直线与方程
一．选择题（共18小题） 1．（2004•黑龙江）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ） A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条
2．设直线l：x+y=0，若点A（a，0），B（﹣2b，4ab）（a＞0，b＞0）满足条件AB∥l，则的最小值为（ ） A． B．
C． D．
3．设直线x+my+n=0的倾角为θ，则它关于x轴对称的直线的倾角是（ ）
A． θ B． C． π﹣θ
D．
4．已知，，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ A．
B．
C． D．
5．将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角为（ ）
A． 3 0° B．6 0° C．1 20° D．1 50°
6．已知点 A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是（ A． k≥k≤﹣4 B． ﹣4≤k≤ C． k＜ D．
≤k≤4
7．三条直线l1：x﹣y=0，l2：x+y﹣2=0，l3：5x﹣ky﹣15=0构成一个三角形，则k的取值范围是（ ） A． k∈R B． k∈R且k≠±1，k≠0 C． k∈R且k≠±5，k≠﹣10 D． k∈R且k≠±5，k≠1
8．“m=﹣2”是“直线（m+1）x+y﹣2=0与直线mx+（2m+2）y+1=0相互垂直”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
）
）
9．以下四个命题：
①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线． 其中正确的命题是（ ） A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ①和④
10．下列命题中正确的是（ ） A． 经过点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示 B． 经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示 C． 经过任意两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）=（y2﹣y1）（x﹣x1）表
示 D．
不经过原点的直线都可以用方程表示
11．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A． 3x﹣2y=0 B． x+y﹣5=0 C． 3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D． 2x﹣3y=0或x+y﹣5=0
12．过点P（5，﹣2），且与直线x﹣y+5=0相交成45°角的直线l的方程是（ ） A． y=﹣2 B． y=2，x=5 C． x=5 D． y=﹣2，x=5
13．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（ ） A． 垂直 B． 平行 C． 重合 D． 相交但不垂直
14．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=﹣2x+4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（ ） A． B． k＜2 C． D．
k＞﹣ ﹣＜k＜2 k＜﹣或k＞2
15．已知点A（﹣1，﹣2），B（2，3），若直线l：x+y﹣c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是（ ） A． [﹣3，5] B． [﹣5，3] C． [3，5] D． [﹣5，﹣3]
16．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），直线l：λx﹣4y+4﹣λ=0与线段AB恒有公共点，则λ的取值范围是（ ） A． λ≥3或λ≤﹣16 B． C． ﹣16≤λ≤3 D．3 ≤λ≤16
或λ≤﹣4
17．点P在直线3x+y﹣5=0上，且点P到直线x﹣y﹣1=0的距离为，则P点坐标为（ ） A． （1，2） B． （2，1） C． （1，2）或（2，﹣1） D． （2，1）或（﹣2，1）
18．△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（ ） A． 5 B． 4 C． 10 D． 8
二．填空题（共6小题） 19．（2008•上海）已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设Pi是li（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是 _________ ．
20．已知直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是 _________ ． 21．对平面上两点A（﹣4，1），B（3，﹣1），直线y=kx+2与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是 _________ ．
22．若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与经过点（﹣2，1），斜率为﹣的直线垂直，则实数a的值为 _________ ．
23．直线2x﹣y﹣4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转45°，所得的直线方程是 _________ ．
24．已知直线l：kx+y﹣k+2=0和两点A（3，0），B（0，1），下列命题正确的是 _________ （填上所有正确命题的序号）．
①直线l对任意实数k恒过点P（1，﹣2）；
②方程kx+y﹣k+2=0可以表示所有过点P（1，﹣2）的直线； ③当k=±1及k=2时直线l在坐标轴上的截距相等； ④若
，则直线（x0﹣1）（y+2）=（y0+2）（x﹣1）与直线AB及直线l都有公共点；
⑤使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是[﹣3，1]；
⑥使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．
三．解答题（共6小题）
25．（2011•番禺区）已知直线l夹在两条直线l1：3x+y﹣2=0和l2：x+5y+10=0之间的线段被点D（2，﹣3）平分，求直线l的方程．
26．已知定义在（0，+∞）上的函数是增函数
（1）求常数k的取值范围
（2）过点（1，0）的直线与f（x）（x∈（e，+∞））的图象有交点，求该直线的斜率的取值范围．
27．已知函数
，g（x）=x+a（a＞0）
（1）求a的值，使点M（f（x），g（x））到直线x+y﹣1=0的最短距离为（2）若不等式
；
在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．
28．在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．
29．一条直线经过点A（2，﹣3），它的倾斜角等于直线y=
x+1的倾斜角的2倍，求这条直线的方程．
30．直线l过点P（2，1），且分别与x，y轴的正半轴于A，B两点，O为原点． （1）求△AOB面积最小值时l的方程； （2）|PA|•|PB|取最小值时l的方程．
直线与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题） 1．（2004•黑龙江）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ） A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条
考点： 点到直线的距离公式。 专题： 作图题；转化思想。
分析： 由题意，A、B到直线距离是1和2，则以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可． 解答： 解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求．
故选B．
点评： 本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想，是基础题．
2．设直线l：x+y=0，若点A（a，0），B（﹣2b，4ab）（a＞0，b＞0）满足条件AB∥l，则的最小值为（ ） A． B． C． D．
考点： 函数的值域；斜率的计算公式。
分析： 由AB∥l可以找出a和b的关系，4ab=a+2b，故可采用消元法转化为某个变量的函数求最值． 解答： 解：由AB∥l得4ab=a+2b，故，因为a＞0，b＞0，故b＞，
所以a+b=当且仅当故
即b=
时“=”成立，
故选D
点评： 本题考查直线平行的条件、基本不等式求最值问题，解题中要注意创造性的利用基本不等式．
3．设直线x+my+n=0的倾角为θ，则它关于x轴对称的直线的倾角是（ ）
θ A． B． C． π﹣θ D．
考点： 直线的倾斜角。 专题： 阅读型。
分析： 直接利用对称性，求出直线关于x轴对称的直线的倾角即可． 解答： 解：如图：直线x+my+n=0的倾角为θ，
它关于x轴对称的直线的倾角是π﹣θ． 故选C．
点评： 本题考查直线的倾斜角，考查计算能力，是基础题． 4．已知，，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ A．
B．
C． D．
考点： 直线的斜率。 专题： 计算题。
分析： 由于直线l与线段AB有公共点，故直线l的斜率应介于OA，OB斜率之间． 解答：
解：由题意，，，
由于直线l与线段AB有公共点，所以直线l的斜率的取值范围是，
故选B．
点评： 本题主要考查直线的斜率公式，考查直线l与线段AB有公共点，应注意结合图象理解．
5．将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角为（ ）
A． 3 0° B．6 0° C．1 20° D．1 50°
考点： 直线的斜率。 专题： 计算题；作图题。
分析： 结合图象，由题意知直线l1l3互相垂直，不难推出l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角． 解答： 解：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，
注意到k1k3=﹣1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知， 直线l2到直线l3的角是30°， 故选A．
点评： 本题考查直线与直线所成的角，以及到角公式，是基础题．
6．已知点 A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是（ ）
）
A．
k≥
k≤﹣4
B．
﹣4≤k≤ C．
k＜
D．
≤k≤4
考点： 直线的斜率。 专题： 作图题。
分析： 根据题意在坐标系中画出线段AB，再根据直线斜率的计算公式可得：直线PA的斜率与直线PB的斜率，
进而转动直线l结合正切函数的图象可以得到答案．
解答： 解：根据题意在坐标系中画出线段AB，如图所示：
根据直线斜率的计算公式可得：直线PA的斜率k=
所以转动直线l，可以发现直线能够出现与x轴垂直的情况， 所以可得直线l的斜率k的取值范围是k≤﹣4或k≥． 故选A．
，直线PB的斜率k′==，
点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握直线斜率公式及斜率变化与倾斜角之间的关系，以及正切函数的图象，注
意在得到两个边界值时应该根据正切函数的图象得到斜率是去两边还是取中间，一般当倾斜角变化90°了就取两边，没有变化90°就取中间，此题属于基础题亦是易错题．
7．三条直线l1：x﹣y=0，l2：x+y﹣2=0，l3：5x﹣ky﹣15=0构成一个三角形，则k的取值范围是（ ） A． k∈R B． k∈R且k≠±1，k≠0 C． k∈R且k≠±5，k≠﹣10 D． k∈R且k≠±5，k≠1
考点： 两条直线平行的判定；直线的一般式方程。 专题： 计算题。
分析： 如果三条直线组不成三角形，则必存在平行线，或三条直线过同一点，由此求出不能构成三角形的条件再
求此条件的补集．
解答： 解：由l1∥l3得k=5，由l2∥l3得k=﹣5，
由得，
若（1，1）在l3上，则k=﹣10．
故若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠﹣10． 故选C．
点评： 本题考查两条直线平行的判定，直线的一般式方程，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题．
8．“m=﹣2”是“直线（m+1）x+y﹣2=0与直线mx+（2m+2）y+1=0相互垂直”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 两条直线垂直的判定。
分析： 先求两条直线有斜率垂直时m 的值，再求一条直线斜率不存在时m的值，判断充要条件即可． 解答： 解：因为直线（m+1）x+y﹣2=0与直线mx+（2m+2）y+1=0相互垂直，
所以斜率相乘等于﹣1，可得m=﹣2，
当直线mx+（2m+2）y+1=0没有斜率时，m=﹣1也符合． 故选A．
点评： 本题是对学生对概念理解是否全面的考查，垂直时不要忘了考虑直线是否存在斜率，是基础题．
9．以下四个命题：
①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线． 其中正确的命题是（ ） A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ①和④
考点： 两条直线垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定。
分析： 通过直线与平面垂直判断①；找出反例判定②；找出反例否定③；平面与平面垂直的性质判断④；推出
正确选项．
解答： 解：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，满足直线与平面垂直的条件，成立；
②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面，如果两点在平面两侧，不成立； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线，如果两条相交直线所在平面与已知平面垂直，射影则是一条直线，不正确；
④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．正确． 故选D．
点评： 本题考查两条直线垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，
考查逻辑推理能力，是基础题．
10．下列命题中正确的是（ ） A． 经过点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示 B． 经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示 C． 经过任意两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）=（y2﹣y1）（x﹣x1）表
示 D．
不经过原点的直线都可以用方程表示
考点： 直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；直线的两点式方程；直线的截距式方程。 专题： 综合题。
分析： A、B、D选项中都是有条件限制才能写出直线方程的，条件是斜率存在或与坐标轴的截距存在，C选项中
的方程不受限制只需两点坐标即可，得到正确答案．
解答： 解：A选项中过P0的方程为直线的点斜式方程，当直线与y轴平行即斜率不存在时例如x=5，就不能写成
此形式，此选项错；
B选项中过A点的直线方程为直线的斜截式方程，当直线与y轴平行时即斜率不存在时例如x=8，就不能写成此形式，此选项错；
C选项中过两点的方程为直线的两点式方程，不存在条件的限制，所以此选项正确； D选项中当直线与坐标轴平行时例如y=2，与x轴没有交点且不过原点，但是不能直线的截距式，此选项错． 故选C
点评： 此题考查学生掌握直线的点斜式、斜截式及截距式方程所满足的条件，会利用两点坐标过两点直线的两点
式方程，是一道中档题．
11．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A． 3x﹣2y=0 B． x+y﹣5=0 C． 3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D． 2x﹣3y=0或x+y﹣5=0
考点： 直线的截距式方程。 专题： 计算题；分类讨论。
分析： 分两种情况：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，把P的坐标代入即可求出k
的值，得到直线l的方程；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l的方程为x+y=a，把P的坐标代入即可求出a的值，得到直线l的方程．
解答： 解：①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx
把点P（2，3）代入方程，得：3=2k，即所以直线l的方程为：3x﹣2y=0；
②当直线在两坐标轴上的截距都不为0时， 设直线l的方程为：
把点P（2，3）代入方程，得：，即a=5
所以直线l的方程为：x+y﹣5=0． 故选C
点评： 本题题考查学生会利用待定系数法求直线的解析式，直线方程的截距式的应用，不要漏掉截距为0的情况
的考虑，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题
12．过点P（5，﹣2），且与直线x﹣y+5=0相交成45°角的直线l的方程是（ ） A． y=﹣2 B． y=2，x=5 C． x=5 D． y=﹣2，x=5
考点： 直线的一般式方程；恒过定点的直线。 专题： 计算题。
分析： 直线l的斜率存在时，利用夹角公式求出k，再用点斜式方程求出直线方程，斜率不存在时验证即可． 解答：
解：（1）若直线l的斜率存在，设为k，由题意，tan45°=，得k=0，所求l的直线方程为y=﹣2．
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=5，且与直线x﹣y+5=0相交成45°角． 故选D．
点评： 本题考查直线的一般式方程，是基础题．
13．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（ ） A． 垂直 B． 平行 C． 重合 D． 相交但不垂直
考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系。 专题： 计算题。
分析： 先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直． 解答： 解：两直线的斜率分别为
和 ，
△ABC中，由正弦定理得∴斜率之积等于
=2R，R为三角形的外接圆半径，
，故两直线垂直，
故选A．
点评： 本题考查由直线方程求出两直线的斜率，正弦定理得应用，两直线垂直的条件．
14．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=﹣2x+4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（ ） A． B． k＜2 C． D．
k＞﹣ ﹣＜k＜2 k＜﹣或k＞2
考点： 两条直线的交点坐标。 专题： 计算题。
分析： 直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于0，解不等式组即可． 解答：
解：由得，
由得
∴﹣＜k＜2．
故选C．
点评： 本题考查两条直线的交点坐标，考查计算能力，是基础题．
15．已知点A（﹣1，﹣2），B（2，3），若直线l：x+y﹣c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是（ ） A． [﹣3，5] B． [﹣5，3] C． [3，5] D． [﹣5，﹣3]
考点： 两条直线的交点坐标。 专题： 计算题。
分析： 确定直线在y轴上的截距，说明直线是平行直线系，代入A、B坐标，求出c的值，即可得到选项． 解答： 解：直线l在y轴上的截距是c，点A（﹣1，﹣2），B（2，3），若直线l：x+y﹣c=0与线段AB有公共点，
直线是平行线系，代入A、B两点， 可得c=﹣3，c=5，所以﹣3≤c≤5； 故选A．
点评： 本题是基础题，考查直线与线段的交点问题，直线的截距的应用，考查计算能力．
16．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），直线l：λx﹣4y+4﹣λ=0与线段AB恒有公共点，则λ的取值范围是（ ）
3≤λ≤16 A． λ≥3或λ≤﹣16 B． C． ﹣16≤λ≤3 D．
或λ≤﹣4
考点： 恒过定点的直线；直线的斜率。 专题： 计算题。
分析： 求出直线λx﹣4y+4﹣λ=0中，过的定点，然后求出A，B与定点的斜率，即可得到λ的取值范围． 解答：
解：直线l：λx﹣4y+4﹣λ=0经过M（1，1）定点，所以，，
所以直线：λx﹣4y+4﹣λ=0与线段AB恒有公共点， 它的斜率故选A．
≥，或
，解得λ≥3或λ≤﹣16．
点评： 此题考查学生掌握两直线交点的意义，直线的斜率的范围是解得本题的关键．考查计算能力．
17．点P在直线3x+y﹣5=0上，且点P到直线x﹣y﹣1=0的距离为，则P点坐标为（ ） A． （1，2） B． （2，1） C． （1，2）或（2，﹣1） D． （2，1）或（﹣2，1）
考点： 点到直线的距离公式。 专题： 计算题。
分析： 设出点P的坐标为（a，5﹣3a），利用点到直线的距离公式表示出P到已知直线的距离d，让d等于列出
关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，写出点P的坐标即可．
解答： 解：设P点坐标为（a，5﹣3a），
由题意知：=．
解之得a=1或a=2，
∴P点坐标为（1，2）或（2，﹣1）． 故选C．
点评： 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．此题的点P有两解，做题时不要漏
解．
18．△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（ ） A． 5 B． 4 C． 10 D． 8
考点： 三角形五心；两点间的距离公式。 专题： 计算题。
分析： 先根据中点坐标公式求出点B的坐标，然后根据重心坐标公式求出点C的坐标，最后利用两点的距离公式
求出BC的长．
解答： 解：设点B（x，y）
根据中点坐标公式可知3=解得：x=2，y=5∴B（2，5）
，2=
设点C（m，n），根据重心坐标公式可知4=，2=
解得：m=6，n=2∴C（6，2）， ∴根据两点的距离公式可知|BC|=5 故选A
点评： 本题主要考查了中点坐标公式、重心坐标公式以及两点间的距离公式，同时考查了计算能力，属于基础题．
二．填空题（共6小题）
19．（2008•上海）已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设Pi是li（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是
．
考点： 点到直线的距离公式。
专题： 计算题；综合题；函数思想；方程思想。
分析： 设出P1，P2，P3，求出P1到A，B两点的距离和最小时，P1坐标，求出P2，P3的坐标，然后再解三角形的
面积即可．
解答： 解：设P1（0，b），P2（a，0），P3（x0，y0）
由题设点P1到A，B两点的距离和为
显然当b=3即P1（0，3）时，点P1到A，B两点的距离和最小 同理P2（2，0），P3（1，0），所以故答案为：
点评： 本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题．
20．已知直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是 [2，+∞） ．
考点： 确定直线位置的几何要素。 专题： 计算题。
分析： 由已知中直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1不经过第二象限，我们分别讨论a﹣2=0（斜率不存在），a﹣2≠0（斜
率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a的取值，进而综合讨论结果，得到答案．
解答：
解：若a﹣2=0，即a=2时，直线方程可化为x=，此时直线不经过第二象限，满足条件；
若a﹣2≠0，直线方程可化为y=则
≥0，
≥0
x﹣，此时若直线不经过第二象限，
解得a＞0
综上满足条件的实数a的范围是[2，+∞） 故答案为：[2，+∞）
点评： 本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当k≥0且b≤0时，直线不
过第二象限得到关于a的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对a﹣2=0（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+∞）
21．对平面上两点A（﹣4，1），B（3，﹣1），直线y=kx+2与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是 （﹣∞，﹣1]∪[，+∞） ．
考点： 直线的斜率。 专题： 计算题。
分析： 求出直线y=kx+2过定点（0，2），再求它与两点A（﹣4，1），B（3，﹣1）的斜率，即可取得k的取值范
围．
解答：
解：直线y=kx+2过定点O（0，2），则KAO=，KOB=﹣1，
所以k的取值范围是：（﹣∞，﹣1]∪[，+∞） 故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）
点评： 本题考查直线的斜率，是基础题．
22．若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与经过点（﹣2，1），斜率为﹣的直线垂直，则实数a的值为 ﹣ ．
考点： 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。 专题： 计算题。
分析： 求出直线l的斜率，利用两条直线垂直斜率乘积为﹣1的关系，求出a的值即可． 解答：
解：直线l的斜率k==﹣（a≠0），
∴﹣•（﹣）=﹣1，∴a=﹣． 故答案为：﹣
点评： 本题是基础题，考查直线的垂直关系的应用，考查计算能力，送分题．
23．直线2x﹣y﹣4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转45°，所得的直线方程是 3x+y﹣6=0 ．
考点： 直线的一般式方程。 专题： 计算题。
分析： 求出直线的斜率，利用到角公式，求出所求直线的斜率，求出直线与x 轴的交点坐标，即可求出直线方程． 解答： 解：直线2x﹣y﹣4=0的斜率为2；
设所求直线的斜率为k，所以tan45°==1，所以k=﹣3，
直线2x﹣y﹣4=0与x轴的交点为（2，0）， 所以所求的直线方程：y=﹣3（x﹣2），即3x+y﹣6=0． 故答案为：3x+y﹣6=0．
点评： 本题是基础题，考查直线的旋转，到角公式的应用，考查计算能力．
24．已知直线l：kx+y﹣k+2=0和两点A（3，0），B（0，1），下列命题正确的是 ①④⑥ （填上所有正确命题的序号）．
①直线l对任意实数k恒过点P（1，﹣2）；
②方程kx+y﹣k+2=0可以表示所有过点P（1，﹣2）的直线； ③当k=±1及k=2时直线l在坐标轴上的截距相等； ④若
，则直线（x0﹣1）（y+2）=（y0+2）（x﹣1）与直线AB及直线l都有公共点；
⑤使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是[﹣3，1]；
⑥使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．
考点： 过两条直线交点的直线系方程；两条直线的交点坐标。
分析： 根据题意，依次分析命题：利用直线系方程可得①正确，通过举反例可得②不正确．通过给变量取特殊值
可得③不正确，由直线（x0﹣1）（y+2）=（y0+2）（x﹣1）过点M，P（两点式），即与直线AB有公共点M，与直线l有公共点P，可得 ④正确．直线l与线段AB有公共点时，数形结合易见，直线l应在直线PA到PB之间，而其间有斜率不存在的位置，故命题⑤不正确，命题⑥正确；综合可得答案．
解答： 解：①直线l方程为：y+2=﹣k（x﹣1），恒过点P（1，﹣2），故①正确．
②由于方程kx+y﹣k+2=0不能表示直线 x=1，故 ②不正确． ③当k=﹣1时直线l方程为 x﹣y﹣3=0，在坐标轴上的截距分别为3和﹣3，直线l在坐标轴上的截距相反，故③不正确．
④若，则点M（x0，y0）在直线AB上（截距式），又点P（1，﹣2）在直线l上，
而直线（x0﹣1）（y+2）=（y0+2）（x﹣1）过点M，P（两点式），即与直线AB有公共点M，与直线l有公
共点P，故④正确．
⑤⑥直线l与线段AB有公共点，不宜先解方程组再解不等式组（麻烦），数形结合易见，直线l应在直线PA到PB之间，而其间有斜率不存在的位置，故命题⑤不正确，命题⑥正确． 综上，答案为 ①④⑥．
点评： 本题考查过定点的直线系方程的特征，直线在坐标轴上的截距的定义，两直线的交点坐标的求法．
三．解答题（共6小题）
25．（2011•番禺区）已知直线l夹在两条直线l1：3x+y﹣2=0和l2：x+5y+10=0之间的线段被点D（2，﹣3）平分，求直线l的方程．
考点： 两条直线的交点坐标；中点坐标公式。 专题： 计算题。
分析： 设l与l1交点为A（x1，y1），与l2交点为B（x2，y2），通过D（2，﹣3）是AB中点，B（x2，y2）在l2
上，得到x2+5y2+10=0，
通过求出A的坐标，利用两点式方程求出l的一般形式方程．
解答： 解：设l与l1交点为A（x1，y1），与l2交点为B（x2，y2），
∵D（2，﹣3）是AB中点，
∴
=2，
=﹣3．
因此
B（x2，y2）在l2上，得x2+5y2+10=0， 即4﹣x1+5（﹣6﹣y1）+10=0．
由此得解之得
∴A（，﹣），又直线l过A、D两点，
=
．
所以直线方程为
化为一般形式得l的方程为4x﹣y﹣11=0．
点评： 本题考查直线的交点坐标的求法，直线方程的求法，考查计算能力．
26．已知定义在（0，+∞）上的函数是增函数
（1）求常数k的取值范围
（2）过点（1，0）的直线与f（x）（x∈（e，+∞））的图象有交点，求该直线的斜率的取值范围．
考点： 函数单调性的判断与证明；直线的斜率。 专题： 计算题。 分析：
（1）由题意得，由此解得常数k的取值范围．
（2）设过点（1，0）的直线为y=m（x﹣1），联立，解得m=kx，再由x∈（e，+∞）可得
m=kx＞ke，即得直线的斜率取值范围．
解答：
解：（1）由题意得
，解得
≤k＜，从而k的取值范围为
．
（2）设过点（1，0）的直线为y=m（x﹣1），联立
，解得m（x﹣1）=kx2﹣kx，
由于x＞e，所以m=kx，m=kx＞ke，即直线的斜率取值范围为（ke，+∞）．
点评： 本题主要考查对数函数的单调性的判断和应用，直线的斜率，属于基础题．
27．已知函数，g（x）=x+a（a＞0） （1）求a的值，使点M（f（x），g（x））到直线x+y﹣1=0的最短距离为（2）若不等式
；
在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．
考点： 函数恒成立问题；二次函数的性质；点到直线的距离公式。 专题： 综合题。
分析： （1）先用点到直线的距离公式表示距离，利用换元法，进而利用二次函数的配方法即可求解；
（2）将绝对值符号化去，从而转化为2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立，从而得解．
解答：
解：（1）由题意得M到直线的距离
，令
上恒成立，进而利用换元法转化为at2﹣
则
∵t≥0∴a≥1时，即t=0时，综上a=3（6分） （2）由
∴a=30＜a＜1时，dmin=0，不合题意
即上恒成立
也就是在[1，4]上恒成立
令，且x=t2，t∈[1，2]
由题意at2﹣2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立
设ϕ（t）=at2﹣2t+a2，则要使上述条件成立，只需
即满足条件的a的取值范围是（13分）
点评： 本题以函数为载体，考查点线距离，考查恒成立问题，关键是掌握距离公式，熟练恒成立问题的处理策略．
28．在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．
考点： 直线的点斜式方程。
分析： 根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标．逐步解答． 解答： 解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
∴kAB=
=1．
又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0， ∴kAC=﹣1．
∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．
而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴kBC=﹣2． ∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）． 由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4， 解得C（5，﹣6）． 故选C（5，﹣6）．
点评： 本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解，这是上策．
29．一条直线经过点A（2，﹣3），它的倾斜角等于直线y=
x+1的倾斜角的2倍，求这条直线的方程．
考点： 直线的点斜式方程。 专题： 计算题。
分析： 先根据题意求出直线的倾斜角，从而求出斜率，然后利用点斜式直线方程表示所求直线即可． 解答：
解：假设y=x+1的倾斜角是α，那么有tanα=即α=30°
设过A点直线的倾斜角是β，那么β=2α=60°
那么直线L的斜率k=tanβ=
∴这条直线的方程为y﹣（﹣3）=（x﹣2） 即y=x﹣2﹣3
点评： 本题主要考查了直线的点斜式方程，以及倾斜角的概念，同时考查了计算能力，属于基础题．
30．直线l过点P（2，1），且分别与x，y轴的正半轴于A，B两点，O为原点． （1）求△AOB面积最小值时l的方程； （2）|PA|•|PB|取最小值时l的方程．
考点： 直线的截距式方程。
专题： 计算题。 分析：
（1）设AB方程为
，点P（2，1）代入后应用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面积
面积的最小值．
（2）设直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件．
解答： 解：（1）设A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，
AB方程为
≥2
，点P（2，1）代入得
，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），
故三角形OAB面积S=ab≥4， 此时直线方程为：
，
即x+2y﹣4=0．
（2）设直线l：y﹣1=k（x﹣2），分别令y=0，x=0， 得A（2﹣，0），B（0，1﹣2k）．
则|PA|•|PB|==≥4，
当且仅当k2=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值， 又∵k＜0， ∴k=﹣1，
这时l的方程为x+y﹣3=0．
点评： 本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式方程，以及基本不等式的应用．
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