数学春季高考各章主要公式汇总

第一章 集合与数理逻辑用语

1．如果AB，同时BA，那么A = B. 2．如果AB，BC，那么AC

3．AA；φA； A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A； 4．A∩B＝AA∪B＝BAB；

5．A∩ UA＝φ； A∪ UA＝U； U( UA)＝A； U(A∪B)＝ UA∩ UB

6.常用数集：自然数集N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R、空集φ 7．充分条件与必要条件：

对命题p和q，若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

当pq时，即p即是q的充分条件，p又是q的必要条件，称p是q的充要条件。 8. 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。三种形式：p或q、p且q、非p 真假判断：p或q，都假才假，否则为真；p且q，都真才为真；非p，真假相反

第二章 方程与不等式

一、一元二次方程

2

1．一元二次方程的的一般形式ax+bx+c=0(a≠0)

2．解一元二次方程的基本方法有求根公式法，直接开平方法，配方法和因式分解法。 4．ax+bx+c=0(a≠0)求根公式:x1,2=bb4ac( b-4ac≥0)

2a2

4．一元二次方程的判别式：△=b-4ac

(1)△>0一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)△=0一元二次方程有两个相等的实数根； (3)△<0一元二次方程的没有实数根。 5. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

222

设方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则两根与系数a、b、c关系为: x1＋x2=b； x1.x2=c

2

aa2226．配方法：ax2+bx+c=a[x2+bx+b-b]=a(x+b)2+4acb

a2a2a2a4a（提出系数a后，加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方） 二.一元二次不等式的解法

ax2+bx+c>0(a>0) 和ax2+bx+c<0(a>0)为例列表如下: =b2-4ac >0 =0 类 型 二次函数 y= ax2+bx+c <0 ax2+bx+c =0 ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0 {x1， x2} (x1x2或x|x|>a(a>0)解集为{x|x>a或x<-a}

|x|0)解集为{x|-a第三章 函数

1.函数单调性的定义：若函数y＝f(x)的定义域是D，对于任意的x1，x2D，且x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是区间D上的增函数；当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数。区间D称为函数f(x)的单调区间。若记△x=x2-x1， △y=f(x2)-f(x1)，当y>0，则y=f(x)在区间D上是增函数；当y<0，则y=f(x)在区间D上

xx是减函数

3

2.奇函数 当f(-x)= -f(x) 图象关于原点对称，如：y=x

2

偶函数 当f(-x)=f(x) 图象关于y轴对称，如：y=x

3 (a，b) b b (a，b) (-a， b) y=x

3、二次函数的定义及表达式

-a a

a -a 2（1）形如y＝ax＋bx＋c（a≠0）的函数叫二次函数．二次函数的解析式根据不同的条件，有三种形式： (-a，-b) -b ①一般式：y＝a x2＋b x＋c（a≠0）；

②顶点式：y＝a (x－h)2＋k（a≠0）其中抛物线的顶点为(h，k)；

③交点式：y＝a( x－x1)(x－x2) （a≠0）其中抛物线与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)． （2）二次函数 y= ax+bx+c(a≠0)性质

2

b2① 顶点坐标(-b，4acb) ②对称轴方程x=- 2a2a4a2③a>0时，开口向上，ymin=4acb

4a在对称轴左侧，减函数； 在对称轴右侧，增函数。

④a<0时，开口向下，ymax=4acb

4a2在对称轴左侧，增函数；在对称轴右侧，减函数。

（3）几种特例

1．c=0是y=ax+bx+c图象过原点的充要条件。

2．y= ax+bx+c为偶函数的充条件为b=0，解析式变为y=ax+c，此时图象关于y轴对称，顶点在y轴上为(0，c)。 3．y= ax图象顶点在原点，关于y轴对称。 （4）二次函数的△与图象与x轴交点个数的关系

1．当△>0，二次函数有两个根，图象与x轴有两个交点

2．当△=0，二次函数有两个等根，图象与x轴有一个交点，即顶点(在x轴上)； 3.当△<0，二次函数无实根，图象与x轴无交点。当a>0时，图象恒在x轴上方， 当a<0时，图象恒在x轴下方。

（5）二次函数f(x)= ax+bx+c的对称性

2

22

2

2

设二次函数的对称轴方程为x=h，则对任意实数x，二次函数满足 f(h+x)=f(h-x)，

即自变量到对称轴距离相等，函数值就相等。 当a>0时，自变量到对称轴距离越大，函数值变越大；

当a<0时，自变量到对称轴距离越大，函数值变越小； 设二次函数两根为x1、x2，则有x1+x2=2h．

第四章 指数函数与对数函数

1．指数函数和对数函数的概念， 性质和图象如下表: 定 义 定义域 值 域 奇偶性 图象 单调性 a>11 时， 在定义域内为增函数 1 时， 01时， 1 在定义域内为增函数 01 x指数函数 y=a (a>0， 且a1) x  R y > 0 非奇非偶 01 对数函数 y = logax (a>0且a1) x > 0 y  R 非奇非偶 0第五章 数列

等差数列与等比数列 定义 等差数列 an+1-an=d(常数，n∈N) *等比数列 an*=q (q≠0， 常数，n∈N) an1an=a1q Sn=na1 n-1通项公式 an=a1+(n-1)d 前n项和的公式 n(a1an)Sn = 2(q=1时) Sn=na1+n(n1)d 2a1(1qn)Sn= 1qSn=a1anq (q≠1) 1qG=±ab 中项 性质 A=ab 2am， an， ap，aq中， 若m+n=p+q am， an， ap，aq中， 若m+n=p+q 则am+an=ap+aq 则am·an= ap·aq 第六章 平面向量 1、向量加法AB+BC=AC 2、向量减法 OA-OB=BA 3、a∥ba=λb(λR， b≠a) 4、a=(a1，a2) b=(b1，b2) λR

①a+b=( a1+b1， a2+b2) ②a-b=( a1-b1， a2-b2) ③λa=(λa1， λa2)5、a∥b

a1a22= 6、 设a=(a1，a2)，则 |a|=a12a2 b1b27、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2- x1，y2- y1)

8、两点间距离公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则dAB=|AB|=(x2x1)2(y2y1)2 9、中点公式 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x，y)，则x＝x1x2 y＝y1y2

2210、向量内积a·b＝|a| |b|cos 11、a⊥ba·b=0

12. cos|a||b|14、a⊥b a1b1+ a2b2=0 15、|a|=a·a(|a|=aa)

2

第六章 空间几何体

(一)多面体、旋转体侧面积：

1.直棱柱侧面积：Sch；

1ch， 23.圆柱侧面积：Sch2rh，

14.圆锥侧面积：Sclrl，

22.正棱锥侧面积：S5.球的表面积：S4r

(二)多面体、旋转体体积公式：

1.柱体：VSh; 圆柱体：Vrh

2211Sh; 圆锥体：Vr2h。 3343 3.球体：Vr

3

2.锥体：V(三)几个基本公式：

1. 弧长公式：lr（是圆心角的弧度数，>0）；

2.扇形面积公式：

S1lr； 2 第七章 三角

1、所有与角α始边与终边分别相同的角构成的集合为{x|x=α+k·360°kZ} 2、2π=360° πrad=180° 1rad=(180)°=57°18′=57.30° 1°=rad

1803、三角函数在各象限的符号(掌握)

+ + — + — + — — — + + — sinx cosx tanx 4、同角三角函数的基本关系 ① sinα+cosα=1 ② tanα=sina

2

2

cosa5、诱导公式：

⑴sin(α+2 kπ)=sinα cos(α+2 kπ)=cosα tan(α+2 kπ)=tanα ⑵ sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα

⑶sin（π+α）=-sinα cos（π+α）=-cosα tan（π+α）=tanα

⑷ sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα ⑸ sin(α+)=cosa cos(α+)=-sinα

22(6) sin(-α)=cosα cos(-α)=sinα 226、三角函数的图象与性质

(1)正弦函数图象 y=sinx xR

五点法 (0，0),(π，1),(π，0),(3，-1),(2π，

2（1） y 正弦函数性质 ①定义域 R

②域值1

[-1，1]; 当x=+2kπ(kZ)时，ymax=1;当22π

x -+2kπ(kO Z)时，πy

min= -1 2-1

③周期性 T=2π

④奇偶性 sin(-x)=-sinx 奇函数

⑤单调性 [-+2kπ， +2kπ] 单调增 ; [+2kπ，3+2kπ] 单调减 kZ

22227、求y=asinα+bcosx=a2b2sin(x+θ)的最大值、最小值和周期

最大值为a2b2 最小值为 -a2b2 周期为2π)，其中tanθ=b

atanθ=3，θ=36；tanθ=3，θ=3；tanθ=1，θ=4；

8、和角公式:

① sin(+)=sincos+cossin; sin(-)=sincos-cossin ②cos(+)=coscos-sinsin; cos(-)=coscos+sinsin ③tan(+)=tantan; tan(-)=tantan

1tantan1tantan9、倍角公式:

①sin2α=2sinαcosα;②cos2α=cos2α-sin2α =2cos2α-1=1-2sin2

α

③tan2α=2tana

1tan2a10、余弦定理

①a2=b2+c2-2bccosA ② b2=a2+c2-2accosB ③ c2=a2+b2

-2abcosC

由三边求三角: cosA=b2c2a2; cosB=a2c2b2 ; cosC=a2b2c2 2bc2ac2ab11、正弦定理 a=b=c

sinAsinBsinC12、三角形的面积公式: S=1bcsinA=1acsinB=1absinC

22213、常用三角函值表

0)

x=

第九章 平面解析几何

1、直线的点向式方程 已知点P(x0，y0)和非零向量v=(v1，v2)，则过点P0与v平行的直线L方程为：xx0=yy0

v2v1

其中v=(v1，v2)叫直线L的方向向量。

2、直线的斜率 ①k=tana(a≠) (其中a为直线L的倾斜角)

2 ②设L方向向量为v=(v1，v2)，则k=tana=

v2 v1x2x1③若直线L上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则L斜率 k=y2y1(x2-x1≠0)

3、直线的点斜式方程：已知直线L过点P(x0，y0)，斜率为k，则L方程为：y-y0=k(x-x0)

4、直线的点法式方程：已知n=(A，B)，点P0(x0，y0)，则过点P0(x0，y0)与n垂直的直线方程L为：A(x-x0)+B(y-y0)=0

叫直线L的点法式方程，n叫L的法向量。 如果n=(A，B)，则方向向量v=(B，-A)

5、直线的一般式方程 Ax+By+C=0(A，B不全为零) ① 法向量n=(A，B) ②方向向量v=(B，-A)或(-B，A) 6、两条直线的位置关系： 两条直线 L1：A1x+B1y+C1=0；L2：A2x+B2y+C2=0

(1)L1∥L2A1=B1≠C1

A2B2C2a° 0° 30° a 0 弧度 sina 0 cosa 1 tana 0 45° 1 60° 90° 120° 135° 1 0 无 2π 33π 4150° 180° 270° 56360° (2)L12π 0 1 0 

和L2重合

π π 0 -1 0 -1 0 无 -1 2 -22 A1B1C1== A2B2C2（3）L1和L2相交

A1B1

A2B2（4）两条直线垂直的条件：L1⊥L2A1A2+B1B2=0

7、若L1：Ax+By+C=0，L1∥L2，则L2可设为：Ax+By+D=0; 若L1⊥L2，则L2可设为：Bx-Ay+D=0

-3 -1 8、点p(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0By0C|

A2B29、两平行直线距离L1：Ax+By+C1=0，L2：Ax+By+C2=0， 距离d=|c1c2|

A2B210、圆的方程

222

(1)以C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程(x-a)+(y-b)=r，

222

以(0，0)为圆心，r为半径的圆的方程x+y＝r

2222

(2)圆的一般方程: x+Y+Dx+Ey+F=0， 当D+E－4F＞0时表示圆 圆心(-D，-E) r=1222D2E24F

(3) 直线与圆的位置关系，通常转化为圆心到直线的距离d与半径r的关系解决问题。

ｄ>r相离 d=r相切 d(1)椭圆定义: 椭圆上动点M满足 |MF1|+|MF2|=2a，焦距 |F1F2|=2c

22222

(2)焦点在x轴上椭圆标准方程 xy1(a＞b＞0)其中b=a-c F1(-c1，0)、F2(c，0)

22aab焦点在y轴上椭圆标准方程 yx1(a＞b＞0) 22b22

22F2(0，-c) (3)椭圆的几何性质 x+y＝1(a>b>0)①范围：|x|≤a，|y|≤b ② 对称性：关于x轴，y轴对称 ③顶点：A1(-a，0) 、

a2b2FF2(c，0) 1(-c，0) A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)，A1A2叫长轴，长为2a ；B1B2叫短轴，长轴2b， a叫长半轴长 ; b叫短半轴长 ④离心率e=c(0aF1(0，-c) 12、双曲线

(1)定义：平面内与两个定点F1，F2距离差的绝对值等于常数(2a，2a<2c 2c=|F1F2|且不等于0)的点的轨迹叫双曲线，

两定点叫焦点 |F1 F2|＝2C |MF1|-|MF2||=±2a (2)焦点在x轴上双曲线标准方程 x －y＝1(a>0，b>0) 其中b＝c－a

2

2

2

22a22b22焦点在y轴上双曲线标准方程:y －x＝1(a>0，b>0) a222b2(3)双曲线的几何意义:x －y＝1(a>0，b>0)①范围 |x|≥a x≥a或x≤-a ②对称性 关于x轴y轴对称 ③顶点

a2b2A1(-a，0)、 A2(a，0)，A1A2叫实轴，长为2a， B1B2叫虚轴，长为2b， a叫实半轴长， b叫虚半轴长 ④渐近线 y＝±bx ⑤离心率e＝c ∵c>a ∴e>1 e越大，开口越阔

aa13.抛物线 (1)定义: 到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹. 定点叫焦点，定直线叫准线 (2)标准方程:有四种形式如下

2222

y＝2px(p>0)； y＝-2px(p>0)； x＝2py(p>0)； x＝-2py(p>0) 方程 焦点 准线方程 图象 y＝2px(p>0) 2F(P，0) 2x＝-P 2 x＝y＝-2px(p>0) 2F(-P，0) 2P 2 x＝2py(p>0) 2F(0，P) 2y＝-P 2 x＝-2py(p>0) 2F(0，-P) 2y＝P 2 (3)几何意义y＝2px(p>0)①范围 x≥0 ②对称性：关于x轴对称 ③顶点：(0，0)④离心率：e＝1 14．椭圆、双曲线、抛物线的比较 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 顶 点 (a>b>0) (±a，0) (0，±b) (±c，0) 其中c=a-b a2X=± c2222

(a>0，b>0) (±a，0) (±c，0) 其中c=a+b 222y=2px(p>0) (0，0) 2焦 点 (p，0) 2准 线 中 心 有界性 |x|≤a |y|≤b x= |x|≥a p 2(0，0) x≥0 第十章 立体几何 1.基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。如下图：

条件 结论 线线平行 线面平行 如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b 面面平行 如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b 如果α∥β，aα，那么a∥β 垂直关系 线线平行 如果a∥b，b∥c，那么a∥c 如果a∥b，a如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b 线面平行 α，bα，那么a∥α 如果aα，bα，cβ，d—— —— 如果aα，bα，a∩b=P，a∥β，b∥β，那么α∥β 如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ 面面平行 β，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β 如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β 条件 结论 线线垂直 线面垂直 面面垂直 如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直 如果α⊥β，α平行关系 线线垂直 二垂线定理及逆定理 如果a⊥b，a⊥如果a⊥α，bα，那么a⊥b 如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c 线面垂直 c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α —— ∩β=b，aα，如果a⊥α，b∥a⊥b，那么a⊥β a，那么b⊥α 面面垂直 定义(二面角等如果a⊥α，a—— —— 于900) β，那么β⊥α 第十一章 排列 组合与二项式定理 1、计数原理

①加法原理：N=m1+m2+m3+…+mn (分类) ②乘法原理：N=m1·m2·m3·…mn (分步) 2、排列(有序)与组合(无序)

Amn =n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=

n! ， Ann =n!

(nm)!Cmn =n(n1)(n2)(nm1)n!

m!(nm)!m!3、组合数性质: Cmnm ； Cmm1= Cm1n= Cnn＋Cnn1

4、排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排

排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 5、二项式定理：

①(a+b)n=C0ax+C1n－112n－223n－33rn－rr n－1n－1nn

nnab+ Cnab+ Cnab+…+ Cnab+…+ Cnab+ Cnb

特别地：(1+x)n=1+C122rxr+…+Cnn

nx+Cnx+…+Cnnx

②通项公式：Trn－rr

r+1= Cnab 作用：处理与指定项、特定项、常数项等有关问题。

③主要性质和主要结论：对称性Cmn－m

n=Cn

最大二项式系数在中间(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项) 当n为偶数时，中间有一项为n+1；当n为奇数时，中间有两项为n1和n3

222所有二项式系数的和：C０

1

2

3

4

r

n

n

n+Cn+Cn+ Cn+ Cn+…+Cn+…+Cn=2

奇数项二项式系数的和＝偶数项二项式系数的和

C０２４６+ C８１３５７９n?-1 n+Cn+Cn+ Cnn+…＝Cn+Cn+Cn+ Cn+ Cn+…=2

第十二章 概率统计

１．必然事件 P(A)=1; 不可能事件 P(A)=0;随机事件的定义 0n以位置为主考虑，