极大似然估计的题库

1.设总体X的概率密度函数是

x1, 0x1 f(x;a)0, 其它其中0为未知参数。x1, x2, 解：似然函数Lxii1n, xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

1xi1

ni1nn lnLnln(1)lnx

ii1

dlnLnnˆlnxi0 

di12、设总体X的概率密度函数是

nlnxi1n

i1（）x 0x1 f(x;a)0 其它x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

n解：似然函数L(1)xi(1)xi

ni1i1nnndlnLnlnxi0 lnLnln(1)lnxi d1i1i1ˆ nlnxi1n1

i3、设总体X的概率密度函数是

2xexp{x2}, x0f(x)

0, 其它>0为未知参数，x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

解：似然函数L(2xiexp{xi})(2xiexp{i1i1nnn2nnnxi1n2i})

lnLnln(2)lnxxii1i12i

dlnLnn2xi0

di1.

精品

ˆ nxi1n

2i4、设总体的概率密度函数是

3x2exp{x3}, x0 f(x)0, 其它其中>0是未知参数，x1,x2,x3,n2i,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

3nnn2解：似然函数L(3xexp{xi})(3xiexp{i1i1nnxi1n3i})

lnLnln(3)lnxi12ixi3

i1dlnLnn3ˆxi0 

di1nxi1n

3i5、设总体X服从参数为

1的指数分布，x1,x2,x3,n,xn是一组样本值，求参数的最大似

1xi1ie1 nn然估计。 解： L1i1e1xi11n lnLnlnxi

i16、设总体X的概率密度函数是

dlnLn1n1nˆ2xi0 xix

di1ni1(x)211f(x;)e2, x

2x1,x2,,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计？

xi2112 Lei12n解：似然函数

12n21nexpxi

2i1n1n2 lnLln2(xi)

22i1dlnLn1nˆxix (xi)0 dni1i1.

精品

7、设总体X服从（1）参数为的泊松分布P()xxx!1-xe（x=0，1， ），其中0为

2未知参数，（2）0-1概率分布为P{X= x}=p(1-p),x0,1；（3）正态分布N(,)；（4）参数为的指数分布

x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求对应参数最大似然估计。

思考以下三个问题

（1）求最大似然估计值还是最大似然估计量？ （2）对所得的估计量证明是否无偏估计量？

（3）给定具体一组观察值的结果，是否可以得到具体的最大似然估计值。

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