(答案)2014-2015年专升本(高等数学)

二、填空题（把答案填在括号中。本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）

1、设f(0)a,则limf(x)f(0)（ a ）

x0x2、设f(x)的一个原函数是sinx，则xf(x)dx（ xcosxsinxC ） 3、微分方程y5y6y3xe2x的特解可设为

（ y*x(axb)e2x ）

4、幂级数(x)n的和函数为（ ex ）n0n!

5、设A23,则A1（ 588352 ） 二、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）

1、点(0,0)是曲线ysinx的拐点. ( √ ) 2、直线

x1y3z215与平面2xy5z80相互垂直. ( √ )

3、如果函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内偏导数

zx,zy都存在，则函数zf(x,y)在点(x0,y0) 处可微. (  )

4、

un是常数项级数，若limn1nun0,则

un收

n1敛. (  )

5、设A,B是同型矩阵，则(AB)(AB)A2B2. (  )

三、求解下列各题（本大题共4小题，每小题6分，

总计240分）

1、求极限limxsinxx0.

解：limxsinxlimsinxlnxx0xlim0esinxlnxex0

lnx1elimxlnxlim1limxx0ex0xex0x2e01.

2、求不定积分xsinxcosxdx. 解：xsinxcosxdx12xsin2xdx 14xdcos2x14[xcos2xcos2xdx]

14[xcos2x12sin2x]C

3、求定积分

ln20ex1dx.

解：令tex1，则xln(1t2)， 故

ln2x0e1dx12t0t1t2dt 21t2101t2dt2t21101t2dt

2(tarctant)102(14).

4、设zxyf(x2y,xy2),其中f是可微函数，求

zx,zy. 解：

zxyf(x2y,xy2)xy(2xf1f2), zxf(x2yy,xy2)xy(f12yf2). 四、解答题（本大题共6小题，每小题6分，总计36分）

 1 、设 f ( x )x2sin1,x0x,在x0处可导，求axb,x0a,b的值.

解：因为f(x)在x0处可导，故f(x)在x0处连续。即limx0f(x)f(0)b.

又limf(x21x0)xlim0f(x)limx0xsinx0. 因此b0. 又f(0)f(0)，

ff(x)f(0)axb(0)xlim0xlim0x0xa, f(0)f(x)f(0)xlim0xx2sin10x1xlim0xlimx0xsinx0, 故a0. 2求微分方程y2yex0的通解.

解：通解为ye2dx[exe2dxdxC]

e2x[exe2xdxC]e2x(exC)

3、判断下列正项级数的敛散性.

3(1)n(1) n13n解：因为03(1)n3n443n，又n13n收敛（等比n级数），由比较审敛法得

3(1)收敛。 n13n (2)

ln(11n1n) ln(11解：因为limn)1，又1发散，由比较

n1n1nn审敛法的极限形式得

ln(11n)发散。

n14、计算二重积分

sinx2y2dxdy，其中

DD(x,y)|2x2y242}.

解：

sinx2y2dxdyDsinrrdrdD20d22rsinrdr2rsinrdr

22rdcosr2[rcosr22cosrdr]2[2()sinr2]62.

5、求I(xyLe)dx(yxey)dy，其中L是圆

周x2y22x从点A(2,0)到原点O(0,0)的一段弧.

解：P(x,y)xey,Q(x,y)yxey，

PQPyey,xey,故yQx， 曲线积分与路径无关。选择新路径AO，故

ILAO(xey)dx(yxey)dy02(x1)dx4.

ax12x23x36、当a,b取何值时，方程组4,2x2bx32,,2ax12x23x36有唯一解、无解、有无穷多解？

解：增广矩阵

a234a(A|B)02b223402b2a236

20232a34202b2 00b30当b3时，r(A|B)r(A)23，方程组有无穷多个解。

当b3时，r(A|B)r(A)3，方程组有唯一解。 五、证明题（本大题共3小题，每题5分，总计15分）

1、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)0,又

g(x)xf(t)dtx1abf(t)dt，证明：g(x)0在(a,b)内有且仅有一个根.

证明：易知g(x)在[a,b]上连续，

g(a)a1b1bf(t)dtaf(t)dt0,g(b)baf(t)dt0,g(a)g(b)0，

故由零点定理得，方程g(x)0在(a,b)内至少存在一个根。 又g(x)f(x)1f(x)0,故方程g(x)0在(a,b)内最多有一个根。

综上所述，方程g(x)0在(a,b)内有且仅有一个根.

2、求证：当x0时，有不等式

x1xln(1x)x. 证明：设f(x)ln(1x)，易知函数f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导且f(x)11x， 由拉格朗日中值定理得：f(x)f(0)xf()，

即f(x)f(0)x1，其中0x. 又

11x111，因此x1xln(1x)x. 3、已知{an}是等差数列，an0，证明级数1n1an发散.

证明：{an}是等差数列，an0，故设

ana1(n1)d,d0。

于是1n1a1，取v1nnn1a1(n1)dn，又

1lima1(n1)d1n1d n而11n1n发散，由比较审敛法的极限形式得发

n1an散。

西华大学2015年专升本

（高等数学）答案

一、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）

1、若级数|an|收敛，则级数(1)nan也收敛. n1n1( √ )

2、函数yx2ex是微分方程y2yy0的解. (  )

3、无穷小量的倒数是无穷大量. (  )

、方程x2z2491在空间中所表示的图形是椭圆柱

面. ( √ )

5、n元非齐次线性方程组AXB有唯一解的充要条件是r(A)n. (  )

二、填空题（把答案填在括号中。本大题共4个小题，每小题4分，总计16分）

1、已知f(x)是R上的连续函数，且f(3)2,则

3xlim3x22xfx12x25x61x（ 2e6 ）

2、由方程xyzx2y2z22所确定的函数zz(x,y)在点(1,0,1)处的全微分dz（ dx2dy ） 3、改变二次积分I22y0dyy2f(x,y)dx的次序，

则I（

4x0dxxf(x,y)dy ）

24、f(sin2x)tan2x,(0x1)，则f(x)（ xln(1x)C ）

三、求解下列各题（本大题共10小题，每小题6分，总计60分）

2x1、求极限limx2tantdtx01cosx.

2x解：limx2tantdt2tan2x2xtanx2x01cosxlimx0sinx

2tan2x2xtanx2limx0sinxlimx0sinx lim4x2x0xlimx3x0x4 2、设f(x)xsin1,x0,求f(xx). 0,x0解：当x0时，

f(x)sin1xxcos1x(1111x2)sinxxcosx.

当x0时，

x1f(0)limf(x)f(0)sinx0xlimxx0xlimsin1x0x不存在。 3、求不定积分cos5xsinxdx.

解：原式(1sin2x)2sinxdsinx

(12sin2xsin4x)sinxdsinx

159(sin2x2sin2xsin2x)dsinx23113sin2x47227sinx11sin2xC 4、求曲线ysinx,zx2上点(,0,2)处的切线

和法平面方程. 解：ycosx,z12， y|1(,0,/2)1,z|(,0,/2)2， 故切线的方向向量为s(1,1,12)。

故切线方程为

xyz1211，

2法平面方程为(x)y12(z2)0，即

xy12z540.

5、求微分方程dxxydyy2dxydy的通解.

解：y(x1)dy(y21)dx，分离变量ydxyy21dyx1，两边积分y21dydxx1得，12ln(y21)ln(x1)12lnC,故通解为

y21C(x1)2。

6、求由曲线yx2,xy2及x轴所围成的区域绕x轴旋转所成立体的体积.

解：V1220(x2)dx1(2x)2dx

85315. 7、当a,b为何值时，线性方程组

x1x2x3x4x5a3x12x2x3x43x50x22x32x46x5b有解. 当其有解5x14x23x33x4x52时，求出其全部解.

11111a解：增广矩阵(A|B)321130 01226b54331211111a012263a01226b 0122625a11111a012263a00000b3a， 0000022a当a1或b3a时，r(A)r(A|B)，方程组无

解；

当a1且b3a3时，r(A)r(A|B)25，方程组有无穷多个解，此时

111111(A|B)012263000000000000101152012263000000 000000101152012263， 000000000000即x12x3x45x5x232x，

32x46x5x12x3x45x5x232x32x46x5亦即xx33

x4x4x5x5x1211x5232201x6x即330x40xx4005。 10x50001故通解为

x1211x23252x01k6310k20kx03.其中4001x50001k1,k2,k3为任意常数。

8、计算二重积分

ln(1x2y2)dxdy,其中DD:x2y2R2(R0),x0,y0.

解：原式

ln(1r2)rdrd2R20dln(1r)rdr

D0R20ln(1r2)rdrR40ln(1r2)d(r21)

4[(r21)ln(r21)RR(1r2)dln(r2001)]4[(R21)ln(R21)r2R0]

24[(R21)ln(R1)R2]。

9、计算曲线积分ILy2xdyx2ydx,其中L是

圆周x2y2a2,逆时针方向为正. 解：P(x,y)x2y,Q(x,y)xy2，

Pyx2,Qxy2，由格林公式得 ILy2xdyx2ydxQPDxydxdy (x2y2)dxdyr2rdrd DD2dar300dr2a4。

10、判别级数的敛散性. (1)

n!n1nn

解：lim

un1nun(n1)!(n1)n1 limnn!nn故xtanx

x。

cos2xnn11limlim1， n(n1)nn1ne(1)nn!由比值审敛法得n收敛。

n1n1n(2) ncos

4n111n1解：|ncos|n，又因为n收敛，由比

4n11n|收敛， 较审敛法得|ncos4n11n故ncos绝对收敛。

4n1四、证明题（本大题共2小题，每题7分，总计14分）

1、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且

f(a)f(b)0,证明在(a,b)内至少存在一点，使f()2015f()0.

证明：令F(x)e2015xf(x)，

易知F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且

F(x)e2015xf(x)2015e2015xf(x)

F(a)e2015af(a)0，F(b)e2015bf(b)0，故F(a)F(b)。

由罗尔定理得在(a,b)内至少存在一点，使F()0，

2015f()2015e2015f()0，故又即ef()2015f()0.

x2、证明：对0x,xtanx成立. 22cosx证明：设f(x)tanx,x[0,x].

易知f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，且

1f(x)，

cos2x由拉格朗日中值定理得f(x)f(0)xf()，

x0x，即tanx。

cos2111，

cos2cos2x