方程与不等式 专题

专题二《方程与不等式》

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考点分析：

内容 1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念 2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用 3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程 4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用 5、一元二次方程根的判别式及应用 6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集 7、不等式的基本性质 8、一元一次不等式（组）的解法及应用 要求 Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ 命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查．

不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题．

由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题． ●难点透视

例1解方程：

xx12x14x12 ．

【考点要求】本题考查了分式方程的解法． 【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可．

原方程变形为

xx12x14(x1)(x1)方程两边都乘以(x1)(x1)，去分母并整

2理得xx20，解这个方程得x12,x21．经检验，x2是原方程的根，x1是原方程的增根．∴原方程的根是x2．

【答案】x2．

【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．

224xy0,例2

2xxy30.【考点要求】本题考查用消元法解二元二次方程组． 【思路点拨】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法．

224xy0,2xxy30.①②由方程①可得2xy2xy0，

∴2xy0,或2xy0.它们与方程②分别组成两个方程组： 2xy02xy0 22xxy40xxy402xy0解方程组2可知，此方程组无解；

xxy402xy0x12解方程组2得xxy40x24x22 y24x12所以原方程组的解是x24x12【答案】x24x22 y42x22 y42【规律总结】少数学生未能掌握二元二次方程组的基本解题思路，不知如何处理．突破

方法：将第一个方程通过因式分解，得到两个一次方程，再分别与第二个方程组成两个新的方程组，求解．

解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元，即化二元为一元．常用的方法就是通过因式分解进行降次，再重新组成新的方程组求解，所求得的结果即为原方程组的解．

例3下列一元方程中，没有实数根的是（ ）

2A．x2x-10 B．x22x20

2C．x22x10 D．xx20

2【考点要求】本题考查一元二次方程根的判别式．

【思路点拨】根据b4ac，确定好选项方程中的各项的系数及常数项，代入根的判别式进行计算，如果所求结果非负，则有实数根；否则没有实数根．

22C选项中b4ac(2)4112＜0，方程无实数根．

2【答案】选C． 【错解分析】出现错误的学生主要是两原因：一是根的判断式未能记牢，出现使用错误，二是在确定各项系数和常数项时，弄错符号，导致计算错误．突破方法：将一元二次方程化

为一般式后，再确定系数及常数项．

解题关键：根据b24ac可知，若二次项系数与常数项异号，则方程必有实数根，从而缩小解题范围．

例4用换元法解分式方程x2x12xx2时，如果设yx2x，那么原方程可化为关

于y的一元二次方程的一般形式是 ．

【考点要求】本题考查利用换元法将分式方程转化为整式方程．

【思路点拨】整体代换（换元法）也是我们解方程常用的方法之一，它在解方程中起到消元、降次简化运算的作用．

把yx2x代入原方程得，y1【答案】y2y20．

【方法点拨】整体换元要求原方程具备一定结构特点，如果不具备，必须设法通过变形化出相同或者相关的形式再进行换元．

例5若不等式组2x3x33xa62y，即y2y20，故答案应填写y2y20．

的正整数解只有2，求a的整数值．

【考点要求】本题考查解不等式组及不等式组的解集等知识的综合运用．

要求a的值，可先求出不等式组中的各不等式的解集，再根据不等式组的正整数解只有2，列出关于a的不等式组，进而求出a的值．

x32x3x3，解得a6．

3xa6x3又∵原不等式组只有正整数解2． 由右图，应有1a632．

∴9a12,∴a9,10,11. 【答案】a9,10,11.

【误区警示】部分学生解出不等式组的解集后，不知如何运用“正整数解只有2”这一条件．突破方法：用含a的代数式表示不等式组的解集，结合数轴表示出不等式组的解集，

再转化为关于a的不等式组，求出a的值．

例6如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图乙是车棚顶部截面的示意图，弧AB所在圆的圆心为O．

车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）．

2米 A 43米 B A B

O ·

60米 图甲 图乙

【考点要求】本题考查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．

【思路点拨】连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交弧AB于F，如图．

由垂径定理，可知：E是AB中点，F是弧AB中点， F ∴EF是弓形高 ∴AE=

A

E O · B 12AB2

3，EF=2．

设半径为R米，则OE=(R－2)米．

在Rt△AOE中，由勾股定理，得 R 2=(R2)2(23)2．解

得R =4．

∵sin∠AOE=

AEOA32， ∴ ∠AOE=60°，

4∴∠AOB=120°． ∴弧AB的长为120∴帆布的面积为

83=

83．

18060=160（平方米）． ×

【答案】160（平方米）．

【方法点拨】部分学生遇此问题，不能将实际问题抽象为数学问题．突破方法：联系实际，将车棚顶部展开得长方形，其长为车棚长，宽为弧AB长．

解题关键：在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．

y2xm,例7已知方程组的解x、y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（ ）

2y3xm1A．m≥－43 B．m≥

43 C．m≥1 D．－43≤m≤1

【考点要求】本题考查方程（组）与不等式的综合问题，此类题型常用的方法是可把m看作已知数，用它来表示其余未知数．

【思路点拨】由题意，可求出x1m7,y25m743，代入2x+y≥0，解得m≥－．或

者也可整体求值，把第(2)式乘以4减去第(1)式直接得7y14x3m4，得

2xy3m470，解得m≥－43．

【答案】选A．

【方法点拨】本题一般做法是把m看作是已知系数，用含m的代数式表示x、y，解出方程组的解，然后再把所求的x、y的值入题目中的不等式，从而得到只含m的不等式，求出解集．或者也可以依据题目条件的特点，从整体考虑，直接进行整理得到与不等式相关的

代数式，进行求解．

例8根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？

【考点要求】本题考查方程在实际情境中的运用，结合现实问题情景,需把方程和不等式有关内容有机结合起来,求出整数解.

【思路点拨】设饼干的标价每盒x元，牛奶的标价为每袋y元，

xy＞10则0.9xy100.8 x＜10阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱） 小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是够的，但要再买一袋牛奶就不够了！今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好！还有找你的8角钱． 一盒饼干的标价可是整数元哦！ ① ② ③ 由②得y=9.2－0.9x ④

把④代入①，得x+9.2－0.9x＞10 ∴ x ＞8 由③得8＜x＜10 ∵x是整数 ∴x=9

将x=9代入④，得y=9.2－0.9×9=1.1

【答案】饼干一盒标价9元，一袋牛奶标价1.1元．

【方法点拨】部分学生不习惯这种情境题，不能很好地从情景对话中找出有用的信息来．突破方法：因为题目中的条件只是两人对话，因此要紧紧围绕两人的对话进行分析，综合各数据列出不等式组求解．

解题关键：情境题中的条件一般不会很多，但每一句话都可能给出重要信息，因此要仔细阅读分析．

例9某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．

(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；

(2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？

【考点要求】本题考查方程（组）在实际生活中的应用．

【思路点拨】在市场经济大环境背景下,用数学知识确定价格,预计利润,是中考应用性问题的常见题型.我们通过运用数学知识能够避免盲目的投资,创造最大的经济.

（1）(Ⅰ)设甲种电视机x台,乙种电视机y台.

则

xy501500x2100y90000,解得

x25y25

(Ⅱ)设甲种电视机x台,丙种电视机z台.

则

xz501500x2500z90000,解得

x35z15

（Ⅲ)设乙种电视机y台,丙种电视机z台. 则

yz502100y2500z90000,解得

y87.5z37.5 (舍去)

(2)设甲种电视机(504z)台,乙种电视机3z台,丙种电视机z台. 由题意得

1500(504z)21003z2500z90000150(504z)2003z250z8500

解得:4z5.357 ∴z4,5

∴ 进货方案有:①甲、乙、丙各为34台、12台和4台； ②甲、乙、丙各为30台、15台和5台；

商场的利润为①341501220042508500（元）

②301501520052508750（元）

∴ 要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台；

【答案】（1）方案一：甲种电视机25台，乙种电视机25台，方案二：甲种电视机35台，乙种电视机15台；（2）要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台．

【方法点拨】部分学生完成此题时，解题不能完整．突破方法：本题以现实问题为背景，以方案设计为主题，体现分类讨论的数学思想.

例10某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件．已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克．

（1） 据现有条件安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来．

（2） 若甲种原料每千克80元，乙种原料每千克120元，怎样设计成本最低． 【考点要求】本题考查运用不等式知识解决实际生活和生产中的问题，不仅考查学生对知识的掌握，灵活运用知识的解题的能力，同时考查学生数学建模的能力．

【思路点拨】（1）设生产A种产品x件，B种产品(50x)件．按这样生产需甲种的

9x4(50x)3603x10(50x)290原料，∴x32,x30.即：30x32．∵x为整数，∴x30,31,32,∴有三种生产方案．

第一种方案：生产A种产品30件，B种产品20件； 第二种方案：生产A种产品31件，B种产品19件； 第三种方案：生产A种产品32件，B种产品18件．

（2）第一种方案的成本：80(930420)120(3301020)62800（元）．

第二种方案的成本：80(931419)120(3311019)62360（元）． 第三种方案的成本：80(932418)120(3301018)61920（元）．

∴第三种方案成本最低．

【答案】（1）第一种方案：生产A种产品30件，B种产品20件； 第二种方案：生产A种产品31件，B种产品19件； 第三种方案：生产A种产品32件，B种产品18件． （2）第三种方案成本最低．

【方法点拨】解决本题的关键在于找出生产A种产品和B种产品分别甲种原料和乙种原料的数量，再根据厂里现有甲乙两种原料的数量列出不等式组，解不等式组得出结果可得三种生产方案．再根据三种不同方案，求出最低成本．

●难点突破方法总结

方程（组）及方程（组）的应用问题是中考命题的重点，主要考查学生的应用能力，题型内容贴近生活实际，考查学生的分析问题和解决问题的能力，在解题时应注意以下问题： 1.正确理解和掌握方程与方程组的相关概念，性质，结论和方法，这是解决有关方程与方程组问题的前提．

2.用化归思想求解二元一次方程组，可化为一元一次方程和一元二次方程的分式方程． 3.熟练掌握用换元法解方程及方程组．

4.关注社会，积累生活经验，通过阅读、观察、比较、分析、归纳、综合等方法解决与生产、生活密切相关的社会热点问题． ●拓展演练

一、填空题

1．“某数与 6 的和的一半等于 12”，设某数为 x，则可列方程_________． 2．方程 2x＋y＝5 的所有正整数解为_________．

3．当 x＝______时，代数式 3x＋2 与 6－5x 的值相等．0 4．方程组xy32x3y4的解是_________．

xyax25. 已知方程组的一组解是，则其另外一组解是 ．

xyby36. 3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要______场比赛，则 5 名同学一共需要______比赛．

7．不等式

x231的解集是__________________．

8．当x_________时，代数代23x的值是正数． 4x3x1x1的解集是__________________． 9．不等式组x3210．不等式3x100的正整数解是_______________________．

11．x2的最小值是a，x6的最大值是b，则ab___________.

12．生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b小时，则____________< b <_____________．

二、选择题

13．关于x的一元二次方程(a1)xxa10的一个根是0，则a的值为（ ）

22

A. 1 B. －l C. 1 或－1 D.

x5x6x1212

14. 使分式 的值等于零的x是( )

A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6 15. 若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 16. 若方程组ax(a1)y64x3y14的解x、y 的值相等，则a 的值为 ( ）

A. －4 B. 4 C . 2 D. 1 17. 不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+

542=0; C. 2xx30 D.(x+2)(x-3)==-5

18. 若,是方程x22x20070的两个实数根，则23的值 （ ） A．2007 B．2005 C．－2007 D．4010

19．某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )

A.200(1+x)=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)]=1000 20.一元一次不等式组2x132x33x2

2

的解集是 （ ）

A．-2＜x＜3 B．-3＜x＜2 C．x＜-3 D．x＜2

21．如图1，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集 （ ）

A．

12x1 B．

x3

3 C．x+1≥-1 D．-2x＞4 222．关于x的方程2a3x6的解是非负数，那么a满足的条件是( )

A．a＞3 B．a≤3 C．a＜3 D．a≥3 三、解答题

23．已知关于x、y的方程组（1）求这个方程组的解；

（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不小于－1．

x2y1x2ym．

2xy5k624．已知方程组的解为负数，求k的取值范围．

x2y17

25．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．

①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？

②下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：

月份 用电量（度） 交电费总数（元） 3月 4月 80 45 25 10 根据上表数据，求电厂规定A度为多少？

26．艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.

（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?

27．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作24天可以完成，需费用120万元，若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元．问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元？

●习题答案

专题二《方程与不等式》

一、填空题 1.

12(x6)12

2.x1x2,（提示：将原方程化为y52x，x从1取起，求出相应的y的值，y2y112要求均为正） 3.x（提示：列方程3x265x）

4.x1y2（提示：用代入消元或加减消元法）

x3x25. （将代入原方程然后所得解方程即可）

y3y66. 3，10（提示：设x名学生参加比赛，每人需参赛（x－1）场，因为甲跟乙比赛时，也是乙跟甲比，所以总共比赛场次为

12x(x1)

7. x≤5（利用不等式的基本性质） 8. x＜

23（提示：由题意，2－3 x＞0，解得x＜

23）

9.－2≤x＜1（提示：求两不等式解集的公共部分） 10.1，2，3（提示：先求出不等式的解集为x≤

103，再取其中的正整数）

11.－4（提示：x≥2最小值a=2，x≤－6，最大值b=－6，a＋b=2＋(－6)=－4）

12.85%a＜b＜92% a（提示：由题意可列不等式（1－15%）a＜b＜（1－8%）a） 二 、选择题

13.B（提示：把x=0代入原方程，解得a=±1，考虑到一元二次方程二次项系数不能为0，所以a=－1）

x25x6014.A（提示：分式值为0，即分子为0且分母不为0，所以，∴x=6.

x1015.D（提示：设较小数为x，则较大数(x+1),x(x+1)=56，解得x17,x28，故两数为7、8或－7、－8）

ax(a1)xbx216.C（提示：因为x，y值相等地，则原方程组可化为，解之得）

4x3x14a2

17．B（提示：先将各方程整理为一般式，再利用根的判别式进行判断，B项中

b4ac16442544＜0，所以B项方程无实数根）

18．B（提示：因为,是方程x22x20070的两个实数根，则220072，把它代入原式得2007232007，再利用根与系数的关系得

2，所以原式=2005）

19．D（提示：第一季度1000万元营业额为一、二、三三个月的总额，应把三个月营业额相加）

20．C（提示：不等式①的解集为x＜2，不等式②的解集为x＜－3，共公部分为x＜－3）

21. C（提示：解四个不等式，得解集分别为x＞－2，x≥－9，x≥－2，x＜－2，数轴上表示的范围是x≥－2）

22. D（提示：解关于x的方程得x≥3）

三、解答题

1mx223. 解（1）

1my41m112即，解得1＜x≤5. 11m14x2k1yk823a2，因为解非负，所以

23a2≥0，解得a

x(2)由题意得y24. 解方程组，得解得k＜－8)

，因为方程组的解是负数，所以x0y0即2k10k80，

25．解：①10＋2(90－A) ②由表中数据可得25＝10＋2(80－A) 解得：A＝50 26．解：(1)设该工艺品每件的进价为x元，则标价为(x45).

由题意得:8[0.85(x45)x](4535)12 解得x155x45200 （2）工艺品应降价a元.

2则W(45a)(1004a)4(a10)4900a10时,获得的利润最大为

114900.

27．解：（1）设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天，y 天．

24241xy根据题意得

20401yx解这个方程组得x=30,y=120 . 经检验x=30,y=120是方程组的解．

（2）设单独完成此项工程，甲需费用m万元，乙需费用n万元， nm()241203020根据题意，得

m20n4011012030解这个方程组得m=135,n=60 .