方法总结：在判断四边形的形状时，若
1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)
已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对
2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综
合应用．(难点)
一、情境导入
小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！
二、合作探究
探究点一：矩形的判定
【类型一】 对角线相等的平行四边形是矩形 如图所示，外面的四边形ABCD
是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．
解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA
＝OB＝OC＝OD.
∵AM＝BP＝CN＝DQ， ∴OM＝OP＝ON＝OQ.
∴四边形MPNQ是平行四边形． 又∵OM＋ON＝OQ＋OP， ∴MN＝PQ.
∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
角线的条件证明矩形．
【类型二】 有三个角是直角的四边形是矩形 如图，GE∥HF，直线AB与GE
交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线．求证：四边形ADBC是矩形．
解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．
证明：∵GE∥HF，
∴∠GAB＋∠ABH＝180°.
∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，
∴∠1＝12∠GAB，∠4＝1
2∠ABH，
∴∠1＋∠4＝11
2(∠GAB＋∠ABH)＝2×
180°＝90°，
∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°. 同理可得∠ACB＝90°.
又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，
∠4＝12∠ABH，∠2＝1
2∠FBA，
∴∠2＋∠4＝12(∠ABH＋∠FBA)＝12×
180°＝90°，即∠DBC＝90°.
∴四边形ADBC是矩形．
方法总结：矩形的判定方法和矩形的性
质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形． 【类型三】 有一个角是直角的平行四边形是矩形 如图所示，在△ABC中，D为BC
边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形“三线合一”的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.
解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEC中，
∠AFE＝∠DCE，∠AEF＝∠DEC， AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC(AAS)． ∴AF＝CD. ∵AF＝BD， ∴BD＝DC；
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形． ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有“一个角是直角的平行四边形是矩形”是解本题的关键．
探究点二：矩形的性质和判定的综合运用
如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴
OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；
(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43cm，∴S矩形ABCD＝4×43＝163(cm2)．
方法总结：首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．
三、板书设计
通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.第2课时 二次根式的混合运算
1．了解二次根式的混合运算顺序； 2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)
一、情境导入
如果梯形的上、下底边长分别为22cm，43cm，高为6cm，那么它的面积是多少？
毛毛是这样算的：
1
梯形的面积：(22＋43)×6＝(2
2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm2)．
他的做法正确的吗？ 二、合作探究
探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的混合运算 计算： (1)48÷3－(2)
1÷2
1×12＋24； 2
42
×－50. 33
解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简． 解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6
＋26＝4＋6；
(2) 原式＝×
1323××－52＝243
38
2622
3－52＝×3－52＝－523432
＝
－92
2. 方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的． 【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算
计算：
(1)(5＋3)(5－3)；
(2)(32－23)2－(32＋23)2. 解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．
解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；
(2)(32－23)2－(32＋23)2＝(32－23＋32＋23)(32－23－32－23)＝－246.
方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察
式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计
算．
【类型三】 二次根式的化简求值 先化简，再求值：x＋xyxy＋y＋
xy－y
x－xy
(x>0，y>0)，其中x＝3＋1，y＝3－1.
解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．
解：原式＝
x（x＋y）
y（x＋y）
＋
y（x－y）xyx＋x（x－y）＝y＋x＝y
xy
.
∵x＝3＋1，y＝3－1，∴x＋y＝23，
xy＝3－1＝2，∴原式＝23
2
＝6.
方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．
【类型四】 二次根式混合运算的应用 一个三角形的底为63＋22，这
条边上的高为33－2，求这个三角形的面积．
解析：根据三角形的面积公式进行计算．
解：这个三角形的面积为1
2(63＋
22)(33－2)＝1
2×2×(33＋2)(33－
2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.
方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求
解，能应用公式的尽量用公式计算．
探究点二：二次根式的分母有理化 【类型一】 分母有理化 计算： (1)215＋122；
(2)
3－23＋2
3＋2＋3－2
. 解析：(1)把分子、分母同乘以2，再
约分计算；(2)把3－23＋2
的分子、分母同乘
以3－2，把3＋23－2
的分子、分母同乘以
3＋2，再运用公式计算． 解
：
(1)
215＋12
2
＝
（215＋12）×22302×2＝＋26
2＝30
＋6；
(2)
3－2
23＋2
＋
3＋3－2
＝（3－2）2
（3＋2）（3－2）
＋
（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－26
3－2＋
5＋26
3－2
＝5－26＋5＋26＝10. 方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成a·a的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a＋b，则分子、分母同乘以a－b.
【类型二】 分母有理化的逆用 比较15－14与14－13的大
小
解析：把15－14的分母看作“1”，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”，分子、分母同乘以14＋13，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，
分母大的反而小”，得到它们的大小关系． 解：15－14
＝（15－14）（15＋14）
15＋14＝1
15＋14
，14－
13
＝
（14－13）（14＋13）1
14＋13＝14＋13.
∵15＋14＞14＋13＞0， ∴115＋14＜1
14＋13即15－14
＜14－13.
方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．
三、板书设计
二次根式的混合运算可类比整式的运算进
行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯
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