑎(n为正整数)呢?

𝑛个

二、讲授新课 1.概念.

师生:一般地,我们有:n个相同的因数a相乘,即⏟ 𝑎·𝑎· 𝑎·……· 𝑎,记作a.

n

𝑛个

例如,2×2×2=2;(-2)(-2)(-2)(-2)=(-2).

n

这种求几个相同因数的积的运算,叫做乘方(involution),乘方的结界叫做幂(power).在a中,a

nn

叫做底数,n叫做指数,a读作a的n次方,a看作是a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂.

33

例如,2中,底数是2,指数是3,2读作2的3次方,或2的3次幂.

3

4

一个数可以看作这个数本身的一次方,例如8就是8,通常指数为1的省略不写. 2.例题.

34

【例】 计算:(1)(-2); (2)(-2); 5

(3)(-2).

【答案】 (1)原式=(-2)×(-2)×(-2)=-8.

1

(2)原式=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16.

(3)原式=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=-32. 3.总结.

让学生总结出符号法则.

根据有理数乘法运算法则,我们有: 正数的任何次幂都是正数;

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数. 你能把上述的结论用数学符号语言表示吗?

n

当a>0时,a>0(n是正整数); 当a<0时,{

𝑎𝑛<0(n是奇数);

当a=0时,a=0(n是正整数)(以上为有理数乘方运算的符号法则).

n

𝑎𝑛>0(n是偶数),

a=(-a)(n是正整数);a=-(-a)(n是正整数);a≥0(a是有理数,n是正整数). 4.试一试.

66

(-2)读作什么?其中底数是什么?指数是什么?(-2)是正数还是负数?

2n

2n

2n-1

2n-1

2n

4=( );(-3)=( );(-1)=( );(-0.1)=( ).

3

2

5

3

1

【答案】 略 三、课堂小结

教师引导学生回忆,做出小结:1.乘方的有关概念.2.乘方的符号法则.3.括号的作用.

第2课时 乘方(2)

教学目标 【知识与技能】

1.进一步掌握有理数的运算法则和运算律.

2.使学生能够熟练地按有理数的运算顺序进行混合运算. 【过程与方法】

通过例题,培养学生的观察、归纳、推理运算等能力. 【情感、态度与价值观】

通过师生共同交流,渗透利用数学知识解决实际问题的思想,以激发学生学习的兴趣,树立独立解决问题的信心. 教学重难点

【重点】有理数的混合运算.

【难点】准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题. 教学过程 一、复习引入

师:在上新课之前,我们先来做几个题目巩固一下前面所学的知识.

1.指名学生计算:

(1)(-2)+(-3); (2)7×(-12);

3

(3)17-(-32); (4)(-2);

321

(5)-2; (6)0;

24

(7)(-4) (8)(-2); (9)-100-27; (11)-7+3-6;

(10)18×(-22); (12)(-3)×(-8)×25.

7

1

2.师:说一说我们学过的有理数的运算律. 加法交换律:a+b=b+a.

加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

乘法交换律:ab=ba.乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.

二、讲授新课

1.师:同学们,请观察下面的算式里有哪几种运算?

3+50÷2×(-)-1.

2

15

在这个算式里,含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算,这种运算称为有理数的混合运算. 2.有理数混合运算的运算顺序.

(1)先算乘方,再算乘除,最后算加减; (2)同级运算,按照从左至右的顺序进行;

(3)如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.

注意:①加法和减法叫做第一级运算;乘法和除法叫做第二级运算;乘方和开方叫做第三级运算. ②可以应用运算律,适当改变运算顺序,使运算简便. 3.试一试.

师:指出下列各题的运算顺序: (1)-50÷2×(); (2)6÷(3×2); (3)6÷3×2;

(4)17-8÷(-2)+4×(-3); (5)3-50÷2×()-1.

2

2

15

110

三、例题讲解

【例1】 计算:(3-2)÷14÷10.

【答案】 原式=(3-2)÷14÷10=(-6)×5×10=-3. 师:这里要注意三点:

(1)小括号里的先算;

(2)进行分数的乘除运算,一般要把带分数化为假分数,把除法转化为乘法; (3)同级运算,按从左往右的顺序进行,这一点十分重要. 【例2】 计算:

2

(1)-10+8÷(-2)-(-4)×(-3); (2)(-5)×(-3)+(-8)÷[(-2)-4].

2

3

1111

1111144

95311

【答案】 (1)-10+8÷(-2)-(-4)×(-3) =-10+8÷4-4×3=-10+2-12=-20.

2

(2)(-)×(-)+(-)÷[(-)-]

2

3

9553381214

=(-5)×9+(-8)÷[(-8)-4] =(-)×+(-)÷(-) =-5+1=-4. 5.课堂练习: (1)想一想:

①2÷(-2)与2÷-2有什么不同? ②2÷(2×3)与2÷2×3有什么不同? (2)试一试:

计算:2×(-)÷(-2).

【答案】 (1)①运算顺序不同,前者结果是-3;后者结果是2.②运算顺序不同,前者结果是3;后者结果是3. (2).

四、课堂小结

教师引导学生一起总结有理数混合运算的规律:1.先乘方,再乘除,最后加减.2.同级运算按从左到右的顺序运算.3.若有括号,先小再中最后大,依次计算.

974

1

14

67

12

12

12

95

259

38

38

925311

第3课时 科学记数法

教学目标 【知识与技能】

1.复习和巩固有理数乘方的概念,掌握有理数乘方的运算.

2.使学生了解科学记数法的意义,并会用科学记数法表示比较大的数. 【过程与方法】

通过科学记数法的学习,让学生从各种角度感受大数,促使学生重视大数的现实意义,培养学生的情感.

【情感、态度与价值观】

让学生充分感受到数学给我们的生活带来的便捷与严谨. 教学重难点

【重点】正确运用科学记数法表示较大的数. 【难点】正确掌握10的幂指数特征. 教学过程 一、复习导入

师:我们先来看这几个问题.

333n

1.指名回答什么叫乘方,并让学生说出10,-10,(-10),a等的底数、指数、幂. 2.师:请把下列各式写成幂的形式:

2222333333332×2×2×2×××;(-)(-)(-)(-);-×××;3. 333322222222

3.计算:10,10,10,10,10,10,10.

1

2

3

4

5

6

10

师引导学生得出:由第3题计算:10=100 000,10=1 000 000,10=10 000 000 000,左边用10的n次幂表示简洁明了,且不易出错,右边有许多零,很容易写错,读的时候也是左易右难,这就使我们想到用10的n次幂表示较大的数,比如一亿、一百亿等.又如像太阳的半径大约是696 000千米,光速大约是300 000 000米/秒,中国人口大约是13亿等,我们如何能简单明了地表示它们呢?这就是本节课我们要学习的内容——科学记数法. 二、讲授新课

1.10的特征.

123410

师:同学们,请观察第3题:10=10,10=100,10=1 000,10=10 000,…,10=10 000 000 000.

n

提问:10中的n表示n个10相乘,它与运算结果中0的个数有什么关系?与运算结果的数位有什么关系?

n

5610

(1)10=1⏟00 … 0,n恰巧是1后面0的个数;(2)10=100⏟ …0,比运算结果的位数少1.反之,1后面有

n

n

𝑛个0(𝑛+1)位

7

多少个0,10的幂指数就是多少,如1⏟0 000 000 =10.

7个0

2.练习.

(1)把下面各数写成10的幂的形式:1 000,100 000 000,100 000 000 000.

3512100

(2)指出下列各数是几位数:10,10,10,10.

3.科学记数法.

(1)任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式.

233

如:100=1×100=1×10;6 000=6×1 000=6×10;7 500=7.5×1 000=7.5×10.

第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识,我们现在要做的就是把100,1 000,变成10的n次幂的形式就行了.

(2)科学记数法的定义.

n

根据上面的例子,我们把大于10的数记成a×10的形式,其中a的整数数位只有一位的数,n是自然数,这种记数法叫做科学记数法.现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法,以后我们还要学习其他一些数的科学记数法.说它科学,因为它简单明了,易读易记易判断大小,在自然科学中经常运用.

n

一般地,把一个大于10的数记成a×10的形式,其中a是整数数位只有一位的数(即1≤a<10),n是正整数,这种记数法叫做科学记数法. 三、例题讲解

【例1】 用科学记数法表示下列各数: (1)696 000; (2)1 000 000; (3)58 000; (4)-7 800 000.

5

【答案】 (1)原式=6.96×10;

(2)原式=10;

4

(3)原式=5.8×10;

6

(4)原式=-7.8×10.

【例2】 资料表明,被称为“地球之肺”的森林正以每年约1300万公顷的速度从地球上消失,每年森林的消失量用科学记数法表示应是多少公顷?

7

【答案】 1300万=13 000 000=1.3×10.

72

因此,每年森林的消失量用科学记数法表示应是1.3×10hm. 思考.

6

用科学记数法表示一个数时,10的指数与原数的数位位数有什么关系?和同学讨论一下,再举几个数验证你的猜想是否正确.

课堂练习

课本P43练习的第1、2题. 【答案】 略 四、课堂小结

指导学生看书并掌握:

1.什么是科学记数法以及为什么学习科学记数法.

2.突出科学记数法中字母a的规定及10的幂指数与原数整数位数的关系.

1.7 近似数

教学目标 【知识与技能】

1.使学生初步理解近似数的概念,并由给出的近似数,说出它精确到哪一位. 2.给出一个数,能熟练地按要求四舍五入取近似数. 【过程与方法】

通过近似数的学习,体会近似数的意义及其在生活中的作用. 【情感、态度与价值观】

通过近似数的学习,向学生渗透具体问题具体分析的辩证唯物主义思想. 教学重难点

【重点】近似数、精确度等概念;给一个数,能按照精确到哪一位或四舍五入取近似数. 【难点】由给出的近似数求其精确度. 教学过程 一、问题引入

1.问题.

(1)师:同学们,请你们统计一下班上喜欢吃肯德基的同学的人数. (2)量一量课本的宽度. 了解准确数和近似数的概念. 2.根据学生原有的认知结构提出问题.

师:在小学里我们计算圆的面积S=πR,π一般取多少?

2

生:3.14.

师:这是一个精确的数吗?小数位数太多,不便于计算,常常保留两位小数,由“四舍五入”取π≈3.14,这就是“近似数”,小学里在小数计算中经常把最后答案取近似数.

3.完成练习.

(1)将3.062保留一位小数得 ;? (2)将7.448保留整数得 ;? (3)将15.267保留两位小数得 .? 二、讲授新课

1.精确度.

师:在实际问题中,我们经常要用近似数.使用近似数就有一个近似程度的问题,也就是精确度的问题.

我们都知道,π=3.14159….我们对这个数取近似数:

如果结果只取整数,那么按四舍五入的法则应为3,就叫做精确到个位; 如果结果取1位小数,则应为3.1,就叫做精确到十分位(或叫做精确到0.1); 如果结果取2位小数,则应为3.14,就叫做精确到百分位(或叫做精确到0.01). 概括:一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位. 三、例题讲解

【例1】 十一期间,某商场准备作打8折(即10)促销.一种原价为348元的微波炉,打折后,如果要求精确到元,定价是多少?如果要求精确到10元,定价又是多少?

【答案】 这种微波炉打8折后的价格为

348×10=278.4(元).

要求精确到元的定价为278元;精确到10元的定价为280元.

【例2】 据2010年上海世博会官方统计,2010年5月1日到10月31日期间,共有7 308.44万人次入园参观,求每次的平均入园人数(精确到0.01万人).

【答案】 从5月1日到10月31日共有184天,所以每天的平均入园人数为 7 308.44÷184≈39.719≈39.72(万人).

【例3】 用四舍五入法,按括号中的要求把下列各数取近似数. (1)0.340 82(精确到千分位); (2)64.8(精确到个位); (3)1.504(精确到0.01). 【答案】 (1)0.340 82≈0.341. (2)64.8≈65. (3)1.504≈1.50.

注意:(1)例3的(3)中,由四舍五入得来的1.50与1.5的精确度不同,不能随便把后面的0去掉; (2)有一些量,我们或者很难测出它的准确值,或者没有必要算得它的准确值,这时通过粗略的估算就能得到所要的近似数,有时近似数也并不总是按“四舍五入”法得到的.

例如,某地遭遇水灾,约有10万人的生活受到影响.政府拟从外地调运一批粮食救灾,需估计每天要调运的粮食数.如果按一个人平均一天需要0.5千克粮食算,那么可以估计出每天要调运5万千克的粮食.

又如某校初中一年级共有112名同学,想租用45座的客车外出秋游.因为112÷45=2.488…,这里就不能用四舍五入法,而要用“进一法”来估计应该租用客车的辆数,即应租3辆. 四、课堂练习

课本P47练习. 【答案】 略 五、课堂小结

本节课教师主要引导学生理解并掌握下列内容:

1.正确理解并掌握近似数、准确数、精确度和有效数字等概念.

8

8

2.要学会给出一个近似数,能准确地确定它精确到哪一位或它有哪几个有效数字;准确、迅速、熟练地按照要求求出一个数的近似数.

3.对例题中提到的注意事项应引起重视.

第2章 整式加减

2.1 代数式

第1课时 用字母表示数

教学目标 【知识与技能】

经历探索规律并用字母表示数的过程,能用字母表示以前学过的运算律和计算公式. 【过程与方法】

体会字母表示数的意义,形成初步的符号感,提高应用数学的意识. 【情感、态度与价值观】

激发强烈的求知欲,培养积极探索,勇于创新的精神和团结合作的习惯. 教学重难点

【重点】用字母表示数的意义及用字母表示规律. 【难点】用字母表示规律. 教学过程

一、创设情境,引入新课

国庆节到了,妈妈要加班,上班前嘱咐读初一的儿子方舟在家里打扫卫生,方舟按妈妈的要求做完后,坐在窗边想着想买的玩具,可又愁自己没钱,忽然,他计上心来,趁妈妈下班回家之前在桌子上留了一张纸条,然后躲在房间里看妈妈的动静.

妈妈回家看到纸条是这样写的:“拖地收3元,叠被子收2元,擦窗户收4元,丢垃圾袋收2元,共计11元”.妈妈看后,一言不发,拿笔在纸条后加上几行字:“吃饭收x元,穿衣收y元,带你去看病收z元,关心收a元……共计应收b元”.写完后就到厨房做饭去了,方舟溜出来一看,心生惭愧,赶忙收起了纸条.

你知道妈妈写的x元、y元……是多少吗?方舟为什么惭愧? 今天这节课,我们就来学习用字母表示数.

活动(一) 问题1:2003年10月15日,我国成功发射了“神舟五号”载人飞船,它在椭圆轨道上环绕地球飞过14周,历时21h.

(1)该飞船绕地球飞行一周需要多少分? (2)若绕地球飞行n周,需多少分?

生:(1)

21×60

=90(分) 14

(2)

21×60

×n=90n(分). 14

问题2:能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数,如果用k表示任意一个整数,

用含有k的代数式表示:(1)任意一个偶数;(2)任意一个奇数.

整数:…-3 -2 -1 0 1 2 3 … k …

偶数:…-6 -4 -2 0 2 4 6 … ( ) … 奇数:…-7 -5 -3 -1 0 1 3 5 … ( ) … 学生思考并举手回答.

教师通过探究,我们发现字母可以表示任何一个数.

二、讲授新课

1.你知道扑克牌中的字母表示什么数吗?

2.一则招领启事是这样写的:“小明同学今天在操场上拾到人民币n元,请失主到政教处认领”.你知道这里为什么要用字母n吗?

活动(二) 问题3:在小学我们曾学过几种运算律?都是什么?如何用字母表示它们?请同学们填写下表: 运算定律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 字母表示 a+b=b+a 语言表述 学生讨论交流并举手回答. 师:请同学们比较一下,哪一种表示方法更简明、更有利于掌握、交流呢? 学生回答.

师:通过问题3,使我们认识到正确使用字母表示所学过的运算律、公式和法则既简单又明了. 三、举例应用

1.用字母表示下列法则:

(1)有理数的减法法则;(2)分数的加法法则. 2.你会填下表中各图形的周长和面积公式吗? 名称 正方形 三角形 梯形 图形 用字母表示公式 周长(C) C=4a C=a+b+c C=a+b+ c+d C=2πr 面积(S) S=a 121S=(a+ 22 S=ah b)h 圆 活动(三) 问题4: S=πr 2(1)如图所示,用长方形框个关系.

任意框出月历中的三个数之间有什么关系?请用一个等式表示这

(2)如图所示,若用正方形框学生观察、探究并写出结果.

任意框出月历中的四个数,我们又能用什么等式表示呢?

四、随堂练习

我们按如图所示的摆法摆小正方形,记录你所搭的正方形的个数和所用的火柴棒的根数. 1.若第一个正方形摆4根,以后每个摆3根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 .? 2.若每个正方形上方摆1根,下方摆1根,中间摆1根,还需加1根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 .?

3.若每个正方形都摆4根,除第1个外,其余的都多1根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 .?

4.若先摆1根,再每个正方形摆3根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 .? 【答案】 1.4+(n-1)×3 2n+n+(n+1) 3.4n-(n-1) 4.1+3n 五、课堂小结

这节课我们通过活动探索规律,得出规律,并用含字母的式子表示出来,使我们知道:用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系,也可以简明地表达数字和公式,这样给我们研究问题带来很大的方便.

第2课时 列代数式

教学目标 【知识与技能】

1.了解代数式的概念.

2.能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示,会正确书写代数式. 【过程与方法】

1.在探索现实世界数量关系的过程中,建立符号意识. 2.初步体会数学中抽象概括的思维方法. 【情感、态度与价值观】

1.激发学生从事探索性活动的积极性. 2.培养学生自主学习的习惯. 教学重难点

【重点】1.根据实际问题列出代数式.2.解释代数式的意义. 【难点】根据实际问题列出代数式并解释代数式的意义. 教学过程

一、创设情境,引入新课

如图为一阶梯纵截面,一只老鼠沿长方形的两边A—B—D的路线逃跑,一只猫同时沿阶桥(折线)A—C—D的路线去追,结果在距离C点0.6m的D处,猫捉住老鼠,已知老鼠的速度是猫的14,你能求出阶梯A—C的长度吗?

要想解决这个问题,让我们先来学习本节课的内容——代数式.

师:请同学们自主探究,完成下面的问题:

1.今日大米x元/千克,食用油y元/千克,妈妈买10千克大米、2千克食用油共需 元.? 2.一隧道长s米,一列火车长180米,如果该火车穿过隧道所花的时间为t分,则列车的速度可表示为 米/分.?

3

3.将三个边长为acm的正方体拼成一个长方体,则这个长方体的体积为 cm.?

【答案】 1.10x+2y 2.学生解答. 教师点评、分析:

像这样把数和字母加、减、乘、除及乘方等用运算符号连接而成的式子,我们称为代数式. 注:①单独一个数或一个字母也是代数式; ②运算符号是指加、减、乘、除、乘方、开方.

𝑠+180

𝑡

11

3.3a

3

代数式书写格式的规定,请同学们阅读课本. 二、讲授新课

1.指出下列各式中哪些是代数式,哪些不是代数式? (1)x-1;(2)-2x=1;(3)3π;(4)5<7;(5)m.

2.在式子xy+a,-3,abc,3÷a,a·5,(a+b)中符合代数式书写要求的有 个.?

2

2

1212

学生思考并举手回答.

师:通过以上讲解及练习,你知道什么是代数式吗?它与等式、不等式的区别是什么?书写要注意哪些要求?

学生讨论交流. 教师指导、评价. 三、例题讲解

【例1】 设甲数为a,乙数为b,用代数式表示: (1)甲数的3倍与乙数的一半的差; (2)甲、乙两数和的平方. 【答案】 (1)3a-b. (2)(a+b).

2

12

【例2】 填空:

(1)某商店上月收入x元,本月收入比上月的2倍还多5万元,该商店本月收入为 元;? (2)一件a元的衬衫,降价10%后,价格为 元;?

(3)含盐10%的盐水800g,在其中加入盐ag后,盐水含盐量的百分率为 .? 【答案】 (1)(2x+50 000) (2)(1-10%)a (3)【例3】 说出下列代数式的意义:

(1)圆珠笔每支售价a元,练习簿每本售价b元,那么3a+4b表示什么? (2)长方形的长、宽分别为a、b,那么a(b+1)表示什么? 【答案】 (1)3支圆珠笔与4本练习簿的总价格. (2)长为a、宽为b+1的长方形的面积. 四、随堂练习

用代数式表示:

(1)比a的倒数多8的数是 ;? (2)x的倒数与m除n的商的和是 ;? (3)与a+b的和是30的数是 ;? (4)m、n两个数平方和的3倍是 .?

【答案】 (1)𝑎+8 (2)𝑥+𝑚 (3)30-(a+b) (4)3(m+n)

2

2

800×10%+𝑎80+𝑎

×100%=×100% 800+𝑎800+𝑎

11𝑛

教师指导、评价.

列代数式的一般方法有:(1)依据公式(关系)列代数式;(2)依据实际问题列代数式;(3)依据式子或图形探索规律列代数式. 五、组织练习,巩固提高

1.甲、乙两数差的平方与甲、乙两数平方的和的积.

2.a与b的和除以a与b的差.

3.x千克含盐为10%的盐水中含水 千克.? 4.观察下列等式:

39×41=40-1,48×52=50-2,56×64=60-4,65×75=70-5,83×97=90-7,…… 请把你发现的规律用字母表示出来:m·n= .?

2

2

2

2

2

2

2

2

2

生:(

𝑚+𝑛2𝑚-𝑛2

)-(2). 2

5.师:你能用语言表述3a+5b的意义吗? 学生思考并举手回答.

教师示范:从两方面考虑:(1)根据运算顺序的要求去表述,如可以说“a的3倍与b的5倍的和”;(2)结合具体的实际情况去表述,如一本笔记本的价格为a元,一支铅笔的价格为b元,3a+5b表示3本笔记本与5支铅笔的价格. 六、变式训练

用语言表述下列代数式的意义: 1.2(a+b) 2.ab

学生思考、举手回答,教师指导、点评. 七、课堂小结

通过本课的学习,你获得了哪些新的知识?你认为自己有哪些方面的进步?

第3课时 单项式

教学目标 【知识与技能】

1.理解单项式及单项式系数、次数的概念. 2.会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数. 【过程与方法】

通过用字母表示数和数量关系的学习,初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识.

【情感、态度与价值观】

通过小组讨论、合作学习等方式,经历概念的形成过程,培养学生自主探索知识和合作交流的能力. 教学重难点

【重点】掌握单项式及单项式的系数与次数的概念,并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数. 【难点】单项式概念的建立. 教学过程 一、复习引入

1.师:请用含字母的式子填空:

(1)若正方形的边长为a,则正方形的面积是 ;?

(2)若三角形的一边长为a,并且这边上的高为h,则这个三角形的面积为 ;? (3)若x表示正方体的棱长,则正方体的体积是 ;?

(4)若m表示一个有理数,则它的相反数是 ;?

(5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程,一年下来小明捐款 元.? 【答案】 (1)a (2)2ah (3)x (4)-m (5)12x

2

3

1

2.师:请学生观察所列代数式包含哪些运算,有何共同运算特征. 由小组讨论后,经小组推荐代表回答,教师适当点拨. 二、讲授新课

1.单项式.

通过特征的描述,引导学生概括单项式的概念,从而引入课题:单项式,并板书单项式的概念,即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式,然后教师补充,单独一个数或一个字母也是单项式,如a,5.

2.练习.

师:请你们判断下列各代数式哪些是单项式.

(1)

𝑥+1222

;(2)abc;(3)b;(4)-5ab;(5)y;(6)-xy;(7)-5. 2

(加强学生对不同形式的单项式的直观认识,同时利用练习中的单项式转入单项式的系数和次数的

教学)

【答案】 略

3.单项式的系数和次数.

直接引导学生进一步观察单项式的结构,总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.以

2

四个单项式ah,2πr,abc,-m为例,让学生说出它们的数字因数是什么,从而引入单项式系数的概念并板书,接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么,各字母的指数分别是多少,从而引入单项式次数的概念并板书. 三、例题讲解

教师板书例题.

【例1】 判断下列各代数式是否是单项式.若不是,请说明理由;若是,请指出它们的系数和次数. (1)x+1;(2);(3)πr;(4)-aB.

2

2

1𝑥32

【答案】 (1)不是,因为原代数式中出现了加法运算;(2)不是,因为原代数式是1与x的商;(3)是,它的系数是π,次数是2;(4)是,它的系数是-,次数是3.

【例2】 下面各题的判断是否正确? (1)-7xy的系数是7;

233

(2)-xy与x没有系数;

32

(3)-abc的次数是0+3+2;

3

(4)-a的系数是-1;

223

(5)-3xy的次数是7;

2

32

(6)3πrh的系数是3.

2

11

教师通过其中的反例练习及例题,强调应注意以下几点: (1)圆周率π是常数;

(2)当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写,如x,-ab等; (3)单项式的次数只与字母的指数有关.指数是1,省略不写,但求和不能省略. 【例3】 (1)苹果原价是每千克p元,按8折优惠出售,用式子表示现价;

(2)某产品前年的产量是n件,去年的产量是前年产量的m倍,用式子表示去年的产量; (3)一个长方体包装盒的长和宽都是acm,高是hcm,用式子表示它的体积;

2

2

(4)用式子表示数n的相反数.

【答案】 (1)现价是每千克0.8p元; (2)去年的产量是mn件;

323

(3)由长方体的体积=长×宽×高,得这个长方体包装盒的体积是a·a·hcm,即ahcm; (4)数n的相反数是-n. 四、课堂练习

(1)游戏:一个小组学生说出一个单项式,然后指定另一个小组的学生回答它的系数和次数,然后交换,看两小组哪一组回答得快而准.

(2)用单项式填空,并指出它们的系数和次数: ①每包书有12册,n包书有 册;? ②一辆汽车的速度是vkm/h,它t小时行驶的路程为 km;?

③一台电视机原价为a元,现9折出售,这台电视机的售价 元;? ④长是0.9,宽为a的长方形面积是 .? 【答案】 ①12n ②vt ③0.9a ④0.9a

师:上题中③和④的结果一样,这说明用字母表示数后,同一个式子可以表示不同的含义,你能赋予0.9a一个含义吗? 五、课堂小结

教师引导学生理解并掌握单项式及单项式的系数,次数的概念.

第4课时 多项式

教学目标 【知识与技能】

1.掌握多项式及其项数、常数项的概念和整式的概念.

2.会判断一个式子是不是整式,会求整式的次数、系数、项和项数. 【过程与方法】

通过小组讨论、合作交流,让学生经历新知的形成过程,培养比较、分析、归纳的能力.由单项式与多项式归纳出整式,这样更有利于学生把握概念的内涵和外延,有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新..

【情感、态度与价值观】

通过整式的学习,认识整式产生的背景,激发学生学好数学的信心. 教学重难点

【重点】掌握整式及多项式的有关概念,掌握多项式的定义、多项式的项和次数以及常数项等概念. 【难点】多项式的次数. 教学过程 一、问题引入

1.师:同学们,你们能列出下列问题中的代数式吗? 教师板书题目.

(1)长方形的长与宽分别为a、b,则长方形的周长是 ;? (2)某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生 人;? (3)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头 个,脚 只.? 2.师:观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别与联系. (1)2(a+b);(2)21+x;(3)a+b;2a+4b.

学生分组回答,教师补充完善,从而归纳出多项式的特点. 二、讲授新课

板书由学生自己归纳得出的多项式的概念.上面这些代数式是由几个单项式相加而成的.像这样,几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项,叫做常数项.例如,多项式x-2x+5有三项,它们是x,-2x,5.其中5是常数项.

2

2

一个多项式含有几项,就叫做几项式.多项式里次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式2x+3x-1是一个二次三项式.

2

注意:

(1)多项式的次数不是所有项的次数之和; (2)多项式的每一项都包括它前面的符号.

(教师介绍多项式的项、次数以及常数项等概念,并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系,渗透类比的数学思想)

整式是单项式和多项式的统称. 三、例题讲解

教师出示例题. 【例1】 判断:

(1)多项式a-ab+ab-b的项为a,ab,ab,b,次数为12;

3

2

2

3

3

2

2

3

(2)多项式3n-2n+1的次数为4,常数项为1.

4

2

(这两个判断能使学生清楚地理解多项式中项和次数的概念,第(1)题中第二、四项应为-ab、-b,而往往很多同学都认为是ab和b,不把符号包括在项中.另外也有同学认为该多项式的次数为12,应注意:多项式的次数为最高次项的次数)

【例2】 指出下列多项式的项和次数,各是几次几项式: (1)3x-1+3x;(2)4x+2x-2y.

2

3

2

2

3

23

(让学生口答,老师在黑板上规范书写格式.应特别提醒学生注意多项式的项包括前面的符号,多项式的次数应为最高次项的次数.)

【例3】 (1)一条河的水流速度是2.5km/h,船在静水中的速度是vkm/h,用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度;

(2)买一个篮球需要x元,买一个排球需要y元,买一个足球需要z元,用式子表示买3个篮球,5个排球,2个足球共需要的钱数;

(3)如图1(图中长度单位:cm),用式子表示三角尺的面积;

(4)图2是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位:m),用式子表示这所住宅的建筑面积.

分析 (1)船在河流中行驶时,船的速度需要分两种情况讨论: 顺水行驶时,船的速度=船在静水中的速度+水流速度; 逆水行驶时,船的速度=船在静水中的速度-水流速度.

解:(1)船在这条河中顺水行驶的速度是(v+2.5)km/h,逆水行驶的速度是(v-2.5)km/h. (2)买3个篮球、5个排球、2个足球共需要(3x+5y+2z)元.

(3)三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面积.根据图中的数据,得三角形的面积是2abcm,圆的面积是πrcm.因此三角尺的面积(单位:cm)是`2ab-πr.

2

2

2

2

1

2

1

(4)住宅的建筑面积等于四个长方形面积的和,根据图中标出的尺寸,可得这所住宅的建筑面积(单22

位:m)是x+2x+18.

从上面的例子可以看出,用字母表示数,字母和数一样可以参与运算,可用式子把数量关系简明地表示出来.

学生完成,教师点评. 四、课堂练习

(1)填空:-ab-ab+1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项为 ,常数项为 ,写出所有的项 .?

n

(2)已知代数式3x-(m-1)x+1是关于字母x的三次二项式,求m、n的值.

【答案】 (1)三 三 -4 -3ab 1 -ab、-ab、1 (2)m=1 n=3

2

54

2

43

54

5443

五、课堂小结

1.理解多项式的定义,能说出一个多项式是几次几项式,最高次数是几,分别由哪几项组成,各项的系数分别为多少,常数项为几.

2.这堂课学习了多项式,与前一节所学单项式合起来统称为整式,使知识形成了系统. (让学生小结,师生进行补充)

第5课时 求代数式的值

教学目标 【知识与技能】

1.会求代数式的值,感受代数式求值可以理解成一个转换过程或某种算法. 2.能解释代数式值的实际意义.

3.根据代数式求值推断代数式所反映的规律. 【过程与方法】

学会从数学的角度提出问题、理解问题,能综合运用所学的知识和技能解决问题. 【情感、态度与价值观】

初步认识数学与人类生活的密切联系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 教学重难点

【重点】会求代数式的值.

【难点】利用代数式求值推断代数式所反映的规律. 教学过程

一、创设情境,引入新课

据报载,一位医生研究得出由父母身高预测子女身高的公式:若父亲的身高为a米,母亲的身高为b米,则儿子成年的身高为

𝑎+𝑏

×1.082

米,女儿的身高为

0.923𝑎+𝑏

米.七年级男生张小华父亲的身高为2

1.76米,母亲身高为1.60米,请你预测张小华成年后的身高是多少.你能通过你父母的身高预测自己

成年后的身高吗?

学生计算预测.

师:本节课我们来学习求代数式的值. 活动一 代数式的值

问题展示:请同学们回答下列问题:

1.下图是一组数值转换机,请写出输出结果. 2.你能写出下图的转换步骤吗? 学生举手回答.

师:我们知道,表示数的字母具有任意性和确定性,如6x-3中的x可取任意有理数,当给出未知数(字母)的值时,如x=5,则6x-3就是一个确定的数.

一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 二、讲授新课

1.按图(1)输入-2,0,0.26,输出的结果分别为多少? 按图(2)输入-2,0,0.26,输出的结果又分别为多少? 2. 根据所给的x的值,求-5x+1的值. (1)x=4; (2)x=-2.

生解答:(1)当x=4时,原式=-5×4+1=-19;

(2)当x=-2时,原式=-5×(-2)+1=11.

师评:当代入负值时,要用括号把负数括起来.

3.一项调查研究显示:一个10岁~50岁的人,每天所需的睡眠时间th与他的年龄n岁之间的关系为t=

110-𝑛

h,如10

30岁的人每天所需的睡眠时间为t=

110-30

=8(h). 10

算一算,你每天需要多少睡眠时间. 学生计算回答.

4.若x+2y+5的值为7,求代数式3x+6y+4的值.

2

2

活动二 巩固新知

例:堤坝的横截面是梯形,测得梯形上底a=18m,下底b=36m,高h=20m,求这个截面的面积. 解:梯形面积公式S=(a+b)h. 将a=18,b=36,h=20代入上面的公式,得 S=×(18+36)×20=540(m).

2

12

12

答:堤坝的横截面面积是540m.

2

师评:求代数式的值的第一步是“代入”即用数值替代代数式里的字母,其他的运算符号及原来的数字都不能改变.第二步是“求值”,即按照代数式指明的运算计算出结果.

三、例题讲解

【例1】 如图,某堤坝的横截面是梯形,测得梯形上底a=18m,下底b=36m,高h=20m,求这个截面的面积.

【解】 梯形面积公式是S=2(a+b)h. 将a=18,b=36,h=20代入上面公式,得 S=2(a+b)h=2×(18+36)×20=540(m)

2

1

11

【例2】 当x=-3,y=2时.求下列代数式的值:(1)x-y;(2)(x-y).

2

2

2

【解】 (1)x-y=(-3)-2=9-4=5.

2

2

2

2

(2)(x-y)=(-3-2)=(-5)=25.

2

2

2

四、变式训练

一辆卡车在行驶时平均每小时耗油8L,行驶前油箱中有油80L. 1.用代数式表示行驶xh后,油箱中的剩余油量Q= .? 2.计算行驶2h,5h,8h后,油箱中的剩余油量. 3.这里,能求x=12h时剩余油量Q的值吗?

学生解答.

师评:代数式的值是由所含字母的值确定的,是随代数式中字母的取值变化而变化的,字母取不同的值,代数式的值可能不同,也可能相同.

代数式中字母的取值不能取使代数式和它表示的实际问题失去意义的值.

活动(三) 合作探究

填写下表,看谁做得又对又快. n 5n+6 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 2 n 1.通过观察计算结果,随着n值逐渐变大,两个代数式的值如何变化? 2.估计一下,哪个代数式的值先超过100? 学生计算,回答.

五、随堂练习

师评:求出代数式的值后,根据值的变化趋势还可以进行预测,推断代数式所反映的规律. 1.某市为鼓励市民节约用水,对自来水用户按如下标准收费,若每月用户用水不超过15m,则每立

3

方米水价按a元收费,若超过15m,则超过部分每立方米按2a元收费.

(1)某户居民在一个月内用水n(n≥15)立方米,那么他该月应缴水费多少元?

33

(2)该户居民在10月份用水35立方米,11月份用水28m,12月份用水40m.他在这三个月中各缴水费多少元?

2.已知m+n-1=3,求m+n-6的值.

2

2

3

1313【答案】 1.15a+2a(n-15) 55a 41a 65a 2.-2 六、课堂小结

1.本节课学习了哪些内容?

(1)“代数式的值”的定义;(2)求代数式的值. 2.求代数式的值应分哪几步?应注意哪些问题? 步骤:(1)代入;(2)计算.

注意:(1)格式规范;(2)适当添加括号;(3)灵活运用整体代入.

2.2 整式加减

第1课时 同类项

教学目标 【知识与技能】

理解同类项的概念,在具体情景中,认识同类项. 【过程与方法】

通过小组讨论、合作学习等方式,经历概念的形成过程,培养学生自主探索知识和合作交流的能力. 【情感、态度与价值观】

初步体会数学与实际生活的密切联系,从而激发学生学好数学的信心. 教学重难点

【重点】理解同类项的概念.

【难点】根据同类项的概念在多项式中找同类项. 教学过程 一、复习引入

师:同学们,在上新课之前,我们先来做几个题目. 1.教师读题,指名回答.

(1)5个人+8个人= ;? (2)5只羊+8只羊= .?

2.师:观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类:8xy,-mn,5a,-xy,7mn,8,9a,-𝑥𝑦2252

,0,0.4mn,,2xy. 39

2

2

2

2

3

由学生小组讨论后,按不同标准进行多种分类,教师巡视后把不同的分类方法投影显示. 要求学生观察归为一类的式子,思考它们有什么共同的特征.

请学生说出各自的分类标准,并且对学生按不同标准进行的分类给予肯定. 二、讲授新课

1.同类项的定义:

师:在生活中我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8xy与-xy可以归为一类,2xy与-2

2

2

2

2

2

𝑥𝑦2

可3

以归为一类,-mn、7mn与0.4mn可以归为一类,5a与9a可以归为一类,还有8、0与9也可以归为一类.8xy与-xy只有系数不同,各自所含的字母都是x、y,并且x的指数都是2,y的指数都是1;同样地,2xy与-22

2

35

𝑥𝑦2

也只有系数不同,各自所含的字母都是3

x、y,并且x的指数都是1,y的指数都是2.

像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的、0与也是同类项.

通过特征的讲述,选择所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项作为研究对象,并称它

们为同类项.(板书课题:同类项)

(教师为了让学生理解同类项概念,可设问同类项必须满足什么条件,让学生归纳总结) 板书由学生归纳总结得出的同类项概念以及所有的常数项都是同类项. 三、例题讲解

教师读题,指名回答.

【例1】 判断下列说法是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”. (1)3x与3mx是同类项.( ) (2)2ab与-5ab是同类项.( ) (3)3xy与-3yx是同类项.( )

2

2

3859

1

(4)5ab与-2abc是同类项.( )

2

2

(5)2与3是同类项.( )

(这组判断题能使学生清楚地理解同类项的概念,其中第(3)题满足同类项的条件,只要运用乘法交换律即可;第(5)题两个都是常数项属于同类项.一部分学生可能会单看指数不同,误认为不是同类项)

3

2

【例2】 游戏.

规则:一学生说出一个单项式后,指定一位同学回答它的两个同类项. 要求出题同学尽可能使自己的题目与众不同.

可请回答正确的同学向大家介绍写一个单项式同类项的经验,从而揭示同类项的本质特征,透彻理解同类项的概念.

【例3】 指出下列多项式中的同类项: (1)3x-2y+1+3y-2x-5; (2)3xy-2xy+xy-yx.

2

2

2

2

1332

【答案】 (1)3x与-2x是同类项,-2y与3y是同类项,1与-5是同类项. (2)3xy与-2yx是同类项,-2xy与3xy是同类项.

2

2

2

2

31

【例4】 k取何值时,3xy与-xy是同类项?

k

2

【答案】 要使3xy与-xy是同类项,这两项中x的次数必须相等,即k=2.所以当k=2时,3xy2

与-xy是同类项.

【例5】 若把(s+t)、(s-t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项.

(1)3(s+t)-5(s-t)-4(s+t)+6(s-t); (2)2(s-t)+3(s-t)-5(s-t)-8(s-t)+s-t.

2

2

k2k

1131

(组织学生口头回答上面三个例题,例3多项式中的同类项可由教师标出不同的下划线,并运用投影仪给出书面解答,为合并同类项做准备.例4让学生明确同类项中相同字母的指数也相同.例5必须把(s-t)、(s+t)分别看作一个整体)

通过变式训练,可进一步明晰“同类项”的意义,在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、提高识别能力. 四、课堂练习

请写出2abc的一个同类项.你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗? (学生先在课本上解答,再回答,若有错误请其他同学及时纠正)

23

【答案】 改变2abc的系数即可,与其本身也是同类项.

23

五、课堂小结

理解同类项的概念,会在多项式中找出同类项,会写出一个单项式的同类项,会判断同类项.

第2课时 合并同类项

教学目标 【知识与技能】

理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则. 【过程与方法】

经历概念的形成过程和法则的探究过程,渗透分类和类比的思想方法.培养观察、归纳、概括能力,发展应用意识. 【情感、态度与价值观】

在独立思考的基础上,积极参与讨论,敢于发表自己的观点,从交流中获益. 教学重难点

【重点】正确合并同类项. 【难点】找出同类项并正确的合并.

教学过程 一、情境引入

师:为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问:

(1)他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?

(2)若设软面抄的单价为每本x元,水笔的单价为每支y元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?

学生完成,教师点评. 二、讲授新课

合并同类项的定义.

学生讨论问题(2)可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所得结果都为(21x+25y)元.

由此可得:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 三、例题讲解

【例1】 找出多项式3xy-4xy-3+5xy+2xy+5中的同类项,并合并同类项.

22222222

【答案】 原式=3xy+5xy-4xy+2xy+5-3=(3+5)xy+(-4+2)xy+(5-3)=8xy-2xy+2. 根据以上合并同类项的实例,让学生讨论归纳,得出合并同类项的法则: 把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变. 【例2】 下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.

224

(1)2x+3x=5x; (2)3x+2y=5xy;

2222

(3)7x-3x=4; (4)9ab-9ba=0. (通过这一组题的训练,进一步熟悉法则)

2

2

2

2

【例3】 求多项式3x+4x-2x-x+x-3x-1的值,其中x=-3.

222222

【答案】 3x+4x-2x-x+x-3x-1=(3-2+1)x+(4-1-3)x-1=2x-1,当x=-3时,原式=2×(-3)-1=17. 试一试:把x=-3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便?

(通过比较两种方法,使学生认识到在求多项式的值时,常常先合并同类项,再求值,这样比较简便) 课堂练习.

课本P71练习第1~4题. 【答案】 略

2

2

2

四、课堂小结

1.要牢记法则,熟练正确的合并同类项,以防止2x+3x=5x的错误.

2.从实际问题中类比概括得出合并同类项法则并能运用法则正确地合并同类项.

2

2

4

第3课时 去括号、添括号

教学目标 【知识与技能】

去括号与添括号法则及其应用. 【过程与方法】

在具体情境中体会去括号和添括号的必要性,能运用运算律去括号和添括号. 【情感、态度与价值观】

让学生接受“矛盾的对立双方能在一定条件下互相转化”的辩证思想和概念.

教学重难点

【重点】去括号和添括号法则.

【难点】当括号前是“-”号时的去括号和添括号. 教学过程

一、创设情境,引入新课

还记得我们前面用火柴棒摆的正方形吗?记录正方形的个数与所用火柴棒的根数.

1.若第一个正方形摆4根,以后每个摆3根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 4+3(n-1) .? 2.若每个正方形上方摆1根,下方摆1根,中间摆1根,还需加1根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 n+n+(n+1) .?

3.若每个正方形都摆4根,除第1个外,其余的都多1根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 4n-(n-1) .?

4.若先摆1根,再每个正方形摆3根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 1+3n .? 搭n个正方形所需要的火柴棒的根数,用的计算方法不一样,所用火柴棒的根数相等吗? 生:相等.

师:那么我们怎样说明它们相等呢? 学生讨论、回答.

师评:4+3(n-1)用乘法的分配律把3乘到括号里,再合并得3n+1;4n-(n-1)可看成4n与-(n-1)的和,而-(n-1)可看成n-1的相反数,即为1-n,所以4n-(n-1)等于4n+1-n=3n+1.

活动一 去括号

师:在代数式里,如果遇到括号,那么该如何去括号呢? 我们再看看以前做过的习题. 计算:(1)-(8-12)+(-16+20) =-8+12-16+20 (2)(1-2)+(3-4)-(-5+6) =1-2+3-4+5-6

它们是相等的吗?若相等,观察两式的变化情况,并说明. 学生回答.

师:①前一个括号里的数有没有变号?后一个括号里的数有没有变号?②前两个括号里的数有没有变号,后两个数呢?③变与不变由谁来决定,与什么有关?

学生回答.

师:去括号法则:如果括号前是“+”号,那么去掉括号和括号前的“+”,括号内各项不改变符号;如果括号前是“-”号,那么去掉括号及括号前的“-”号,括号内各项都要改变符号.

师:去括号的依据又是什么呢?请同学们看下面的解答过程,并回答. +(a+b-c) -(a+b-c) =1×(a+b-c) =(-1)×(a+b-c)

=a+b-c =-a-b+c 生:乘法分配律. 二、新课讲授

1.去括号:

(1)a-(a+b+c);(2)x-2(y-x).

教师找两名学生上黑板演示,其余同学在座位上解答. 2.先去括号,再合并同类项: (1)8a+2b+(5a-b);

(2)a+(5a-3b)-2(a-2b).

教师找两名学生上黑板演示,其余同学在座位上解答.

师评:无论括号前是“+”号、“-”号,还是一个数字,都是乘法分配律的运用,运算时既可以使用去括号法则,也可以直接使用乘法分配律,关键是注意“减全变”、“加不变”.

活动二 添括号

问题展示:观察以下两等式中括号和各项符号的变化.

(1)a+(b+c)=a+b+c;(括号没了,符号不变) (2)a-(b+c)=a-b-c.(括号没了,符号全变了)

再观察对调后两个等式中括号和各项符号的变化,你能得出什么结论? (1)a+b+c=a+(b+c);

(2)a-b-c=a-(b+c). 学生回答.

添括号的法则:如果括号前是“+”号,那么括到括号里的各项都不改变符号,如果括号前是“-”号;那么括到括号里的各项都要改变符号. 三、例题讲解

【例】 先去括号,再合并同类项: (1)8a+2b+(5a-b);

(2)a+(5a-3b)-2(a-2b). 【答案】 (1)8a+2b+(5a-b) =8a+2b+5a-b =(8a+5a)+(2b-b) =13a+b.

(2)a+(5a-3b)-2(a-2b) =a+5a-3b-2a+4b

=(a+5a-2a)+(-3b+4b) =4a+b. 四、变式训练

1.在下列各式的括号里填入适当的项.

2

(1)a-a+b=+( )=-( );

2222

(2)x-y=(x-xy)+( -y);

2222

(3)(x-x)-(y-y)=( )-(x-y). 2.在括号里填入适当的项.

22

(1)x-x+1=x-( );

22

(2)2x-3x-1=2x+( ); (3)(a-b)-(c-d)=a-( ). 学生解答:

22

1.(1)a-a+b -a+a-b (2)xy (3)x-y 2.(1)x-1 (2)-3x-1 (3)b+c-d

师:第一题中的(2)、(3)可先把等号两边的括号都去掉,再观察等式左边与右边的各项,看是否缺项、多项、符号是否一致,然后进行填空,使等式左右两边相等;其余各题直接运用添括号法则. 五、课堂小结

这节课我们学习了哪些新知识,需要注意些什么? 1.去括号法则和添括号法则.

2.添括号是添上括号及括号前面的符号,去括号是去掉括号及括号前面的符号. 3.添括号和去括号的过程正好相反,它们可以相互检验.

第4课时 整式加减

教学目标 【知识与技能】

让学生从实际背景中去体会进行整式加减运算的必要性,并能灵活运用整式的加减运算的步骤进行运算. 【过程与方法】

经历整式加减法则的概括过程,发展学生有条理的思考及语言表达能力,培养符号感. 【情感、态度与价值观】

认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具. 教学重难点 【重点】整式的加减.

【难点】总结出整式加减运算的一般步骤. 教学过程 一、问题引入

1.做一做.

师:在上新课之前,我们先来看一下这道题.

某学生合唱团出场时第一排站了n名,从第二排起每一排都比以前一排多一人,一共站了四排,则该合唱团一共有多少名学生参加?

(1)学生写出答案:n+(n+1)+(n+2)+(n+3).

(2)提问:以上答案能进一步化简吗?如何化简?我们进行了哪些运算? 2.教师板书题目. 化简:

(1)(x+y)-(2x-3y);

2222

(2)2(a-2b)-3(2a+b).

师:以上化简实际上进行了哪些运算?怎样进行整式的加减运算?

(从实际问题引入,让学生经历一个实际背景,体会进行整式的加减运算的必要性,再通过复习、练习,为学生概括出整式的加减的一般步骤做必要的准备) 二、讲授新课

1.整式的加减:教师概括.(引导学生归纳总结出整式的加减运算的步骤)

师:我们不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为: (1)如果有括号,那么先去括号;(2)如果有同类项,再合并同类项. 三、例题讲解

【例1】 求整式x-7x-2与-2x+4x-1的差.

22222

【答案】 (x-7x-2)-(-2x+4x-1)=x-7x-2+2x-4x+1=3x-11x-1.

2

2

(本例应先列式,列式时注意给两个多项式都加上括号,后进行整式的加减)

22

练习 一个多项式加上-5x-4x-3等于-x-3x,求这个多项式. 【例2】 先化简,再求值: 2222

5a-[a-(2a-5a)-2(a-3a)],其中a=4.

2222

【答案】 原式=5a-(a-2a+5a-2a+6a) 22

=5a-(4a+4a) 22

=5a-4a-4a 2

=a-4a.

22

当a=4时,原式=a-4a=a-4×4=0.

(本例让学生体会整式的加减运算的实质是去括号、合并同类项这两个知识的综合,有利于将新知识转化为已有的知识,更新学生的知识结构)

【例3】 计算:(1)(2x-3y)+(5x+4y); (2)(8a-7b)-(4a-5b).

【答案】 (1)原式=2x-3y+5x+4y=2x+5x+4y-3y=7x+y. (2)原式=8a-7b-4a+5b=8a-4a-7b+5b=4a-2b.

【例4】 一种笔记本的单价是x元,一种圆珠笔的单价是y元,小红买这种笔记本3本,买这种圆珠笔2支;小明买这种笔记本4本,买这种圆珠笔3支,买这些笔记本和圆珠笔,小红和小明一共花费多少钱?

【答案】 小红和小明买笔记本共花费:(3x+4x)元,买圆珠笔共花费(2y+3y)元, 因为,小红和小明一共花费:(3x+4x)+(2y+3y)=(7x+5y)元. 3.课堂练习.

课本P75练习第1~4题. 【答案】 略 四、课堂小结

教师引导学生小结:

1.整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合. 2.整式的加减的一般步骤:

(1)如果有括号,那么先算括号; (2)如果有同类项,则合并同类项.

3.求多项式的值,一般先将多项式化简再代入求值,这样使计算简便. 4.数学是解决实际问题的重要工具.

第3章 一次方程与方程组

3.1 一元一次方程及其解法

第1课时 一元一次方程

教学目标 【知识与技能】

1.使学生掌握方程的概念、一元一次方程的概念、方程的解.

2.使学生初步了解方程的一般步骤,体会用方程解决问题的优越性. 【过程与方法】

1.经历具体问题的数量关系,形成方程的模型,使学生形成利用方程观察、认识现实世界的意识和能力.

2.经历具体实例的抽象概括过程,进一步培养学生观察、分析、概括和转化的能力. 3.通过分组合作学习活动,学会在活动中与人合作,并能与他人交流思维的过程与结果. 【情感、态度与价值观】

通过由具体实例抽象概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生实事求是的态度以及善于质疑和独立思考的良好学习习惯. 教学重难点

【重点】方程、一元一次方程、方程的解的概念;以实际问题形成方程的模型、列方程. 【难点】列方程解决实际问题. 教学过程

一、问题展示,引入新课

师:同学们,上新课之前,我们先一起来看这一道题:

一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1h经过B地.A、B两地间的路程是多少?

师:请同学们用算术方法解决这个问题.

学生独立思考后,与大家交流,老师再做简单讲解.

师:如果设A、B两地相距xkm,你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗?

匀速运动中,时间=

𝑥h70

路程速度

.根据问题的条件,客车和卡车从A地到B地的行驶时间,可以分别表示为

和60h.

因为客车比卡车早1h经过B地,所以比小1,即-=1①

我们已经知道,方程是含有未知数的等式.等式①中的x是未知数,这个等式是一个方程.

𝑥

70

𝑥60

𝑥𝑥6070

𝑥

(教学过程中对学生的回答,及时给予鼓励和表扬,激发他们对数学的兴趣)

师:以后我们将学习如何解方程求出未知数x,从而得出A、B两地间的路程为420km,同学们,与算术方法相比较,用方程来解决问题具有什么特点?

学生相互交流,说出自己对方程的感受. 教师引出方程的概念.

含有未知数的等式叫做方程. 二、例题讲解

师:下面我们再来一起做几个例题.

【例】 根据下列问题,设未知数并列出方程:

(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?

(2)一台计算机已使用1 700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时.

【答案】 (1)设正方形的边长为xcm,列方程得4x=24.

(2)设x月后这台计算机的使用时间已达到2 450小时,那么在x月里这台计算机使用了150x小时,列方程得1 700+150x=2 450.

教师总结:同学们在列方程时,一定要弄清方程两边的代数式所表示的意义,体会列方程所依据的等量关系.

师:上面各方程都含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.那么如何从实际问题中列出方程呢?请同学们总结出列方程的一般步骤.

(学生互相讨论,交流合作)

师:列方程解应用题的一般步骤:

实际问题法.

师:当x=6时,4x的值为多少? 生:24.

师:也就是说x=6是方程4x=24的解.

师总结:解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未值数的值,这个值就是方程的解. 三、巩固练习

一元一次方程 分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学知识解决实际问题的一种方

1.已知下列方程:(1)3x-2=6 (2)x-1=𝑥 (3)2+1.5x=8 (4)3x-4x=10 (5)x=0

2

1𝑥

(6)5x-6y=8 (7)=3.其中是一元一次方程的是 (填序号).?

2.下列数中,是方程5x-3=x+1的解的是( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 (学生思考,教师提问.)

【答案】 1.(1)(3)(5) 2.C 四、提升练习

1.在参加2004年雅典奥运会的中国代表队中,羽毛球运动员有18人,比跳水运动员的2倍少4人,参加奥运会跳水的运动员有多少人?

2.王玲今年12岁,她爸爸36岁,问再过几年,她爸爸的年龄是她年龄的2倍? (学生合作、讨论,教师再做讲解) 【答案】 1.11 2.12 五、课堂小结

这一节课你获得了哪些知识?有什么感受?

(教师引导学生一起回顾这节课所学知识,鼓励学生用自己的语言进行回答)

2𝑥

第2课时 等式的性质

教学目标 【知识与技能】

1.理解等式的基本性质.

2.会根据等式的基本性质解方程. 【过程与方法】

经历探索等式的基本性质的过程,培养学生动手的能力以及对数学的兴趣. 【情感、态度与价值观】

通过由具体实验操作与合作探索的过程,培养学生实事求是的态度. 教学重难点

【重点】等式的基本性质. 【难点】用等式的基本性质解方程. 教学过程 一、温故知新

师:同学们,你们知道什么叫方程吗?方程的解呢?那么什么又是等式?学生回答,教师点评. 二、讲授新课

1.合作探究.

师:像m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2等都是等式.通过下面的实验,我们一起来探究等式的一些性质,同学们看,这是一台天平,请仔细观察实验过程.

请同学们用语言叙述这个实验过程.

生:天平两边分别放入一个铁球和砝码,天平平衡,再在两边都加上相同的木块,天平仍平衡,再拿掉木块天平仍平衡.

师:这位同学回答得完全正确.如果我们把天平看成是等式,那么又会得到什么结论呢? 小组讨论,合作交流.

师:总结得出等式的性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式),结果仍是等式.

师:请同学们继续观察下面的实验. 请同学们用语言表达出这个实验过程.

生:天平两边各放入一个小球和砝码,天平平衡,如果把两边小球和砝码的数量都变成原来的3倍,那么天平仍平衡.

师:与上面一样,如果我们把天平看成是等式,那么又有什么结论呢? 小组讨论,合作交流.

师:我们可以得出等式的性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.

性质3 如果a=b,那么b=a.(对称性)

例如,由-4=x,得x=-4.

性质4 如果a=b,b=c,那么a=c.(传递性) 例如,如果x=3,又y=x,所以y=3.

在解题的过程中,根据等式的这一性质,一个量用与它相等的量代替,简称等量代换. 三、例题讲解

【例】 利用等式的性质解下列方程:

(1)x+7=26;(2)-5x=20;(3)-x-5=4.

分析 要使方程x+7=26转化为x=a的形式,要去掉方程左边的7,因此两边要同时减7,你会类似地思考另外两个方程如何转化为x=a的形式吗?

【答案】 (1)两边同时减7,得x+7-7=26-7,于是x=19. (2)两边同时除以-5,得

1

-5𝑥20

=,于是-5-513

x=-4.

1

(3)两边同时加5,得-3x-5+5=4+5,化简,得-3x=9.两边同乘-3,得x=-27. 四、巩固练习

1.下列等式的变形正确的是( ) A.若m=n,则m+2a=n+2a B.若x=y,则x+a=y-a C.若x=y,则xm=ym,𝑚=𝑚 D.若(k+1)a=-2(k+1),则a=2 2.利用等式的基本性质解方程:

2

2

𝑥𝑦

(1)10x-3=9;(2)5x-2=8;(3)3x-1=5.

【答案】 1.A 2.(1)x=1.2 (2)x=2 (3)x=9 五、课堂小结

本节课主要学习了哪些知识?你在探索新知的过程中得到哪些启示?与同伴交流.

2

第3课时 解一元一次方程 ——合并同类项与移项(1)

教学目标 【知识与技能】

理解合并同类项法则,会用合并同类项法则解一元一次方程,并在此基础上探索一元一次方程的一般解法.

【过程与方法】

通过探索合并同类项法则的过程,培养学生观察、思考、归纳的能力,积累数学探究活动的经验. 【情感、态度与价值观】

通过探索合并同类项法则,并进一步探索一元一次方程一般解法的过程,感受数学活动充满创造性,激发学生学习数学的兴趣. 教学重难点

【重点】合并同类项法则的探索及应用. 【难点】合并同类项法则的理解和灵活运用. 教学过程 一、温故知新

1.师:你们知道等式的基本性质是什么吗?

生:性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式. 性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式. 性质3:如果a=b,那么b=a.(对称性) 性质4:如果a=b,b=c,那么a=c.(传递性) 2.利用等式的基本性质解方程:

(1)2x+3=x+4;(2)5x+4=5-3x. 问题展示:

问题1:某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍,前年这个学校购买了多少台计算机?

师:设前年购买计算机x台,那么去年购买计算机多少台? 生:2x.

师:今年购买计算机多少台? 生:4x.

师:题目中的等量关系是什么?

师生共同分析,列出方程:x+2x+4x=140. 用框图表示出解这个方程的具体过程: x+2x+4x=140 7x=140 x=20 二、例题讲解

【例】 解下列方程:

(1)2x-2x=6-8;

(2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3. 【答案】 (1)合并同类项,得-2x=-2. 系数化为1,得x=4. (2)合并同类项,得6x=-78. 系数化为1,得x=-13. 三、巩固练习

解下列方程:

1.3x+4x-2x=18-7.

1

5

2.2y-3y+y=3×6-1. 【答案】 1.x= 2.y= 四、课堂小结

这节课你学习了哪些知识?获得了哪些经验?

115

185

122

第4课时 解一元一次方程

合并同类项与移项(2)

教学目标 【知识与技能】

使学生掌握移项的概念,并用移项解方程. 【过程与方法】

根据具体问题的数量关系,形成方程模型,使学生形成利用方程的观点认识现实世界的意识和能力. 【情感、态度与价值观】

通过由具体实例的抽象概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生实事求是的态度以及善于质疑和独立思考的良好学习习惯.. 教学重难点

【重点】移项法则的探索及其应用. 【难点】对移项法则的理解和灵活应用. 教学过程 一、新课引入

师:新课开始之前,我们先来看这样一个问题. 问题展示:

【例1】 把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本,这个班有多少学生?

问题分析:

教师:设这个班有x名学生,如果每人分3本,这批书共 本.? 生:(3x+20)本.

师:每人分4本,这批书共 本.? 生:(4x-25)本.

师:这批书的总数有几种表示法?它们之间有什么关系?本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢? 学生分组讨论,合作探究,教师总结. 师:我们可以列出方程 3x+20=4x-25

师:我们可以利用等式的性质解这个方程,得3x-4x=-25-20. 师:请同学们仔细观察上面的变形,你发现了什么? 学生分组合作、讨论,教师总结.

师:上面的变形,相当于把原方程左边的20移到右边变成-20,把4x从右边移到左边变成-4x.即时引出移项的概念:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.

教师即时总结并强调移项要变号. 【例2】 解下列方程: (1)3x+7=32-2x;

(2)x-3=2x+1.

3

【答案】 (1)移项,得3x+2x=32-7. 合并同类项,得5x=25. 系数化为1,得x=5. (2)移项,得x-2x=1+3. 合并同类项,得-x=4. 系数化为1,得x=-8.

【例3】 有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243,…,其中某三个相邻数的和是-1701,这三个数各是多少?

师:同学们这列数的变化规律是什么? 生:前面一个数乘以-3得到后面的数.

师:如果设第一个数是x,那么第二、三个数怎么表示呢? 生:-3x,9x.

师:请同学思考列出方程. 生:x-3x+9x=-1701.

【例4】 某制药厂制造一批药品,如用旧工艺,则废水排量要比环保限制的最大量还多200t;如用新工艺,则废水排量比环保限制的最大量少100t.新旧工艺的废水排量之比为2∶5,两种工艺的废水排量各是多少?

分析 因为新旧工艺的废水排量之比为2∶5,所以可设它们分别为2xt和5xt,再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程.

【答案】 设新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt.

根据废水排量与环保限制最大量之间的关系,得5x-200=2x+100. 移项,得5x-2x=100+200. 合并同类项,得3x=300.

系数化为1,得x=100. 所以2x=200,5x=500.

答:新、旧工艺产生的废水排量分别为200t和500t. 二、巩固练习

解下列方程:

1.4x-20-x=6x-5-x. 2.32y+1=21y-3y-13. 3.2|x|-1=3-|x|.

【答案】 1.x=-2 2.y=-1 3.x=-3或3 三、课堂小结

学习了移项法则后,你认为用逆运算的方法和用移项的方法解方程哪个更简便?对于解一元一次方程,你有了哪些新的领悟?

15

4

4

123

第5课时 解一元一次方程 ——去括号与去分母(1)

教学目标 【知识与技能】

掌握解含有括号的一元一次方程的方法,能用多种方法灵活地解一元一次方程.

【过程与方法】

经历对一元一次方程解法的探究过程,深入理解等式基本性质在解方程中的作用,学会多角度寻求解决问题的方法. 【情感、态度与价值观】

通过探索含有括号的一元一次方程的解法,体验整体探索思想的意义,培养学生善于观察、总结的良好思维习惯. 教学重难点

【重点】含括号的一元一次方程的解法.

【难点】结合方程的特点选择不同的方法解方程,并解释解法的合理性. 教学过程 一、例题讲解

教师出示例题.

【例1】 解下列方程: (1)2x-(x+10)=5x+2(x-1); (2)3x-7(x-1)=3-2(x+3); (3)2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x).

【答案】 (1)去括号,得2x-x-10=5x+2x-2. 移项,得2x-x-5x-2x=-2+10. 合并同类项,得-6x=8. 系数化为1,得x=-3.

(2)去括号,得3x-7x+7=3-2x-6.

移项,得3x-7x+2x=3-6-7. 合并同类项,得-2x=-10. 系数化为1,得x=5.

(3)去括号,得2x-4-12x+3=9-9x. 移项,得2x-12x+9x=9+4-3. 合并同类项,得-x=10. 两边同除以-1,得 x=-10.

注意:(1)用分配律去括号时,不要漏乘括号中的项,并且不要搞错符号; (2)-x=10不是方程的解,必须把x的系数化为1,才算完成解的过程.

【例2】 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时,已知水流的速度是3千米/小时,求船在静水中的速度.

师:如果设船在静水中的平均速度为x千米/小时,那么请同学们回答下列问题. 船顺流速度为多少? 生甲:(x+3)千米/小时. 师:逆流速度为多少? 生乙:(x-3)千米/小时.

师:那么这个方程的等量关系是什么? 生丙:往返的路程相等.

师生共同探讨,列出方程:2(x+3)=2.5(x-3)

师:下面请一位同学上黑板写出这道题的解题过程.

4

二、巩固练习

解下列方程:

1.2y+3=8(1-y)-5(y-2). 2.3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3). 【答案】 1.y=1 2.y=8 三、课堂小结

1.本节课主要学习了什么内容? 2.在去括号时应注意什么?

第6课时 解一元一次方程 ——去括号与去分母(2)

教学目标 【知识与技能】

会解含分母的一元一次方程,掌握解一元一次方程的基本步骤和方法,能根据方程的特点灵活地选择解法. 【过程与方法】

经历一元一次方程一般解法的探究过程,理解等式基本性质在解方程中的作用,学会通过观察,结合方程的特点选择合理的思考方向进行新知识探索. 【情感、态度与价值观】

通过尝试从不同角度寻求解决问题的方法,体会解决问题策略的多样性;在解一元一次方程的过程中,体验“化归”的思想. 教学重难点

【重点】解一元一次方程的基本步骤和方法. 【难点】含有分母的一元一次方程的解题方法. 教学过程 一、新课引入

师:同学们,我们先来看这样一道题.

教师出示问题:一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部加起来总共是33,求这个数.

师:设这个数为x,那么它的三分之二、二分之一怎么表示? 生:

211

x+x+x+x=33 327解这个方程关键是去分母,那么怎样才能去掉分母?根据是什么?

学生合作探究,尝试去分母,并与同伴交流自己的解法是否正确.

问题解答:根据等式的基本性质2,在方程两边乘以各分母的最小公倍数42,即可将方程化为熟悉的类型.

28x+21x+6x+42x=1386

合并同类项97x=1386

系数化为1,x=

1386

971386 97答:所求的数是

师生共同探讨解有分数系数的一元一次方程的步骤.

3𝑥+13𝑥-22𝑥+3

-2=-5 210

5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3) 15x+5-20=3x-2-4x-6 15x-3x+4x=-2-6-5+20

16x=7

x= 师:同学们能不能总结解一元一次方程的一般步骤? 学生分组讨论,合作交流. 二、例题讲解

【例】 解下列方程:

(1)

𝑥+12-𝑥

-1=2+; 24

𝑥-12𝑥-1

=3-; 23

7

16

(2)3x+(3)x-

10𝑥+12𝑥+1

=-1. 64

【答案】 (1)去分母(方程两边同时乘4),得2(x+1)-4=8+(2-x). 去括号,得2x+2-4=8+2-x.

移项,得2x+x=8+2-2+4. 合并同类项,得3x=12. 系数化为1,得x=4.

(2)去分母(方程两边同时乘6),得18x+3(x-1)=18-2(2x-1). 去括号,得18x+3x-3=18-4x+2. 移项,得18x+3x+4x=18+2+3. 合并同类项,得25x=23. 系数化为1,得x=.

(3)去分母,得12x-2(10x+1)=3(2x+1)-12. 去括号,得12x-20x-2=6x+3-12. 移项,得12x-20x-6x=3-12+2. 合并同类项,得-14x=-7. 两边同除以-14,得x=. 三、巩固练习

解下列方程:

1.2.

𝑥+3𝑥-1

-3=1. 2

𝑥+33𝑥-2-3=. 22

11

22325

【答案】 1.x=-5 2.x=-2 四、课堂小结

下面我们一起来回忆一下解一元一次方程的一般步骤.1.去分母.2.去括号.3.移项.4.合并同类项.5.系数化为1.

3.2 一元一次方程的应用

第1课时 一元一次方程的应用(1)

教学目标 【知识与技能】

1.会列一元一次方程解决有关商品销售的问题.

2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实中的相等关系,体会代数方法的优越性. 【过程与方法】

1.根据具体问题的数量关系,形成方程的模型,初步形成学生利用方程的观点认识现实世界的意识和能力.

2.通过分组合作学习活动,学会在活动中与他人合作,并能与他人交流思维的过程与结果. 【情感、态度与价值观】

通过由具体实例的分析、思考与合作学习的过程,培养学生理论联系实际的辩证唯物主义的思想以及善于分析问题、利用知识解决实际问题的良好的学习习惯. 教学重难点

【重点】正确分析应用题的题意,列出一元一次方程. 【难点】正确列出一元一次方程. 教学过程 一、温故而知新

师:同学们,今天我们要学习如何列一元一次方程解应用题,那么列方程解应用题的步骤的关键是什么?

学生回答,教师点评. 二、例题讲解

【例1】 如图,用直径为200mm的圆柱体钢,锻造一个长、宽、高分别为300mm、300mm和90mm的长方体毛坯,应截取多少毫米长的圆柱体钢?(计算时,π取3.14,结果精确到1mm)

分析 把圆柱体钢锻造长方体毛坯,虽然形状发生了变化,但锻造前后的体积是相等的,也就是圆柱体体积=长方体体积.

【答案】 应设截取的圆柱体钢长为xmm.根据题意,得3.14×(解方程,得x≈258.

答:应截取约258mm长的圆柱体钢.

【例2】 为了适应经济发展,铁路运输再次提速.如果客车行驶的平均速度增加40km/h,提速后由合肥到北京1110km的路程只需行驶10h.那么,提速前,这趟客车平均每时行驶多少千米?

分析 行程问题中常涉及的量有路程、平均速度、时间、它们之间的基本关系是: 路程=平均速度×时间.

【答案】 设提速前客车平均每时行驶xkm,那么提速后客车平均每时行驶(x+40)km.客车行驶路程1110km,平均速度是(x+40)km/h.所需时间是10h.根据题意,得10(x+40)=1110.

解方程,得x=71.

答:提速前这趟客车的平均速度是71km/h.

师:分析行程问题中的等量关系,还可以借助线段示意图.

2002

)x=300×300×90. 2

【例3】 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?

分析 两件衣服共卖了120(60×2)元,是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时花了多少钱,如果进价大于售价就亏损,反之就盈利.

假设一件商品的进价是40元,如果卖出后盈利25%,那么商品利润是40×25%元;如果卖出后亏损25%,商品利润是40×(-25%)元.

【答案】 设盈利25%的那件衣服的进价是x元,它的商品利润就是0.25x元,根据进价与利润的和等于售价,列出方程x+0.25x=60.由此得x=48.

类似地,可以设另一件衣服的进价为y元,它的商品利润是-0.25y元,列出方程y-0.25y=60.由此得y=80.

两件衣服的进价是x+y=128元,而两件衣服的售价是60+60=120元,进价大于售价,由此可知卖这两件衣服总共亏损8元.

三、巩固练习

在商品市场经常可以听到小贩的叫嚷声和顾客的讨价还价声:“10元一个的玩具赛车打八折,快来买啊!”“能不能再便宜2元?”如果小贩真的便宜2元卖了,他还能获利20%,求一个玩具赛车的进价是多少元?

【答案】 5元 四、课堂小结

师:通过上面的例题,请同学们总结出列一元一次方程解应用题的步骤.

第2课时 一元一次方程的应用(2)

教学目标 【知识与技能】

1.使学生学会列一元一次方程解有关“增长率”的应用题.

2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实中的相等关系,体会方程方法的优越性. 【过程与方法】

1.根据具体问题的数量关系,形成方程的模型,初步培养学生利用方程的观点认识现实世界的意识和能力.

2.通过分组合作学习活动,学会在活动中与人合作,并能与他人交流思维的过程与结果. 【情感、态度与价值观】

通过由具体实例的分析、思考与合作学习的过程,培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想以及善于分析问题、利用已学知识解决问题的良好的学习习惯. 教学重难点

【重点】正确分析应用题的题意,列出一元一次方程. 【难点】正确列出一元一次方程. 教学过程 一、问题展示

师:同学们,这节课我们将学习什么呢?下面先一起来看这道题. 教师多媒体出示课件.

某村去年种植的油菜籽亩产量160千克,含油率40%,今年种新选育的油菜籽后,亩产量提高20千克,含油率提高了10个百分点.

1.今年与去年相比,这个村的油菜种植面积减少了44亩,而村榨油厂用本村所产油菜料的产油量提高20%,今年油菜种植面积是多少亩?

2.油菜种植成本为210元/亩,菜油收购价为6元/千克,请比较这个村去、今两年油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入.

师:如果设今年种植油菜x亩,那么请同学们回答下列问题:去年产油量 千克.?

生:160×40%×(x+44).

师:今年产油量 千克.? 生:(160+20)×50%x.

师:根据什么列出方程的等量关系?请列出方程.

生:今年比去年产油量提高20%,列出方程为:(160+20)×50%x=160×40%×(x+44)(1+20%). 师:请同学们解这个方程. 生:x=256.

师:在第二个问题中,去年油菜种植成本为 元.?

生:210(x+44)=63 000

师:售油收入为 元.? 生:160×40%(x+44)×6=115 200

师:售油收入与油菜种植成本的差为 元.? 生:52 200.

师:那么请同学们仿照上面的步骤,完成今年的情况.(学生合作完成,老师巡视、指导) 师:两年相比,油菜种植成本及售油收入有什么变化? 二、例题讲解

【例1】 王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行,年利率为5%.到期后得到本息共23000元,问当年王大伯存入银行多少钱?

分析 本题中涉及的数量关系有 本金×利率×年数=利息, 本金+利息=本息和.

【答案】 设当年王大伯存入银行x元,年利率为5%,存期3年,所以3年的利息为3×5%x元.3年到期后的本息共为23 000元.

根据题意,得x+3×5%x=23 000.

解方程,得x=

23 000

.x=20 000. 1.15

答:当年王大伯存入银行20 000元.

【例2】 三个作业队共同使用水泵排涝,如果三个作业队排涝的土地面积之比为4∶5∶6,而这

一次装运水泵和耗用的电力费用共计120元,三个作业队按土地面积比各应该负担多少元?

分析 各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比,且三个作业队各自应负担费用之和等于120元.由于共有土地4+5+6=15份,因而120元可由15份分担.据此,得解法如下:

【答案】 设每份土地排涝分担费用x元,那么三个作业队应负担费用分别为4x元、5x元、6x元.根据题意,得4x+5x+6x=120,解方程,得x=8.

4x=32,5x=40,6x=48.

答:三个作业队各应负担32元、40元、48元.

注意:本题中“设每份土地排涝分担费用x元”属间接设未知数法.当不能或难以直接设未知数时,常用这种方法. 三、巩固练习

某商店积压了100件某种商品,为使这批货物尽快脱手,该商店采取了如下销售方案,将价格提高到原来的2.5倍,再做3次降价处理:第1次降价30%,第2次又降价30%,第3次再降价30%,3次降价销售结果如下表: 降价次数 销售件数 1 10 2 40 3 一抢而光 求:(1)第3次降价占原价的百分比是多少? (2)该商品按新销售方法销售,相比原价全部卖完,哪一种方案更盈利?

学生独立解答,教师巡视,对有疑问的学生予以帮助. 四、课堂小结

同学们,今天学习了什么内容?你有哪些收获?学生交流、回答.

3.3 二元一次方程组及其解法

第1课时 二元一次方程组

教学目标 【知识与技能】

理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 【过程与方法】

经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程,感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用. 【情感、态度与价值观】

学会用类比的方法迁移知识,体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性,感受学习数学的乐趣. 教学重难点

【重点】理解二元一次方程组的解的意义. 【难点】求二元一次方程的正整数解. 教学过程

一、创设情境,引入新课

古老的“鸡兔同笼”问题:

“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?” 教师描述:

这是我国古代数学着作《孙子算经》中记载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣,这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣.怎样来解答这个问题呢?

学生思考并自行解答,教师巡视.最后,在学生动手动脑的基础上,集体讨论并给出各个解决方案. 教师展示幻灯片:

方法1:算筹解法.(孙子算经,用算筹研究代数.) 方法2:图形解法.(尚不成熟的符号语言,但很直观.) 方法3:算术解法. 兔数 (94÷2)-35=12 鸡数 35-12=23

方法4:一元一次方程的解法.

解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只,则可列方程: 2x+4(35-x)=94

解得:x=23

则鸡有23只,兔有12只. 请同学们自己思考.

教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念,“元”是指什么?“次”是指什么? 二、尝试活动,探索新知

1.讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念.

教师提问:

上面的问题可以用一元一次方程来解,那么还有其他方法吗? 方法6:设有x只鸡,y只兔,依题意得: x+y=35 ①

2x+4y=94 ②

针对学生列出的这两个方程,教师提出如下问题: (1)你能给这两个方程起个名字吗? (2)为什么叫二元一次方程呢?

(3)什么样的方程叫二元一次方程呢? 教师结合学生的回答,板书定义1:

含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的方程,叫做二元一次方程.

同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比,让学生用原有的认知结构去同化新知识,符合建构主义理念.

教师追问:

在上面的问题中,鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程.把①、②两个二元一次方程结合在一起,用大括号来连接.我们也给它起个名字,叫什么呢?

𝑥+𝑦=35,{ 2𝑥+4𝑦=94.

学生思考,教师板书定义2:

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.

2.讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念.

探究活动:满足x+y=35,且符合问题的实际意义的值有哪些?请填入表中. y 教师启发: x … … (1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系,还可以取哪些值? (2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗? (3)它与一元一次方程的解有什么区别? 教师板书定义3:

𝑥=𝑎,

使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解,记为{𝑦=𝑏. 教师提问:

那么什么是二元一次方程组的解呢? 学生讨论达成共识:

二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程.即:既是方程①的解,又是方程②的解. 教师板书定义4:

二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解. 注意:

二元一次方程组的解是成对出现的,用大括号来连接,表示“且”.

请同学们议一议:

将上述“鸡兔同笼”问题的几种方案进行优劣对比,你有哪些想法呢?

学生通过对比,体验到从算术方法到代数方法是一种进步.当我们遇到求多个未知量,而且数量关系较复杂时,列二元一次方程组比列一元一次方程容易,它大大减轻了我们的思维负担. 三、例题讲解

【例】 下列各对数值中不是二元一次方程x+2y=2的解的是( ) 𝑥=2,𝑥=-2,A.{ B.{ 𝑦=0𝑦=2𝑥=0,𝑥=-1,C.{ D.{ 𝑦=1𝑦=0

解法分析:

将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程,选D. 𝑥+2𝑦=2,

变式练习:上题中的选项是二元一次方程组{的解的是( ) 2𝑥+𝑦=-2解法分析:

在例1的基础上,进一步检验A、B、C、D中各对值是否满足方程2x+y=-2,使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程.

教师总结:

本例题先检验二元一次方程的解,再检验二元一次方程组的解,符合从简单到复杂的认知规律,使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念. 四、巩固练习

1.根据下列语句,列出二元一次方程: (1)甲数的一半与乙数的3倍的和为11; (2)甲数和乙数的2倍的差为17.

2.方程x+2y=7在自然数范围内的解( ) A.有无数组 B.有两组 C.有三组 D.有四组

3.若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程,那么( ) A.m≠0 B.m=0

C.m是正有理数 D.m是负有理数

【答案】 1.(1)0.5x+3y=11 (2)x-2y=17 2.D 3.A 五、课堂小结

本节课学习了哪些内容?你有哪些收获?(什么叫二元一次方程?什么叫二元一次方程组?什么叫二元一次方程组的解?)

第2课时 用代入消元法解二元一次方程组

教学目标 【知识与技能】

1.用代入法解二元一次方程组.

2.了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 3.会用二元一次方程组解决实际问题.

4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力. 5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步培养解方程组的能力. 【过程与方法】

通过观察、验证、讨论、交流等学习方式经历代入消元的过程,深刻体会到转化的作用,发展学生的抽象思维能力,培养学生有条理的表达能力和与人交流的能力. 【情感、态度与价值观】

1.了解二元一次方程组的“消元”思想、初步理解“化未知为已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信心.

2.培养学生合作交流、自主探索的良好习惯.

3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.

4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣. 教学重难点

【重点】用代入消元法解二元一次方程组.

【难点】探索用代入消元法将“二元”转化为“一元”的消元过程. 教学过程

一、创设情境,引入新课

教师出示下列问题:

问题1:篮球联赛中,每场比赛都要分胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好的名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少?

问题2:在上述问题中,我们也可以设出两个未知数,列出二元一次方程组,那么怎样求解二元一次方程组呢?

二、尝试活动,探索新知

教师引导:

什么是二元一次方程组的解?(方程组中各个方程的公共解) 学生列式计算后回答:

{

满足方程①的解有:

𝑥=21,𝑥=20,𝑥=19,𝑥=18,𝑥=17,{{{{{…… 𝑦=1;𝑦=2;𝑦=3;𝑦=4;𝑦=5;满足方程②的解有:

𝑥=19,𝑥=18,𝑥=17,𝑥=16,{{{{…… 𝑦=2;𝑦=4;𝑦=6;𝑦=8;𝑥=18,这两个方程的公共解是{ 𝑦=4.教师追问:

这个问题能用一元一次方程来解决吗? 学生思考并列出式子: 设胜x场,负(22-x)场, 解方程:2x+(22-x)=40 ③ 学生观察并思考:

上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?

教师提问:1.在一元一次方程的解法中,列方程时所用的等量关系是什么? 2.方程组中方程②所表示的等量关系是什么?

3.方程②与③的等量关系相同,那么它们的区别在哪里? 4.怎样使方程②变为只含有一个未知数呢?

𝑥+𝑦=22, ①

2𝑥+𝑦=40. ①

结合学生的回答,教师做出讲解:

由方程①进行移项得y=22-x,由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数,故可以把方程②中的y用(22-x)来代换,即得2x+(22-x)=40.这样,二元就化为一元了.

解得x=18.

问题解完了吗?怎样求y?

将x=18代入方程y=22-x,得y=4.

能代入原方程组中的方程①、②来求y吗?代入哪个方程更简便? 𝑥=18,

这样,二元一次方程组的解就是{ 𝑦=4.教师归纳并板书:

这种通过代入消去一个未知数,使二元方程转化为一元方程,从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法,简称代入法. 三、例题讲解

【例1】 用代入法解方程组:{

𝑥=𝑦+3, ①

3𝑥-8𝑦=14. ①

本题较简单,直接由学生板演,师生共同评价.

𝑥=2,

【答案】 把①代入②,得3(y+3)-8y=14.所以y=-1.把y=-1代入①,得x=2.所以{ 𝑦=-1.解后反思,教师引导学生思考下列问题: (1)选择哪个方程代入另一方程?其目的是什么? (2)为什么能代入?

(3)只求出一个未知数的值,方程组就解完了吗?

(4)把已求出的未知数的值代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便? (5)怎样检验你运算的结果是否正确呢?

(与解一元一次方程一样,需检验.其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看方程的左、右两边是否相等.检验可以口算,也可以在草稿纸上验算.)

【例2】 (例1的变式)解方程组:

1

x-y=3, ①{2

3𝑥-8𝑦=14. ①

分析:

(1)从方程的结构来看:例2与例1有什么不同?

例1是用x=y+3直接代入②的,而例2的两个方程都不具备这样的条件,都不能直接代入另一个方程.

(2)如何变形?

把一个方程变形为用含x的式子表示y(或含y的式子表示x). (3)选用哪个方程变形较简便呢?

通过观察,发现方程①中y的系数为-1,因此,可先将方程①变形,用含x的代数式表示y,再代入方程②求解.

【答案】 由①得y=2x-3,③ 把③代入②,得(问:能否代入①中?) 3x-8(2x-3)=14, 所以-x=-10,解得x=10.

1

1

(问:本题解完了吗?把x=10代入哪个方程求y较简单?) 把x=10代入③,得y=×10-3, 𝑥=10,

所以y=2.所以{ 𝑦=2.四、巩固练习

𝑥-𝑦=-3,1.二元一次方程组{的解是( ) 2𝑥+𝑦=0𝑥=-1,𝑥=1,A.{ B.{ 𝑦=2𝑦=-2𝑥=-1,𝑥=-2,C.{ D.{ 𝑦=-2𝑦=1=y,①2.解方程组{

2(𝑥+1)-𝑦=6.①

𝑥=3,

【答案】 1.A 2.原方程组的解为{ 𝑦=2.五、课堂小结

你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么?主要步骤有哪些呢?让学生在互相交流的活动中完成本节课的小结,并能通过总结与归纳,更加清楚地理解代入消元法,体会代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想.

𝑥

+13

1

2

第3课时 用加减消元法解二元一次方程组

教学目标 【知识与技能】

1.掌握用加减消元法解二元一次方程组.

2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.

3.体验数学学习的乐趣,在探索过程中体验成功的喜悦,增强学好数学的信心. 【过程与方法】

1.通过探索二元一次方程组的解法,了解二元一次方程组的“消元”思想,使学生养成良好的探索习惯.

2.通过对具体实际问题的分析,组织学生自主交流、探索,经历列方程的建模过程,培养学生应用数学的意识.

【情感、态度与价值观】

1.让学生在了解二元一次方程组的“消元”思想以及初步理解“化未知为已知”和“化复杂问题为简单问题”的化归思想的过程中,享受学好数学的乐趣,增强学好数学的信心.

2.使学生养成合作交流、自主探索的良好习惯.

3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.

4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣. 教学重难点

【重点】如何用加减法解二元一次方程组. 【难点】如何运用加减法进行消元. 教学过程

一、创设情境,引入新课

教师提出问题:

王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨,共花了14元,李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨,共花了12元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁算得快.

教师总结最简便的方法:

抵消掉相同部分,王老师比李老师多买了1千克的梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2元. 二、例题讲解

【例1】 解方程组:{

4𝑥+𝑦=14, ①

8𝑥+3𝑦=30. ①

分析 在这个方程组中,直接将两个方程相加或相减,都不能消去未知数x或y,怎么办?我们可以对其中一个(或两个)方程进行变形,使得这个方程组中x或y的系数相等或互为相反数,再来求解.

解法一(消去x),将①×2,得8x+2y=28.③ ②-③,得y=2.把y=2代入①,得4x+2=14. 𝑥=3,

x=3.所以{ 𝑦=2.

解法二(消去y) 请同学们自己完成. 【例2】 解方程组:{

4𝑥+2𝑦=-5, ①5𝑥-3𝑦=-9. ①

分析 比较方程组中的两个方程,y的系数的绝对值比较小,将①×3,②×2,就可使y的系数绝对值相等,再用加减法即可消去y.

【答案】 ①×3,得12x+6y=-15.③ ②×2,得10x-6y=-18.④

𝑥=-,3312③+④,得22x=-33,x=-2.把x=-2代入①,得-6+2y=-5,y=2.所以{1

𝑦=.

23

师生共析:

1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.

第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.

第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、合并同类项等,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边、常数项在方程的右边的形式),再作如上加减消元的考虑. 三、巩固练习

1.用加减法解下列方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.

(1){

3𝑥-2𝑦=15, ①

消元方法: .?

5𝑥-4𝑦=23 ①

消元方法: .?

2𝑛+3𝑚=-2 ①7𝑚-3𝑛=1, ①

(2){

2.用加减消元法解下列方程组: 4𝑥+𝑦=2,3𝑥+2𝑦=-1,(1){ (2){ 4𝑥-3𝑦=-6;𝑥+4𝑦=-7.【答案】 1.(1)①×2-②消去y (2)①×2+②×3消去n 𝑥=0,𝑥=1,2.(1){ (2){ 𝑦=2;𝑦=-2.四、课堂小结

本节课我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.请同学们回忆:加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?

3.4 二元一次方程组的应用

第1课时 二元一次方程组的应用(1)

教学目标 【知识与技能】

1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题,让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用.

2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系,体会代数方法的优越性.

3.体会列方程组比列一元一次方程容易.

4.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力. 【过程与方法】

以方程组为工具分析、解决含有多个未知数的实际问题. 【情感、态度与价值观】

1.确定解题策略,比较估算与精确计算.

2.培养分析、解决问题的能力,体会二元一次方程组的应用价值,增强数学的应用意识. 教学重难点

【重点】能根据题意找出等量关系,并能根据题意列二元一次方程组. 【难点】正确找出问题中的两个等量关系. 教学过程

一、创设情境,引入新课

复习提问:

列方程解应用题的步骤是什么?

学生回答:

审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答. 教师讲述:

前面我们结合实际问题,讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组.本节课我们继续探究如何用方程组解决实际问题. 二、例题讲解

【例1】 某市举办中学生足球比赛,规定胜一场得3分,平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场,没有输过一场,共得27分.试问该队胜几场,平几场?

解法一 如果设该市第二中学足球队胜x场,那么该队平(11-x)场.根据得分规定,胜x场,得3x分,平(11-x)场,得(11-x)分.共得27分,得方程3x+(11-x)=27.解方程,得x=8.11-x=11-8=3(场).答:该市第二中学足球队胜8场,平3场.

解法二 设市第二中学足球队胜x场,平y场.由该队共比赛11场,得方程x+y=11.① 又根据得分规定,胜x场,得3x分,平y场,得y分,共得27分,因而得方程3x+y=27.②

𝑥=8,

解方程①、②组成的方程组,得{ 𝑦=3.答:该市第二中学足球队胜8场,平3场.

【例2】 甲、乙两人相距4km,以各自的速度同时出发.如果同向而行,甲2h追上乙;如果相向而行,两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少?

分析 用示意图来表示数量关系,比较直观,便于找到相等关系.本例中“同时出发,同向而行”,可用下图表示.

“同时出发,相向而行”,可用下图表示.

【答案】 设甲、乙的速度分别是xkm/h、ykm/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系,得

{1

②×4+1,得4x=20,x=5.

𝑥=5,

将x=5代入①,得y=3.所以{. 𝑦=3.答:甲的速度是5km/h,乙的速度是3km/h. 三、巩固练习

1.某所中学现在有学生4 200人,计划一年后初中在校生增加8%,高中在校生增加11%,这样全校学生将增加10%,这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少?

2.有大、小两辆货车,2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨,5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨,求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?

【答案】 1.现在的初中在校生有1 400人,高中在校生有2 800人. 2.3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨. 四、课堂小结

通过这节课的学习,你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤吗?

1

x+y=4. ①222𝑥-2𝑦=4, ①

第2课时 二元一次方程组的应用(2)

教学目标 【知识与技能】

1.经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.

2.能够找到实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组. 3.学会开放性地寻求设计方案,培养分析解决问题的能力. 【过程与方法】

通过经历积极思考、互相讨论、探索事物之间的数量关系的过程,形成方程模型意识. 【情感、态度与价值观】

在解方程和运用方程解决实际问题的过程中,进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型. 教学重难点

【重点】经历和体验用方程组解决实际问题的过程. 【难点】用方程组刻画并解决实际问题.

教学过程

一、创设情境,引入新课

前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程,其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决.

教师出示问题:

玻璃厂熔炼玻璃液,原料是石英砂和长石粉混合而成.要求原料中含二氧化硅70%,根据化验,石英砂中含二氧化硅99%,长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2t原料中,石英砂和长石粉各多少吨? 二、例题讲解

分析:问题中涉及了哪些已知量和未知量?它们之间有何关系?引入未知数,填写下表: 需要量 含二氧化硅 石英砂 x 99%x 长石粉 y 67%y 原料总量 3.2 70%×3.2 【答案】 设需石英砂xt,长石粉yt.

由所需总量,得x+y=3.2.① 再由所含二氧化硅的百分率,得 99%x+67%y=70%×3.2.②

𝑥=0.3,

解由方程①、②组成的方程组,得{ 𝑦=2.9.答:在3.2t原料中,石英砂0.3t,长石粉2.9t. 三、拓展练习,巩固概念

学生在手工实践课中,遇到这样一个问题:要用20张白卡纸制作包装纸盒,每张白卡纸可以做盒身2个或者做盒底盖3个.如果1个盒身和2个盒底盖可

以做在一个包装纸盒,那么能否将这些白卡纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒底盖,使做成的盒身和盒底盖正好配套?请你设计一种分法.

按以下步骤展开问题的讨论: 1.学生独立思考,构建数学模型. 2.小组讨论达成共识. 3.学生板书并讲解.

4.对方程组的解进行探究和讨论,从而得到实际问题的结果. 5.针对以上结论,你能再提出几个探索性的问题吗? 四、巩固练习

某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表: 农作物品种 水稻 棉花 蔬菜 每公顷需劳动力 4人 8人 5人 每公顷需投入资金 1万元 1万元 2万元 已知该农场计划投入67万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职工都有工作,而且投入的资金正好够用?

【答案】 安排15公顷种水稻.20公顷种棉花.16公顷种蔬菜. 五、课堂小结

通过本节课的讨论,你对用方程组解决实际问题的方法又有何新的认识?

第3课时 二元一次方程组的应用(3)

教学目标 【知识与技能】

1.进一步经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 2.会用列表的方法分析问题中所蕴涵的数量关系,列出二元一次方程组. 【过程与方法】

经历探索建立模型解决实际问题的过程,感受方程组作为刻画现实世界的有效模型的内涵. 【情感、态度与价值观】

1.培养学生实事求是的科学精神,认识数学的科学价值和人文价值.

2.在利用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣. 3.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步体会二元一次方程组的应用价值. 教学重难点

【重点】用列表、画图的方法分析题意、建立模型. 【难点】如何应用列表法、图象法分析问题、建立模型. 教学过程

一、创设情境,引入新课

最近几年,全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面,为疏导电价矛盾,促进居民节约、合理用电,各地出台了峰谷电价试点方案.

电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度.一般白天的用电比较集中、用电功率比较大,而夜里人们休息时用电比较少,所以通常白天的用电称为高峰用电,即8:00~22:00,深夜的用电是低谷用电,即22:00~次日8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元;低谷电价为每千瓦时0.28元.八月份小彬家的总用电量为125千瓦时,总电费为49元,你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗?

学生独立思考,并解答. 二、例题讲解

【例】 某村18位农民筹集5万元资金,承包了一些低产田地.根据市场调查,他们计划对种植作物的品种进行调整,改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表: 蔬菜 荞麦 每公顷所需的人数 5 4 每公顷需投入的资金 1.5 1 在现有的条件下,这18位农民承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有的人都有工作,且资金正好够用?

分析 怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”?能用等式来表示它们吗?根据题意列表如下: 蔬菜 荞麦 合计 面积 x y 人数 5x 4y 18 投入 1.5x y 5 5𝑥+4𝑦=18,22

【答案】 设蔬菜的种植面积为xhm,荞麦的种植面积为yhm根据题意,得{

1.5𝑥+𝑦=5.

𝑥=2,2

解方程组,得{承包田地的面积为x+y=4(hm),人员安排为5x=5×2=10(人),4y=4×2=8(人). 𝑦=2.答:这18位农民应承包4hm的田地,种植蔬菜和荞麦各2hm,并安排10人种蔬菜,8人种荞麦,这样能使所有的人都有工作,且资金正好够用.

2

2

教师引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的思路:合理设定未知数,找出相等关系. 三、巩固练习

1.某工厂现在年产值是150万元,如果每增加1 000元的投资一年可增加2 500元的产值,设新增加的投资额为x万元,总产值为y万元,求x、y所满足的方程.

2.学校购买35张电影票共用250元,其中甲种票每张8元,乙种票每张6元,设甲种票x张,乙种票y张,请列方程组并求解.

3.有一个两位数,其数字和为14,若调换个位数字与十位数字,就比原数大18,则这个两位数是多少?

【答案】 1.y=150+2.5x.

𝑥+𝑦=35,𝑥=20,2.{解得{ 𝑦=15.8𝑥+6𝑦=250,3.这个两位数为68. 四、课堂小结

1.在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设定未知数,可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?

2.小组讨论, 试用框图概括“用二元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程. 学生思考、讨论、整理.

*

3.5 三元一次方程组及其解法

第1课时 三元一次方程组及其解法(1)

教学目标 【知识与技能】

了解三元一次方程组的概念,会用消元法解简单的三元一次方程组. 【过程与方法】

经历三元一次方程组解法的探索过程,使学生能深入体会消元化归的思想方法. 【情感、态度与价值观】

通过解三元一次方程组,感受方程(组)变形的数学美以及方程组解的奇异美. 教学重难点

【重点】通过与二元一次方程组类比学会用加减消元法解三元一次方程组. 【难点】如何消元,消去哪个未知数. 教学过程

一、设置问题情境,引入概念

本章“数学史话”所介绍的《九章算术》一书中第八章第一题,列成方程组就是

3𝑥+2𝑦+𝑧=39, ①{2𝑥+3𝑦+𝑧=34, ① 𝑥+2𝑦+3𝑧=26. ①

这种由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组叫做三元一次方程组. 二、例题讲解

师:二元一次方程组经过消元,可以转化为一元一次方程,那么能不能通过消元,把三元一次方程组转化为二元一次方程组呢?

生:(相互探讨与交流)可以类比解二元一次方程组所运用的消元法.

师:既然可以运用消元法解三元一次方程组,那么我们首先要确定好消元的方法,再确定应该消去哪个未知数.

生:选用加减消元法,消去未知数z.

解:①-②,得x-y=5. ④(消去未知数z),

②×3-③,得5x+7y=76. ⑤(消去同一个未知数z), ④×7+⑤,得12x=111,

所以x=4.

把x=4代入④,得y=4. 把x=,y=代入①,得z=. 𝑥=4, 17所以𝑦=, 4

𝑧=11.{4

𝑥+𝑦+2𝑧=3, ①

【例】 解方程组:{

-2𝑥-𝑦+𝑧=-3, ①𝑥+2𝑦-4𝑧=-5. ①

【答案】 先用加减消元法消去x: ②+①×2,得y+5z=3.④ ③-①,得y-6z=-8.⑤

下面解由④、⑤联立成的二元一次方程组: ④-⑤.得11z=11,⑥ 所以z=1.⑦

𝑥=3,

将⑦代入④,得y=-2.将y、z的值代入①,得x=3.所以{𝑦=-2,

𝑧=1.三、错题分析

𝑥+𝑦-𝑧=6, ①

解方程组:{2𝑥-𝑦+3𝑧=7, ①

3𝑥+2𝑦+𝑧=10. ①

下面是小明同学解这个方程组的一部分过程: ①+②,得 3x+2z=13.④ ①+③,得 4x+3y=16.⑤

3𝑥+2𝑧=13,

解由④、⑤联立的方程组{ 4𝑥+3𝑦=16.师:小明的解法存在什么问题?

生:①+②消去的是未知数y,①+③消去的是未知数z,两次消元消去的不是同一个未知数,最后得到由④、⑤联立的方程组仍然是三元一次方程组.

师:对了,两次消元必须是消去同一个未知数,这样才能达到将“三元”转化为“二元”的目的. 四、组织练习,掌握解题技能

解下列方程组:

37

374

174

114

37

17

37

3𝑥-𝑦+𝑧=4, ①1.{2𝑥+3𝑦-𝑧=12, ① 𝑥+𝑦+𝑧=6. ①2𝑥+𝑦+𝑧=-5, ①2.{𝑥+2𝑦+𝑧=0, ①

𝑥+𝑦+2𝑧=-7. ①

(说明:练习之前,教师可以先对两个方程组作简单分析,然后由学生完成解题过程)

师:题1中,消去什么未知数较方便?

生:①+②可以消去z,②+③也可以消去z,两次消元都是消去z,这样就可以得到只含有x、y的二元一次方程组.

师:题2中,消去什么未知数较方便?

生:①-②可以消去z,③-2×②也可以消去z,这样就可以化“三元”为“二元”.

(抽几名学生在黑板上板演题1、题2的解题过程,其他同学在练习本上完成解题过程,教师对解题有困难的学生作适当指导,帮助他们克服困难,并对学生的板演过程进行点评)

𝑥=2,𝑥=-2,

【答案】 1.{𝑦=3, 2.{𝑦=3,

𝑧=1.𝑧=-4.五、课堂小结

师:本节课主要学习了哪些内容?有什么收获?

学生认真思考、交流体会.

教师总结:本节课主要学习了加减消元法解三元一次方程组.体现了化“复杂”为“简单”、化“未知”为“已知”的消元化归思想,两次消元只有消去同一个未知数才能达到化“三元”为“二元”的目的.求出方程组的解之后,还必须代入原方程组进行口头检验,保证解的正确性.

第2课时 三元一次方程组及其解法(2)

教学目标 【知识与技能】

经历代入消元法解三元一次方程组的探索过程,掌握代入消元法并会解三元一次方程组. 【过程与方法】

经历用代入法求解三元一次方程组的探索过程,使学生深入体会消元化归的思想方法. 【情感、态度与价值观】

通过一题多种解法的探讨,感受数学的方法美. 教学重难点

【重点】通过与二元一次方程组类比,使学生学会用代入法解三元一次方程组. 【难点】如何消元,消去哪一个未知数. 教学过程

一、复习旧知,引入新课

我们已经学习了代入、加减两种消元的方法解二元一次方程组,通过与二元一次方程组类比学会了加减消元法解三元一次方程组.今天,我们将类比二元一次方程组的代入消元法解三元一次方程组.

二、例题讲解

3𝑥+𝑦-4𝑧=13, ①

【例1】 解方程组:{5𝑥-𝑦+3𝑧=5, ①

𝑥+𝑦-𝑧=3. ①

师:如果用代入消元法解该方程组时,消去哪一个未知数较方便?为什么?

生:从题目看,消去x、y、z都可以,因为③中含未知数x、y、z的项的系数的绝对值均为1. 【答案】 由③,得z=x+y-3.④ 将④代入①,并整理,得x+3y=-1. 师:将④代入①的目的是什么?

生:把①中的z用x+y-3来代替,达到消去未知数z的目的.将④代入②,并整理,得4x+y=7.⑥ 师:为什么将④代入②?

生:把②中的z用x+y-3代替,可以消去未知数z.解由⑤、⑥联立而成的二元一次方程组,得𝑥=2,

x=2,y=-1.把x=2,y=-1代入④,得z=-2.所以{𝑦=-1,

𝑧=-2.

师:为什么不将④代入③呢?

生:④是由③变形而得到的,④和③实质上是同一个方程.

师:从上面的解题过程可以发现,用代入消元法解三元一次方程组的主要步骤是什么?

生:首先是从某一个方程中确定一个未知数作为替换的对象,然后将这个未知数分别代入另外两个方程,得到消去这个未知数的二元一次方程组.

𝑥∶y=3∶2 ①

【例2】 解方程组:{𝑦∶z=5∶4, ①

𝑥+𝑦+𝑧=66. ①

分析 本题中①、②是以比的形式给出了两个未知数的关系,学生觉得有些陌生,此时要引导学生回顾小学所学习的比例性质对①、②进行变形.

2𝑥-3𝑦=0, ①

原方程组可以化为{4𝑦-5𝑧=0, ①

𝑥+𝑦+𝑧=66. ①

师:消去什么未知数较好?

生:由⑥,得x=66-y-z,再代入④,消去x;也可由⑥得z=66-x-y,再代入⑤,消去z.

【答案】 由⑥得x=66-y-z,把x=66-y-z代入④并整理,得5y+2z=132.⑦由⑤、⑦组成的方程组,𝑥=30,

得y=20,z=16.把y=20,z=16代入③,得x=30.所以{𝑦=20,

𝑧=16.

师:上面的方程组,能不能由①、②中x、y、z之间比的关系而得到另外的解法? 生:……

师:由于x∶y=3∶2,y∶z=5∶4,所以x∶y∶z=15∶10∶8,设每一份为a,得x=15a,y=10a,z=8a.把𝑥=30,

x、y、z的值分别代入x+y+z=66,得15a+10a+8a=66,a=2.所以{𝑦=20,

𝑧=16.

比较上述两种方法,第二种解法比第一种解法要简便,引起学生注意,今后在解方程组时一定要结合方程组的特征,选择较合适的解法. 三、组织练习,提高解题技能

𝑥+𝑦+𝑧=3,

解方程组.1.{𝑥+2𝑦+3𝑧=6,

2𝑥+𝑦+2𝑧=5.

𝑥+𝑦𝑧+𝑥𝑦+𝑧𝑥=1,

==,34 【答案】 (1){𝑦=1, 2.{2

𝑥+𝑦+𝑧=27.𝑧=1.

练习指导:方程组2中的第一个方程可以转化为两个方程方程2也可以引导学生用下面的方法求解: 设

𝑥+𝑦𝑧+𝑥𝑦+𝑧

===m,则234

𝑥+𝑦𝑧+𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧

=与=. 2324x+y=2m,z+x=3m,y+z=4m,把上面三个等式相加,得2(x+y+z)=9m.因为

𝑥=3,

x+y+z=27,所以2×27=9m,得m=6,所以x+y=12,x+z=18,y+z=24,又x+y+z=27,所以{𝑦=9,

𝑧=15.四、课堂小结

本节课主要学习了用代入法解三元一次方程组,解题过程中要根据方程的特征选择合适的未知数作为消元的对象,对于特殊的三元一次方程组有时候也可以选择较特殊的解题方法求解.总而言之,解方程组时解法的选用上要显示出一定的灵活性.

3.6 综合与实践 一次方程组与CT技术

教学目标 【知识与技能】

能用一次方程组解决简单的实际问题,掌握列方程组解决实际问题的一般步骤. 【过程与方法】

经历列一次方程组解决简单的实际问题的过程,体验到方程组解应用题所需的分析问题、解决问题的方法.

【情感、态度与价值观】

通过对实际问题的分析,感受方程作为刻画现实世界模型的意义. 教学重难点

【重点】用一次方程组解决日常生活中的实际问题. 【难点】分析出问题中的数量关系,建立方程组. 教学过程

一、创设情境,引入新课

CT是X射线计算机断层成像(X-ray computed tomography)的简称,亦指一种病情探测仪器.由于CT分辨力高,可使人体内组织或结构清楚地显影,能清楚地显示出器官是否有病变,因而对脑瘤、肺癌等疾病,CT检查作出的诊断都是比较可靠的.

CT的工作程序是这样的:X射线射入人体,被人体吸收而衰减,应用灵敏度极高的探测器采集衰减后的X射线信号,获取数据(由于人体不同器官和病变部位对X射线的吸收程度不同,所以所得数据也不同),将这些数据输入电子计算机,进行处理后,就可摄下人体被检查部位的各断层的图像,从而发现体内任何部位的细小病变.

所谓断层是指受检体的截面薄层,为了显示整个器官,需要多个连续的断层图像,图像的个数按断层的厚度(3~15mm)而定.

各断层的CT图像是如何得来的?我们在受检体内欲成图像的断层表面上,按一定大小(长或宽为1~2mm)把断层划分成许多很小的部分(它的高就是断层的厚度),这些小块就称为体素,一般用吸收值来表示X射线束穿过一个体素后被吸收的程度,要得到该断层的图像,要发现受检体有无病变,就需要把它上面的各体素的吸收值都求出来.

师:那么如何求一个断层上各体素的吸收值呢?这节课我们就来学习用最简单的由A、B、C三个体素组成的断层为例来进行说明. 二、讲授新课

设体素A、B、C的吸收值分别为x、y、z,则X射线束1穿过体素A和B后,由探测器测得的总吸收值为p1,则x+y=p1①

同样,X射线束2穿过体素A和C后,测得总吸收值为p2,X射线束3穿过体素B和C后,测得总吸收值为p3,则

x+z=p2,② y+z=p3,③

将方程①②③联立起来,得到一个含有未知数x、y、z的三元一次方程组,解此方程组,可以求得体素A、B、C的各自吸收值.

由于一般的断层至少也得划分成160×160=25 600个体素,X射线束从不同位置、不同方向穿过该断层,因而需要解由此而建立的25 600个元的一次方程组,才能求出各体素的吸收值. 三、课堂小结

通过这节课的学习,你有什么收获?还有什么疑问吗?

第4章 直线与角

4.1 几何图形

第1课时 立体图形与平面图形

教学目标 【知识与技能】

1.使学生初步了解几何研究的对象和问题.

2.使学生初步认识长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等简单的几何体. 【过程与方法】

1.经历具体实例的抽象概括过程,形成几何体的模型,初步形成学生利用几何的观点认识现实世界的意识和能力,进一步发展学生抽象思维的能力.

2.通过分组合作学习活动,学会在活动中与人合作,并能与他人交流思维的过程与结果. 【情感、态度与价值观】

通过由具体实例的抽象概括的过程,培养学生分析问题、解决问题的能力以及合作学习和独立思考的良好学习习惯. 教学重难点

【重点】初步了解几何研究的对象及主要内容、学习方法.

【难点】能简单地描述几何体的特点. 教学过程 一、新课引入

多媒体展示图片.

“房子大了,电话小了,感觉越来越好……”这是同学们喜爱的歌曲《越来越好》中的第一句歌词,它对现实生活进行了生动的描绘,随着社会的进步,人们建房子越来越追求风格,如中国人民银行的办公大楼被建造成圆柱体,各地的政府大楼被建成长方体,还有澳大利亚的悉尼歌剧院被建成船帆形状等,风格迥异,给人以不同的感受,从数学角度看,这些建筑都是立体图形,可以说立体图形在生活中无处不在.

图形是多种多样的,我们从这节课开始认识、了解一些基本图形. 二、问题展示

师:请同学们从下列实物中找出我们熟悉的几何图形. 砖块、粮堆、日光灯灯管、篮球.

学生合作交流后回答:长方体、圆锥、圆柱、球.

师:生活中蕴藏着大量的几何图形,这些几何图形构成了我们的美丽世界的一部分,像长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体,简称体.包围着体的是面,面有平的面与曲的面两种.

如圆柱体的上、下底面是平面,侧面是曲的面.像长方体、四面体等,围成它们的面都是平面的一部分,这样的几何体都是多面体.

师:你还能举出一些我们现实生活中常见的几何体或多面体吗? 学生举手回答. 三、新课讲授

如图,观察下列图形,并回答问题.

(1)分别写出它们的名称:1 ,2 ,3 ;4 ;5 .? (2)它们分别是由几个面围成的?分别是平的面还是曲的面? (3)属于多面体的是 .? 四、课堂小结

本节课主要学习了一些简单的几何体.在生活中常常能见到这些立体图形,只要细心发现,多留心、多观察,在平时生活中可以学到很多数学知识.

第2课时 点、线、面、体

教学目标 【知识与技能】

1.使学生初步认识多面体及旋转体.

2.使学生能判断一个图形由哪些几何图形组成,能知道多面体的面数、棱数和顶点数. 3.使学生了解点、线、面、体. 【过程与方法】

能由实物形状想象出几何图形、由几何图形想象出实物形状,进一步丰富学生对几何图形的感性认识.

【情感、态度与价值观】

通过从现实世界中抽象出几何图形的过程,感受图形世界的丰富多彩,激发学生学习空间与图形的兴趣,通过与其他同学的交流活动,初步形成参与数学活动、主动与他人合作的意识. 教学重难点

【重点】从具体事物中抽象出几何图形.

【难点】能大致描述几何体的特点以及点、线、面、体之间的关系. 教学过程 一、新课引入

师:下图是一个长方体的模型,它有几个面?面与面相交形成了几条线?线和线相交形成几个点? 小组讨论交流.

师:灿烂的星空,有流星划过天际;长方形绕它的一边快速转动,问:这些图形给我们什么样的印象?

小组讨论交流.

观察、讨论,让学生共同体会“点动成线,线动成面,面动成体”,几何图形是由点、线、面、体组成的. 二、巩固练习

1.下列图形绕着实线旋转一周,能形成一个什么样的几何体?

2.几何图形是由 、 、 、 构成的,面有 面和 面之分.?

3.点动成 ,线动成 ,面动成 .?

4.长方体是由 个面围成的,圆柱体是由 个面围成的,圆锥是由 个面围成的.?

【答案】 略 三、课堂小结

本节课主要认识了生活中的几何图形,你有什么感受与同伴交流一下?

4.2 线段、射线、直线

第1课时 线段、射线、直线的概念

教学目标 【知识与技能】

使学生在了解线段概念的基础上,理解线段、射线和直线的概念,并能理解它们的区别与联系,逐步掌握它们的表示方法. 【过程与方法】

通过对直线、射线、线段概念的教学,培养学生的几何想象能力和观察能力,用运动的观点看待几何图形.

【情感、态度与价值观】

能积极参与数学活动,感受图形世界的丰富多彩,激发学习兴趣. 教学重难点

【重点】线段、射线、直线的概念. 【难点】直线的“无限延伸”性的理解. 教学过程

一、创设情境,引入新课

“神舟”六号载人飞船发射成功,人们为之欢欣鼓舞,为了保障它们的安全运行,科研人员时刻都在监视着它的一举一动,可是飞船上天后,肉眼、望远镜无法看清它时怎么办呢?即使在先进的科研装备中,飞船也只是显示为一个点,科研人员正是利用这个点运动成的线路来研究飞船的运行状况的,利用点动成线来研究问题,竟是这般神奇.

问题展示:

师:1.六棱柱由什么围成?面与面相交是什么?线与线相交是什么? 2.点动成什么?线动成什么?面动成什么? 学生回答:

师:竖琴中绷紧的琴弦、马路上的人行横道线,还有六棱柱的棱,都可以近似地看作线段.线段有两个端点.

将线段向一个方向无限延长,就形成了射线.如:手电筒打开后,有一束光线,它可以射向很远很远的地方,这束光线可近似地看作射线,探照灯也是一样.射线有一个端点.

将线段向两个方向无限延长就形成直线,如笔直的铁轨向两方无限延长,它可以近似地看作直线,直线没有端点.

师:生活中哪些物体可以近似的看作线段、射线、直线? 学生回答. 二、新课讲授

看一看下面分别是什么图形?有什么特征? 1.线形段:有两个端点,能度量大小.

2.射线:有一个端点,并向一方无限延伸,不可度量大小. 3.直线:没有端点,并向两个方向无限延伸,不能度量大小. 师:在几何中,我们怎样表示线段、射线、直线呢?

学生看课本,举手回答.

师:在几何中,我们常用字母表示图形,一个点可以用一个大写字母表示,如图(1)中的两点分别用字母A和B表示,这两点分别记作点A和点B.

如图(1)中,以A、B为端点的线段,记作线段AB或线段BA,有时一条线段也可以用一个小写字母表示,如图(2),记作线段a,由此可知,线段有两种表示方法:

一条线段可以用它的两个端点的大写字母表示,也可用一个小写字母表示.

师:表示线段的两个字母没有顺序性,如线段BA与线段AB表示的是同一条线段.表示线段时,在字母的前面一定要写上“线段”两字.

一条射线可以用它的端点和射线上的另一点表示,如图(3)中的射线记作射线OM,其中表示端点的字母必须写在前面,而且在两个字母的前面要写上“射线”两字.

师:1.表示射线的两个大写字母中第一个一定是端点.

2.同一条射线有不同的表示方法,如图中的射线,可以表示为射线AB,也可表示为射线AC. 3.端点相同的射线不一定是同一条射线,端点不同的射线一定不是同一条射线. 4.两条射线为同一条射线必须具备的条件:A.端点相同;B.延伸的方向相同.

一条直线可以用在这条直线上的两个点来表示,如图(4)中的直线记作直线AB或直线BA,一条直线也可以用一个小写字母表示,如图(5),可以记作直线l.所以直线也有两种表示方法.

师:1.字母前也要注明直线两字.

2.表示直线的两个字母也可交换位置,但射线不行,它具有方向性,端点在前,射线上任意一点在后. 三、变式训练

1.如图所示:

射线AB、射线AC、射线BC是不是同一条射线? 2.如图所示:

(1)图中有几条直线?有几条线段?如何表示它们? (2)图中有几条射线?能表示的射线有几条?如何表示? 学生回答. 教师点评. 四、课堂小结

1.这节课你学习了哪些内容?

2.通过本节课的学习你有什么体会?能否与同学交流一下? 学生回答.

师评:(1)三种图形:线段、射线、直线;

(2)它们的两种表示方法:用两个大写字母表示,用一个小写字母表示.

第2课时 线段、射线、直线的画法

教学目标 【知识与技能】

1.能用几何语言描述直线的性质.

2.会用字母表示线段、射线、直线,会根据语言描述画出图形. 【过程与方法】

1.通过操作活动,获得两点确定一条直线等实践操作活动的经验.

2.培养学生的观察能力和发现个体差异的能力及能够用辩证发展的眼光看待问题的能力. 【情感、态度与价值观】

初步体验图形是有效描述现实世界的重要手段,并能应用空间与图形知识解决生活中的现象并解决简单的实际问题,体会研究几何图形的意义. 教学重难点

【重点】理解并掌握直线的两条性质,会用字母表示图形并能根据语言描述画出图形. 【难点】直线的两条性质的理解与应用. 教学过程

一、创设情境,引出新课

出示墨盒:请一个同学演示使用墨盒弹出一条直线的过程.

提出问题:为什么这样拉出的线是直的,其关键是什么?这节课我们就来解决这一问题. 师:请同学们总结一下直线、射线、线段之间的区别与联系.

学生回答.

活动(一) 两点确定一条直线

师:请同学按要求画出直线,你们从中发现了什么吗? 1.过一点A画直线. 2.过两点A、B画直线.

学生画图探究,得出结论.教师找两位同学上黑板画图.

师:利用动画展示过一点可以画出无数条直线.过两点可以画一条直线,即两点确定一条直线.如果将一根木条固定在墙上,至少需几个钉子?

学生回答.

师:你还能举出一些生活中的例子吗? 学生举例回答.

师:建筑工人砌墙,如何拉参照线?木工师傅锯板时,怎样弹线? 活动(二) 点与直线的位置关系 师:在平面上点与直线有几种位置关系? 学生合作交流.

师:点在直线上和点在直线外两种位置关系.

点O在直线a上,也可以说直线a经过点O;点P在直线a外,也可以说直线不经过点P. 变式训练:小明和小迪要将4棵树苗栽在校园里,每相邻两棵树相距5米,目前,他们手中只有一个10米长的皮尺,请你设计一个方案,使4棵树在一条直线上,并回答设计的根据是什么?

师:可先用10米长的皮尺画一条10米长的线段,确定3棵树的位置,再以中间的树为起点用10米的皮尺测量,使另一棵树也经过皮尺,则皮尺的另一端点就是第四棵树的位置.

活动(三) 两条直线相交,只有一个交点 师:两条直线相交,有几个交点? 学生回答.

师:两条直线相交,会有两个交点吗? 学生交流探讨,举手回答.

师:(反证法)若两直线相交,有两个交点,由直线的性质两点确定一条直线知,过这两交点的直线为同一条直线,这与假设相矛盾.所以,两直线相交,只有一个交点. 二、变式训练

1.平面内三点可确定几条直线?

2.请你探究:(1)平面上有两条直线,最多有几个交点? (2)平面上有三条直线,最多有几个交点? (3)平面上有n条直线,最多有几个交点? 学生画图回答.

师:问题1中的三个点要分类讨论在不在同一直线上.问题2中要看增加一条直线,与其他直线最多产生几个交点. 三、课堂小结

本节课我们学习了什么内容? 1.直线的两条性质. 2.直线性质的应用. 3.描述图形及其表示图形.

4.3 线段的长短比较

第1课时 两条线段的长短比较

教学目标 【知识与技能】

依据具体情况,了解“两点之间的所有连线中线段最短”的性质. 【过程与方法】

1.借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短.

2.培养学生的动手实践能力,体会知识来源于生活,用它可以解决生活中的问题. 【情感、态度与价值观】

体会数学就在我们身边,它和生活是密不可分的. 教学重难点

【重点】两条线段长短的比较. 【难点】两条线段长短比较的方法. 教学过程

一、创设情境,引入新课

师:怎样比较两条线段的长短呢?你能从比身高上受到一些启发吗?你能再举出一些比较线段长短的实例吗?

活动(一) 线段的长短比较

师:我这里有两根线绳,一根红色的,一根绿色的,你如何知道哪根更长一点?可以用几种方式比较?说说你的办法和理由.

学生合作探究. 师:如果把两根绳子看成是两条线段,又该如何比较? 学生回答.

师:请在练习本上画出AB、CD两条线段,你如何知道哪条更长一点?可以用几种方式比较?请你说出你的方法和理由.

学生合作探究,代表回答. 师:有两种方法.

叠合法:把线AB、CD放在同一条直线上比较.

度量法:用刻度尺量出线段AB与线段CD的长度,再进行比较. 变式训练:1.如图,比较线段的长短. AB AC. AB CA. AB BC.?

2.如图,比较线段AB与AC、AD与AE、AE与AC的长短. 学生回答.

师评:1.可以考虑度量法和圆规截取的方法比较.

2.叠合法比较线段的长短,是从“形”的角度来进行比较,度量法则是从“数”的角度进行比较. 活动(二) 线段的和差

问题展示:1.一条线段可以用另外几条线段的和或差表示出来?如图: AB=AC+CB AC=AB-CB BC=AB-AC 2.填空:

(1)AB=( )+( )=( )+( ); (2)DC=AC-( )=( )-BC-( ); (3)AD+DC=( )-BC=( ).

活动(三) 线段的中点

师:给你一条绳子,你能把它平均分成两条线段吗? 学生操作探究,学生找一同学上黑板演示.

师:如图,点M把线段分成相等的两条线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点, 此时AM=BM=0.5AB或AB=2AM=2BM. 二、新课讲授

如图,已知线段AB=8cm,C为AB上一点,M为AB的中点,MC=2cm,N为AC的中点,求MN的长. 学生合作探究.

师:根据线段中点分一条线段等于两条线段的和,由些可知:AM=MB=0.5AB=4cm. 又知MC=2cm,所以AC=AM+MC=4+2=6cm,从而求知AN,所以MN=AM-AN.

师:(1)中点必须在线段上,如果已知AB=BC,那么点B不一定是线段AC的中点;

(2)若点B、C把线段AD分成相等的三条线段,那么点B、C叫做线段AD的三等分点,类似地还有四等分点、五等分点;

(3)从位置上看,线段的中点处在该线段的正中间;

(4)线段的中点具有唯一性,即一条线段有且只有一个中点. 三、变式训练

1.如图所示,B、C为线段AD上的两点,C为线段AD的中点,AC=5cm,BD=6cm,求线段AB的长. 2.如图所示,已知线段AC和BC在一条直线上,AC=8cm,BC=5cm,点E是线段AC的中点,点F是线段BC的中点,求线段EF的长. 四、课堂小结

这节课我们学习了什么?你有哪些收获? 要点:1.线段长短的两种比较方法. 2.线段的和差. 3.线段的中点.

第2课时 线段的性质

教学目标 【知识与技能】

借助具体情况了解两点之间的所有连线中,线段最短的性质,了解两点间的距离. 【过程与方法】

1.借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短.

2.培养学生的动手实践能力,体会知识来源于生活,用它可以解决生活中的问题. 【情感、态度与价值观】

积极参与到数学活动中来,感受图形世界的丰富多彩,激发学生学习数学的兴趣. 教学重难点

【重点】理解并掌握线段的性质. 【难点】掌握并灵活运用线段的性质. 教学过程

一、创设情境,引入新课

活动(一) 线段的性质

问题展示:(1)如图,已知从A地到B地共有五条路,小明应选择第几条路最近? 学生回答.

师:选择第3条.同学们知道这是为什么吗?

学生讨论.

师:两点之间的所有连线中,线段最短.

师:三角形ABC的三边可表示成线段AB、AC、BC,在下面的横线上填入“<”、“>”、“=”. (1)AB+AC BC;? (2)AB+BC AC;?

(3)你还可得到的式子是: .? 学生回答. 教师点评. 二、新课讲授

1.把一段弯曲的公路改为直路,可以缩短路程,其理由是( )

A.两点可以确定一条直线 B.线段有两个端点 C.两点之间,线段最短 D.线段可以比较大小 生:选择C.

2.为什么上学的路上我们经常看到长方形的草坪上,有一条被践踏的小路?这样做对不对? 学生回答.

师评:在草坪上,麦地里时常多出的小路,是因为有的人为了走捷径,在上学、放学的路上,践踏了群众的庄稼或校园内的花草造成的,这些现象是利用了数学道理,但这是损人利己、不文明的行为,同学们应该克服并制止这种行为.

活动(二) 两点之间的距离

师:两点之间线段的长度,叫做两点之间的距离.

如图,线段AB的长度为3cm,那么我们就说A、B两点之间的距离为3cm. 师:下列说法中正确的是( )

A.画出A、B及两点间的距离

B.连接两点之间的直线的长度叫做这两点间的距离 C.线段的大小关系与它们的长度的大小关系是一致的 D.点C到点A、点B的距离相等

学生回答.

师评:1.两点间的距离是线段的长度,而不是线段本身.

2.两点间的距离是一个带有单位的数值,而线段是一个图形.

3.确定某点是不是线段中点,不但要满足数量关系,如AC=BC,还要满足位置关系即点C在线段AB上. 三、例题讲解

【例】 已知:线段AB=4,延长AB至C,使AC=11.D是AB的中点,点E是AC的中点.求DE的长. 【答案】 如图所示,因为AB=4,点D为AB中点,故AD=2. 又因为AC=11,点E为AC中点,所以AE=5.5. 故DE=AE-AD=5.5-2=3.5. 四、变式训练

1.点A、B、C在同一直线上,如果线段AB=5cm,BC=4cm,那么A、C两点间的距离是( ) A.1cm B.9cm C.1cm或9cm D.以上都不对

2.如图,延长线段AB到C,使BC=4,若AB=8,则线段AC的长是BC的 倍.?

3.如果数轴上点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,那么A、B两点间的距离是什么? 【答案】 1.C 2.3 3.2或8

五、课堂小结

今天我们学习了一些什么内容?你有哪些收获? 学生回答.

教师总结:1.线段的性质:两点之间,线段最短. 2.两点之间的距离.

4.4 角

第1课时 角的表示和度量

教学目标 【知识与技能】

通过丰富的实例,进一步理解角的有关概念,认识角的表示,会读、写角、认识量角器,会用量角器测量角的度数. 【过程与方法】

通过在图中及实例中找角,培养观察力,能把实际问题转化为数学问题,培养动手、动脑的习惯. 【情感、态度与价值观】

积极参与数学学习活动,培养学生对数学的好奇数和求知欲. 教学重难点

【重点】掌握角的表示方法,会用量角器测量角的度数. 【难点】掌握角的表示方法. 教学过程

一、创设情境,引入新课

师:(展示三角板、五角星)同学们,你们知道这是什么吗?

生:三角板、五角星.

师:为什么这么叫呢?

生:因为三角板有三个角、五角星有五个角.

师:在日常生活中,我们经常看到各种各样的角,谁能说说自己见过的角?

生:课本有四个角.衣领有尖尖的角,剪刀张开也有角,钟表指针形成角.射击运动员射击时也有角度的调整……

师:生活中处处都能见到角,角与我们的生活息息相关,今天我们就走进角的世界,一起来研究角. 板书:角的表示与度量 活动(一) 角的认识

师:角是一个几何图形,请大家说说角是由什么图形构成的? 学生看书回答.

师:如果我们把角看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形,那么始边与终边又是指什么? 学生看图回答.

师:角的定义有静态和动态的两种.运动的观点定义的角,始边旋转经过的部分是角的内部,未经过的部分是角的外部.

师:知道什么是平角、周角、直角吗? 学生看书回答.

师:1.构成角的要素是顶点、两条边. 2.每个角都有两条边,这两条边都是射线. 3.角的两边有公共端点. 活动(二) 角的表示方法

师:我们怎样表示角呢?请同学们看课本上说了几种表示方法? 学生看书后回答.

师:角通常用符号“∠”表示,我们给它取一个最简洁的名字,标出∠1,除了这种记读方法外,还可以把角的一条边标为“A”,顶点标“B”,另一条边标为“C”这个角就记作:∠ABC或∠B,读作:角ABC或角B.也可以用希腊字母表示.

师:1.用三个大写字母可以表示一个角,三个字母的顺序有规定,顶点的字母必须写在中间,顶点的字母不一定用O,角的两边的字母也随意,当顶点只有一个角时,也可以用顶点的字母表示.

2.用数字或小写的希腊字母表示角时,不能角中有角. 二、新课讲授

1.下列说法中,正确的是( )

A.平角是一条直线 B.周角是一条射线

C.两条射线组成的图形是角

D.一条射线绕它的端点旋转而成的图形叫做角

2.如图,图中共有多少个角?请用适当的方法表示这些角.(不包括平角) 学生观察,上黑板表示.

师:(1)可标上字母,用字母表示;(2)也可标上数字、希腊字母表示. 活动(三) 角的度量.

师:角用什么来度量呢?角的单位是什么? 生:量角器,度.

师:(出示量角器)知道怎样用量角器量角的度数吗?请大家看操作(演示). 师:看懂了吗?把量角器放在角的上面,怎样量?分几步进行? 生:(1)量角器的中心和角的顶点重合; (2)零度刻字线和角的一条边重合;

(3)角的另一条边所对的量角器上的刻度就是这个角的度数. 师:我们把量角的方法归纳为“两重合,一看”.

(教师演示)量角的过程中注意:如果角的一条边和外圈零刻度线重合,就看外圈刻度.如果角的一条边和内圈零刻度线重合,就看内圈刻度.现在谁看出了我们量的度数?

学生回答. 三、课堂小结

1.本节课主要学习了角的概念,角是由什么构成的图形? 2.如果从运动的观点来看,角又是怎样形成的? 3.你学会了怎样表示角吗? 4.你学会了怎样度量角吗?

第2课时 度量单位之间的换算

教学目标 【知识与技能】

1.知道角的度量单位,并能进行单位的转换.

2.会把角的认识与现实生活相联系,用角的知识解释生活中的一些现象. 【过程与方法】

通过在图片、实例中找角,通过角的测量,培养观察力,能把实际问题转化为数学问题. 【情感、态度与价值观】

能积极参与数学学习的活动,培养对数学的好奇心和求知欲.

教学重难点

【重点】掌握角的度量单位以及单位之间的换算. 【难点】角度的换算以及对方位角的理解. 教学过程

一、创设情境,引入新课

师:对于一个已知的角如何去度量它的度数呢?上节课我们通过对量角器的使用,基本上掌握了如何去度量一个角的度数,同学们知道1°的角是怎样来的吗?请同学们作出1°的角,1°的角是最小的角吗?

学生画图体验,教师巡视指导.

师:把一个平角180等分,也可以把一个周角360等分,我们把每一份记为1°的角,再把1°的角60等分,每一份为1分,记作1',进一步把1'的角60等分,每一份为1秒,记作1″,即1°=60',1'=60″或1'=(60)°,1″=(60)',1平角=180°,1周角=360°.

师:时间单位是时、分、秒,角的单位是度、分、秒. 二、新课讲授

1.计算:

(1)145°等于多少分?等于多少秒? (2)1800″等于多少度?等于多少分? 学生独立解答.

师:从大的单位转化为小的单位用乘法.反过来,用除法. 2.计算:

(1)用度、分、秒表示30.26°; (2)42°18'15″等于多少度?

学生计算解答,教师找两学生上黑板解答.

师评:要与时间的计量单位进行类比,弄清正向互化和逆向互化两个方向的问题. 3.计算:

(1)23°18'45″+82°47'32″; (2)13°26'41″×6;

(3)83°18'45″-53°38'55″; (4)360°÷25.

学生看课本例题,解答得到:(1)106°6'17″ (2)80°40'6″ (3)29°39'50″ (4)14°24'.

师:角度的运算方法:①求两角和时,将同等单位的数相加,再按60进制将小单位转换成大单位;②求两角差时,如果小单位不够减,应向上级单位借,借1'就是60″,借1°就是60',然后再把同单位相减;③角度的倍、分运算,乘法运算是将度、分、秒与倍数分别相乘,再把小单位转换成大单位;除法运算是把大单位转换成小单位,再将度、分、秒分别转化成直接被除数整除的形式,如果不能除尽,再四舍五入.

4.把一个周角17等分,每份是多少?(精确到1') 【答案】 360°÷17=21°+3°÷17 =21°+180'÷17≈21°11'.

师:同学们知道方位角吗?你知道什么是东北方向吗? 学生回答.

师:方位角就是用角度和方向表示位置的角,如果位置在东、南、西、北方向上时,表示为正东、正南、正西、正北.如果位置在其他方向时,则表示为南(北)偏东(西)多少度.一般的方位角都是以南

1

1

北为基准线,由我们对目标物的视线与基准线的夹角确定它的位置与方向.另外,如果在北(南)偏东(西)45°,也可相应地表示为东北.(多媒体展示) 三、变式训练

按要求在图上画出:

1.南偏西60°. 2.北偏东30°. 3.用射线表示西北方向.

师:(展示时钟)时钟上的角是指时针与分针所夹的角,钟面上共有12个大格,把周角的12等分,每个大格对应30°的角,有60个小格,每个小格对应6°的角,分针1分钟转6°,时针每小时转30°,时针1分钟转0.5°.时针与分针的夹角一般是指小于180°的角.

变式训练:在5点整时,时针与分针所成的夹角是多少度? 学生思考并回答.

师评:以12点为基准,5点整时,时针转过了30°×5=150°,分针转过了0°,其度数差为150°-0°=150°,即时针与分针所成的夹角是150°. 四、课堂小结

本节课我们学习了哪些内容?你有什么收获? 1.角的单位与度量. 2.角的加减乘除运算. 3.方位角和时钟上的角.

4.5 角的比较与补(余)角

第1课时 比较角的大小

教学目标 【知识与技能】

1.会比较角的大小,能估计一个角的大小.

2.理解角的和差,在操作活动中认识角的平分线. 【过程与方法】

通过实际观察、操作、体会角的大小,并简单说理,培养学生的观察思维能力及合情推理能力. 【情感、态度与价值观】

通过角的测量和折叠,体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段. 教学重难点

【重点】角的大小比较方法以及角平分线的概念. 【难点】从图形中观察角的数量关系. 教学过程

一、创设情境,引入新课

师:我们是如何比较两条线段的长短的?

生:测量法,分别量出两条线段的长度,然后再比较大小.

生2:叠合法,把两条线段叠合在一起比较大小. 活动(一) 角的大小比较

师:如图,如何比较两角∠BAC与∠EDF的大小呢? 学生回答.

师评:角的大小比较的两种方法:

1.度量法:即用量角器量出角的度数,通过比较角的度数来比较角的大小,度数大的角大,度数小的角小.

2.叠合法:即把两个角叠合在一起(使两角的顶点和它们的一边重合在一起)进行比较. 师:用叠合法比较角的大小有哪几种情况呢? (1)AB在∠FED的内部 ∠ABC<∠FED (2)AB在∠FED的外部 ∠ABC>∠FED (3)AB与EF重合 ∠ABC=∠FED

师:按角的大小来分,还记得我们可以把角分成哪几类吗?

学生回答.

师评:锐角:小于直角的角,如∠1.

直角:等于90°的角如∠2.

(直角可以用Rt∠表示,画图时常在直角的顶点处加上“┐”来表示这个角是直角.) 钝角:大于直角而小于平角的角,如∠3. 活动(二) 角的平分线

师:你能说出图中有几个角吗?它们有什么关系呢? 生:∠1+∠2=∠3,∠1=∠3-∠2,∠2=∠3-∠1.

师:如果图中的∠1与∠2相等,它们又有什么关系? 生:∠3=2∠1=2∠2,∠1=∠2=∠3.

师:从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线(也叫做角的二等分线).类似的,还有三等分线、四等分线等. 二、例题讲解

【例】 如图所示,求解下列问题:

(1)比较∠AOC与∠BOC、∠BOD与∠COD的大小;

(2)将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式.

【答案】 (1)由图可以看出:∠AOC>∠BOC,(OB在∠AOC内),∠BOD>∠COD.(OC在∠BOD内) (2)∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠AOC=∠AOD-∠DOC. 三、随堂练习

1.如图,填空:

(1)∠ABC=∠ABD+ .? (2)∠ADB=∠ADC- .?

(3)若BD是∠ABC的平分线,那么 ①∠ABD=∠ ;? ②∠ =2∠DBC.?

师评:(1)∠DBC (2)∠BDC (3)①DBC ②ABC

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第1题图

2.已知OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线.

(1)如果∠AOB=40°,∠DOE=30°,那么∠BOD是多少度? (2)如果∠AOE=140°,∠COD=30°,那么∠AOB是多少度? 学生独自解答.

师评:(1)∠BOD=70° (2)∠AOB=40°

第2题图

四、课堂小结

通过这节课的学习,你有什么收获?

第2课时 互补、互余的概念及性质

教学目标 【知识与技能】

1.理解互补、互余的概念及性质,并会通过符号语言表示,会判断两个角是否互为补角或互为余角. 2.会利用性质进行有关的推理和计算. 【过程与方法】

通过实际观察、操作,体会角的大小,并能简单说理,培养学生的观察思维能力及合情推理能力. 【情感、态度与价值观】

通过角的测量、折叠等体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段. 教学重难点

【重点】两角互补、互余的概念及性质. 【难点】从图形中观察角的数量关系. 教学过程

一、创设情境,引入新课

多媒体出示课件:

师:怎样把角铁(1)变成角架(2)呢?

学生观察模型角板,合作交流. 师:图(1)和图(2)有什么关系? 学生合作探究.

师评:如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称互补;类似的,如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称互余.

二、新课讲授

1.如图,已知:∠AOC=∠BOD=∠COE=90°,那么图中互余的角有几对?互补的角有几对?

第1题图

2.如图,∠1>∠2,那么∠2与(∠1-∠2)之间的关系是 .?

第2题图

学生思考,解答.

师:(1)互为补角是指一个角是另一个角的补角,那么另一个角也是这个角的补角.互补是对等的;(2)互为补角的两个角只要两角的度数和为180°就可以了,与这个角本身及其大小没有关系,与两角的位置更没有关系;(3)只能是两个角,而不是一个或更多的角.

师:如图,直线AB与CD相交于O点,你知道图中各角之间的关系吗? 学生回答.

师评:∵∠1+∠2=180°,(平角的定义) ∠3+∠2=180°,(平角的定义)

∴∠1=180°-∠2,∠3=180°-∠2,(等式性质) ∴∠1=∠3.(等量代换)

由此我们可以得出:同角的补角相等.类比可以得出:同角的余角相等.

如∠AOC=∠BOD=90°,∠AOB=∠COD.

师:若∠1与∠3互补,∠2与∠4互补,∠1=∠2,那么∠3=∠4有什么关系? 学生思考探究.

师评:由此我们可以得出,等角的补角相等.类比可以得出等角的余角相等.

三、例题讲解

【例】 如图,∠1=∠3,∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,那么∠2与∠4有什么关系?

【答案】 因为∠1与∠2互补,所以∠2=180°- .因为∠3与∠4互补,所以∠4=180°- .又因为∠1=∠3,所以 = .?

于是得到补角的性质: 同角(或等角)的补角相等. 四、变式训练

1.已知一个角的补角是这个角的余角的3倍,求这个角的度数.

2.已知两个有公共顶点且有一条公共边的角的度数之比是7∶3,并且它们的差是72°,那么这两个角的和是多少?有什么特殊关系?

【答案】 1.45° 2.180° 互补 五、课堂小结

本节课我们学习了哪些内容?你有什么收获?

4.6 用尺规作线段与角

第1课时 作一条线段等于已知线段

教学目标 【知识与技能】

会利用直尺和圆规作线段等于已知线段. 【过程与方法】

体会尺规作图的简洁性和准确性. 【情感、态度与价值观】

学会尺规作图,可使学生作出许多美妙的图形,培养学生的动手、动脑能力. 教学重难点

【重点】尺规作图的意义、用尺规作一条线段等于已知线段.

【难点】让学生理解作图步骤中的语言描述,并会根据画图要求画出图形. 教学过程

一、创设情境,引入新课

尺规作图有着悠久的历史,直尺的功能是在两点之间连接一条线段,将线段向两个方向延长.圆规的功能是以任意一点为圆心、任意长为半径作一个圆;以任意一点为圆心、任意长为半径画一段弧.利用尺规可以作出许多美丽的图案,在“数学王子”高斯的纪念碑上,就刻着一个正十七边形,它的尺规作图方法是高斯在青年时代发现的.没有刻度的直尺和圆规可以作出很多几何图形.

师:你能用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段吗? 学生操作、讨论交流. 教师示范:

已知:线段AB,求作:线段A'B',使A'B'=AB. 作法:1.作射线A'C'.

2.以点A'为圆心,以AB的长为半径画弧,交射线A'C'于点B'.

线段A'B'就是所求作的线段.

师:用尺规作图应具有以下四个步骤:

已知:即已知的条件是什么?

求作:即所要作的最终结果是什么?

分析:即分析如何作出所要求作的图形,一般不写出来. 作法:即写清楚作图的过程. 二、新课讲授

如图,已知线段a和两条互相垂直的直线AB、CD.

1.利用圆规在射线OA、OB、OC、OD上作线段OA'、OB'、OC'、OD',使它们分别与线段a相等. 2.依次连接A'、C'、B'、D'、A',你得到了一个怎样的图形?与同伴交流. 师:已知线段a、b,你能作线段AC=a+b吗? 学生讨论分析,画图:

教师指导,先画草图分析,再确定作图步骤. 教师示范:作法:(1)在射线AM上截取AB=a; (2)在射线BM上截取BC=b,

则线段AC就是所求作的线段.(注:用圆规量取线段的长度后,圆规两角间的距离不能变,也就是使量得的长度保持不变)

师:你能作线段A'C'=a-b吗? 学生独立完成,教师巡视指导. 三、课堂小结

1.用无刻度的直尺和圆规作线段等于已知线段,看似简单,却是最基本的几何作图的方法. 2.课外还要加强基本作图工具的使用,特别是圆规的使用要领与技巧要勤加操练. 3.练习中还要注意几何语言表述的规范,书写格式的规范的训练.

第2课时 作一个角等于已知角

教学目标 【知识与技能】

会利用直尺和圆规作一个角等于已知角. 【过程与方法】

体会尺规作图的简洁性和准确性. 【情感、态度与价值观】

学会尺规作图,可使学生作出许多美妙的图形,培养学生动手、动脑的能力. 教学重难点

【重点】作一个角等于已知角.

【难点】让学生理解作图步骤中的语言,并能根据作图要求画出图形. 教学过程

一、创设情境,引入新课

师:上节课我们学习了用尺规作图作一条线段等于已知线段,请同学们完成下面的作图: 已知线段a、b,试作以a为底、以b为腰的等腰△ABC. 学生独立完成. 教师巡视指导.

师:如何用尺规作一个角等于已知角呢? 学生讨论、交流.

师:(示范)已知:∠AOB.

求作:∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB. 作法:1.作射线O'A'.

2.以O点为圆心、以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D. 3.以O'为圆心、以OC长为半径画弧交O'A'于点C'.

4.以点C'为圆心、以CD长为半径画弧交前面的弧于点D'. 5.过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'就是所求作的角. 师:如何用尺规作一个角等于几个已知角的和或差呢? 二、例题讲解

【例】 如图,已知α,β. 求作:∠AOB,使∠AOB=α+β.

学生探究、讨论. 作法:1.作∠AOC=α.

2.以点O为顶点、OC为一边在∠AOC的外部作∠COB=β,则∠AOB即为所求作的角. 注:写作法时,不必重复作图的详细过程,只用一句话概括叙述即可,但必须保留作图痕迹. 三、变式训练

你会作吗?

如图,已知α,β(α<β). 求作:∠AOB,使∠AOB=β-α. 学生独立完成.

教师指导,先画草图分析,再确定作图步骤. 四、课堂小结

师:这节课我们学习了用尺规作一个角等于已知角,你学会了吗?作图中,我们需要注意一些什么问题?

学生讨论并总结.

第5章 数据的收集与整理

5.1 数据的收集

教学目标 【知识与技能】

了解数据收集的基本方法,学习设计调查问卷,体会并掌握数据收集的过程. 【过程与方法】

收集数据的过程要有组织性,也要有认真的态度,积极参与,在与他人合作的过程中共同完成. 【情感、态度与价值观】

体会数据在解决现实问题中的作用,逐步养成用数据说话的良好习惯. 教学重难点

【重点】收集数据的基本方法,设计调查问卷. 【难点】收集数据的方法.

教学过程

一、创设情境,引入新课

享有“杂交水稻之父”美称的袁隆平爷爷,为了寻找理想的水稻育种材料,他北至黑龙江,南到海南,观察了数不清的稻田,他对水稻生长的土壤肥沃情况、植株生长高度、植株的产量等各方面的数据进行了系统的收集,然后进行比较,最后筛选出了满意的材料,培育出了深受农民喜爱的杂交水稻.

要想发现一个事物的规律,就需要我们收集大量的数据,从中发现它们隐含的规律.

在生活中,我们会从报纸、电视或网络上见到很多的数据,它们是信息的载体,我们的生活离不开数据,我们随时随地都在和数据打交道.

本节课我们来学习如何收集这些数据.

问题展示:1.班级要举办元旦联欢晚会,如果由你来策划这次活动,你将如何安排节目? 学生合作探究,学生代表举手发言.

师:要想解决这个问题,我们需要经历这样的活动过程: 第一步:明确调查问题——同学们喜欢什么样的文艺节目; 第二步:确定调查对象——全班每位同学; 第三步:选择调查方法——采用调查问卷法; 第四步:展开调查——每位同学填写问卷; 第五步:记录结果,分析处理; 第六步:得出结论.

师:此次调查问卷是如何设计的?你知道如何来设计调查问卷吗? 学生看书、交流,并举手回答.

教师总结:首先要明确调查的对象、目的,然后根据调查的对象、目的,决定调查问卷的内容与问题,设计的问卷中,还应注明问卷收交的方式与时间等. 二、新课讲授

像上面提到的收集数据的活动中,全班同学是我们要考察的对象,我们采用问卷对全体同学作了逐一调查,像这样对全体对象进行的调查叫做全面调查.

调查、试验如采用普查可以收集到较全面、准确的数据,但普查的工作量比较大,有时受客观条件(人力、财力等)的限制难以进行;有时由于调查具有破坏性,不允许采用.在这些情况下,常常采用抽样调查(sampling survey),即从被考察的全体对象中抽出一部分对象进行考察的调查方式.

在一个统计问题中,我们把所要考察对象的全体叫做总体(population),其中的每一个考察对象叫做个体(individual),从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本(sample),样本中个体的数目叫做样本容量(samplesize).

例如,在通过试验考察500只新工艺生产的灯泡的使用寿命时,从中抽取50只进行试验.这500只灯泡的使用寿命的全体是总体,其中每只灯泡的使用寿命是个体,抽取的50只灯泡的使用寿命是一个样本,50是这个样本的样本容量.

为了使抽取的50只灯泡能很好地反映500只灯泡的情况,抽取时要使每只灯泡逐一进行编号,再把编号写在小纸片上,将小纸片揉成团,放在一个不透明的容器内,充分搅拌后,从中一个个地抽出50个号签.

上面抽取样本的过程中,总体中的各个个体都有相等的机会被抽到,像这样的抽样方法是一种简单随机抽样(simple random sampling).

1.以“你知道父母的生日吗?”为题在班级进行调查,请设计一张问卷调查表. 学生小组合作、讨论,学生代表展示结果. 教师指导、评论.

师:除了问卷调查外,我们还有哪些方法收集到数据呢? 学生小组讨论、交流,学生代表回答.

师:收集数据的直接方法有访问、调查、观察、测量、实验等,间接方法有查阅资料、上网查询等. 师:就以下统计的数据,你认为选择何种方法去收集比较合适? (1)你班中同学是如何安排周末时间的? (2)我国濒临灭绝的植物数量; (3)某种玉米种子的发芽率;

(4)校门口十字路口每天7:00~7:10时的车流量. 学生讨论,并举手回答.

师:采用何种方法一定要结合实际问题来定.在解决问题(1)的过程中,不但要同学们动手调查,并且对全班所有学生都要调查,像这样对全体对象进行的调查叫做全面调查(普查).

师:同学们还知道哪些数据的收集需要全面调查吗? 学生讨论,并举例回答.

师评:如人口普查、本班同学的出生年月、某班学生50米跑成绩等. 师:下列问题也适用普查方式收集数据吗? (1)了解某批次炮弹的杀伤半径; (2)某一天全国牛肉的平均价格; (3)一批罐头产品的质量检查;

(4)对某条河的河水的污染情况的调查. 学生讨论、分析,并举手回答.

师:普查可以收集到较全面、准确的数据,但普查的工作量比较大,有时受到客观条件(如人力、财力等)的限制难以进行,有时由于调查具有破坏性,不允许采用.在这些情况下,常采用抽样调查,即从被考察的全体对象中抽出一部分对象进行考察的调查方式. 三、变式训练

下列调查中,不适合普查而适合做抽样调查的是( ) A.了解全班每位同学的家庭住房面积 B.了解某种型号电池的平均使用时间

C.了解某幢楼20户家庭某天丢弃垃圾袋的个数 D.了解约90万顶救灾帐篷的质量

问题探究:在考察一批灯泡的使用寿命时,从中任意抽取30只进行试验,指出此项调查中的总体、个体、样本和样本容量.

学生讨论,并举手回答.

师:总体、个体、样本都是指统计的数据,而不是调查的对象,不能混淆,样本容量是指样本中的个体数目,无单位.

师:在以下问题中,总体、个体、样本、样本容量各指什么?

1.为了考察某学校学生每天参加课外体育活动的情况, 调查了其中20名学生每天参加课外体育活动的时间.

2.为了解一批电池的使用寿命,从中抽取10节进行试验. 学生回答. 教师点评. 四、课堂小结

通过本课的探讨学习,你获得了哪些新的知识?你有什么收获? 1.数据收集的过程. 2.调查的方法和方式.

3.总体、个体、样本、样本容量.

5.2 数据的整理

第1课时 条形统计图、折线统计图

教学目标 【知识与技能】

1.会将收集的数据进行分组整理.

2.能根据实际事例中收集的数据找出合适的分组方法.

3.参与收集、整理数据的活动,从中体验收集、整理数据的必要性,并培养缜密、细致的学习习惯. 【过程与方法】

经历整理简单的数据的过程,体会统计思想,学会用“数据”说理的方法发展运用简单的统计知识,解决一些简单的实际问题的能力. 【情感、态度与价值观】

感悟到数学知识的内在联系及其巧妙的逻辑之美,增强审美意识. 教学重难点

【重点】数据整理的方法. 【难点】数据整理的方法. 教学过程

一、创设情境,引入新课

师:请同学们做一次“你最喜欢的文娱节目形式”调查,并展示收集到的数据,你能一下就看出喜爱哪一种文艺节目形式的同学最多吗?

学生发表看法.

师:收集到的原始数据,一般比较散乱,很难从中获取需要的信息,因此,要对数据进行整理.这是我们本节课的内容.

师:我们可将所得的数据制成统计表,请同学们编写: 节目形式 歌曲(A) 器乐(B) 舞蹈(C) 戏曲(D) 相声小品(E) 记录 人数 百分率 师:1.在用表格整理数据时,一定要做到分类清晰,不重复,不遗漏.

2.要统计各组的数目之和是否与数据总数相等以及百分率之和是否为100%来检验分组是否正确. 师:有了上面的统计表,我们能否回答上面的问题?你能根据它合理地安排节目吗? 学生发表看法.

变式训练:在一次数学测验中,某班40名同学数学成绩如

下:89,87,97,92,61,93,80,89,73,79,75,76,81,76,88,82,79,64,69,91,85,92,81,60,63,67,82,70,73,64,54,58,62,66,70,54,52,65,63,71.

请你将上述数据进行整理. 学生尝试练习. 教师巡视指导.

师:在整理的过程中出现了什么问题?你是如何解决的? 学生回答.

师:我们还可以进一步把整理的数据制成一些统计图来直观地表达数据的某些特征,使大家看到统计图后便一目了然.

师:条形统计图是如何制作的呢?

学生发表看法.

师:(1)条形的宽度要一致,间隔要一致.(2)按照各组数据数量的大小来确定条形的长短,并注明数量.(3)垂直的射线上,要根据数据数量的具体情况确定单位长度表示多少?

师:你能利用条形统计图回答上面的问题吗?

学生举手回答. 二、新课讲授

就上面练习所得的统计表制成对应的条形统计图. 学生动手制作,展示成果. 教师指导、评论.

师:折线统计图也是我们进行统计的图表之一.(展示)你知道折线统计图是怎样画成的吗? 学生交流,并发表看法.

师:用一个单位长表示一定的数量,根据数量的多少找出各点,然后把各点用线段顺次连接起来. 变式训练:小明这学期数学连续6次的单元测试成绩为75,70,78,85,90,93,你能把它们制成折线统计图吗?

学生动手制作,老师巡视指导.

师:数据范围与0相差很远时纵轴可用折线表示.就你制作的折线统计图,对小明同学这学期的数学成绩发表看法.

学生回答.

师:请同学分别说说条形统计图和折线统计图的特点. 学生举手回答.

师:条形统计图中很容易看出各种数量的多少,而折线统计图不但可以表示出数量的多少,还能够清楚地表示出数量增减变化的情况. 三、巩固练习

学校为七年级学生订做校服,校服型号有小号、中号、大号、特大号四种.对于七年级一、二班的100名学生,调查他们的身高,得到他们的身高情况与对应的型号如下表所示: 型号 小号 中号 大号 特大号 身高x/cm 145≤x<155 155≤x<165 165≤x<175 175≤x<185 人数 22 45 28 5 从表格中你能获得什么信息? 如图是某商场去年7月份至12月份毛衣和衬衣销售量的统计图,但图例已被损坏,你知道哪条折线表示毛衣销售量的统计图、哪条折线表示衬衣销售量的统计图吗?

【答案】 1.校服型号与身高、人数的关系.

2.折线1表示毛衣销售量的统计图,折线2表示衬衣销售量的统计图. 四、课堂小结

通过本课的探讨学习,你获得了哪些新的知识?你认为你有哪些方面的进步?

第2课时 扇形统计图

教学目标 【知识与技能】

会依据已知数据绘制扇形统计图, 理解扇形统计图的含义和特点,能从扇形统计图中获取正确的信息,并能作出合理的解释推断.

【过程与方法】

探索扇形统计图中中心角的求法并计算,在从扇形统计图中获取信息的过程中学会相互交流、相互评价.

【情感、态度与价值观】

进一步学习从数据中获取有关信息,学会用数据说话.学会和他人一起完成调查活动,体会其中的乐趣. 教学重难点 【重点】

绘制扇形统计图,理解扇形统计图的特点. 【难点】

从扇形统计图中获取有用的信息,利用数据进行分析,作出判断. 教学过程

一、创设情境,引入新课

如果你是体育委员,准备组织全班同学去观看一场球类比赛,为了吸引尽可能多的同学参与,你会组织观看什么比赛?

要想回答上面的问题,我们需要收集数据,利用统计图形象地表示收集到的数据,今天我们将学习一种统计图——扇形统计图.

师:扇形统计图,大家在小学已经学过,有印象吗?是怎样的一个图? 学生发表看法.

师:(展示)一个扇形统计图,你能从图中获得有用的信息吗? 学生回答.

师:哪种球类运动最受欢迎?哪两种球类运动受欢迎的程度差不多?

图中的各个扇形分别代表了什么?你认为图中的各个百分比是如何得到的?所有的百分比之和是多少?

如果你是体育委员,准备组织全班同学去观看球类比赛,为了吸引更多的同学参与,你会组织观看什么比赛?

学生回答.

师:用圆和扇形分别代表关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形图(或称饼形图)特点是能直观地、生动地反映各部分在总体中所占的比例.

师:扇形统计图有什么特点? 1.圆代表总体.

2.扇形代表总体中的不同部分.

3.扇形的大小反映部分占总体的百分比. 师:你知道扇形统计图是怎样制作的吗?

学生动手制作. 教师巡视指导.

二、巩固练习

1.如图,将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图,则表示短信费的扇形图圆心角的度数为 .?

2.某校七(3)班共有学生54人,学习委员调查了班级学生参加课外活动情况(每人只参加一项活动).其中,参加读书活动的有18人,参加科技活动的占全班总人数的6,参加艺术活动的比参加科技活

1

动的多3人,其他同学参加体育活动,则在用扇形表示参加各项课外活动人数与全班总人数之间的关系的扇形统计图中,表示参加体育活动人数的扇形的中心角是 度.?

【答案】 1.72° 2.100 三、课堂小结

本节课我们学习了哪些知识,你有什么收获?

5.3 用统计图描述数据

教学目标 【知识与技能】

理解三种统计图各自的特点,能根据不同的问题选择适当的统计图描述数据,学会选择、处理数字信息,并做出合理的推断和猜测. 【过程与方法】

掌握用图形准确地表达解决问题的过程. 【情感、态度与价值观】

通过观察、操作、推理、想象、交流等活动,培养数感和统计观念. 教学重难点

【重点】三种统计图的特点.

【难点】能根据不同问题选择适当的统计图描述数据,如何从统计图中获取信息及体会统计、决策的作用. 教学过程

一、创设情境、导入新课

在我们日常所接触的报纸、杂志及电视中,我们经常见到一些统计图,本节课我们来学习统计图的选择.

问题展示:小华对2001年~2011年同学家中有无电视机及近一年来同学在家看电视的情况,对同年级两个班的100名同学做了问卷调查,得到如下两个方面的数据:

展示:调查项目1 年份 家庭数 看电视 的时间 人数 2001 20 2003 32 2005 56 2007 70 2009 88 2011 94 展示:调查项目2 近一年中每周看电视的时间 4h以下 36 4h~8h 48 8h以上 16 师:我们已经学习了三种不同的统计图,它们的特点是我们选择统计图处理数据的依据.对于调查项目1,若想表示各年份拥有电视机的家庭户数,选择什么样的统计图比较合适?

生:条形统计图能够清晰地反映每个项目的具体数目及它们之间的大小关系,应选择条形统计图. 师:(展示条形统计图)从这个条形图中,你能获得哪些信息? 学生回答.

师:对于调查项目1,要想让别人通过统计图很快地了解不同时期拥有电视机户数的增长情况,选择什么统计图合适?

生:折线统计图能够清晰地反映同一事物在不同时期的变化情况选择折线统计图合适. 师:展示折线统计图,你能从中获得哪些信息呢? 生:逐年增长.

师:哪一时间段增长较快,反映什么现象? 学生回答.

师:对于调查项目2,用怎样的统计图较合适?

生:扇形统计图能够清楚地表示各部分在总体中所占百分率及各部分之间的大小关系,选择扇形统计图合适.

师:常用的三种统计图,它们各自的特点也就是它们在描述数据上的优势,它们是我们选择统计图处理数据的依据. 二、巩固新知

问题1:某报对本市特色在市民中进行了一次调查,结果如下. 市民对城市特色的评价. 特色 现代气息 传统风格 现代与传统兼容 特色不突出 无特色 认可人数的百分率 22% 10% 18% 46% 4% 你选用哪种统计图描述上述数据?绘制统计图,并与同学交流你选择的理由. 学生思考、画图、展示、分析. 教师巡视、指导. 问题2:

2000年、2010年两次人口普查中,都对每10万人中受教育程度的人数进行了统计,结果如下表: 每10万人中受教育程度的人数统计表 受教育程度人数时间 2000年第五次 2010年第六次 大学 3611 8930 高中 11146 14032 初中 33961 38788 小学 35701 26799 其他 15581 11451 (1)小王用两幅条形统计图比较两次普查各种受教育的程度的情况,如图1. (2)小李用一幅条形统计图比较两次普查各种受教育程度的情况,如图2. 师:哪种方法效果好?好在哪里?

学生发表看法.

师:小李的统计图称为复式统计图,用来表示多组同类数据,比用两幅统计图表示数据更直观、更易于比较. 三、课堂小结

师:今天这节课我们学习了哪些内容,你有什么收获?

生:我们学习了统计图的特点、统计图的选择,知道了统计图的选择要根据实际问题的需要来确定.

5.4 从图表中的数据获取信息

教学目标 【知识与技能】

1.通过解决实际问题,能够解读有关统计图表,获得必要的、准确的信息,进行简单决策.

2.通过具体情境和统计图表的分析,了解一些数据表示方式可能给人造成的误导,提高对统计图表的认知能力. 【过程与方法】

经历收集、整理和分析数据的过程,培养学生收集数据、分析数据并解决简单的实际问题的能力. 【情感、态度与价值观】

体会数学与现实生活的密切联系,了解统计图在现实生活中的应用. 教学重难点

【重点】正确解读统计图表,能够从统计图表中获取准确、必要的信息. 【难点】对统计图的分析、判断与识别. 教学过程

一、创设情境,引入新课

我们已经学习了数据的收集和整理的方法,本节课我们来学习利用整理好的数据来进行分析,得到有用的结论.

师:各种形象化的统计图表,反映了被描述的对象的重要内容、变化情境和特点,它直观、生动地传递着信息,如何根据统计图获取准确的信息呢?

例题展示:下表是两支篮球队在一次运动会上的4场对抗赛的比赛结果: 球队甲得分 球队乙得分 第一场 76 92 第二场 78 90 第三场 88 89 第四场 94 80 师:你怎样来评价这两支球队? 学生讨论、代表发言.

教师引导评价:从单场胜负看、从总积分看、从得分趋势看.

二、例题讲解

【例】 某中学团委研究该校学生的课余活动情况,采取抽样的方法,从阅读、运动、娱乐、其他四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查的结果绘制成了如下的两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题.

(1)在这次研究中,共调查了多少名学生?

(2)“其他”在扇形图中所占的圆心角是多少度? (3)补全折线统计图. 学生分析、解答、展示.

教师评价:

(1)通过图表了解有关信息,并能够从多个角度将获取的信息进行整理分析,为得到结论、作决策提供依据.

(2)利用数形结合从两个图形中得出有用信息,通过计算得出结论. 问题:(展示两张统计图) 见课本.

师:对于第一张统计图,你获得了什么信息? 学生讨论、交流、发表看法.

师:与第二幅统计图相比较,你有什么感受?这几家报纸的发行量差别大吗?你同意晚报的宣传内容吗?

学生回答.

师:为什么两幅统计图表示的数据相同,给人的感觉不一样? 生:观察、讨论、发表看法.

师:统计图表中的数据是否从0开始,会导致直观差异,会给我们的决策带来误导. 三、巩固练习

1.观察下列两个统计图,你从中得到了哪些信息?

学生发表看法.

师:扇形图不能比较家庭数的大小,只能反映在该城市家庭总数所占百分比的大小. 2.如图,这是一张关于小张与小李在一周内100m短跑训练成绩记录的折线统计图: (1)小张和小李五天内短跑成绩一直在 (填“提高”或“降低”);?

(2)两人 (填时间)成绩比较接近.? 学生观察回答.

师:某些情况下,统计图的绘制者出于各种目的会对统计图中的横、纵坐标的取值进行修改,在这种情况下应该能准确判断统计图中的信息. 四、课堂小结

1.本节课你有什么收获?

2.有的统计图可能会误导我们,造成这种误导的原因是什么?

5.5 综合与实践 水资源浪费现象的调查

教学目标 【知识与技能】

进一步巩固处理数据的基本步骤和方法,能灵活选择统计图对具体问题的数据进行清晰、有效地描述,获取有用信息并作出合理的决策. 【过程与方法】

让学生亲身经历独立思考、动手操作、团结合作、互相交流的学习过程,积累数学活动的经验,学会合理处理信息. 【情感、态度与价值观】

通过让学生亲身经历独立思考、动手操作、团结合作、互相交流的学习过程,发展学生的数学应用意识. 教学重难点

【重点】培养学生的数感和统计观念.

【难点】能根据具体问题选择适当的统计图描述数据并获取有用的信息,从而作出合理的判断和预测. 教学过程

一、创设情境,引入新课

资料展示:当前我国淡水资源及我国有关缺水的形势的资料图片. 问题:

1.看了这些图片,你有哪些感受?

2.你了解世界及我国有关水资源的现状吗? 二、讲授新课

活动一:

请同学们收集数据,画出统计图,并回答下列问题: 1.地球上的水资源和淡水资源的分布情况怎么样? 2.我国农业和工业的耗水量情况怎么样?

3.我国不同年份城市生活用水的变化趋势怎么样?

学生收集资料,通过小组合作、讨论的形式完成活动一. 活动二:

收集全班同学各家人均月用水量,用频数分布直方图和频数折线图描述这些数据,并回答下列问题: 1.家庭人均月用水量在哪个范围的家庭最多?这个范围的家庭占全班家庭的百分之几? 2.家庭人均月用水量最多最少的各有多少家庭?各占全班家庭的百分之几?

3.全班同学家庭人均日用水量的平均数是多少?按生活基本日均需水量(BWR)50升的用水标准,这个平均数是否超过用水标准?

4.如果每人节约用水10升,按13亿人口计算,一天可以节约多少吨水?按BWR标准计算,这些水可提供给1个人多少年的生活用水?

5.你还可以得到哪些信息?

(教师巡视,指导各小组开展调查实验活动) 活动三:

学生分组讨论工农业生产及生活节约用水的好办法,并请代表上讲台做陈述. 教师指导总结. 三、课堂小结

回忆讨论:

1.当前水资源的状况. 2.节约水资源带来的价值. 3.节约水资源的办法.