不等式强化训练经典试题20题

不等式强化训练经典试题20题

xy30yx11．设实数x,y满足{yx0 ，则u的取值范围为（ ）

xy2x10A. 332231

, B. ,2 C. , D. ,2 223322

y0,2．设x,y满足约束条件{xy10, 则zx3y的最大值为（ ）

xy30,A. 1 B. 3 C. 5 D. 6

3．函数ylogax21（a0且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m0,n0，则

12的最小值为（ ） mnA. 322 B. 323 C. 7 D. 11 4．已知实数x,y满足不等式组{y1的最大值为（ ） y0, 则zx1xy30,x10,A.

31 B. C. 4 D. 2 22xy2,5．已知变量x,y满足{xy2, 则

x0,A. 2 B.

y2的最大值为（ ） x334 C. D. 1 23146．已知𝑥>0,𝑥>0,𝑥⃑⃑⃑⃑ =(𝑥,1),𝑥⃑⃑⃑⃑ =(1,𝑥−1),若𝑥⃑⃑⃑⃑ ⊥𝑥⃑⃑⃑⃑ ,则𝑥+𝑥的最小值为 A. 4 B. 9 C. 8 D. 10

xy207．已知实数x， y满足{xy40 ，若使得目标函数zaxy取最大值的最优解有无数个，

2xy50则实数a的值是（ ）

A. 2 B. 2 C. 1 D. 1

uuuruuuruuurr8．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且OA2aOBbOC0,则

的最小值是___________

a2ba2b1b9．已知函数fxx2ax3bxc的两个极值点分别在1,0与0,1内，则2ab的取值范围

32是

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A. 333133, B. ,1 C. , D. 1, 222222210．如图，已知抛物线y4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆x1y221于点4A,B,C,D四点，则AB4CD的最小值为（ ）

1517 B.

221311C. D.

22A.

2x,x011．已知函数fx{12则3ab取值范围（ ）

fxafxb0b0有6个不同的实根， 方程2x2x1,x02A. 6,11 B. 3,11 C. 6,11 D. 3,11

12．长方体𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1中，𝑥𝑥+𝑥𝑥1=8,𝑥𝑥=4,𝑥𝑥⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =𝑥𝑥⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,点𝑥是平面

𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1上的点，且满足𝑥1𝑥=√5，当长方体𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1的体积最大时，线段𝑥𝑥的

最小值是( )

A. 6√2 B. √21 C. 8 D. 4√3 13．若关于x的不等式xa1xa0的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围是（ ）

2A. 4,5 B. 3,24,5 C. 4,5 D. 3,24,5 14．已知函数fxkx26kxk8的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）

A. 0k1 B. 0k1 C. k0或k1 D. k0或k1

15．若关于x的不等式mx1x10的解集为,21,，则实数m__________.

y2x20,16．设实数x， y满足{xy20, 则

x20,xy2的取值范围是__________.

x32x21y2217．已知x0， y0， 2xy2，则的最大值为________. xy1文案大全

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18．在ABC中，若sin2AB2sinB，则tanB的最大值为__________．

uuuvuuuvuuuvuuuv19．在VOAB中， OA3OC， OB2OD， AD与BC的交点为M，过M作动直线l分别交线

段AC、BD于E、F两点，若OEOA， OFOB，(、0)，则的最小值为__________.

uuuvuuuvuuuvuuuvxy20y0为坐标原点），则

20．点Px,y的坐标满足约束条件{x40 ，若m1,1， n1,1，且OPmn（Ovvuuuvvv2的最大值为______

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不等式强化训练经典试题20题

1．A

【解析】画出可行域.由uyxy，设k表示可行域中的点与点(0,0)连线的斜率， xyxyx133,2，uk取值范围为,.本题选择A选项. 由图知k,2，k2xyk222111

点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．

(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．

2．C

y0,【解析】作出约束条件{xy10, 表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部,其中

xy30,A(3,0),B(1,2)，C(−1,0)

z=|x−3y|,|x−3y|的几何意义是可行域内的点到x−3y=0距离的5倍，由图形可知B到x−3y=0的距离最大，∴当x=1,y=2时，z取最大值为5. 本题选择C选项.

3．A

【解析】函数ylogax21(a0,a1)的图象恒过定点A(−1,−1)， ∵点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，∴−m−n+1=0，即m+n=1.

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则

12n2mn2m12mn3…32322, mnmnmnmn2,m22时取等号。

当且仅当n本题选择A选项.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 4．B

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示，

因为zy1表示可行域内的点x,y与定点B(-1,1)连线的斜率，有图可见，点A与定点B的连线斜x1x10211 ，解得A(1,2)，所以zmax率最大，由{.

xy30112故选B.

5．A

【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，

y2代表点3,2和可行域中的点连成的直线斜率，x3结合图形易知当x2,y0时，斜率最大，最大值为2. 本题选择A选项.

点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．

解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．

6．B

【解析】𝑥⃑⃑⃑⃑ =(𝑥,1),𝑥⃑⃑⃑⃑ =(1,𝑥−1),若𝑥⃑⃑⃑⃑ ⊥𝑥⃑⃑⃑⃑ ,则𝑥+ 𝑥−1=0，即𝑥+ 𝑥=1.

14+𝑥𝑥=(𝑥+𝑥)(𝑥+ 𝑥)=𝑥+

14𝑥4𝑥+5𝑥≥2√𝑥∙

𝑥4𝑥+5𝑥=4+5=9.

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当且仅当𝑥=故选B. 7．D

𝑥4𝑥，结合𝑥+ 𝑥𝑥=1且𝑥>0,𝑥>0知𝑥=3,𝑥=3时有𝑥+𝑥的最小值为9.

1214xy20【解析】不等式组{xy40 表示的平面区域如下图所示.

2xy50由zaxy得yaxz；

当a0时，直线化为yz，此时取得最大值的最优解只有一个C点，不满足条件； 当a0时，直线yaxz截距取得最大值，此时最优解只有一个C点，不满足条件；

当a0时，直线yaxz截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线yaxz与AC平行，由直线AC的斜率k1，解得a1；

综上，满足条件的a1. 本题选择D选项.

点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．

8．222

uuuruuuruuurruuuruuuruuur【解析】由OA2aOBbOC0可得， OA2aOBbOC，根据A、B、C三点共线可得2ab1，

且a0,b0，所以

2aba2ba2baa2b2b2a2b112222，所以最小值为

a2b1ba2b2abba2bab222，故填222.

点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应

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用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造2ab1，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式. 9．A

34a3b02【解析】由题意知fx3x4ax3b0有两根分别在1,0与0,1内，所以{b0 ，

34a3b0画出可行域，利用线性规划可得10．C

【解析】由题意得F1,0，即为圆的圆心，准线方程为x1。 由抛物线的定义得AFxA1，

332ab，故选A. 2211，所以ABxA。 221同理CDxD。

2又AFAB①当直线l与x轴垂直时，则有xAxD1， ∴AB4CD33154。 222 ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为ykx1， 由{ykx1y4x2 消去y整理得k2x22k24xk20，

2k24∴xAxD1,xAxD，

k2∴AB4CDxA4xD综上可得AB4CD551324xAxD，当且仅当xA4xD时等号成立。 22213。选C。 2点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件。 11．D 【解析】由题意可画出y=f(x)的图像如图，f(0)=1,f(2)=1，注意y=1是图像的一条渐近线，令t=f(x),

t2atb0b0,由图像可知，

当0t1时,方程f(x)=t 有4个解，

当1t2和t0时，方程f(x)=t 有2个解， 当t2时，方程f(x)=t 有1个解， 当t=1时，方程f(x)=t 有3个解 当t<0时，方程f(x)=t 有0个解 复合方程有6个根，一定是4+2，

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2即tatb0b0，的两个根分别在0t11,1t22，

g0b02令gttatbb0，所以{g11ab0

g242ab0

其对应的平面区域如下图所示：

故当a=3，b=2时，3a+b取最大值11， 当a=1，b=0时，3a+b取最小值3， 则3a+b的取值范围是(3,11) 故选：D.

点睛：本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键；先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，同时利用函数fx的图象结合数形结合思想及一元二次函数根的分布问题，确定a，b的取值范围. 12．B

【解析】由题意，当长方体𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1的体积𝑥𝑥⋅𝑥𝑥1⋅𝑥𝑥=4𝑥𝑥⋅𝑥𝑥1≤

4×

(𝑥𝑥+𝑥𝑥1)24=64 ，当𝑥𝑥=𝑥𝑥1=4时最大，此时长方体𝑥𝑥𝑥𝑥−𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1为棱长为4的

1正方体，𝑥的轨迹是平面𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1中，以𝑥1为圆心，√5为半径的圆的4，设𝑥在平面𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1中的射影为𝑥，则𝑥为𝑥1𝑥1的中点，𝑥𝑥的最小值为√5，∴线段𝑥𝑥的最小值是√16+5=√21，故选B. 13．D

【解析】由原不等式得： xax10，当a1时，解得ax1，因为解集中恰有3个整数，所以3a2，当a1时，解得1xa，因为解集中恰有3个整数，所以4a5，综上

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a3,24,5，故选D．

14．A

【解析】因为定义域为R，所以kx26kxk80恒成立，当k0时显然成立，当k0时，

{k036k24kk801 2 解得0k1，综上0k1，故选A．

15．【解析】由题意可得m0

令mx1x10一根为1，一根为2

2m10

1m

216．,2

54【解析】

如图，先画出可行域，化简

xy2y1 1x3x34，当取到2，65其几何意义表示可行域内的点与31当取到2，，0点时取到最小值两点连线的斜率，点时取到最大值2 故取值范围是,2

54点睛：本题考查了线性规划求范围问题，先画出可行域，将问题进行化简，转化为求两点连线的斜率问题，结合图形就可以求得范围，本题重点是转化为几何意义 17．22 3析

】

【解

由题，

2x21y221y12y112x xy1xy121111（2xy1）（）21（），

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111111y12x（）（2xy1）（3）而

xy13xy13xy11121y12x1y12x212， 即，当且仅当1（）1（2）12，xy133xy13xy13y12x31，即x,y时取等号 xy1422x21y2211221（）1（12）2 ， 则xy1xy133故答案为18．

22． 33 3， sinB2cos2Asin2AcosB，

【解析】Qsin2AcosBcos2AsinB2sinBtanBsin2Asin2AcosA2tanA,Q若tanA0，则tanB0,A,B均为钝角，不可

2cos2A3sin2Acos2A3tanA212tanA333， 的最大值为，故答案为. tanB3tanA21333能，故tanA0,tanB19．

322 5uuuuv1uuuv2uuuuvuuuvuuuvuuuv1uuuv同理由C，M，B三点共线可得存在实数m，使得OMmOB （1m）OCtOB（1m）OA，3【解析】由A ，M，D三点共线可得存在实数t，使得OMtOA（1t）ODtOM（1t）OB，uuuuvuuuvuuuv25{ ，解得{，

11t＝1t＝m52t＝11m3m＝uuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuuv2uuuv1uuuvOMOBOA ，设OMxOEyOFxOAyOB

551125 { ，可得5，2y＝5x＝212112322 ，当且仅当时取等号即 （）（12）555文案大全

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的最小值为

322． 5即答案为20．5

322 5uuuvvvvv【解析】∵m1，1，n1，1，由OPmnx，y，，∴将x，

y

xy20，10，，代入{x40， 得{40， 画出其对应的可行域，则可用斜率的几何意义求得

y0，0，的最大值为3，∴

2122的最大值为5． 21．−2＜𝑥≤−1或≤𝑥＜1

【解析】当𝑥≥2 时，𝑥𝑥=𝑥𝑥−𝑥𝑥−1=

𝑥整理得𝑥=

(𝑥+1)𝑥𝑥2−

𝑥𝑥𝑥2−1，

𝑥𝑥𝑥−1𝑥−1 ，又𝑥1=1 ，故𝑥𝑥=𝑥，

不等式𝑥𝑥2−𝑥𝑥𝑥−2𝑥2≤0 可化为𝑥2−𝑥𝑥−2𝑥2≤0 ， 设𝑥（𝑥）=𝑥2−𝑥𝑥−2𝑥2， 由于𝑥（0）=−2𝑥2 ， 由题意可得{

𝑥(2)＝4−2𝑥−2𝑥2＞01𝑥(1)＝1−𝑥−2𝑥2≤0

，

解得−2＜𝑥≤−1 或2≤𝑥＜1． 故答案为：-−2＜𝑥≤−1 或≤𝑥＜112文案大全

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