第２３卷 第１期 ２０１４年３月 河南教育学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０１．２３ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２Ｏｌ４ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—０８３４．２０１４．０１．００８ 群的阶与元素的阶 杜海霞，李玉萍 （郑州师范学院数学与统计学院，河南郑州４５００４４） 摘要：群是近世代数的一个重要概念，而元素的阶又是群的一个重要概念，群的阶和元素的阶存在内在联系， 从各个方面探讨了群的阶与其元素的阶之间的关系． 关键词：群；元素的阶；群的阶 中图分类号：Ｏ１５２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—０８３４（２０１４）０１—００２２—０３ ０ 引言 群论是一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要地位．群是研究对 称性的有力工具．物理、几何、数学中对称这一概念的特殊重要性，使群成为近代数学极其深刻、极其重要的 概念之一．利用群中元素的阶对群进行分类是研究群的重要方法之一．对于几乎所有的有限单群，施武杰¨ 证明了都可以由群的阶以及元素阶的集合完全确定．用同阶元素构成的集合来研究有限群的结构， ＦＩＮＣＨ Ｃ Ｅ和ＪＯＮＥＳ Ｌ＿２ 做了一些工作．本文给出了群的阶与其元素的阶之间的直接关系． １预备知识 定义１［３］３２ 一个群中所含元素的个数，称为群的阶．如果群Ｇ中所含的元素个数为ｎ，则称群Ｇ的阶为 凡，并记为Ｉ Ｇｌ＝ｎ．如果群Ｇ中所含的元素个数为无限，则称群Ｇ的阶为无限，并记为Ｉ ＧＩ＝∞． 定义２ ］３ 设Ｖ ａ∈Ｇ，若存在使ａ ＝ｅ的最小正整数ｎ，其中ｅ为群Ｇ的单位元，则称。的阶为ｎ，记为 Ｉ ｏ Ｉ＝ｎ；如果这样的ｎ不存在，即找不到使。 ＝ｅ的最小正整数ｎ，则称元素ｎ的阶是无限，记为ｌ ｏ Ｉ＝。。． 定理１＿３］６ （Ｌａｇｒａｎｇｅ定理）设 是有限群Ｇ的一个子群，则ＩＧｌ＝１日Ｉ（Ｇ：Ｈ）． 证明 令（Ｇ：Ｈ）＝ｓ，且Ｇ＝０．Ｈｕ Ｃ，／２Ｈｕ…１．３ Ｏ，ｓＨ是Ｇ关于日的左陪集分解，由于Ｉ ｎ ＨＩ：Ｉ Ｉ，ｉ＝１，２， …，ｓ，故ｌ ＧＩ＝ｓ １日Ｉ，即Ｉ ＧＩ＝１日Ｉ・（Ｇ：Ｈ）． 备注：此证明比文献［１］中的简单． ２主要结果 ２．１ 群的阶及元素的阶均无限 设ａ是群Ｇ的任意一个元素，当它们的阶均为无限时，我们从以下两个方面来讨论它们之间的关系． （１）１ ０ Ｉ＝∞ｊ ｌ Ｇ Ｉ＝。。？ 定理２设Ｇ是一个群，其元素。的阶为无限，则群Ｇ的阶也无限． 证明 因为ｎ是群Ｇ的元素，且。的阶为无限，所以。的任意次指数均为Ｇ的元素，且互不相同，故群Ｇ 中有无限多个元素，故群Ｇ的阶也无限． （２）Ｉ ＧＩ＝。。 Ｉ口Ｉ＝∞？ 无限群中元的阶大致可分为以下３种情况． １）无限群Ｇ中，除去单位元外，每个元素的阶均无限． 例１整数加群． 在无限群中，除去单位元１外，其余每个元素都是无限阶的． ２）无限群Ｇ中，每个元素的阶都有限． 收稿日期：２０１３一ｌ１—２９ 基金项目：河南省科技厅软科学研究计划项目（１３２４００４１０６９７）；郑州师范学院校级项目（２０１２０８４） 作者简介：杜海霞（１９８０一），女，河南鄢陵人，郑州师范学院数学与统计学院讲师． 第１期 杜海霞等：群的阶与元素的阶 ２３ 例２＿４ 设 为全体 次单位根对普通乘法所做成的群，即ｉ次单位跟群．现在令Ｕ＝Ｕ Ｕ ，则由于一个 ｌ ｍ次单位根与一个ｎ次单位根的乘积必是一个ｍｎ次单位根，故 对普通乘法做成一个群，且在这个群中每 个元素的阶都有限．事实上，任取ａ∈Ｕ，必然存在ｉ Ｅ Ｚ＋，使ａ∈Ｕ ，则ａ ＝１．故ａ为有限阶的． ３）无限群Ｇ中，除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元． 例３非零有理数乘群． 在这个群中，除单位元１的阶为１外，一１的阶为２，而其余每个元都是无限阶的． ２．２群的阶及元素的阶均有限 设ａ是群Ｇ的任意一个元素，当它们的阶均为有限时，我们仍从两个方面来讨论它们之间的关系． （１）ｌａＩ＝ｎｊＩＧＩ有限？ 群中元素的阶有限时，群的阶大致可分为以下两种情况． １）ｌａｌ有限时，ＩＧＩ有限． 例４ ｎ次对称群Ｊｓ ． 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换．一个包含 个元素的集合的全体置换做成的群叫做ｎ次 对称群，用ｓ 表示．５ 中的元素也即全体ｎ元置换，要么是轮换置换，要么可以用不相连轮换乘积表示，而 ｋ一轮换的阶为ｋ，不相连轮换乘积的阶为各因子阶的最小公倍数，所以Ｊｓ 中的每个元素的阶都有限．另外， 容易知道ｎ次对称群ｓ 的阶为ｎ！． ２）ＩａＩ有限时，ＩＧＩ无限． 这样的群在前面出现过，如例２． （２）ＩＧＩ＝ｎｊＩａＩ有限？ 定理３ 在有限群Ｇ中，每一个元素都是有限阶的． 证明 不妨设Ｉ Ｇｌ＝ｎ，对Ｖ ａ∈Ｇ，下面考虑集合Ａ＝｛ａ，ａ ，ａ ，…，ａ ，ａ ｝． 由群Ｇ的封闭性可知，ａ，ａ ，ａ ，…ａ ，ａ 均属于Ｇ．而Ｉ Ｇ Ｉ＝ｎ，所以至少存在两个元素ａ‘，ａ （其中１≤ｉ ＜＿『≤ｎ＋１），使ａ‘＝ａ ．则 ～＝ｅ．所以ａ为有限阶的． 定理４在有限群Ｇ中，每个元素的阶都是群阶的因数． 证明 对于有限群Ｇ，设ａ是其任一元素，且ａ的阶是ｍ，则Ｈ＝｛ｅ，ａ，…，ａ一 ｝是Ｇ的一个ｍ阶子群， 故根据Ｌａｇｒａｎｇｅ定理，ｍＩ ＩＧＩ．即群中任意元素的阶都是群阶的因数． 推论１设Ｇ为ｎ阶有限群，则Ｇ中每个元素都满足方程 ＝ｅ． 证明 设Ｖ ａ∈Ｇ，设ｌ ａ ｌ＿ｍ，则由定理４可知，ｍ ｌ ｎ，不妨设ｎ＝ｍｑ，则ａ ＝（ａ ） ＝ｅ． 例５ ｎ阶群Ｇ是循环群铮Ｇ有ｎ阶元． 证明 （必要性）若Ｇ＝（ａ），且Ｇ是ｎ阶群，则生成元ａ的阶是ｎ，故Ｇ有ｎ阶元ａ． （充分性）设Ｇ有ｎ阶元素ａ，则易知Ｈ＝｛ｅ，ａ，…，ａ一 ｝是Ｇ的一个ｎ阶子群．但Ｇ的阶也是ｒｔ， 故Ｇ＝Ｈ＝（ａ）． ２．３其他相关结论 定理５ 群Ｇ的有限子集Ｈ做成子群的充要条件是，Ｈ对Ｇ的乘法封闭，即ａ，ｂ∈日ｊⅡ６∈Ｈ． 证明 （必要性）若 ≤Ｇ，则显然日对Ｇ的乘法封闭． （充分性）Ｖ ａ，ｂ Ｅ Ｈ，则ａｂ Ｅ Ｈ，说明Ｇ中的代数运算是日的代数运算，由于Ｇ是群，故其代数运算满足 结合律，所以日的代数运算也满足结合律，故日为半群．又因为群Ｇ的代数运算满足消去律，所以日的代数 运算也满足消去律．又因为有限半群做成群的充要条件为消去律成立，故 ≤Ｇ． 定理６ 设日是群Ｇ的一个非空子集，且 中每个元素的阶都有限．证明日≤Ｇ当且仅当日对Ｇ的乘法 封闭． 证明 （必要性）若日≤Ｇ，则显然日对Ｇ的乘法封闭． （充分性）Ｖ ａ Ｅ Ｈ，则ａ ∈Ｈ，其中ｍ为任意正整数．设Ｉ ａ Ｉ＝ｎ，则ａ ＝ｅ∈Ｈ，从而ａ・ａ一 ＝ｅ，即有 口 ‘＝口～∈ 根据子群的判定条件，则 ≤Ｇ． ２４ 河南教育学院学报（自然科学版） 参考文献 ［１］ ＳＨＩ ＷＵ ＪＩＥ．Ｐｕｒｅ ｑｕａｎｔｉｔｉｖｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｓｉｍｐｌｅ ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｆｒｏｎｔ Ｍａｔｈ Ｃｈｉｎａ，２００７，２（１）：１２３—１２５． ［２］ ＦＩＮＣＨ Ｃ Ｅ，ＪＯＮＥＳ Ｌ．Ａ ｃｕｒｉｏｕｓ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｆｅｒｍａｔ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｎｄ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｔｈｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ ｏｆ Ａｍｅｒｉｃａ，２００２， １０９：５１７—５２３ ［３］杨子胥．近世代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１． ［４］ 孙宗明．群的元素的阶的某些问题［Ｊ］泰山学院学报，２００３，２５（３）：１—７． ［５］ 孙宗明．ｎ次对称群Ｓ 及元素的阶［Ｊ］．河套大学学报，２０１２（２）：１—６． ［６］ 郭素霞．关于群中元的阶的探讨［Ｊ］．衡水师专学报，２００４，６（２）：６—７． Ｏｎ ｔｈｅ Ｏｒｄｅｒ ｏｆ Ｇｒｏｕｐ ａｎｄ Ｅｌｅｍｅｎｔ ＤＵ Ｈａｉ—ｘｉａ，ＬＩ Ｙｕ—ｐｉｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００４４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｇｒｏｕｐ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｎｃｅｐｔ ｉｎ ｍｏｄｅｒｎ ａｌｇｅｂｒａ，ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｎｃｅｐｔ．Ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｔｓ ｉｎｎｅｒ ｌｉｎｋ ｂｅｔｗｅｅｎ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔ，ＳＯ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｖａｒｉｏｕｓ ａｓｐｅｃｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｇｒｏｕｐ；ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔ；ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｇｒｏｕｐ Ｊ声 明 田 为扩大本刊及作者知识信息交流渠道，加强知识信息推广力度，本刊已许可ＣＮＫＩ（中国知网）及其系列 数据库、万方数据资源系统数据化期刊群、维普中文科技期刊数据库等，以数字化方式复制、汇编、发行、信息 网络传播本刊全文．该著作权使用费及相关稿酬，本刊均用于为作者文章发表、出版、推广交流（含信息网 络）以及赠送样刊等用途，不再另行向作者支付．凡作者向本刊提交文章发表之行为即视为同意我刊上述 声明． 河南教育学院学报编辑部
