高教学刊 教海探新 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ２０１６年２４期 数学分析中关于极限概念的几点教学体会术 黄仁帅 （百色学院，广西百色５３３０００） 摘要：极限理论是数学分析的基础理论，贯穿数学分析整个学科，在数学分析的理论体系中具有重要地位。在 数学分析的教学实践中发现，由于极限概念本身的抽象性，学生对极限概念难以理解。文章就学生在学习极限概念 时感到困惑的原因进行分析，并就教师在教学中如何把握极限概念的教学给予一点建议。 关键词：数学分析；极限理论；极限概念 中图分类号：０１７１ 文献标志码：Ａ 文章编号：２０９６一Ｏ００Ｘ（２０１６）２４—０１２０—０２ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｔｈｅｏｒｙ ｉＳ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ０±ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ．ｗｈｉｃｈ ｒｕｎｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｃｏｕｒｓｅ ０±ｍａｔｈ— ｅｍａｔｉｃｓ ａｎａｌｙｓｉｓ，ａｎｄ ｐｌａｙｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｉｎ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｐｒａｃｔｉｃｅ，ｉｔ ｉｓ ｆｏｕｎｄ ｔｈａｔ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｃａｎｎｏｔ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｌｉｍｉｔ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｓｔｒａｃｔ ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｃｏｎｃｅｐｔ ｉｔｓｅｔｆ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｍａｋｅｓ ａｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎｓ ｗｈｙ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｆｅｅｌ ｃｏｎｆｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｌｉｍｉｔ，ａｎｄ ｇｉｖｅｓ ｓｏｍｅ ａｄｖｉｃｅ ｏｎ ｈｏｗ ｔｏ ｇｒａｓｐ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｌｉｍｉｔ ｉｎ ｔｅａｃｈｉｎｇ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｌｉｍｉｔ ｔｈｅｏｒｙ；ｌｉｍｉｔ ｃｏｎｃｅｐｔ 数学分析的真正意义上的创立始于１７世纪发展形成的 至极限概念的精确化共经历了约两千多年 据已有文献，公 微积分学科，但极限理论作为数学分析的基础理论却是到１９ 元前五世纪开始已经产生了一些朴素极限思想，如古希腊雅 世纪末才得以完善。极限理论作为数学分析的基础，贯穿于整 典时期形而上学学者Ｚｅｎｏ的“神行太保Ａｃｈｉｌｌｅｓ永远追不上 个数学分析学科。因此，学好极限概念是学习与掌握数学分析 乌龟”悖论和Ａｎｔｉｐｈｏｎ为解“化圆为方”问题的穷竭法，中国古 的关键。并且，数学分析作为数学专业的一门主干基础课，对 代梁国宰相施的“一尺之棰，日取其办，万世不竭”与魏晋时期 学好其他后续课程意义重大，这进一步地突显了学好极限概 数学家刘徽的“割圆术”等都涉及了极限的思想。 念的重要作用。 到了１７世纪上半叶，随着自然科学领域的重大突破（行 极限概念作为学生学习数学分析时要掌握的第一个重要 星运动三大定律、自由落体定律、动量定律等），人们迫切需要 概念，数学分析中的很多重要概念都是通过极限来定义，如导 新的数学工具来解决所面临的新问题，“微积分”应运而生。然 数定义为差商的极限、数项级数定义为部分和数列的极限、定 而，虽然微积分的诞生和发展在众多领域都取得了丰硕的成 积分定义为黎曼和的极限等。事实上，以上概念定义的叙述都 果，并引发了世界范围内的一场科学革命，但由于Ｎｅｗｔｏｎ和 只需在极限定义叙述的基础上依具体问题稍作修改即可。然 Ｌｅｉｂｎｉｚ在１７世纪下半叶分别建立的微积分缺乏稳固的基础， 而，从数学分析的教学中不难发现，由于极限概念抽象、定义 引发了数学发展史上的第二次危机。 叙述冗长、符号关系复杂，导致学生对极限概念理解模糊，难 在微积分创立后的一百多年中，由于基础的不牢固，人们 以掌握。因此，把握好极限概念这一部分的教学对学生学习数 在分析问题时得到了许多错误的结论，这使得数学家们认识 学分析具有重大意义，直接关系着学生对数学分析及后续数 到必须为分析建立严格的基础。经过众多数学家的努力，尤其 学相关课程的学习与掌握。文章就学生在学习极限概念时感 是法国数学家Ｃａｕｃｈｙ和德国数学家Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ的突出工作， 到困惑的原因进行分析，并就教师在教学中如何把握极限概 最终消除了第二次数学危机并从根本上解决了第一次数学危 念的教学给予一点建议。 一机。Ｃａｕｃｈｙ对微积分的基本概念给出了明确的定义，将导数、 积分、级数等都看成是某种极限过程，为分析的严格化迈出了 、极限概念的精确化历程 极限概念是数学分析中最重要的概念，且是学生学习数 关键的一步。Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ的突出贡献在于为分析的严格化创 学分析第一个要接触的较复杂的概念，故而很多学生都觉得 造了ｓ一８语言，使分析从直观的描述性语言中解放出来，并依 极限概念不好理解，难以弄清极限为何如此定义的缘由。因 此建立了实数理论，使得分析的严格化得以最终完成。 此，还需让学生对极限的发展历程有一个清晰的认识。 从极限概念的精确化历程来看，由朴素极限思想的萌芽 二、极限概念的教学 用极限去研究函数是数学分析区别于初等数学的一个显 ￥基金项目：广西高校中青年教师基础能力提升项目ｆＫＹ２０１６ＬＸ３５４）；百色学院校级教育教学改革工程项目（２０１６ＪＧ５４） 作者简介：黄仁帅（１９８７一），男，广西贺州人，百色学院教师，研究方向：数学与应用数学。 ——１２０－ 高教学刊 ２０１６年２４期 Ｊｏｕｒｎ￣ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ 教海探新 著标志，数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。因此，学 ｎ＋ｐｉ／２）”，然后重复上述操作即可得图２。 习数学分析的学生必须学好极限，教数学分析的教师必须教 好极限。 从以往的教学情况来看，对于极限的定义阁： “ｎ１ａｍ 口 ＝ａ兮 ＞０， Ⅳ∈Ⅳ＋，Ｖｎ＞Ｎ，～恒有｝ａ 一ａｌ＜ｓ”， ｝∞ 一 大多学生会有以下两点疑惑： １．关于正数“ｓ”。首先，ｓ具有绝对的任意性，这样才能使 得数列｛ａ ）无限的趋近于ａ。另外，８又具有相对的固定性，这 样才能估算ａ 与ａ的接近程度。正是ｅ的这种两重性给学生 带来了很大的困惑，导致学生不理解Ｍｅ（Ｍ为正的常数）、 、／ｓ、８ 等在本质上是一样的，也不理解为什么有时候可以 将ｓ限定在一些较小的范围内（如（０，ｌ】、（ｏ， 】等）。 二 ２．关于“ ＮｅＮ＋”。一方面，正整数Ｎ是通过解不等式 图１数列｛ａ ）的图像 “ｌａ 一ａｌ＜ｅ”来确定的，即Ｎ的值跟ｓ有关。另一方面，正整数Ｎ 并不是唯一的，它并不是关于ｓ的函数。这种跟ｅ“若即若离” 的模糊感，使得许多学生不敢轻易确定正整数Ｎ的取值。再 者，由于常常将Ｎ看成是一个充分大的正整数，故而很多时 候在证明的开始就限定了Ｎ要大于某些正数，如Ｎ ７或Ｎ＞ ９等，这进一步使得学生对极限概念的逻辑结构的理解混乱 不清。 针对上述两点，要求教师在讲授极限概念时必须反复强 调以下两点： １．关于正数“８”，必须强调ｓ在给定之前是任意的，并且 应该是较小的一个正数，但在给定之后就是一个常数。ｓ的绝 对任意性是通过无限多个相对固定性来进行刻画的，是一个 运动的无限过程，不能用静止、不变的观点来进行分析。 图２数列｛ｂ ｝图像 ２．关于“ ＮｅＮ＋”，强调Ｎ的是由相对固定的８代人不等 可以看到，虽然两个图像步调不太一致，但随着ｎ变得越 式“ｌａ．一ａｌ＜ｅ”求解得到。接着，由于８绝对任意性，Ｎ的取值又 来越大，两个数列最后都趋向于１。 随￡的变化而变化。但是，由于Ｎ的不唯一性，所以不能说Ｎ 通过这样的方式，不仅让抽象的极限概念用图形直观的 是ｓ的一个函数，只是说跟ｅ有关而已。 表现出来，也利于培养学生的学习兴趣和学以致用的意识，使 为加深学生对上述两点的理解，在教学中除了采用讲授、 课堂变得更有趣。 讨论、练习相结合的方式外，还可以通过Ｍａｔｌａｂ软件的画图 三、结束语 功能对一些数列的极限过程进行动态演示，引起学生的学习 极限概念作为数学分析的第一个重要概念，教师必须把 兴趣。 握好这一概念的教学。从多个角度入手进行分析讲解，将极限 例如，观察数列ａ ：ｓｉｎ（旦＋ ）ａｎ￣Ｓｉｎ（ ＋ ），当 趋 概念中各个量的抽象关系理清楚，并给学生以直观的展示。 １ｌ 二 ＩＩ 二 参考文献 于无穷时的变化趋势。在Ｍａｔｌａｂ的命令窗口输人如下程序［３１： ［１】马知恩，王绵森．高等数学疑难问题选讲［Ｍ】．北京：高等教育 ｃｌｃ；ｃｌｅａｒ；ｎ＝１：１００； 出版社．２０１４． ａｎ＝ｓｉｎ（１０．／ｎ＋ｐｉ／２）； ［２】刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义［Ｍ 匕京：高等教育出版社， ｆｏｒ ｉ＝ｌ：１００ ２００８． ｐｌｏｔ（ｎ（ｉ），ａｎ（ｉ），‘ｒｄ’） ［３】胡良剑，孙晓君．ＭＡＴＬＡＢ数学实验［Ｍ】．北京：高等教育出版 ｈｏｌｄ ｏｎ 社．２００６． ｐａｕｓｅ ｅｎｄ 然后通按回车键，可再现数列｛ ｝随ｎ的变化所生成的点 列的图形，最终得到的图形如图１。要想观察数列ｆｂ ｝散点图， 只需将程序中的“ａｌｌ＝ｓｉｎ（１０．／ｎ＋ｐｉ／２）”改写成“ｂｎ＝ｓｉｎ（２０．／
