sinC积分的解法及其应用

本科毕业论文（设计）

题目：Sinc积分的解法及其应用

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专 业：数学与应用数学 年 级： 完成日期： 指导教师：

Sinc积分的解法及其应用

摘要：Sinc积分即0sinxdx，是积分学中一个著名的积分，许多积分的计算最后都x转化为此积分。在实际生活中也会遇到此积分。由于被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此不能用牛顿—莱布尼茨公式计算此积分的结果。本文中，我们将用不同种方法来计算此积分，从而得到

0sinxdx，进而讨论此积分的应用。 x2关键词：参变量；拉普拉斯变换；留数定理；Fourier变换

I

The Solution and Application of the Sinc integral

Abstract: Sinc integral, i.e.0sinxdx , is a well-known integral in the integral theory, to xwhich many integrals can be converted. This integral also appears in real life. Since the antiderivative of the integrand can not be expressed with elementary functions , the value of this integral can not be calculated using Newton - Leibniz formula. In this paper, we shall introduce several different ways to calculate this integral, and thus obtain we discuss the application of this integral.

0sinxdx. Then xKey words: parameter; Laplace transform; residue theorem; Fourier transformation

II

目 录

前言......................................................................1 一、用多种方法计算sinc积分...............................................2 （一） 利用二重积分计算..................................................2 （二） 利用含参变量反常积分的方法计算....................................3

1、由比较判别法的推论 ................................................... 3 2、由狄利克雷判别法 ..................................................... 5 3．利用阿贝尔判别法 ..................................................... 6

（三） 利用无穷级数的方法计算............................................7 （四） 利用复变函数理论中留数定理计算....................................8 （五） 利用拉普拉斯变换计算..............................................10

1．利用拉普拉斯变换计算方法一 ......................................... 10 2.利用拉普拉斯变换方法二............................................... 11

二、应用.................................................................12 参考文献.................................................................15

III

Sinc积分的解法及其应用 前言

sinc积分即为泛的应用。由于将fx0sinxdx，是积分学中一个著名的积分，它在自然科学中有着广xsinxsinx在x0点处无定义，但是因为lim1，所以在x0点处可

xxxsinxsinxsinx作连续开拓，也就是当x0时，令则fx在1，0,连xxx续，又因为函数fxsinx在1,连续，对于p1，有

p1sinxdx2，因此

1sinxsinx1cos2x，即dx收敛，从而dx收敛。但是对于x1有sinxsin2x0xx2sinxdxcos2xsinx1cos2x1cos2xdxdx，由上述证明，所以111x2x2x2xx2x2xsinxsinxdxcos2xdx发散，因此dx也发散。所以dx收敛，但是101xx2x2x即可知1发散，于是可以得知0sinxdx为条件收敛。 x由于此积分被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此不能用牛顿—莱布尼茨公式计算此积分的结果，本文即用不同种方法来计算此积分，从而得到除此之外，本文还将用此积分来证明傅里叶变换定理。

0sinxdx。x2 1

Sinc积分的解法及其应用 一、用多种方法计算sinc积分：

（一） 利用二重积分计算

定理一：设fx,y在矩形区域Da,bc,d上可积，且对每个xa,b，积分

dcfx,ydy存在，则累次积分dxfx,ydy也存在，且

acbdDfx,yddxfx,ydydyfx,ydx

accabddb定理二：设fx,y在矩形区域Da,bc,d上可积，且对每个yc,d，积分

bafx,ydx存在，则累次积分dyfx,ydx也存在，且

cadbfx,ydDdcdyfx,ydx

ab特别地当fx,y在矩形区域Da,bc,d上连续时，则有

fx,ydDbadxfx,ydydyfx,ydx。

ccaddb由以上定理知，二重积分I00exysinxdxdy可以用两种方法计算，即先对x求积分

和先对y求积分，从而得出两种结果，再联立这两种方法便可以得到此积分的计算结果。 因此，先对y求积分可以得到： Isinxdxexydy00sinxexysinxdx dx0xxy00再求先对x积分得到的结果： Idyexysinxdx

001 dysinxdexy

00y 01xyysinxe0exycosxdxdydy 0 2

Sinc积分的解法及其应用 1 sinxexy0y01cosxdexydy 0y 01xysinxey01cosxexyy01xyesinxdxdy y0对上式进行合并，得

1xy1cosxxy 12esinxdxsinxexye0yyy可以得到， 0

ycosxxysinxey21y00

exyysinxcosx 1y2  

0dy 21y2

因此，此积分的计算结果为 0sinxdx。 x2（二） 利用含参变量反常积分的方法计算

在使用该方法计算之前，需要对所引入的参变量积分（及其导数）的一致收敛性进行讨论。

1、由比较判别法的推论

推论1：设f定义于a,，在任何有限区间a,u上可积，且

limxpfx

x则有：

1.当p1,0时，a

fxdx收敛；

3

Sinc积分的解法及其应用 2.当p1,0时，a所以可以考虑积分

fxdx发散。

Iex0sinx dx(0) （2.1）

x因为limexsinx0，即0，所以由推论1得到I在半直线0上是一致收敛xx的。

因此I在0上连续。 又limsinx000xdx，将（2.1）再对微分可以得到 'xexsinx0xdx0exsinxdx

又因为

exsinxdx1x10e0

即

'1 可以得到， lim'0。

再对（2.2）两端,上求积分，即得到

du1u22arctan 因此，当0时可以得到

02

由上，0sinx0xdx。即可得出此积分的计算结果 sinx0xdx2。

4

（2.2）

Sinc积分的解法及其应用 2、由狄利克雷判别法

定理三：（狄利克雷判别法）若Fufxdx在a,上有界，gx在a,上

ua当x时单调趋于0，则afxgxdx收敛。

因此对于积分

sinx0ekxxdx0,0

（3.1）对微分得到

'0excosxdx

因为cosx1，即cosx在0,上有界，且ex为单调函数， 所以0excosxdx在0,上是一致收敛的。

又由于 '0excosxdx

10cosxdxdex

1cosxex10exsinxdx

1xcosxeexx2sincosxex0dx

1cosxexe2xsinx220cosxexdx

合并后可得:

2 ex1xsinxcosx20ecosxdx201

进而可以得到 x0ecosxdx122222，

即 '22

5

3.1）（ Sinc积分的解法及其应用 是一致收敛的。

所以，当0时，上式对求积分，得到

arctan （3.2） （3.2）式是在假定0之下导出的，但当看作常量时，是的函数，当0 时它是连续的，即 lim0 0若0，则 0limarctg0arctg 2sinxdx。 x2对取特值，令1，可以得到03．利用阿贝尔判别法

设Iex0sinxsinxsinxdx. dx，Jexdx,D00xxx当0时，将Jex0sinxdx右端积分号下对求导，可以得到 x' Jexcosxdx。

0 因为函数excosx在0和x0时连续，并且excosxex0，且

0exdx收敛，所以excosxdx对于一致收敛，故由莱布尼茨法则

0得知： J'excosxdx022。

因为当0时，J0，因此J即 Iex0220dxarctan， sinxdxarctan。 x又因为0sinxdx收敛，且0ex1，当一定时，ex随x增加而减少，所以由x 6

Sinc积分的解法及其应用 阿贝尔判别法可以得知:exsinx0xdx在0上一致收敛。 因此 DI0limI0limarctan02。 当0时，D0。

当0时，令''0，则有

Dsinxsin'x0xdx0xdx2。

将以上结果进行合并，并且令1，有D1sinx0xdx2。 即得结果 sinx0xdx2。 （三） 利用无穷级数的方法计算

积分sinx0xdx可以写成级数的形式，即

m1sinxm02m2xdx 分别令m2n和m2n1，并相应地做替换xnt和xnt，则有n 2n12sinxsinnt2sint2n2xdx20ntdt10ntdt 2mm12sinxsinmt2sint2m1dx22x0mtdt10mtdt 联立（5.2），（5.3），（5.1）便可以得到

 2sint0tdtn11n1201tntnsintdt  2sint0tdtn1201n2tsintt2n22dt 由于t2n220，2tsint0，故

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4.1）

4.2）4.3） （

（ （ Sinc积分的解法及其应用 1n2tsint2t1

t2n22n22t2n22t2t2为增函数，所以当t最大即t2时，

11n24 1n2tsintt2n22，

从而有 1n1n2tsint

0,上一致收敛。因此，它可以逐项积分。 在222tn2

综上，可以写成

 又因为

201n2tsintsint12dt， 22tntn111n2tsint12 （注一） sinttn1tn221dt2dt 故 2sint00sint2即

0sinxdx。 x2（四） 利用复变函数理论中留数定理计算 为此引出如下定理：

引理1：设gz沿半圆R:zRei(0,R充分大)上连续，且limgz0 在R

R上一致成立，则limRRgzeimzdz0m0。

引理2：设fz沿圆弧Sr：zrei（12，r充分小）上连续，且

limzfz于Sr上一致成立，则有limfzdzi21。

r0r0Sr由之前的讨论知

0sinxsinxsinx1dx存在，且dxPV..dx。

0xx2x8

Sinc积分的解法及其应用 eiz考虑函数fz沿图5-1所示的闭曲线路径C的积分，根据柯西积分定理得

zfzdz0，

C或者写成 Rixreeixeizeizdxdzdxdz0 (5.1)

CRCRrxzxzr这里CR及Cr分别表示半圆周zRei及zrei（0，rR）。

eizeizdzi。dz0，由引理1知lim由引理2知lim在（5.1）中，令r0，RrCrzRCRz取极限即得eixdx的主值： x.. PVeixdxi x又由于

 0sinx1eixeix1eixdxdxdx，

0x2ix2ixsinxsinx1dxPV..dx。

x2x2所以 0 9

Sinc积分的解法及其应用

图5-1 （五） 利用拉普拉斯变换计算

1．利用拉普拉斯变换计算方法一

ftft定理4： 若L存在，则LpFpdp。 ftFp且tlim0tt证明： Fpdp

p pfteptdtdp

0 fteptdpdt

p0 0eptftdt tp10



Sinc积分的解法及其应用 0ftptedt tft L

t所以由定理4可知，如果 因此 ftftdt收敛，则有dtFpdp。

00tt00sinxdx xLsinxdp

00dp 1p2arctanp0

2

即得到

0sinxdx。 x22.利用拉普拉斯变换方法二

xx定理5：若Lft,xdxFp,xdx ft,xFp,x，则Lx0x0证 Fp,xdx

x0 ft,xeptdtdx

x00xxx eptft,xdxdx

x00xx即 Lft,xdxFp,xdx。 x0x0所以由定理5，取ft,x1sinxft,xt0，则Lp2x2Fp,x，于是有 x11

Sinc积分的解法及其应用 Lft,xdx 0Fp,xdx

00dx

p2x21xarctg

p0p 2p因此

0ft,xdx2，即0sintxdx。 x2取t1，即可以得到0sinxdx。 x2二、应用

积分0sinxdx在数学中也有相应的用途，例如在Fourier积分定理的证明中x2即用到此积分，下面给出Fourier积分定理的内容及证明。 引理3：如果fxL,，则积分 12ˆ （6.1）fxeixdxf

ˆ的变换，称之为Fourier变换，fˆ称为fx 有意义，它定义了一个从fxf的Fourier变式。

定理6（Fourier积分定理）：若fxL,C1,,那么我们有

lim12NNNˆeixdfx f（6.2）

下面给出定理6的证明：

证明:因为fxL,，所以积分

fxeixdx对一致收敛，并且为

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Sinc积分的解法及其应用 的连续函数，因此由引理3可得： 12NNˆeixd f 121N2Nfeideixd

1 2fdeixd

NN 1fsinNxd

x令x就可以得到：

1 2NNˆeixd fsinN1fxd

M1MsinNsinNsinNfxdfxdfxdMMJ1J2J3 （6.3）

分别考虑当N时Jii1,2,3的极限，可以得知 J1，J3而 J2 11M（6.4） fxdx

sinNdfxMN1MfxfxfxMsinMsinNMd

MMgx,sinNdMNd （6.5）

由于fC1,，所以gx,f'xd是x，的连续函数。

01首先取M0，使当MM0时（6.4）的右端小于

，固定M，取N充分大，由4，对于第二个积分，4Riemann-Lebesgue引理可知，（6.5）右端的第一个积分可小于由本文中已经证明的结论可知，当N充分大时

13

Sinc积分的解法及其应用

fxMNsinMNdfx4

代入（6.3）就可得当NN0时

即可以得到

limN12NNˆeixdfx f12NNˆeixdfx fFourier变换有很重要的物理意义，就像Fourier级数的展开一样，公式（6.2）也可以表示成任一波fx可以分解成简谐波eix的叠加，fx的Fourier变式f恰

ˆ，就可以把巧可以表示fx中频率为的简谐波的复振幅。所以只需要观察f就像白光通过三棱镜得到光谱一fx所包含的各种频率的波的强弱了解的一清二楚，

ˆ为fx的频谱。 样，在应用科学中经常也称f注一：利用公式

11tt1arctantan，可以得到的展式。 sint222sint 14

Sinc积分的解法及其应用 参考文献：

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