【免费下载】高考文科数学全国卷试题与答案word版

(全国卷I新课标)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝(　　)．

A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}2．(2013课标全国Ⅰ，文2)

12i＝(　　)．21i11111i1+i1+i1i

2 B．2 C．2 D．2A．

1111A．2 B．3 C．4 D．65x2y24．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C：22=1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方

2ab程为(　　)．

111xxxA．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝±x

5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)．

A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为

2的等比数列{an}的前n项和3为Sn，则(　　)．

A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an

7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于(　　)．

A．[－3,4] B．[－5,2]C．[－4,3] D．[－2,5]8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，

P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为(　　)．

A．2 B．22 C．23 D．4

9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为(　　)．

3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率

是(　　)．

10．

(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)．

A．10 B．9 C．8 D．5

1

11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)．A．16＋8π B．8＋8π

C．16＋16π D．8＋16π

12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f(x)＝

x22x,x0,若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)．ln(x1),x0.A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[－2,1] D．[－2,0]

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______.

14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x，y满足约束条件1x3,则z＝2x－y的最大值为______．

1xy0,15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.

(1)求{an}的通项公式；(2)求数列1的前n项和．

a2n1a2n118．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

2

(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

20．(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

3

为24．(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

23．(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程

x45cost,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐

y55sinta1,时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．224

(2)设a＞－1，且当x∈标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

解析：

4．答案：C

数是2，所以所求的概率为

7．答案：A

解析：当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．当1≤t≤3时，s＝4t－t2.∵该函数的对称轴为t＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴smax＝4，smin＝3.∴s∈[3,4]．

综上知s∈[－3,4]．故选A.8．

12i12i12ii2i11+i.＝21i2i222第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A

解析：∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．2． 答案：B

21ana1qa1anq3＝3－2a，故选D.解析：Sn1n21q1q135．答案：B

解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．

∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.6．答案：D

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(全国卷I新课标)

3． 答案：B

解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件

5

5c5c25解析：∵e，∴，即2.

2a2a4b21b1222∵c＝a＋b，∴2.∴.a4a2b∵双曲线的渐近线方程为yx，

a1∴渐近线方程为yx.故选C.

2n1.3由故选C.

10．答案：D

答案：C

答案：C



V半圆柱＝

∵A∈0,

故极值点为x令f′(x)＝0，得xV长方体＝4×2×2＝16.

∴yP＝26.∴S△POF＝

2π.31π×22×4＝8π，2π1，∴cos A＝.25∵Δ＝(a＋2)2＝0，∴a＝－2.

∴a∈[－2,0]．故选D.

∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，

9．

当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立．

若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限，

故选D.11．答案：A

解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

解析：∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝11当x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cos x(1－cos x)＝－2cos2x＋cos x＋1.

解析：由f(x)＝(1－cos x)sin x知其为奇函数．可排除B．当x∈0,时，f(x)＞0，排除A.

2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2

6

所以所求体积为16＋8π.故选A.

12．答案：D

解析：可画出|f(x)|的图象如图所示．

解析：由23cos2A＋cos 2A＝0，得cos2A＝

36b24913∵cos A＝，∴b＝5或b(舍)．

26b5解析：利用|PF|＝xP242，可得xP＝32.

yax,得x2－(a＋2)x＝0.2yx2x,2π，可排除D，故选C.3π

1|OF|·|yP|＝23.21.2511.22∴

1t＋1－t＝0.2即ta·b＋(1－t)b2＝0.

∴t＝2.14．答案：3

解析：画出可行域如图所示．

画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.

15．答案：

92π解析：如图，

设球O的半径为R，

则AH＝

2R3，OH＝

R3.又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.

2∵在Rt△OEH中，R2＝R329+1，∴R2＝8.

∴S＝4πR2＝9π球2.

16．答案：255解析：∵f(x)＝sin x－2cos x＝5sin(x－φ)，

其中sin φ＝255，cos φ＝55.当x－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)取最大值．

即θ－φ＝2kπ＋ππ2(k∈Z)，θ＝2kπ＋2＋φ(k∈Z)．

∴cos θ＝cosπ2＝－sin φ＝255.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．

解：(1)设{an(n1)n}的公差为d，则Sn＝na12d.由已知可得3a13d0,5a110d5,解得a1＝1，d＝－1.

故{an}的通项公式为an＝2－n.

(2)由(1)知

111a＝11，

2n1a2n132n12n22n32n1从而数列1a的前n项和为

2n1a2n17

x＝

y＝

＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.

＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，

所以OC＝OA1＝3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA1，

1111111211132n32n1n＝.12n从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有

18．

由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得

故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.20．

解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

1(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0201(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.52077的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的10108

叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．

19．

2f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·ex.

令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．21．

解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

12x2y2=1(x≠－2)．其方程为43(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23.

若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，

|QP|R，可求得

|QM|r1Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．

由l与圆M相切得|3k|1k222462x2y2x2代入=1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝当k＝时，将y，

44743182所以|AB|＝1k|x2－x1|＝.

7218当k＝时，由图形的对称性可知|AB|＝.

4718综上，|AB|＝23或|AB|＝.

7请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．

(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，

故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.

(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝＝1，解得k＝2.43.29

设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.

将23．

(2)当x∈所以x≥a－2对x∈15x,x,21则y＝x2,x1,23x6,x1.3.2故Rt△BCF外接圆的半径等于x2y28x10y160,由22xy2y0x1,x0,解得或y1y2.即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，

不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

所以C1的极坐标方程为

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

所以C1与C2交点的极坐标分别为2,a1,时，f(x)＝1＋a.22ππ

，2,.42

a1,都成立．22a4故≥a－2，即a≤.

234从而a的取值范围是1,.

3其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.

24．

解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

x45cost,解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，

y55sintxcos,代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

ysin10