基本不等式的应用练习题（1）
1
1
1. 已知正数𝑚，𝑛满足4𝑚+𝑛=3，则𝑚
+𝑛的最小值为（ ）
A.9 B.3
C.10
8
3
D.3
2. 已知𝑥>0，𝑦>0，且𝑥+3𝑦−5𝑥𝑦=0，则3𝑥+4𝑦的最小值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8
3. 存在𝑥>0，𝑦>0，使得𝑦
𝑥
𝑥+𝑦<𝑚2+2𝑚−1成立，则实数𝑚的取值范围是( A.𝑚≤−3或𝑚≥1 B.𝑚<−3或𝑚>1 C.𝑚≤−1或𝑚≥3 D.𝑚<−1或𝑚>3
4. 已知𝑥>0，𝑦>0，𝑥+𝑦+√𝑥𝑦=2，则𝑥+𝑦的最小值是（ ） A.2
3 B.1
C.4
3
3 D.2
5. 已知𝑓(𝑥)=𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑥2，则不等式𝑓(𝑙𝑛 𝑥)+𝑓(𝑙𝑛1
𝑥)<2𝑓(1)的解集为
（ ） A.(𝑒,+∞) B.(0,𝑒)
C.(0,1
𝑒)∪(1,𝑒)
D.(1
𝑒,𝑒)
6. 设正实数𝑎，𝑏满足𝑏
1
𝑎+𝑏=1，则2𝑎+𝑏的最小值为________．
7. 几个重要的不等式
（1）𝑎2+𝑏2≥________(𝑎,𝑏∈R)． （2）𝑏
𝑎
𝑎+𝑏≥________（𝑎,𝑏同号）．
（3）𝑎𝑏≤(
𝑎+𝑏)22
(𝑎,𝑏∈R)． （4）𝑎2+𝑏2
2
≥(
𝑎+𝑏)22
(𝑎,𝑏∈R)．
试卷第1页，总8页
)
8. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑥+7，若对于任意的正整数𝑛，在区间[1, 𝑛+]上存在𝑚+
𝑛5
1个实数𝑎0、𝑎1、𝑎2、…𝑎𝑚，使得𝑓(𝑎0)>𝑓(𝑎1)+𝑓(𝑎2)+...+𝑓(𝑎𝑚)成立，则𝑚的最大值为________.
𝑥,𝑥
78
9. 𝑓(𝑥)={𝑞+1,𝑥=𝑞(𝑝∈𝑁∗,𝑞∈𝑍,𝑝,𝑞) ，求𝑓(𝑥)在(8,9)上的最大值________．
𝑝𝑝
𝑎𝑥+𝑏𝑦−1=081
10. 若𝑎、𝑏满足条件{ (𝑎>0, 𝑏>0)，则𝑎+𝑏
(3𝑎+4𝑏)𝑥+(𝑎−5𝑏)𝑦−(7𝑎+3𝑏)=0的最小值为________．
11. 已知函数𝑦＝𝑎(𝑎>1)在[1, 2]上的最大值与最小值之和为20，记𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+2． （1）求𝑎的值．
（2）证明：𝑓(𝑥)+𝑓(1−𝑥)＝1．
（3）求𝑓(2021)+𝑓(2021)+𝑓(2021)+⋯+𝑓(2021)+𝑓(2021)的值．
12. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某村施行了“封村”行动．村卫生室为了更好的服务于村民，每天对村民进行检测和提供消毒物品，需建造一间底面面积为48𝑚2的背面靠墙的长方体小房作临时的供给检测站．由于地理位置的限制，房子侧面的长度𝑥不得超过10𝑚．房屋正面的造价为400元/𝑚2，房屋侧面的造价为150元/𝑚2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为4𝑚，且不计房屋背面的费用． (1)把房子的造价表示成𝑥的函数；
(2)当侧面的长度为多少时，总造价最低？
1
2
3
2019
2020
𝑥
𝑎𝑥
试卷第2页，总8页
参考答案与试题解析 基本不等式的应用练习题（1）
一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ） 1.
【答案】 B
【考点】
基本不等式及其应用 【解析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】
正数𝑚，𝑛满足4𝑚+𝑛=3， 则+=(
𝑚
𝑛
3𝑛
1
1
14𝑚+𝑛
𝑚4𝑚𝑛
+
4𝑚+𝑛𝑛
)=(5+
3
1𝑛𝑚
+
1
4𝑚𝑛
)≥(5+2√⋅
3
𝑚
1𝑛4𝑚𝑛
)=3，
当且仅当𝑚＝2. 【答案】 A
且4𝑚+𝑛=3即𝑚=2，𝑛=1时取等号．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用 【解析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】
解：因为𝑥>0，𝑦>0，且𝑥+3𝑦−5𝑥𝑦=0， 所以3𝑥+4𝑦=(3𝑥+4𝑦)(5𝑥+5𝑦) =(9+5
1
3𝑥𝑦3𝑥
3
1
+
12𝑦𝑥
+4)≥(13+2√
5
13𝑥𝑦
⋅
12𝑦𝑥
)=5，
当且仅当𝑦=故选A. 3.
12𝑦𝑥
𝑥=1,
1时取等号. 即{
𝑦=2,
【答案】 B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用 【解析】
本题主要是通过基本不等式解出最值，然后根据不等式有解得出𝑚的不等式进行求解即可. 【解答】
解：因为𝑥>0，𝑦>0，
由基本不等式可知，𝑥+𝑦≥2√𝑥×𝑦=2，
𝑦
𝑥
𝑦𝑥试卷第3页，总8页
当且仅当=，即𝑦=𝑥时等号成立.
𝑥
𝑦𝑦
𝑥
又因为𝑥+𝑦<𝑚2+2𝑚−1有解， 所以𝑚2+2𝑚−1>(𝑥+𝑦)即𝑚2+2𝑚−3>0， 解得𝑚>1或𝑚<−3. 故选B. 4. 【答案】 C
【考点】
基本不等式及其应用 【解析】
利用基本不等式，结合条件，即可得出结论． 【解答】
∵ 𝑥>0，𝑦>0，𝑥+𝑦+√𝑥𝑦=2，
∴ 由基本不等式可得𝑥+𝑦+√𝑥𝑦=2≤𝑥+𝑦+∴ 𝑥+𝑦≥3． 5.
【答案】 D
【考点】
其他不等式的解法 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：𝑓(𝑥)=𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑥2，因为𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)是偶函数，所以𝑓(𝑙𝑛𝑥)=𝑓(−𝑙𝑛 𝑥)=𝑓(𝑙𝑛 𝑥)，所以𝑓(𝑙𝑛 𝑥)+𝑓(𝑙𝑛𝑥)<2𝑓(1)变形为𝑓(𝑙𝑛 𝑥)<𝑓(1)．又𝑓′(𝑥)=𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥+2𝑥=𝑥(2+𝑐𝑜𝑠 𝑥)，因为2+𝑐𝑜𝑠 𝑥>0，所以𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，所以𝑓(𝑙𝑛 𝑥)<𝑓(1)等价于−1<𝑙𝑛 𝑥<1，所以
1𝑒
1
1
4
𝑥+𝑦2
𝑦
𝑥min
𝑦𝑥
=2，
，
<𝑥<𝑒．
故选𝐷．
二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ） 6.
【答案】
5+2√6 【考点】
基本不等式及其应用 【解析】
设𝑡＝2𝑎+𝑏，利用判别式法求出𝑡的范围，再用基本不等式验证，得出答案．
试卷第4页，总8页
【解答】
设𝑡＝2𝑎+𝑏(𝑡>0)，所以𝑏＝𝑡−2𝑎，带入+=1，
𝑎
𝑏𝑏
1
得
𝑡−2𝑎𝑎
+𝑡−2𝑎=1，化简得6𝑎2+(1−5𝑡)𝑎+𝑡2＝0，
1
方程有根，△＝(1−5𝑡)2−24𝑡2≥0，
化简𝑡2−10𝑡+1≥0，解得𝑡≥5+2√6或者𝑡≤5−2√6 由𝑎+𝑏=1≥2√𝑎，所以𝑎≥4，所以2𝑎+𝑏＝𝑡>4 所以𝑡≥5+2√6． 7.
【答案】
（1）2𝑎𝑏,（2）2 【考点】 基本不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 8.
【答案】 6
【考点】
二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】
求出𝑛+的最小值，得出𝑓(𝑥)在此区间上的最值，根据最值的倍数关系得出𝑚的值．
𝑛5
𝑏
1
1
【解答】
解：∵ 𝑛为正整数，∴ 𝑛+𝑛≥2， ∴ 𝑓(𝑥)在区间[1, 2]上最大值为𝑓(2)=∵ 4=4×6+4， ∴ 𝑚的最大值为6． 故最大值为6． 故答案为：6. 9. 【答案】
16 17【考点】
函数的最值及其几何意义 【解析】
19
3
19
9
19
5
9
，最小值为𝑓(2)=4， 4
53
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当𝑥是无理数时，𝑥∈(,)时，𝑓(𝑥)＝𝑥<，而𝑓()=
89
9
17
78
8
15
1617
>．只需证𝑥时有理数
9
8
时．𝑓(𝑥)≤17即可． 【解答】 ∵ 8<8+9<9， 即8<17<9； 由定义可得𝑓()=
1715
1617
7
15
8
7
7+8
8
16
>．
9
16
8
只需证𝑥时有理数时，𝑓(𝑥)≤17：
（1）若𝑥∈(,)时，𝑥是无理数时，𝑓(𝑥)＝𝑥<<
89
9
78
𝑝
78
8
1617
．
（2）若𝑥∈(8,9)时，𝑥是有理数时，此时设𝑥=𝑞，其中(𝑝, 𝑞)＝1，且0<𝑝<𝑞； 由于<
87
𝑝𝑞
<，
9
8
7𝑞<8𝑝8𝑞−1∴ { ，可得7𝑞+1≤9𝑝≤8×
99𝑝<8𝑞即63𝑞+9≤64𝑞−8；
∴ 𝑞≥17； 因此𝑓(𝑥)＝𝑓(𝑞)=
7889𝑝
𝑝+1𝑞
≤
8𝑞+1
+19
𝑞
=17；
16
综上𝑓(𝑥)在(,)上的最大值为；
17
16
10.
【答案】 25
【考点】
基本不等式及其应用 【解析】
运用直线系方程可得，(3𝑎+4𝑏)𝑥+(𝑎−5𝑏)𝑦−(7𝑎+3𝑏)＝0恒过定点(2, 1)，代入𝑎𝑥+𝑏𝑦−1＝0，可得2𝑎+𝑏＝1，由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【解答】
由(3𝑎+4𝑏)𝑥+(𝑎−5𝑏)𝑦−(7𝑎+3𝑏)＝0可得， 𝑎(3𝑥+𝑦−7)+𝑏(4𝑥−5𝑦−3)＝0， 3𝑥+𝑦−7=0𝑥=2由{ ，解得{ ，
𝑦=14𝑥−5𝑦−3=0代入方程𝑎𝑥+𝑏𝑦−1＝0，可得2𝑎+𝑏＝1， 则𝑎+𝑏=(2𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏) ＝16+1+
2𝑎2𝑎𝑏
8
1
8
1
+
8𝑏
8𝑏𝑎
≥17+2√𝑏⋅
2𝑎8𝑏𝑎
=17+8＝25．
2
1
当且仅当𝑏=，即𝑎＝2𝑏，又2𝑎+𝑏＝1，即𝑎=5，𝑏=5时，取得等号． 𝑎
试卷第6页，总8页
则+的最小值为25．
𝑎
𝑏8
1
三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ） 11.
【答案】
易知函数𝑦＝𝑎𝑥(𝑎>1)在[1, 2]上为增函数， 于是𝑎+𝑎2＝20，解得𝑎＝4； 证明：由（1）可知，𝑓(𝑥)=4𝑥+2， ∴ 𝑓(𝑥)+𝑓(1−𝑥)=
1
2
4𝑥4𝑥+2
4𝑥
+
41−𝑥41−𝑥+23
=
2(4𝑥+41−𝑥)+82(4𝑥+41−𝑥)+8
2019
=1，得证；
2020
设𝑆=𝑓(2021)+𝑓(2021)+𝑓(2021)+⋯+𝑓(2021)+𝑓(2021)，则由（2）可知，2𝑆＝2020，故𝑆＝1010．
【考点】
函数的最值及其几何意义 【解析】
（1）由函数的单调性可知𝑎+𝑎2＝20，进而求得𝑎的值； （2）由（1）得到函数𝑓(𝑥)的解析式，化简即可得证； （3）利用倒序相加思想即可求解． 【解答】
易知函数𝑦＝𝑎𝑥(𝑎>1)在[1, 2]上为增函数， 于是𝑎+𝑎2＝20，解得𝑎＝4； 证明：由（1）可知，𝑓(𝑥)=∴ 𝑓(𝑥)+𝑓(1−𝑥)=设𝑆=𝑓(
12021
4𝑥4𝑥+2
4𝑥4𝑥+2
， =
2(4𝑥+41−𝑥)+82(4𝑥+41−𝑥)+8
20192021
+
41−𝑥41−𝑥+23
=1，得证；
20202021
)+𝑓(
22021
)+𝑓(
2021
)+⋯+𝑓()+𝑓()，则由（2）可知，2𝑆＝
2020，故𝑆＝1010． 12.
【答案】
解：(1)设房子的进价为𝑦元，由题意可得， 造价𝑦=
48𝑥
×4×400+𝑥⋅4×2×150+5800 ，(0<𝑥≤10)，
64𝑥
化简得𝑦=1200(𝑥+)+5800,(0<𝑥≤10).
64𝑥
(2)由基本不等式𝑦=1200(𝑥+
64
+5800 𝑥)+5800
≥1200×2×√𝑥⋅
=19200+5800=25000(元), 当且仅当𝑥=
64𝑥
，即𝑥=8时取等号．
试卷第7页，总8页
故当侧面的长度为8米时，总造价最低． 【考点】
基本不等式在最值问题中的应用 根据实际问题选择函数类型 【解析】
【解答】
解：(1)设房子的进价为𝑦元，由题意可得， 造价𝑦=
48𝑥
×4×400+𝑥⋅4×2×150+5800 ，(0<𝑥≤10)，
64𝑥
化简得𝑦=1200(𝑥+)+5800,(0<𝑥≤10).
64𝑥
(2)由基本不等式𝑦=1200(𝑥+
64
+5800 𝑥)+5800
≥1200×2×√𝑥⋅
=19200+5800=25000(元), 当且仅当𝑥=
64𝑥
，即𝑥=8时取等号．
故当侧面的长度为8米时，总造价最低．
试卷第8页，总8页
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