拉格朗日条件极值

应用例题：已知有一个体积为a的铁块。把这个铁块打造成一个长方体，求其表面积s的极小值。 解:依据题意有如下关系式

xyza(x2y2z2)(1) s2(2)

构造函数M如下：

M(x,y,z,c)2(x2y2z2)c(xyza)只要求M函数的极值，即为s的极值。

(3)

M4xcyz0xM4zcxy0z(4)

M4ycxz0yM(6) xyza0c(5)

(7)

以上四个方程可解出四个未知数x，y，z，c。将(7)带入(4)，(5)，(6)后得：

ac4x24y24z2可得:

(8)

ac4xyza13(9) c4a-13(10)

此时，面积s为：

s6a

23(9)

证明过程：拉格朗日乘子法，拉格朗日条件极值。

已知，自变量x和y符合关系式(1)，求表达式(2)的极值。

zF(x,y)0(1) f(x,y)(2) y(x)?(3)

解:若可以从(1)式中求出y的表达式(3)，则可以把(3)式带入(2)式。此时，就变成求单个自变量的函数极值问题，即为(4)式。

dzdyfx(x,y(x))fy(x,y(x))0dxdx对(1)进行全微分，可得(5)式,进而得到(6)式。

(4)

dF(x,y)FxdxFydy0(5)dyFxdxFY(6)

将(6)式带入(4)式可得(7)式。

f(x,y(x))dzFfx(x,y(x))fy(x,y(x))xfx(x,y(x))yFx0dxFyFyfy(x,y)Fy(x,y)(8)

(7)

设极值点坐标为(x0,y0),则此时将极值点坐标带入(7)，并采用(8)式记号后得(9)式

dzF(x,y)fx(x0,y0)fy(x0,y0)x00fx(x0,y0)Fx(x0,y0)0dxFy(x0,y0)dzfx(x0,y0)Fx(x0,y0)0dx(9)

(9)

反过来，我们假设存在(10)式，则将极值点的坐标(x0,y0)带入后可得(10)式等于0。

dzfx(x,y)Fx(x,y)?0dx(10)

依据(8)式定义知当坐标(x0,y0)确定后λ(x0,y0)为一常数(但此前λ(x,y)为变数)。 类似可得(11)式

dzfy(x0,y0)Fy(x0,y0)0dy(11)

反过来，我们假设存在(12)式，则将极值点的坐标(x0,y0)带入后可得(12)式等于0。

dzfy(x,y)Fy(x,y)?0dyfx(x,y)Fx(x,y)(13)

(12)

对于符合限制条件的自变量，在极值点处有(14)式成立,进而可得(15)式

df(x,y)fxdxfydy0dyfxdxfY(14)(15)

在极值点处(6)式和(15)式同时成立。对比(6)式和(15)式后得出(16)式。

FxfxFYfY(16)

因此，(6)式中的λ和(13)式中η相等。

以上事实提示我们可以预先构造出如下函数

g(x,y,)f(x,y)F(x,y)(17)

通过以上分析可知，在g函数的极值(x0,y0)处，则必有以下三式同时成立

gfF0xxxgfF0yyygF(x,y)0(18) (19)

(20)

在极值点的时候，以上三个式子联立可以求得x0,y0,μ