专题13.算术平均数与几何平均数

一、知识回顾

a2b2ab1.几个重要的不等式： ① ab≤≤2

22.最值定理：当两个正数的和为定值时积有最大值；当两个正数的积为定值，其和有最小值。

3.利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”．

4.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等. 25.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对勾”函数）. 二、例题分析

例1．求下列函数的最值：

1y1x3xx3； 2y2x1x1x1；

（4）yxx23x5x22x4(x0) （4）yx1(x1)

（5）y2x11x23x4x26x5(x2) （5）求函数y5x1的值域。

例2．1若ab0, 求a216的最小值b(ab)为 。

2（2010四川文数）设a＞b＞0，则a211abaab的最小值是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

3（2010四川理数）设abc0，则2a21ab1a(ab)10ac25c2的最小值是（

1

） （A）2 （B）4 （C） 25 （D）5

例3．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为（λ＜1)，画面的上、下各留

8cm空白，左、右各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?

例4．（1）已知正数x,y满足x2y1，求

11的最小值。 xy解:  x、y0 ，x2y22xy0------------①，

又

111120-------------------------------------② xyxy1x111)22xy242 yxy1111又x2y1，42，因此()min42 xyxy①与②相乘得(x2y)(判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．

（1） 已知a,b,x,yR（a,b为常数），

ab1，求xy的最小值 xy（2）若正数x、y满足xyxy3，求xy的最小值。 （3）若正数x、y满足2x8yxy0，求xy的最小值。

例4．1设x0，y0，且

xy(xy)1，则（ ）

A.xy222 B.xy222 C. xy21 D. xy221

22（2010重庆理数）已知x0,y0,x2y2xy8，则x2y的最小值是（ ）

A. 3 B. 4 C.

911 D. 222

三、强化练习

1．(05福建文)下列结论正确的是

A.当x0且x1时，则lgx12 B.当x0时，x1lgxx2

C.当x≥2时，x1x的最小值为2 D.当0x2时，x1x无最大值 2．下列函数中，y的最小值为4的是（ ） A.yx4xB.y2(x23) C.x22yex4ex D.ysinx4sinx(0x) 3．已知a1那么a1a1的最小值是（ ）

A. 2aa1 B. 51 C. 3 D. 2 4．（09内江二中）已知x0,y0,lg2xlg8ylg2，则

1x13y的最小值是（ ） A.2 B.22 C.4

D.23

5．已知实数x,y满足x2y21,则1xy1xy的最小值和最大值分别为（ ）

A.

12，1 B. 34，1 C. 132，4 D. 1，无最大值 6．已知3x0，则yx9x2的最小值为 （ ） A.92 B. 92 C.32 D.12 7．（07辽宁）已知不等式xy1a≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为（xyA.2 B.4 C.6 D.8

8．（05重庆）若x,y是正数，则(x12y)2(y12x)2的最小值是 （ ） A.3 B.

72 C. 4 D.92 9．若a0,b0，且2ab1，则s2ab4a2b2的最大值是（ ） A.212 B.21 C.212 D.21

10．（06重庆文）若a,b,c0且a22ab2ac4bc12，则abc的最小值是

A.23 B.3 C.2 D.3 11．（06重庆）若a,b,c0且aabcbc423,则2abc的最小值为

A.31 B.31 C.232 D. 232

3

） 12．（2010年山东）若对于任意的x0，

xa恒成立，则a的取值范围为 。

x23x113．（2010浙江文数）若正实数x,y 满足2xy6xy ， 则xy的最小值是 。 14．（2010山东文数）已知x,yR，且满足

xy1，则xy的最大值为 . 3415．（2010辽宁理数）（16）已知数列an满足a133,an1an2n,则16．已知正数a、b满足3abab1,则ab的最大值是__________.

an的最小值为__________. n17．若a是正实数，2a3b10，则a2b2的最大值是__________. 18．要使不等式x22ykxy对所有正数x,y都成立，试问k的最小值是__________.

19．（07山东）函数yloga(x3)1（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mxny1012的最小值为__________. mn122tantan2221． 0，由不等式tan≥2，tan≥3，

2tantan222tan2上，其中mn0，则

33tantantan33tan≥4，„，启发我们得到推广结论：

333tan3tan3a*tan≥n1nN，则a__________. ntan22．当n2时，求证：logn(n1)logn(n1)1．

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