专题：二次函数图象对称性的应用

二次函数图象对称性的应用

一、几个重要结论：

1、抛物线

的对称轴是直线__________。

），P2（

），若有

，则P1，P2两点是关于_________

2、对于抛物线上两个不同点P1（

对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。

3、若抛物线与轴的两个交点是A（

，0），B（

，0），则抛物线的对称轴是__________（此

结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。

4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（

，0），且其对称轴是

，则另一个交点B

的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。

5、若抛物线与轴的两个交点是B（

，0），C（

，0），其顶点是点A，则∆ABC是＿＿＿＿

三角形，且∆ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。

二、在解题中的应用：

例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。

例2已知抛物线

.

（1）求抛物线的解析式； （2）设点P（求

例3已知抛物线标为-8的另一点的坐标是。

例4已知抛物线

（1）求抛物线顶点的坐标；

（2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标； （3）求∆ABC的外接圆的面积。

的顶点A在直线

上。

经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐

的值。

，

），Q（

，

）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，

,设

,

是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足

二次函数专题训练——对称性与增减性

一、选择 1、若二次函数

，当x取

，

（

≠

）时，函数值相等，则

y 2 1 -3 -2 -1 O -1 -2 1 2 3 x 当x取+时，函数值为（ ）

（A）a+c （B）a-c （C）-c （D）c

2、抛物线ya(x1)22的一部分如图所示，该抛物线在y轴右 侧部分与x轴交点的坐标是 （A）（

1，0） （B）（1，0） （C）（2，0） （D）（3，0） 2

3、已知抛物线ya(x1)2h(a0)与x轴交于A(x1，，0)B(3，0)两点，则线段AB的长度为（ ）

Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4

y 3 4、抛物线yx2bxc的部分图象如图所示，若y0，则的取值范围是（ ） A.4x1 B. 3x1 C. x4或x1 D.x3或x1

5、函数y=x2-x+m(m为常数)的图象如图，如果x=a时，y＜0；

那么x=a-1时，函数值（ ） A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m

6、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是( )

A．(0.5，0) B．(1，0) C．(2，0) D．(3，0) 7、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)； 小彬 说：过点(4，3)；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x 轴截 得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8、若二次函数yaxc，当x取x1、x2（x1x2）时，函数值相等，则当x 取x1x2时，函数值为（ ）

Ａ．ac Ｂ．ac Ｃ．c Ｄ．c 9、二次函数

2–1 O

1 x yx2bxc的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）

A．x＝4 B. x＝3 C. x＝－5 D. x＝－1。

210、已知关于x的方程axbxc3的一个根为x1=2，且二次函数yaxbxc

2的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（ ）

A．(2，－3 ) B．(2，1) C．(2，3) D．(3，2) 11、已知函数y125x3x，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且-3< x1< x2A．y3>y2>y1 B．y1>y3>y2 C．y212、小明从右边的二次函数yax2bxc图象中，观察得

出了下面的五条信息：①a0，②c0，③函数的最小值为3，④当x0时，y0，⑤当0x1x22时，y1y2．你认为其中正确 的个数为（ ） Ａ．2 13、若A(

Ｂ．3

Ｃ．4

Ｄ．5

y135,y1),B(1,y2),C(,y3)的为二次函数yx24x5的图像430 3上的三点，则y1,y2,y3的大小关系是（ ）

A. y12

14、从y=x的图象可看出，当－3≤ｘ≤－1时，ｙ的取值范围是 A、ｙ≤0或

2 xy9 B、0≤ｙ≤9 C、0≤ｙ≤1 D、1≤ｙ≤9

15、小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y1)，(

(－3

1，y2)， 21，y3)，则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（ ） 2A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 16、下列四个函数中，y随x增大而减小的是( )

A．y=2x B.y=-2x+5 C． D．y=-x+2x-1

2

17、下列四个函数：①y=2x；②

；③y=3-2x；④y=2x2+x(x≥0)，其中，在自变量x的

允许取值范围内，y随x增大而增大的函数的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

18、已知二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当x1和x3时,函数值相等;③4ab0④当y2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个

19、已知二次函数yaxbxc(a0)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程axbxc0的两根分别是x11.3和x2（ ）

Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

20、已知函数y=3x2-6x+k(k为常数)的图象过点A(0.85,y1)，B(1.1,y2),C(2,y3),则有( )

(A) y1y2>y3 (C) y3>y1>y2 (D) y1>y3>y2

22221、已知二次函数yx28x6,设自变量x分别为x1,x2,x3，且4x1x2x3，则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系是（ ）

A. y1y2y3 B. y2y3y1 C. y3y2y1 D. y1y3y2

22、如图，抛物线yaxbxc(a0)的对称轴是直线x1，且经过点P（3，0），则abc的值为

A. 0 B. －1 C. 1 D. 2

Py 3 2–1 O 1 3 x

二、填空

2

1、已知抛物线y=ax+bx+c经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________· 2、已知二次函数yax2bxc(a0)，其中a，b，c满足abc0和9a3bc0，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．

3、二次函数yax2bxc（a0，a、b、c是常数）中，自变量x与函数y的对应

请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 ．（写出3条即可）

135… 22271… y … 1 7  444x … 0 8)在抛物 4、一元二次方程axbxc0的两根为x1，x2，且x1x24，点A(3，线

2yax2bxc上，则点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 ．

，则a+b+c= yax2bxc的对称轴是x=2，且过点（3,0）

5、抛物线

6、y=ax2+5与X轴两交点分别为（x1 ,0），（x2 ,0） 则当x=x1 +x2时，y值为____

7、请写出一个b的值，使函数yx22bx在第一象限内y的值随着x的值增大而增大，则b可以 ． 8、当2x2时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是 ②y2x；③y （只填写序号）①y2x；

22；④yx6x8 x9、一个关于x的函数同时满足如下三个条件 ①x为任何实数，函数值y≤2都能成立； ②当x＜1时，函数值y随x的增大而增大； ③当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；

符合条件的函数的解析式可以是 。

2

10、已知(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=x-4x+m上的点,则y1,y2,y3从小到大用 “<”排列是 .

11、一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量

。 x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）