金堡中学2012~2013学年度第二学期高三文科数学第一次月考

···金堡中学高三数学(文科)第一次月考

线·一、选择题（每小题5分，共50分）

_·__·1、设全集UR,A{x|x(x3)0},B{x|x1},则 __·__·右图中阴影部分表示的集合为（ ） __·_ _·A．{x|x0} B．{x|3x0} _题_ ·_ 号 ·C．{x|3x1} D．{x|x1} 座答·2、 sin15cos15=（ ）

_ ·_ _ ·_ _·_要A．1·4 B．34 C．12 D．32

_ _ _ ·3、已知点A(1,3),B(1,3)，则直线AB的斜率是（ ）

_ _·_不_ ·_ _A．1 ·_ _订3 B． 13 C． 3 D． 3

名内 ·姓 ·4、给出下列三个函数：①f(x)x1，②f(x)1 ·x，③f(x)x2，其中在区间(0,) 线 · ·上递增的函数有（ ）

· 订A．0个 B．1个 C．2 个 D．3个

· · · 装5、设平面向量a3,5,b2,1，则a2b（ ）

级·班· ·A．(7,3) B．(7,3) C．10 D．-10

· · x1, · · 6、已知变量x,y满足y2,则xy的最小值是( )

·  ·xy0, · · ·A．1 B．2 C．3 D．4

· 7、已知直线l与曲线yx23x1切于点（1，3），则直线l的斜率为（ ）

· · A．-1 B．1 C．3 D．5 校装学··

2·8、如图所示为一几何体的三视图，那么这个几何 1

··体的体积为（ ）

·正视图左视图··A．3·28 B．2

C．3524 D．24

1··俯视图·

···

9、 若等差数列{an}的前5项和S525，且a23，则a7（ ）

A．12 B．13 C．14 D．15

10．已知椭圆

x210my2m21，长轴在y轴上. 若焦距为4，则m等于（ ） （A）4. （B）5. （C）7. （D）8.

二、填空题：（每题5分，共20分）

11、 一个田径队，有男运动员20人，女运动员10人，比赛后立刻用分层抽样的

方法，从全体队员中抽出一个容量为6人的样本进行兴奋剂检查。则其中男运动员应抽 人。

12、二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6

则不等式ax2+bx+c>0的解集是 。 13、规定记号“○×”表示一种运算，即ababab2（a,b为正实数），若1m3,则m的值为 .

选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分.

14、若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,圆C的极坐标方程为：

22sin(4)．则圆的直角坐标方程为

15、如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点， A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320， 则∠A的度数是

············线· _·__·__·__·__·_ _·_题_ ·_ 号 · 座答·_ ·_ _ ·_ _·_要_ ·_ _ ·_ _·_不_ ·_ _ ·_ _订名内 ·姓 · · 线 · · · 订 · · · 装级·班· · · · · · · · · · · · · · 校装学·············· 2012~2013学年度第二学期 金堡中学高三数学(文科)第一次月考

题号 一 二 三 总分 得分

一、选择题（每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题：（每题5分，共20分）

11．______________ 12.__________________ 13._________________ 14.________________ 15.__________________ 三、解答题(共80分) 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)sinxx23cos2

（1）求函数f(x)的最小正周期及最值；

（2）令g(x)fxπ3，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由。

17、（本小题满分12分） 已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a23,4S2S4. （1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证数列{2an}是等比数列；

（3）求使得Sn22Sn的成立的n的集合。

18、（本小题14分）某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8m，最大装水量为72m3，池底和池壁的造价分别为2a元/m2、a元/m2，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？

19、（本小题满分14分）如图，矩形ABCD中，AD平面ABE，

AEEBBC，F为CE上的点，且BF平面ACE． 21、（本小题满分14分）如图P为抛物线y12x上的一点，抛物线的焦点为F，2（Ⅰ）求证：AE平面BCE； （Ⅱ）求证：AE//平面BFD． D

C PC垂直于直线y1，垂足为C，已知直线AB垂直PF分别交x、y轴于A、B. 2（1）求使△PCF为等边三角形的点P坐标.

（2）是否存在点P，使P平分线段AB，若存在求出点P，若不存在说明理由. G F

A

B E

20、（本小题满分14分）设函数f(x)x33ax23bx的图像与直线12xy10相切 于点(1,11).

（1）求a,b的值； （2）讨论函数f(x)的单调性．

金堡中学高三数学(文科)第一次月考参考答案

一、选择题（每小题5分，共50分）

题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 答C A D C A B D A B D 案 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）

11、4 12. (,2)(3,) 13. 1 14. (x1)2(y1)22 15. 99

三、解答题(共80分)

16．（本题满分12分） 解：（1）f(x)sinx23cosx1x3x2=2(2sin22cos2) =2(cosx3sin2sin3cosx2)2sinx2π3 ---------------------3分 ∴f(x)的最小正周期T2π14π． ------------------------------5分 2当sinx2π31时，f(x)取得最小值2；当sinx2π31时，f(x)取得最大值2．

-------------------------------7分

（2）由（Ⅰ）知f(x)2sinx2π3．又g(x)fπx3．

∴g(x)2sin1xππxπ332sin222cosx22．---------------------------------9分 g(x)2cosx22cosx2g(x)． ---------------------------------11分

∴函数g(x)是偶函数． ---------------------------------12分

17、（本题满分12分）

解：（1）设数列{an}的首项为a1,公差为d

由题意得：a1d34(2aa

1d)416d解得：a11,d2an2n1

（2）依题

2an22n12an122n34， 数列{2an}为首项为2，公比为4的等比数列

（2）由a11,d2,an2n1得,Snn2

Sn22Sn(n2)22n2(n2)28n1,2,3,4

故n的集合为:{1,2,3,4}18．（本小题14分）

解：设池底一边长为 x，水池的高为y，池底、池壁造价分别为z1,z2，则总造价为 zz1z2 „„„„„„„„„2分

由最大装水量知8xy72，y9x „„„„„„„„„3分 z12a8x16ax

„„„„„„„„„5分

z22axy2a8y18a144ax „„„„„„„„„7分 z18aa16x144x x0

18a2a16x144x18a96a114a „„„„„„„„„11分 当且仅当16x144x即x3,y9x3时，总造价最低，zmin114a„„„„12分 答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为51a元。 „„„„„„„„„14分

19、（本小题满分14分）

D

C 解：（Ⅰ）证明：AD平面ABE，AD//BC．

∴BC平面ABE，则AEBC„„„„„„ (4分)

G F 又BF平面ACE，则AEBF

∴AE平面BCE． „„„„„„„„„„ (8分) A

B （Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点

EBF平面ACE 则CEBF，而BCBE，∴F是EC中点． „„ (12分)

在AEC中，FG//AE ∴AE//平面BFD． „„„„„„„„„„ (14分) 20、（本小题满分14分）

解（1）求导数得f(x)3x26ax3b, ----------------------------2分 由于f(x)的图像与直线12xy10相切于点(1,11),

所以f(1)11f(1)12 ---------------------------5分

即13a3b1136a3b12 解得a1,b3 ----------------------------7分 （2）由a1,b3得：

f(x)3x26ax3b3(x22x3)3(x1)(x3) -----------------------------9分

由f(x)0，解得x1或x3；

由f(x)0，解得1x3. ----------------------------12分 故函数f(x)在区间(,1),(3,)上单调递增，在区间(1,3)上单调递减. -----14分 21、（本小题满分14分）

解：（1）设P为（m，n），则C为（m，12） 由PC垂直于直线y12得|PC|=n+12 因y12x2的焦点为（0，12），y12是其准线 而P在抛物线上，所以|PC|=|PF|, 由|CF|=m212，且△PCF为等边三角形

所以n+

12= m212————①

因P在抛物线上，故n12m2————② ①②联解得m =±3，所以P为（±3，32） （用平面几何结合抛物线的定义求解更快） （2）假设存在点P使|PA|=|PB| 于是A为（2m，0），B为（0，2n） 由PF⊥AB知三角形ABF是等腰三角形 所以|AF|=|BF|

(2m)214|2n12|————③ 因P在抛物线上，故n12m2————④ 由③④解得，m5，n

52

所以存在满足条件的点P（5，

52）