椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。 一、 运用几何图形中线段的几何意义。
｜PF｜｜QF｜｜AO｜｜AF｜
基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=②e=③e=④e=
｜PD｜｜BF｜｜BO｜｜BA｜｜FO｜
⑤e=
｜AO｜
D P Q A B F O 评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 a
∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= ∴有③。
c
x y
题目1：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？
a b
2
2
2
A B F1 F2
思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c
c
c+3c=2a ∴e= = 3-1
a
P F2 OF1 x y
变形1：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？
a b 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1
2 2
P B F1 O F2 A x y
变形2: 椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？
a b b
解：∵｜PF1｜= ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a
a｜PF1｜ b22PF2 ∥AB ∴= 又 ∵b= a-c
｜F2 F1｜a ∴a=5c e=
2
2
2
2 2
5 5
点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形
x y
题目2：椭圆2 +2=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?
a b
2
2
B A O F
解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜=a+b 222 222222a+b+a =(a+c) =a+2ac+c a-c-ac=0 两边同除以a -1+5 -1-52
e+e-1=0 e= e=(舍去)
22
x y -1+5
变形：椭圆2 +2=1(a>b >0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？
a b 2
2
2
2
2
点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e=
5-1
2
的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。 2
2
题目3：椭圆x y
a2 +b2 =1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?
解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-2m ｜BF2｜=2a-m
2
2
在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：a –c=m(2a-c) 2(a2-c2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 e=23
2 2
题目4：椭圆x y
a2 +b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且
∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?
分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：由正弦定理：｜F1F2｜｜F1P｜｜PF2｜
sin F = = 1PF2 sin F1F2P sin PF1F2 根据和比性质：
｜F1F2｜｜F1P｜sin FPF= +｜PF2｜
sinF
12 1F2P+sin PF1F2 变形得：
｜F1F2｜ sin F1PF2
｜PF｜+｜F =sin F= 21P｜1F2P +sin PF1F2
=2c 2a
=e ∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e=
sin90° sin75°+sin15° =6
3
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=
sin F1PF2
sin F
1F2P +sin PF1F2
变形1：椭圆x2
2
a +y
2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？
分析：上题公式直接应用。
解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α e=
sin F1PF2 sin60°sin F=
sinα+sin(120°-α) =
1F2P +sin PF1F2 1 2sin(α+30°)≥12 ∴1
2
≤e<1
2
2
变形2：已知椭圆x4+ y1 4t2 =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若3 解;根据上题结论e=sin F1PF2 sin(α+β) 2 cos 2 cos 2cos 2 -sin 2 sin 2 sin F= == 1F2P +sin PF1F2 sinα+sinβ 2sin α+βα-β 2 cos α β α β 2 cos 2cos 2 +sin 2 sin 2 1- tan α β = 2 tan 2 =e 1- tan α β 2 tan 2 ∵13<1-e 1+e <12 ∴11 3 题目5：椭圆x2 y2 →→→a2 +b2 =1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA+OB与 a=(3,-1)共线，求 A(X1,Y1) O B(X2,Y2) e? 法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2) 2 bx2+a2y2=a2b2 y=x-c (a2 +b2 )x2 -2a2 cx+a2c2 -a2b2=0 2 2 2 x+x2ac2ac-2bc12=a2+b2 y1+y2=a2+b2-2c=a2+b2 →→ OA+OB=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则 -（x+x)既 a2 =3b2 e=6 12）=3(y1+y23 →→→ 法二：设AB的中点N，则2ON=OA+OB x1y1 a2+ b2 =1 ① ① -② 得： x22y22 2+ 2 =1 ② a b y1-y2bx1 +x2 b622 =- 2 ∴1=- 2(-3) 既a=3b e= x1-x2 a y1+y2a 3 四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。 2 2→→x y 题目6：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足MF1·MF2 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？ 2 2 22 a b M F1 O F2 →→ 分析：∵MF1·MF2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。 解：∴c =b2 +c2 >2c2 ∴0 2 2 题目7：椭圆x y a2 +b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，P M F1 O F2 取值范围？ 分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e a2 2 -c解法一：F（-c，0） Fa c y0 1 2 (c,0) P(c ,y0 ) M( 2 ,2 ) 2既( by0 →a 22c , 2 ) 则PF1 =-( c +c, y0 ) →MF b2y0 →→2 =-( 2c -c, 2 ) PF1·MF2 =0 22 ( a bc +c, yy0 0 ) ·( 2c -c, 2 )=0 a2 b2 y2 ( 0c +c)·( 2c -c)+ 2 =0 a2 -3c2 ≤0 ∴3 3 ≤e<1 解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c 2 2 2 ｜PFaaa 2｜≥c -c 则2c≥c -c 3c≥c 3c2 ≥a2 则3 3 ≤e<1 F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的 总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。 离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容