2019备战中考数学(冀教版)巩固复习-第二十二章四边形(含解析)

2019备战中考数学（冀教版）巩固复习-第二十二章四边形（含解析） 一、单选题

1.如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（ ）

A. 30° B. 40° C. 80° D. 108° 2.如图，在平面直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将其沿x轴的正方向无滑动地在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径与x轴围成的面积为（ ）

A.

B. +1 C. π+

D. π+1

3.一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 4.若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 5.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC的长是（ ）

A. 3cm B. 12cm C. 18cm D. 9cm 6.如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）

A. 8.3 B. 9.6 C. 12.6 D. 13.6

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7.下列命题中的假命题是（ ）

A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 一组邻边相等的矩形是正方形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

8.四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（ ） A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180° C. ∠B+∠A=180° D. ∠A+∠D=180°

9.下列说法正确的是（ ）

A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角互补的平行四边形是矩形

C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴

10.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

二、填空题

11.如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED=CD ， 连接AE ， 交BD于点F ． 若∠CDE=40°，

则∠DFC的度数为________

12.一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为________．

13.如图∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．

14.一个多边形的每一个内角都是140°，则这个多边形是________边形．

15.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为________ ，短边长为________ 16.如图所示，

，

，

分别平分

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，

，若

，

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则 ________．

17.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值________．

18.一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是________ ．

19.如图，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为________．

三、解答题

20.如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.

(1)求证：四边形AFCE为菱形；

(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．

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21.已知：如图．在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、DC的中点．求证：四边形BDEF

是平行四边形．

22.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC．求证：四边形ADCE是平行四边形．

四、综合题

23.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．

（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？

24.如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH

显然是平行四边形．

（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、平行四边形时，相应的四边形EFGH一定是“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表： 四边形ABCD 四边形EFGH 4 / 15

菱形 矩形 平行四边形 2019备战中考数学（冀教版）巩固复习-第二十二章四边形（含解析）

（2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？当________时，四边形EFGH是矩形； 当________时四边形EFGH是菱形．

25.如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；

（1）如图①，α+β＞180°，试用α，β表示∠F;

（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，并试用α，β表示∠F;

（3）一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值，如不一定，指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．

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答案解析部分

一、单选题 1.【答案】B

【考点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：设边数为n，根据题意， n=108÷12=9， 则α=360°÷9=40°． 故选：B．

【分析】根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于360°，除以边数即可求出α的值． 2.【答案】D

【考点】正方形的性质

【解析】【解答】解：如图，∵正方形ABCD的边长为1， ∴对角线长：

=

，

+

+

+

×1×1+

×1×1

点A运动的路径线与x轴围成的面积为： =

π+

π+

π+

+

=π+1． 故选D．

【分析】根据旋转的性质作出图形，再利用勾股定理列式求出正方形的对角线，然后根据点A运动的路径线与x轴围成的面积为三个扇形的面积加上两个直角三角形的面积，列式计算即可得解． 3.【答案】C

【考点】多边形内角与外角

【解析】【分析】设正多边形的每个外角的度数为x，与它相邻的内角的度数为4x，根据邻补角的定义得到x+4x=180°，解出x=36°，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数．

【解答】设正多边形的每个外角的度数为x，与它相邻的内角的度数为4x，依题意有 x+4x=180°， 解得x=36°，

这个多边形的边数=360°÷36°=10．

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故选：C．

【点评】本题考查了多边形的外角定理：多边形的外角和为360°．也考查了邻补角的定义．

4.【答案】A

【考点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°， ∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣135°=45°， ∴这个多边形的边数为：360°÷45°=8， 故选：A．

【分析】由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案． 5.【答案】B

【考点】三角形中位线定理

【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点． ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE， ∵DE=6cm， ∴BC=2×6=12cm． 故选B．

【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE=BC，从而求出BC． 6.【答案】B

【考点】平行四边形的性质

【解析】【解答】根据平行四边形的性质：对边平行且相等来解答．通过图形结合题意，我

们不难看出，DE＝BF，则CE＋BF＝CE＋DE＝CD＝AB＝4．同时，OF＝OE＝ ＝2×1.3＝2.6．为此，不难算出四边形BCEF的周长，所以选B

EF，所以EF

【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边平行且相等的性质，就能解答本题

7.【答案】D

【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定

【解析】【分析】A、B、C根据特殊四边形的判定都成立。D中一组对边平行相等，且有一个角是直角的四边形是矩形。

【点评】掌握各种特殊四边形的性质、判定以及理清各种四边形之间的联系是关键。 8.【答案】D

【考点】平行四边形的判定

【解析】【解答】解：A、如图1，∵AD∥CB，

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∴∠A+∠B=180°， 如果∠A+∠C=180°， 则可得：∠B=∠C，

这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误； B、如图1，∵AD∥CB， ∴∠A+∠B=180°， 如果∠B+∠D=180°， 则可得：∠A=∠D，

这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误； C、如图1，∵AD∥CB， ∴∠A+∠B=180°， 再加上条件∠A+∠B=180°，

也证不出是四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误； D、如图2， ∵∠A+∠D=180°， ∴AB∥CD， ∵AD∥CB，

∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确； 故选D．

【分析】四边形ABCD中，已经具备AD∥BC，再根据选项，选择条件，推出AB∥CD即可，只有D选项符合． 9.【答案】B

【考点】多边形的对角线

【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形四边形是矩形，故错误； B、对角相等的平行四边形是矩形，故正确； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；

D、菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴，故错误； 故选：B．

【分析】根据矩形、菱形的判定定理，即可解答． 10.【答案】C

【考点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°， ∴（n﹣2）×180°=720°，

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解得n=6，

∴这个多边形的边数是6． 故选C．

【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得． 二、填空题 11.【答案】

【考点】正方形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠CBF，∴△BAF≌△CBF，∴∠AFB=∠CFB，

∵∠AFB=∠CFB=70°，∴∠CFB=180°-70°-70°=40° ∵∠EDC=∠EFC，∴C、E、D、F四点共圆， ∴∠CFE=∠CDE=40°，∴∠DEC=70°， ∴∠DFC=110°． 故答案为：110°．

【分析】】利用ABCD是正方形得出角之间相等的关系，由已知条件得出∠DFC． 12.【答案】5

【考点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180°根据题意，得：（n﹣2）•180°+x=570° 解之，得：n=∵n为正整数，

∴930﹣x必为180的倍数， 又∵0＜x＜180， ∴n=5． 故答案为：5．

【分析】设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180°根据多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，列出方程，即可解答． 13.【答案】300°

【考点】多边形内角与外角 【解析】【解答】解：如图， 由题意得，∠5=180°﹣∠EAB=60°， 又∵多边形的外角和为360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣∠5=300°． 故答案为：300°．

．

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【分析】根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值． 14.【答案】九

【考点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：180°﹣140°=40°， 360°÷40°=9． 故答案为：九．

【分析】首先求得这个多边形的一个外角的度数，用360°除一个外角的度数即可求得多边形的边数．

15.【答案】10 ；5 【考点】矩形的性质

【解析】【解答】解：∵矩形ABCD， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°，

∴△OAB是等边三角形， ∴AB=OB=OA=×15=5， AC=BD=2×5=10． 故答案为：10，5．

【分析】根据矩形ABCD，得到OA=OC，OB=OD，AC=BD，推出OA=OB，根据等边三角形的判定得出△OAB是等边三角形，即可求出AB和对角线长． 16.【答案】

【考点】多边形内角与外角 【解析】【解答】∵ ∴

， ，

10 / 15

，

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又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴在

中， ，

平分

，

，

， 和

，

，

．

故答案为：

【分析】本题运用四边形内角和，即可求出∠BOC的值；另：该题可以把ＡＤ∥ＢＣ的条件去掉，结论依然成立． 17.【答案】2或3.5 【考点】三角形中位线定理

【解析】【解答】∵∠ACB=90°,∠ABC=60°，BC=2cm ， ∴AB=BC÷cos60°=2÷ ①∠BDE=90°时， ∵D为BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AE=

AB=

×4=2(cm)，

=4(cm)，

点E在AB上时,t=2÷1=2(秒)， ②∠BED=90°时,BE=BD⋅cos60°=

×2×

=0.5(cm)

点E在AB上时,t=(4−0.5)÷1=3.5(秒)， 综上所述，t的值为2秒或3.5秒， 故答案为：2秒或3.5秒.

【分析】△BDE是直角三角形,由于∠ABC=60度，可分为∠BDE=90度或∠BED=90度，求出路程，除以速度，即可求出时间. 18.【答案】9

【考点】多边形内角与外角 【解析】【解答】解：根据题意，得 （n﹣2）•180°=3×360°+180°， 解得：n=9．

则这个多边形的边数是9． 故答案为：9．

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【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数． 19.【答案】1

【考点】正方形的性质

【解析】【解答】解：∵四个全等的直角三角形的直角边分别是5和4， ∴阴影部分的正方形的边长为5﹣4=1， ∴阴影部分面积为1×1=1． 故答案为：1．

【分析】求出阴影部分的正方形的边长，即可得到面积． 三、解答题

20.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC.

由折叠的性质，可得：∠AEF＝∠CEF， AE＝CE，AF＝CF，∴∠EFC＝∠CEF. ∴CF＝CE.

∴AF＝CF＝CE＝AE. ∴四边形AFCE为菱形．

(2)解：a、b、c三者之间的数量关系式为： a2＝b2＋c2.理由如下： 由折叠的性质，得：CE＝AE. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°. ∵AE＝a，ED＝b，DC＝c，∴CE＝AE＝a. 在Rt△DCE中，CE2＝CD2＋DE2 ，

∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a2＝b2＋c2. 【考点】菱形的判定，矩形的性质

【解析】【分析】(1)由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE＝CF，即可证得AF＝CF＝CE＝AE，即可得四边形AFCE为菱形．

(2)由折叠的性质，可得CE＝AE＝a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2＝b2＋c2.(答案不唯一)

21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵点E、F分别是AB、DC的中点，

∴BE= AB，DF= CD，

∴BE=DF， 又∵BE∥DF，

∴四边形BEDF是平行四边形

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【考点】平行四边形的判定与性质

【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由中点的定义得出BE=DF，即可得出结论．

22.【答案】【解答】证明：∵CE∥AB， ∴∠ADE=∠CED，

在△AOD与△COE中∴△AOD≌△COE（AAS）， ∴OD=OE，

∴四边形ADCE是平行四边形． 【考点】平行四边形的判定

，

【解析】【分析】首先利用AAS得出△AOD≌△COE，进而利用全等三角形的性质得出DO=EO，即可得出四边形ADCE是平行四边形． 四、综合题

23.【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥BC. 又∵EF∥AB，

∴四边形DBFE是平行四边形

（2）解：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形． 理由如下： ∵D是AB的中点， ∴BD=

AB.

∵DE是△ABC的中位线，∴DE=

BC.

∵AB=BC， ∴BD=DE.

又∵四边形DBFE是平行四边形， ∴四边形DBFE是菱形

【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定

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【解析】【分析】（1）根据中位线的定义，证明DE是△ABC的中位线，再根据中位线定理证明DE∥BC，然后根据平行四边形的判定方法，即可证得结论。

（2）要得出四边形DBFE是菱形，只需证明一组邻边相等，因此添加条件当AB=BC时，四边形DBEF是菱形，再根据已知条件及紫外线定理证明BD=DE，即可证得结论。

24.【答案】（1）解：四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形， 四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，

四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是平行四边形； 故答案为：矩形； 菱形； 平行四边形

（2）对角线互相垂直（AC⊥BD）；对角线相等（A C=BD）

【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质 【解析】【分析】解：当平行四边形是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线互相垂直，当平行四边形是菱形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线相等．故答案为：对角线互相垂直（AC⊥BD）；对角线相等（A C=BD）（1）原四边形是菱形时，菱形的对角线互相垂直，因此平行四边形应该是个矩形（平行四边形相邻的两边都垂直），原四边形是矩形时，它的对角线相等，那么平行四边形应该是个菱形（平行四边形相邻的两边都相等）；利用四边形ABCD是平行四边形时，其四边形EFGH是平行四边形；（2）根据（1）我们可看出要想使得出的平行四边形是矩形，那么原四边形的对角线就必须垂直，因为只有这样平行四边形的相邻两边才垂直．同理平行四边形是菱形时，原四边形的对角线就必须相等． 25.【答案】（1）解：

∵∠ABC+∠DCB=360°﹣（α+β），

∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（α+β）=2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）=180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）=180°﹣2∠F， ∴360°﹣（α+β）=180°﹣2∠F， 2∠F=α+β﹣180°， ∴∠F=（α+β）﹣90° （2）解：

∵∠ABC+∠DCB=360°﹣（α+β），

∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（α+β）=2∠GBC+（180°﹣2∠HCE）=180°+2（∠GBC﹣∠HCE）=180°+2∠F，

∴360°﹣（α+β）=180°+2∠F， ∠F=90°﹣（α+β）

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（3）解：α+β=180°时，不存在∠F． 【考点】多边形内角与外角

【解析】【分析】（1）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°﹣（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（α+β）=2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）=180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）=180°﹣2∠F，从而得出结论；

（2）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°﹣（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（α+β）=2∠GBC+（180°﹣2∠HCE）=180°+2（∠GBC﹣∠HCE）=180°+2∠F，从而得出结论；

（3）α，β满足α+β=180°时，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线平行，可知不存在∠F．

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