基本不等式应用之“凑”与“配”

基本不等式是高考的重点与热点之一，同时也是解决很多函数最值问题的重要手段。我们常用“一正，二定，三相等”来表明应用基本不等式的原则，当题目的条件不满足这一前提，就需要适当的“凑”与“配”了。本文就结合具体例题予以说明.

1、 凑“正”

例1 分别求当x0,x0时，函数y(x4)(x16)的最值.

x分析：如果直接应用基本不等式，就忽略了应用基本不等式的“一正”前提，导致错误。而函数y(x4)(x16)的定义域为(,0)(0,),因此必须对x的正负加以讨论。

x解：（1）当x0时，y20x 当且仅当x202x36， xx,即x8时取等号， x所以当x8时，ymin36; （2）当x0时，x0,0,(x)()2(x)()16， xxx)20164， x,即x8时取等号， 当且仅当xxy20(x)(所以当x8时，ymax4. 2、凑配“定值”

例2 设0x2，求函数f(x)x(82x)的最大值.

分析：本题中x与83x的和不是定值,但易发现2x与82x的和为定值8,而且满足“一正”的条件,因此可以运用基本不等式求解.

解：因为0x2，所以02x4，82x40，

故f(x)x(82x) 12x(82x)212x(82x) 21822,22当且仅当2x82x,即x2时取等号，所以当x2时，ymax22.

例3 求f(x)1x的值域. x3分析：先要凑“积为定值”，后要讨论各项为正. 解：f(x)1x x31x33 x31x33 x3 若x3,则x30,所以f(x)21(x3)3 x3235

当且仅当

1x3,即x4时，取等号； x31x33) x313x3 3x若x3,则3x0,所以f(x)(21(3x)3 3x231

即 f(x)1

13x,即x2时，取等号； 3x1x的值域为(,15,). 所以f(x)x3 当且仅当3、凑“相等” 例4 求f(x)x24x321的最小值.

分析：在前两个条件满足后，“相等”同样不能忽视.否则容易出现错解. 错解：因为 f(x)x24x321x231x3121

2x23故f(x)的最小值为3.

x3213

本题错误原因就在不等式中不能取等号,因为方程x321x32无解.故本题只

能从另外的角度求解,如利用函数的单调性解题.

略解：令t即求ytx23(t3),则原函数变为一个“对号”函数，

11在[3,)上的最小值，根据单调性易求得 t当t3,即x0时，f(x)的最小值为

431. 34、当多次运用基本不等式时，取等号的条件须一致

例5 已知x,yR且111,求u2xy的最小值. xy错解： 因为 2xy22xy,

111 2xyxy11)22xy242 yxy所以 u(2xy)(1x错解原因在于两个不等式不能同时取等号,故取不到最值. 正解： u(2xy)(1x12xy)3 yyx322

当且仅当

2xy22,即x,y12时等号成立,所以umin322. yx2 运用基本不等式时,一定要遵循“一正，二定，三相等”的原则.特别地,在取不到等

号时,应借助函数单调性求解;在多次运用基本不等式时,应使满足等号的条件一致.