《易错题》初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典复习题(专题培优)(1)

一、选择题

1．如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（ ）

A．1 C．3 解析：C 【分析】

B．2 D．4C

过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离． 【详解】

如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.

∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD ∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝

1111AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝22221×OD×8＝12 2OD=3

故选：C 【点睛】

此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．

2．已知如图，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（ ）

A．BD+ED＝BC 解析：B 【分析】

B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞ADB

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DC，然后利用AAS证明△ACD≌△AED，再对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】

解：∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC， ∴DE＝DC，

A、BD+ED＝BD+DC＝BC，故本选项正确；

DACDAE在△ACD与△AED中，ACDAED90，

ADAD∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴∠ADC＝∠ADE，

∴AD平分∠EDC，故C选项正确；

但∠ADE与∠BDE不一定相等，故B选项错误； D、∵△ACD≌△AED， ∴AE＝AC，

∴ED+AC＝ED+AE＞AD（三角形任意两边之和大于第三边），故本选项正确． 故选：B． 【点睛】

本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，证明

△ACD≌△AED是解题的关键．

3．如图，在ABC中，C90，AD是BAC的角平分线，E是边AB上一点，若

CD6，则DE的长可以是（ ）

A．1 解析：D 【分析】

B．3 C．5 D．7D

过点D作DFAB于点F，根据角平分线的性质定理得CDDF6，而DE的长一定

是大于等于点D到AB的距离也就是DF的长，即可得出结果． 【详解】

解：如图，过点D作DFAB于点F，

∵AD平分BAC，DFAB，C90， ∴CDDF6， ∵DEDF，

∴DE6，则只有D选项符合． 故选：D． 【点睛】

本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 4．下列说法不正确的是（ ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．有两角及一边对应相等的两个三角形全等

D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等B 解析：B 【分析】

直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA是不能判定三角形全等的. 【详解】

解：A，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；

B，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；

C，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA或AAS判定全等，故本选项正确；

D，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确． 故选：B 【点睛】

此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、

ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全

等．

5．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=2，△ABC的面积是（ ）

A．20 解析：A 【分析】

B．24 C．32 D．40A

连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F；然后利用角平分线定理可得OF=OE=DO=2,然后用S△ABC=S△AOC+S△OBC+S△ABO求解即可． 【详解】

解：如图:连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F,

∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OD=OE,OF=OD,即OF=OE=DO=2, ∴S△ABC==

111×2AC+×2BC +×2AB 2221×2（AC+BC+AB） 2= AC+BC+AB

=20． 故答案为A． 【点睛】

本题主要考查了角平分线定理，正确作出辅助线、利用角平分线定理得到OF=OE=DO=2是解答本题的关键．

6．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：

①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（ ）

A．①②③ 解析：D 【分析】

B．①③④ C．①②④ D．①②③④D

易证ABD≌EBC，可得BCEBDA，AD=EC可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAEDCE ，即③正确，根据③可判断④正确； 【详解】

∵ BD为∠ABC的角平分线， ∴ ∠ABD=∠CBD，

∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA， ∴△ABD≌EBC(SAS)，故①正确； ∵ BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA， ∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE=∠BDA，

∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， 故②正确；

∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE， ∴△ACE是等腰三角形， ∴AE=EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD=EC， ∴AD=AE=EC， 故③正确；

作EG⊥BC，垂足为G，如图所示： ∵ E是BD上的点，∴EF=EG， 在△BEG和△BEF中∴ △BEG≌△BEF， ∴BG=BF，

BEBE

EFEGEFEG 在△CEG和△AFE中AECE∴△CEG≌△AFE， ∴ AF=CG，

∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF， 故④正确； 故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键； 7．如图所示，已知∠A＝∠C，∠AFD＝∠CEB，那么给出的条件不能得到

△ADF≌△CBE是（ ）

A．∠B＝∠D 解析：A 【分析】

B．EB=DF C．AD=BC D．AE=CFA

直接利用全等三角形的判定方法进行判断即可；三角形全等的证明方法有：SSS、SAS、AAS、ASA； 【详解】

A∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，∠B=∠D，三个角相等，不能判定三角形全等，该选项不符合题意；

B∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，EB=DF，符合AAS的判定，该选项符合题意； C∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，AD=BC，符合AAS的判定，该选项符合题意； D∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，AE=CF，∴AF=CE，符合ASA的判定，该选项符合题意； 故选：A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定方法，正确掌握判定方法是解题的关键； 8．下列命题，真命题是（ ） A．全等三角形的面积相等 B．面积相等的两个三角形全等 C．两个角对应相等的两个三角形全等

D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A 解析：A 【分析】

根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】

解：A、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题； B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；

C、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题； D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题； 故选：A． 【点睛】

本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键． 9．如图，要判定△ABD≌△ACD，已知AB＝AC，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）

A．CD⊥AD，BD⊥AD B．CD＝BD 解析：C 【分析】

C．∠1＝∠2 D．∠CAD＝∠BADC

在△ACD和△ABD中，AD=AD，AB=AC，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可． 【详解】

解：添加A选项中条件可用HL判定两个三角形全等，故选项A不符合题意； 添加B选项中的条件可用SSS判定两个三角形全等，故选项B不符合题意；

添加C选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA，结合已知条件不SS判定两个三角形全等，故选项C符合题意；

添加D选项中的条件可用SAS判定两个三角形全等，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，判断直角三角形全等的方法：“HL”．

10．如图，AD是ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且

DEDF，连结BF，CE．下列说法：①CEBF；②△ACE和△CDE面积相；

③BF//CE；④BDF≌CDE．其中正确的有（ ）

A．1个 解析：C 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个C

根据“SAS”可证明△CDE≌△BDF，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于AE和DE不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠ECD=∠FBD，则利用平行线的判定方法可对③进行判断； 【详解】

∵ AD是△ABC的中线， ∴ CD=BD，

∵ DE=DF，∠CDE=∠BDF，

∴ △CDE≌△BDF(SAS)，所以④正确； ∴ CE=BF，所以①正确； ∵ AE与DE不能确定相等，

∴ △ACE和△CDE面积不一定相等，所以②错误； ∵ △CDE≌△BDF， ∴∠ECD=∠FBD， ∴BF∥CE，所以③正确； 故选：C． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积 ，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．

二、填空题

11．如图，在ABC中，AB=6，AC=4，点D，E分别在边AB，AC上，

BDAECE2，CE//AB交DE的延长线于点F，则CF的长为_____________．

4【分析】根据ASA证明△ADE≌△CFE得CF=AD再

求出AD的长即可【详解】解：∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE在△ADE和△CFE中∴△ADE≌△CFE∴

解析：4 【分析】

根据ASA证明△ADE≌△CFE得CF=AD，再求出AD的长即可． 【详解】 解：∵AB=6，BD=2 ∴AD=AB-BD=6-2=4 ∵CE//AB ∴∠BAC=∠FCE， 在△ADE和△CFE中

BACFCE AECEAEDCEF∴△ADE≌△CFE ∴CF=AD=4． 故答案为：4． 【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE≌△CFE是解答此题的关键． 12．如图，已知AD//BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分DAB，CBA．若

AE3cm，BE4cm，则四边形ABCD的面积是________．

【分析】如图延长AEBC交于点M通过条件证明再证明可知即

可求解出结果【详解】解：如图延长AEBC交于点MAE平分又BE平分BE=BE故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的综合问题需要熟练掌握全等三角 解析：12cm2

【分析】

如图，延长AE，BC交于点M，通过条件证明ABEMBEAAS，再证明

ADEMCEASA，可知S【详解】

ADESMCE，S四边形ABCD=2SABE即可求解出结果．

解：如图，延长AE，BC交于点M， AE平分DAB，

BAEDAE， AD//BC，

AD//BM，

BAEDAECME，又

BE平分CBA， ABEMBE，BAECME，ABEMBE，BE=BE，

ABEMBEAAS，

BEABEM90，AEME，

DAECME，AEME，AEDMEC，

ADEMCEASA，

SADESMCE，

AE3cm，BE4cm， S四边形ABCD=SABM=2SABE123412cm2，

2故答案为：12cm2．

【点睛】

本题考查全等三角形的综合问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能根据条件和图像做出合适的辅助线是解决本题的关键．

13．如图，在Rt△ABC中，C90，AC10，BC5，线段PQAB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AD上运动，当AQ______时，

ABC和△PQA全等．

5或10【分析】分两种情况：当AQ=5时当AQ=10时利

用全等三角形的判定及性质定理得到结论【详解】分两种情况：当AQ=5时∵∴AQ=BC∵AD⊥AC∴∠QAP=∠ACB=∵AB=PQ∴≌△PQA（

解析：5或10 【分析】

分两种情况：当AQ=5时，当AQ=10时，利用全等三角形的判定及性质定理得到结论． 【详解】 分两种情况： 当AQ=5时， ∵BC5， ∴AQ=BC， ∵AD⊥AC，

∴∠QAP=∠ACB=90， ∵AB=PQ，

ABC≌△PQA（HL）； 当AQ=10时， ∵AC10， ∴AQ=AC， ∵AD⊥AC，

∴∠QAP=∠ACB=90， ∵AB=PQ，

∴△ABC≌△QPA， 故答案为：5或10． 【点睛】

∴

此题考查全等三角形的判定及性质定理，运用分类思想，动点问题，熟记三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．

14．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8 cm，AC＝6 cm，S△ABD∶S△ACD＝________．

4:3【分析】利用角平分线的性质可得出△ABD的边AB上的高与

△ACD的边AC的高相等根据三角形的面积公式即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比；【详解】∵AD是△ABC的角平分线∴设△

解析：4:3 【分析】

利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的边AC的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比； 【详解】

∵ AD是△ABC的角平分线，

∴ 设△ABD的边AB上的高与△ACD的边AC的高分别为h1，h2， ∴ h1=h2，

∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=8：6=4：3， 故答案为：4：3．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键；

15．如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝35°，∠C＝25°，则∠B'＝_____．

120°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B根据全等

三角形的性质得出∠B=∠B′即可【详解】解：∵△ABC∠A＝35°∠C＝25°∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣25°﹣35°＝120°∵△

解析：120° 【分析】

根据三角形内角和定理求出∠B，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可． 【详解】

解：∵△ABC，∠A＝35°，∠C＝25°，

∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣25°﹣35°＝120°， ∵△ABC≌△A'B'C'， ∴∠B＝∠B′＝120°， 故答案为：120°． 【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

16．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点P，已知AD＝AE．若△ABE≌△ACD，则可添加的条件为_____．

AB＝AC或∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（答案不唯一）【分析】

根据全等三角形的判定定理（SASASAAASSSS）即可得出答案【详解】解：添加条件：AB＝AC在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△A

解析：AB＝AC或∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（答案不唯一） 【分析】

根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）即可得出答案．

【详解】

解：添加条件：AB＝AC， 在△ABE和△ACD中，

ABAC

AA， AEAD

∴△ABE≌△ACD（SAS）； 添加条件：∠B＝∠C， 在△ABE和△ACD中，

BC

AA， AEAD

∴△ABE≌△ACD（AAS）； 添加条件：∠AEB＝∠ADC， 在△ABE和△ACD中，

AEBADC， AEADAA∴△ABE≌△ACD（ASA）；

故答案为：AB＝AC或∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（答案不唯一）． 【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

17．如图，AB9cm，AC3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点B向点A运动，同时点Q在射线BD上以xcm/s的速度由点B沿射线BD的方向运动，它们运动的时间为t（s）

（1）如图①，若ACAB，BDAB，当△ACP≌△BPQ，x________；

CPQ________．

（2）如图②，CABDBA，当△ACP与BPQ全等，x________；90°2或

【分析】（1）根据全等找出对应边利用BP边求得时间再在BQ边上求速度再运用全等三角形的性质即可证明角度；（2）结合条件对与全等时的情况进行分析分类讨论即可【详解】（1）当时又；（2）①当时

解析：90° 2或【分析】

（1）根据全等找出对应边，利用BP边求得时间，再在BQ边上求速度，再运用全等三角形的性质，即可证明角度；

（2）结合条件，对△ACP与BPQ全等时的情况进行分析，分类讨论即可． 【详解】

（1）当△ACP≌△BPQ时，ACPB3，APBQ936cm，

2 3t3cm6cm3s，x2cm/s，

1cm/s3s又CPAPQB，PQBQPB90，

CPAQPB90， CPQ18090；

（2）①当△ACP≌△BPQ时，

ACBP3，APBQ936，

此时，t3cm6cm3s，x2cm/s；

1cm/s3s9， 2②当△ACP≌△BQP时，

ACBQ3，APBP3cm29xcm/scm99此时，，；

t2ss31cm/s22综上：当△ACP与BPQ全等，x2cm/s或【点睛】

本题考查了全等三角形的性质及判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 18．如图，ABC中，ACB90，AC8cm,BC6cm，直线l经过点C且与边

2cm/s． 3AB相交，动点P从点A出发沿ACB路径向终点B运动，动点Q从点B出发沿BCA路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PMl于点M，QNl点N，设运动时间为t秒，则当t__________秒时，△PMC与QNC全

等．

2或【分析】分点Q在BC上和点Q在AC上根据全等三角

形的性质分情况列式计算【详解】由题意得AP＝3tBQ＝2tAC＝8cmBC＝6cmCP＝8﹣3tCQ＝6﹣2t①如图当与全等时PC=QC解得；②如

解析：2或【分析】

分点Q在BC上和点Q在AC上，根据全等三角形的性质分情况列式计算． 【详解】

由题意得，AP＝3t，BQ＝2t， AC＝8cm，BC＝6cm，

14． 5 CP＝8﹣3t，CQ＝6﹣2t，

①如图，当△PMC与QNC全等时，PC=QC，

62t83t，解得t2；

②如图，当△PMC与QNC全等时，点P已运动至BC上，且与点Q相遇， 则PC=QC，62t3t8，解得t14； 5

故答案为：2或【点睛】

14． 5本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解决问题的关键． 19．ABC中，AB4，AC6， 则第三边BC边上的中线m的取值范围是______．【分析】如图延长AD至点E使得DE=AD可证△ABD≌△CDE可得

AB=CEAD=DE在△ACE中根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围即可解题【详解】解：延长AD至点E使得DE=AD∵点D是BC 解析：1a5

【分析】

如图延长AD至点E，使得DE=AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题． 【详解】

解：延长AD至点E，使得DE=AD，

∵点D是BC的中点， ∴BD=CD

在△ABD和△CDE中，

AD＝DEADB＝CDE， BD＝CD∴△ABD≌△CDE（SAS）， ∴AB=CE，

∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，即：AC-AB＜AE＜AC+AB，

∴2＜AE＜10， ∴1＜AD＜5． 故答案为：1＜AD＜5． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．

20．如图，ABC中，ACB90,AC6cm,BC8cm，点P从点A出发沿AC路径向终点C运动.点Q从B点出发沿BCA路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒

1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PEl于E,QFl于F．则点P运动时间为_______________时，

PEC与QFC全等．

或【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论

通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确

解析：1或【分析】

对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果； 【详解】 如图1所示：

7 2

PEC与QFC全等，

PCQC，

6t83t，

解得:t1； 如图2所示：

点P与点Q重合， PEC与QFC全等，

6t3t8，

解得:t7； 2故答案为:1或【点睛】

7． 2本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．

三、解答题

21．如图，在ABC中，C90,点D在BC上，过点D作DEAB于点E,点F是

AC边上一点，连接DF．若BDDF,CFEB，求证：AD平分BAC．

解析：证明见解析 【分析】

由已知可得RT△DCF≌RT△DEB，从而得到DC=DE，又由已知可得DC⊥AC，DE⊥AB，所以由角平分线的判定定理即可得解． 【详解】

证明：由题意可得，在RtDCF和RtDEB中，

CFEB BDDFRtDCFRtDEB，

DCDE C90, DCAC,

DEAB,

AD平分BAC． 【点睛】

本题考查角平分线与直角三角形的综合运用，熟练掌握角平分线的判定与直角三角形的判定和性质是解题关键．

22．如图，已知在ABC中，ABAC，BAC90，别过B、C两点向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．求证：EFBECF．

解析：见解析 【分析】

证明△BEA≌△AFC，得到AE=CF，BE=AF，即可得到结论． 【详解】 证明：

BEEA，CFAF，

BACBEAAFC90，

EABCAF90，EBAEAB90， CAFEBA，

在△ABE和△AFC中， BEAAFCEBACAF， ABAC△BEA≌△AFC(AAS)．

∴AE=CF，BEAF．

EFAFAEBECF．

．

【点睛】

此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．

23．如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB＝CE，AC＝CD．判断AC和CD的关系并说明理由．

解析：AC⊥CD，理由见解析 【分析】

根据条件证明△ABC≌△CED就得出∠ACD=90°，则可以得出AC⊥CD． 【详解】 解：AC⊥CD．

理由：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴∠B＝∠E＝90°． 在Rt△ABC和Rt△CED中，

ABCE， ACCD∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL）， ∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D． ∵∠A+∠ACB＝90°， ∴∠DCE+∠ACB＝90°． ∵∠DCE+∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝90°， ∴AC⊥CD． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

24．如图，已知：AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE，试说明：∠1＝∠2．

解析：详见解析 【分析】

先利用SSS证明△AB≌和△ADE，得到∠B=∠ADE，根据AB=AD，证得∠B=∠ADB，再利用∠1+∠B+∠ADB=180，∠2+∠ADB+∠ADE=180，即可推出∠1=∠2．

【详解】

在△ABC和△ADE中，

ABAD

BCDE, ACAE

∴△ABC≌△ADE(SSS)， ∴∠B=∠ADE， ∵AB=AD， ∴∠B=∠ADB，

∵∠1+∠B+∠ADB=180，∠2+∠ADB+∠ADE=180， ∴∠1=∠2． 【点睛】

此题考查全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．

25．如图，ABCB，DCCB，点E、F在BC上，BECF，再添加一个什么条件后可推出AFDE，写出添加的条件并完成证明．

解析：添加AB=CD；证明见解析． 【分析】

根据线段的和差关系可得BF=CE，故添加AB=CD即可利用SAS证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质即可得出AF=DE． 【详解】

可添加AB=CD，理由如下： ∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE， ∵ABCB，DCCB， ∴∠B=∠C=90°，

ABCD在△ABF和△DCE中，BC，

BFCE∴△ABF≌△DCE， ∴AF=DE． 【点睛】

本题考查全等三角形的判断与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL

等；注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当判定方法是解题关键．

26．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；

（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并说明理由．

解析：（1）证明见详解；（2）BE=CM，证明见详解； 【分析】

（1）首先根据点D是AB的中点，∠ACB=90° ，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；

（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM； 【详解】

（1）∵点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°， ∴ CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°， ∴ ∠CAD=∠CBD=45°， ∴∠CAE=∠BCG， 又∵BF⊥CE， ∴∠CBG+∠BCF=90°， 又∵∠ACE+∠BCF=90°， ∴∠ACE=∠CBG， 在△AEC和△CGB中，

∠CAE=∠BCG AC=BC∠ACE=∠CBG∴△AEC≌△CGB(ASA)， ∴AE=CG； （2）BE=CM， ∵CH⊥HM，CD⊥ED， ∴∠CMA+∠MCH=90°，

∠BEC+∠MCH=90°， ∴∠CMA=∠BEC， 又∵∠ACM=∠CBE=45°， 在△BCE和△CAM中，

∠BEC=∠CMA∠CBE=∠ACM ， BC=AC∴△BCE≌△CAM(AAS)， ∴ BE=CM． 【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS）和全等三角形的性质是解题的关键；

27．如图，E、A、C三点共线，AB//CD，BE，ACCD．求证：

BCED．

解析：证明见解析 【分析】

利用AAS证明△ABC≌△CED即可得到结论． 【详解】

证明：∵AB//CD， ∴BACECD， 在ABC和CED中

BACECD， BEACCD∴△ABC≌△CED(AAS)， ∴BCED． 【点睛】

此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理及根据已知题意确定两个三角形对应相等的条件是解题的关键．

28．如图，在平面直角坐标系中，已知点Aa1,ab，Ba,0，且

ab3a2b0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰三角形

2ACD，使ADAC，CADOAB，直线DB交y轴于点P．

（1）求证：AOAB； （2）求证：AOC≌ABD；

（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？

解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析． 【分析】

（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，作AE⊥OB于点E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根据全等三角形的性质即可得出结论；

（2）先根据∠CAD=∠OAB，得出∠OAC=∠BAD，再由SAS定理即可得出结论； （3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP的长度不变，故可得出结论． 【详解】

（1）证明：∵ab3a2b0，

2ab30,a2,∴解得

a2b0,b1.∴A1,3，B2,0． 作AEOB于点E， ∵A1,3，B2,0，

∴OE1，BE211，在AEO与AEB中，

AEAE,∵AEOAEB90, OEBE,∴AEO≌AEB， ∴OAAB．

（2）证明：∵CADOAB，

∴CAD∠BACOAB∠BAC，即OACBAD． 在AOC与ABD中，

OAAB,∵OACBAD, ACAD,∴AOC≌ABD．

（3）解：点P在y轴上的位置不发生改变．理由：设AOB． ∵OAAB，

∴AOBABO． 由（2）知，AOC≌ABD， ∴ABDAOB．

∵OB2，OBP180ABOABD1802为定值，POB90，易知

POB形状、大小确定，

∴OP长度不变，

∴点P在y轴上的位置不发生改变． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．