函数的单调性与周期性

例1．已知奇函数f(x)在区间[a、b] （0x例2．（1）证明函数yf(x)在（－1，1）上是增函数. 21xkx （2）试讨论函数f(x)在（－1，1）上的单调性. 21x3例3．已知奇函数f(x)在[2,4)上单调递减，试比较af(log18)与bf(tan)的大小.

42例4．求函数f(x)=x3－x的单调区间.

例5．已知函数f(x)定义在自然数集上，且对任意x∈N*都有f(x)=f(x－1)+f(x+1)，若f(1)=1999， 求f(1999)的值. 【基础训练】

1．一次函数y=kx+b，当k_________时，函数为增函数，当k________时，函数是减函数.

2．函数y=x3+1在区间________上是增函数，函数f(x)=－x2－2x的递增区间为___________，函 数g(x)=log1(x24x3)的递减区间为_______________.

23．若函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a的取值范围是________. 4．已知y=loga(2－ax)在[0，1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是 （ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．[2,)

5．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，那么在区间[－7，－3]上是（ ） A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5

C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 6．设f(x) （x∈R）是以3为周期的奇函数，且f(1)>1,f(2)=a，则 （ ） A．a>2 B．a<－2 C．A>1 D．A<－1 【拓展练习】

1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0,)上递减，那么一定有 （ ） 33A．f()f(a2a1) B．f()f(a2a1)

4433C．f()f(a2a1) D．f()f(a2a1)

442．已知y=f(x)是偶函数，且在[0,)上是减函数，则f(1－x2)是增函数的区间是 （ ） A．[0,) B．(,0] C．[1,0)(1,) D．(,1](0,1] 3．函数y=loga|x+1|在(－1,0)上单调递减，则y在（－∞，－1）上是 （ ） A．由负到正单调递增 B．由正到负单调递减

C．单调递减且恒为正数 D．时增时减 4．求下列函数的单调减区间

（1）y=lg(x2+4x+2)____________.

（2）y1x3.

5．若y=(a2－1)x在R上是减函数，则a的取值范围是__________________.

16．函数y=f(x) (x≠0)是奇函数，且当x∈R+时是增函数，若f(1)=0，则不等式f[x)x)]0的解

2 集为_____________.

7．已知f(x)=8+2x－x2,g(x)=f(2－x2)，试求g(x)的单调区间.

8．设定义在R上的函数f(x)的最小正周期是2，且在区间(3,5]内单调递减，试比较 f(log12),f(4),f()的大上.

2 9．已知函数f(x)对一切实数x都有f(2+x)=f(2－x),f(3+x)=f(3－x)，试判断函数的周期性和奇偶性.

10．已知函数y=f(x)的奇函数，在（0，+∞）内是减函数，且f(x)<0，试问：F(x)=

1在 f(x) （－∞，0）内增减性如何？并证明之. 11．设f(x)是定义在区间（－∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间（2k－1,2k+1]， 已知x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式.

12．已知f(x)=x2+C，且f[f(x)]=f(x2+1) （1）设g(x)=f[(x)]，求g(x)的解析式； （2）设(x)=g(x)－λf(x)，试问是否存在实数λ，使(x)在（－∞，－1）上是减函 数，并且在（－1，0）上是增函数?