第一章 三角形的证明
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
1．等腰三角形两边的长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( ) A．12 B．15 C．12或15 D．18
2．如图1，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是( )
图1
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D 3．下列命题的逆命题是真命题的是( )
A．如果a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等 C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝6，则|a|＝|6|
4．如图2，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A，C两地相距( )
图2
A．30海里
B．40海里 C．50海里
D．60海里
5．如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
1
图3
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
6．如图4，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于1
点D，再分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，
2过点E作射线OE，连接CD.则下列说法错误的是( )
图4
A．射线OE是∠AOB的平分线 B．△COD是等腰三角形
C．C，D两点关于OE所在直线对称 D．O，E两点关于CD所在直线对称 7．如图5，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
图5
A．6 B．5 C．4 D．3
8.如图6，长方体的底面边长分别为2 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要( )
图6
A．11 cm
B．2 34 cm C．(8＋2 10)cm D．(7＋3 5)cm
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
9．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为________.
2
10．用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是直角”时，第一步应假设________________________________________________________________________．
11．如图7，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝6 cm，则CD的长为________cm.
图7
12.如图8，在△ABC中，AB＋AC＝6 cm，BC的垂直平分线l与AC交于点D，则△ABD的周长为________cm.
13．如图9，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．
图9
14．如图10，∠BOC＝60°，A是BO延长线上的一点，OA＝10 cm，动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t＝________s时，△POQ是等腰三角形．
图10
三、解答题(本大题共4小题，共44分)
15．(10分)如图11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若AC＝6，BC＝8，CD＝3. (1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．
图11
3
16．(10分)如图12，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O.
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，并证明．
图12
17．(12分)如图13，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC全等吗？请说出你的理由； (2)试说明AE∥BC.
图13
4
18．(12分)如图14，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，点D从点A开始以1 cm/s的速度向点C运动，点E从点C开始以2 cm/s的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动的时间为t s，过点E作EF∥AC交AB于点F.
(1)当t为何值时，△DEC为等边三角形？ (2)当t为何值时，△DEC为直角三角形？ (3)求证：DC＝EF.
图14
5
详解详析
作者说卷
经历探索、猜测、证明的过程，了解作为证明基础的几条定理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式，能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理，体会证明的重要性；能够证明与三角形、线考查意图 段垂直平分线、角平分线等有关的性质定理和判定定理，培养学生的逆向思维能力，增强论证趣味性，激发学生学习数学的兴趣和信心，同时体会逻辑证明在实际中的意义和作用．本套试卷易、中、难比例控制在7∶2∶1左右 三角形全等 等腰三角形 知识与技能 勾股定理及其逆定理 线段的垂直平分线 角平分线 思想方法 亮点 1．[解析] B ①当3为底边长时，腰长为6，可以构成三角形，此时三角形的周长为15；②当3为腰长时，其他两边长为3和6.∵3＋3＝6，∴不能构成三角形，故舍去．故选B.
2．[答案] C
3．[解析] C A项，“如果a＞0，b＞0，则a＋b＞0”的逆命题是“如果a＋b＞0，则a＞0，b＞0”，是假命题；B项，“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”，是假命题；C项，“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是真命题；D项，“若a＝6，则|a|＝|6|”的逆命题是“若|a|＝|6|，则a＝6”，是假命题．故选C.
4．[解析] B 连接AC.由题意得∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝40海里．故选B.
5．[答案] D
6．[解析] D 由作图可知射线OE是∠AOB的平分线，OC＝OD，所以△COD是等腰
6
2，17 1，4，9，14，18 13，15(2) 12，13，16 6，11，15(1) 13，14 方程思想、转化思想、分类讨论思想 第12题要注意把△ABD的周长转化为线段AB＋AC的长
三角形；易证OE⊥CD，且OE平分CD，即C，D两点关于OE所在直线对称，故选项A，B，C均正确．只有选项D错误．
7．[解析] D ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DF＝11
DE＝2.又∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，AB＝4，∴7＝×4×2＋AC×2，∴AC＝3.故选D.
22
8．[答案] B 9．[答案] 40°
[解析] 因为等腰三角形的一个底角为70°，所以另外一个底角也为70°， 根据三角形内角和定理，可得它的顶角为40°.
10．[答案] 一个三角形中有两个角是直角
[解析] 用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角时，应先假设这个三角形中有两个角是直角．
11．[答案] 6 12．[答案] 6
[解析] 根据线段垂直平分线的性质定理，得BD＝DC，所以所求△ABD的周长就转化为求线段AB，AD，DC的和，即AB＋AC，所以△ABD的周长为6 cm.
13．[答案]
13
6
[解析] 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知AE＝EC.设AE＝x，13
则EC＝x，DE＝3－x，DC＝2，在Rt△DCE中，有22＋(3－x)2＝x2，解得x＝.所以CE
613的长为.
6
14．[答案]
10
或10 3
[解析] 当点P在OA上，PO＝QO时，△POQ是等腰三角形，如图①所示．∵PO＝AO－AP＝10－2t，OQ＝t，
10
∴10－2t＝t，解得t＝；
3
当点P在OB上，PO＝QO时，△POQ是等腰三角形，如图②所示． ∵PO＝AP－AO＝2t－10，OQ＝t， ∴2t－10＝t，解得t＝10. 10
故答案为：或10.
3
7
15．解：(1)∵∠C＝90°，∴AC⊥CD. 又AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴DE＝CD.
又CD＝3，∴DE＝3.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10， 11∴S△ADB＝AB·DE＝×10×3＝15.
22
16．解：(1)证明：∵AD为△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°. 在Rt△AED和Rt△AFD中， ∵DE＝DF，AD＝AD， ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)， ∴AE＝AF. 又∵DE＝DF，
∴点A，D都在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF. 1
(2)DO＝AD.
4
1
证明：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠EAD＝30°，∴DE＝AD.
2∵∠EAD＝30°，DE⊥AB，AD⊥EF， ∴∠DEO＝30°，
11∴DO＝DE，∴DO＝AD.
2417．解：(1)△DBC和△EAC全等．
理由：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，
∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中，
8
∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC， ∴△DBC≌△EAC(SAS)． (2)∵△DBC≌△EAC， ∴∠EAC＝∠B＝60°. 又∵∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC.
18．解：由题意得AD＝t cm，CE＝2t cm. (1)若△DEC为等边三角形，则EC＝DC， ∴2t＝6－t，解得t＝2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形． (2)若△DEC为直角三角形，当∠CED＝90°时， ∵∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠CDE＝30°， 11
∴CE＝DC，∴2t＝(6－t)，解得t＝1.2；
22当∠CDE＝90°时，同理可得∠CED＝30°， 1
∴CE＝DC， 2
1
∴×2t＝6－t，∴t＝3， 2
∴当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形． (3)证明：∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm， ∴BC＝12 cm，
∴DC＝(6－t)cm，BE＝(12－2t)cm. ∵EF∥AC， ∴∠BFE＝∠A＝90°. ∵∠B＝30°，
11
∴EF＝BE＝(12－2t)＝(6－t)cm，
22∴DC＝EF.
[点评] 本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质，正确地识别图形是解题的关键．www.czsx.com.cn
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