摩擦角的应用

一、 摩擦角的定义

摩擦角指的是：物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力）FfFN，支持面的支持力FN的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力F（以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力），则支持面的作用力F与支持力FN的方向成tan个角就称之为摩擦角。 解析：由摩擦公式: Ff1角（如图1所示），而这

FN 得

FfFNtan，

-1摩擦角=tan图1

二、意义

引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果。尤其是在物体在四个力作用下保持动态平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定），这里特别补充说明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为0，等效于三力共点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交。 三、方法的应用

例1，如图2所示，用绳通过定滑轮 物块，使物块在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，若物块与地面的摩擦因素1，滑轮的质量及摩擦不计，则物块运动过程中，以下判断正确的是（ ）。

A.绳子的拉力将保持不变 B.绳子的拉力将C.地面对物块的摩擦力不断减小 D.物块对地面的减小

解析：如图3所示，取物体O点，作力的三角形。重线段①，从该线段箭头端点做地面作用力的作用所在作从射线②上任意点指向O点且将图形封闭成三角形

的有向线段③，它们就是绳子拉力矢量，用曲箭头标明变化趋知力三角形中①和②的夹角小于45o，初始状态绳子拉力与水平角形中③和①的夹角从45o开始慢慢减小，图3中θ<90o，不难子的拉力不断增大，地面的作用力不断减小，由图1易知，地面力均随之减小，所以BCD正确。

例2，如图4所示，倾角45o的斜面上，放置一质量m的小物块，的动摩擦因素0

45o 图2

O ③ θ v 不断增大 压力不断力为有向射线②，的一系列势。由1呈45o，力三得出结论：绳支持力与摩擦小物块与斜面物块再

② 3，欲使小物块能静止在斜面上，应对小30施加一力，该力最小时大小与方向是（ ）。

A. mgsin15，与水平成15o斜向右 B. mgsin30，竖C. mgsin75，沿斜面向上 D. mgtan15，右 解

析

：

由

00图3 直向上

m 水平向

3315o 45o 得

，

摩

擦

角

30o 图4 示，蓝

tan1tan13300，作出力的三角形，如图5所3色有向线段为重力，黑色射线为斜面对物块的作用力，红色有

m 45o O 向线段为

图5

施加的力，青色有向线段为施加的力的最小位置（与斜面的作用力相垂直），则

Fmgsin(450)mgsin150方向与水平成15o斜向右。即A正确。

例3，（2009.辽宁、宁夏理综）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为(01)。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为，如图6，在从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（ ） A. F先减小后增大 B. F一直增大 C. F的功率减小 D. F的功率不变 解析：方法一（传统方法）：由于木箱的速度保持不变，因此木箱始终处于

F 平衡状态，受力分析如图所示，则由平衡条件得：

mgNFsin，fNFcos两式联立解得

θ mgmg，可见F有最小值，所以F先Fcossin12sin()减小后增大，A正确；B错误；F的功率

mgcvosmgvPFcvos，可见在从0

cossin1tan图6

逐渐增大到

90°的过程中tan逐渐增大，则功率P逐渐减小，C正确，D错误。（此常规方法对数学要求比较高，如果

是在高考时过于紧张，一时半会儿对其中的F表达式里变化情况弄不清楚从而半途而废） 方法二（引入摩擦角）：由(01)得，摩擦角φ<45o，作出力的三角形，如图7所示，黑色射线为地面对木箱的作用力F1，红色有向线段为拉力F，蓝色有向重力。由题意在从0逐渐增大到90°的过程中，F的势为青色曲箭头方向变化，易得到：F先减小后增大。的功率，由矢量表达式：FF1G，重力的功率0（重力与速度成90o），得到F的功率与F1的功率互数，F1的功率P1F1vcos,显然F1与v的角度ψ变，而F1不断的减小，从而F的功率P|P1||F1vcos|的值不断的减小，所以答案为结论：对比两种方法，方法二显然要简单容易的多。因中有必要掌握摩擦角的应用，而不一定非得参加竞赛的才掌握。

例4，（竞赛训练题）如图8所示，质量为m的物体放平地面上，物体与地面的动摩擦因素F F1 G φ<45o ψ v 线段为变化趋对于F显然为为相反保持不AC。 此高学生

图7 θ F 在水沿水

3，想用力F推动物体3平地面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内事可能的？

图8 mg 2F10解析：摩擦角tan30，考虑临界情况，重力mg、地

答案：60sin01mg ψ v 面对

物体的作用力以及推力F构成闭合三角形时，则有

mgF01mg，临界角，由图960sin00sin(600)sin2Fmg0时物体可在地面上滑动。即600sin1。

2F四、拓展实践

练习1．一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，图10所示，与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑

F θ α F F 图10 可知

图9

物体动，为L，重

求拉力的最小值。

练习2．（竞赛训练）结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为G，与地面间的动摩擦因数为μ，如图11所示，

图11

（1）求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0；

（2）当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动？

练习3．（竞赛训练）一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，同图11所示，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为μ1、μ2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。

答案解析 练习1，Fminmgcos()sincos12mg

平衡条件得，

线段为斜面对全反力方向时

α G N1 图12 解析：（引入摩擦角）如图12

作力的矢量三角形，其中：蓝色有向线段为重力，黑色有向物体的作用力，红色有向线段为拉力。显然：当拉力F垂直于此时F的拉力最小，即：

1tg，由

所示，摩擦角

Fminmgcos()sincos12mgF 三力汇交，作

持力，F为水

练习2，解析：（1）（引入摩擦角）将梯子的重力G，根据出力的三角形，如图13所示，其中N1为竖直墙面对楼梯的支平面对楼梯的作用力，摩擦角：tan由平衡条件可得:

1。

G N1 θ0 F 重力的重心还上面时梯子就

F 子与水平所别用水平面就只受三个和几何关系

LLcos0Lsin0tan 21所以有：0tan2

（2）如图14所示，将梯子和人的重力用其等效重力代替G，当等效在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当等效重力的重心还在梯子重心会滑倒，所以当人上到梯子一半即L/2时，梯子开始滑动。

练习3，解析：系统达到临界平衡状态（极限平衡状态）时，即梯成的夹角最小时，各处摩擦力均达到最大值。现把两端点的受力分对梯子的作用力F1以及竖直墙面对梯子的作用力F2表示，则梯子力，由三力汇交，且三个力必共点。 解：如图15所示，1tan可得：

1即梯子与地面所成的最小的角为：mintan1图13 G’ F2 B D θ0 1 ，2tan12，由平衡条件

2 图14 E 1 F1 A 11221

C G θ H 图15