2017年山东省春季高考数学试卷解析版

.

2017年山东省春季高考数学试卷

一、选择题

1．全集U={1，2}，集合M={1}，那么∁UM等于〔 〕 A．∅ B．{1} C．{2} D．{1，2} 2．函数

的定义域是〔 〕

C．〔﹣2，2〕 D．〔﹣∞，﹣2〕∪

A．[﹣2，2] B．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕 〔2，+∞〕

3．以下函数中，在区间〔﹣∞，0〕上为增函数的是〔 〕 A．y=x B．y=1 C．

D．y=|x|

4．二次函数f〔x〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕且最大值是5，那么该函数的解析式是〔 〕

A．f〔x〕=2x2﹣8x+11 B．f〔x〕=﹣2x2+8x﹣1 C．f〔x〕=2x2﹣4x+3 D．〔fx〕=﹣2x2+4x+3

5．等差数列{an}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，那么a5等于〔 〕

A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32

的单位向量的坐标是〔 〕

D．

6．A〔3，0〕，B〔2，1〕，那么向量A．〔1，﹣1〕 B．〔﹣1，1〕 C．

7．“p∨q为真〞是“p为真〞的〔 〕 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是〔 〕

jz*

.

.

A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6

9．以下说法正确的选项是〔 〕 A．经过三点有且只有一个平面 B．经过两条直线有且只有一个平面

C．经过平面外一点有且只有一个平面与平面垂直 D．经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直

10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量方程是〔 〕

A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0

11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，假设从中任意选出4个排成节目单，那么能排出不同节目单的数量最多是〔 〕

A．72 B．120 C．144 D．288

12．假设a，b，c均为实数，且a＜b＜0，那么以下不等式成立的是〔 〕 A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2 D．

的直线

13．函数f〔x〕=2kx，g〔x〕=log3x，假设f〔﹣1〕=g〔9〕，那么实数k的值是〔 〕 A．1

B．2

C．﹣1 D．﹣2 ，

，那么

D．18

等于〔 〕

14．如果A．﹣18

B．﹣6 C．0

15．角α的终边落在直线y=﹣3x上，那么cos〔π+2α〕的值是〔 〕 A． B． C．

D．

jz*

.

.

16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域〔阴影局部〕是〔 〕

A． B． C． D．

17．圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，假设圆C1的方程是〔x+5〕2+y2=4，那么圆C2的方程是〔 〕

A．〔x+5〕2+y2=2 B．x2+〔y+5〕2=4 C．〔x﹣5〕2+y2=2 D．x2+〔y﹣5〕2=4 18．假设二项式

的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，那么展

开式中的常数项是〔 〕 A．20 B．﹣20

C．15 D．﹣15

19．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最正确人选为〔 〕 成绩分析表

甲 乙 丙 丁

平均成绩 96 96 85 85 标准差s

4

2

4

2

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 20．A1，A2为双曲线

〔a＞0，b＞0〕的两个顶点，以A1A2为直径的圆

，那么该双

与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，假设△A1MN的面积为曲线的离心率是〔 〕 A．

jz*

B． C． D．

.

.

二、填空题：

21．假设圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥的侧面积等于． 22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，那么cosA=． 23．F1，F2是椭圆

+

=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，那

么△PQF2的周长等于．

24．某博物馆需要志愿者协助工作，假设从6名志愿者中任选3名，那么其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是． 25．对于实数m，n，定义一种运算：

，函数f〔x〕=a*ax，其中0

＜a＜1，假设f〔t﹣1〕＞f〔4t〕，那么实数t的取值范围是．

三、解答题：

26．函数f〔x〕=log2〔3+x〕﹣log2〔3﹣x〕，

〔1〕求函数f〔x〕的定义域，并判断函数f〔x〕的奇偶性； 〔2〕f〔sinα〕=1，求α的值．

27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案： ①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；

②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．

请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．

jz*

.

.

28．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A1C1的中点，如下图．

〔1〕求证：DE∥平面BCC1B1；

〔2〕求DE与平面ABC所成角的正切值．

29．函数

〔1〕求该函数的最小正周期； 〔2〕求该函数的单调递减区间；

．

〔3〕用“五点法〞作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． 30．椭圆

离心率是，如下图． 〔1〕求椭圆的标准方程；

〔2〕抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．

的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的

jz*

.

.

2017年山东省春季高考数学试卷

参与试题解析

一、选择题

1．全集U={1，2}，集合M={1}，那么∁UM等于〔 〕 A．∅ B．{1} C．{2} D．{1，2} 【考点】1F：补集及其运算．

【分析】根据补集的定义求出M补集即可．

【解答】解：全集U={1，2}，集合M={1}，那么∁UM={2}． 应选：C．

2．函数的定义域是〔 〕

C．〔﹣2，2〕 D．〔﹣∞，﹣2〕∪

A．[﹣2，2] B．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕 〔2，+∞〕

【考点】33：函数的定义域及其求法．

【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出x的取值范围即可． 【解答】解：函数∴|x|﹣2＞0， 即|x|＞2，

解得x＜﹣2或x＞2，

∴函数y的定义域是〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕．

，

jz*

.

.

应选：D．

3．以下函数中，在区间〔﹣∞，0〕上为增函数的是〔 〕 A．y=x B．y=1 C．

D．y=|x|

【考点】3E：函数单调性的判断与证明．

【分析】根据根本初等函数的单调性，判断选项中的函数是否满足条件即可． 【解答】解：对于A，函数y=x，在区间〔﹣∞，0〕上是增函数，满足题意； 对于B，函数y=1，在区间〔﹣∞，0〕上不是单调函数，不满足题意； 对于C，函数y=，在区间〔﹣∞，0〕上是减函数，不满足题意； 对于C，函数y=|x|，在区间〔﹣∞，0〕上是减函数，不满足题意． 应选：A．

4．二次函数f〔x〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕且最大值是5，那么该函数的解析式是〔 〕

A．f〔x〕=2x2﹣8x+11 B．f〔x〕=﹣2x2+8x﹣1 C．f〔x〕=2x2﹣4x+3 D．〔fx〕=﹣2x2+4x+3

【考点】3W：二次函数的性质．

【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f〔x〕=a〔x﹣1〕2+5，代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决

【解答】解：二次函数f〔x〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕，那么对称轴x=1，最大值是5，

可设f〔x〕=a〔x﹣1〕2+5， 于是3=a+5，解得a=﹣2，

jz*

.

.

故f〔x〕=﹣2〔x﹣1〕2+5=﹣2x2+4x+3， 应选：D．

5．等差数列{an}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，那么a5等于〔 〕

A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32

【考点】8F：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．

【分析】根据题意，由等比数列的性质可得〔a3〕2=4×49，结合解a3＜0可得a3的值，进而由等差数列的性质a5=2a3﹣a1，计算即可得答案． 【解答】解：根据题意，a3是4与49的等比中项， 那么〔a3〕2=4×49，解可得a3=±14， 又由a3＜0，那么a3=﹣14， 又由a1=﹣5，

那么a5=2a3﹣a1=﹣23， 应选：B．

6．A〔3，0〕，B〔2，1〕，那么向量A．〔1，﹣1〕 B．〔﹣1，1〕 C．【考点】95：单位向量． 【分析】先求出

的单位向量的坐标是〔 〕

D．

=〔﹣1，1〕，由此能求出向量的单位向量的坐标．

【解答】解：∵A〔3，0〕，B〔2，1〕， ∴

=〔﹣1，1〕，∴|

|=

，

，

〕，即〔﹣

，

〕．

∴向量的单位向量的坐标为〔

应选：C．

jz*

.

.

7．“p∨q为真〞是“p为真〞的〔 〕 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】由真值表可知：“p∨q为真命题〞那么p或q为真命题，故由充要条件定义知p∨q为真〞是“p为真〞必要不充分条件 【解答】解：“p∨q为真命题〞那么p或q为真命题，

所以“p∨q为真〞推不出“p为真〞，但“p为真〞一定能推出“p∨q为真〞，

故“p∨q为真〞是“p为真〞的必要不充分条件， 应选：B．

8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是〔 〕 A．﹣3 B．﹣2 C．5

D．6

【考点】HW：三角函数的最值．

【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y的最小值． 【解答】解：∵函数y=cos2x﹣4cosx+1=〔cox﹣2〕2﹣3，且cosx∈[﹣1，1]，故当cosx=1时，函数y取得最小值为﹣2， 应选：B．

9．以下说法正确的选项是〔 〕 A．经过三点有且只有一个平面 B．经过两条直线有且只有一个平面

jz*

.

.

C．经过平面外一点有且只有一个平面与平面垂直 D．经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直 【考点】LJ：平面的根本性质及推论．

【分析】在A中，经过共线的三点有无数个平面；在B中，两条异面直线不能确定一个平面；在C中，经过平面外一点无数个平面与平面垂直；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直．

【解答】在A中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故A错误；

在B中，两条相交线能确定一个平面，两条平行线能确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，故B错误；

在C中，经过平面外一点无数个平面与平面垂直，故C错误；

在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直，故D正确． 应选：D．

10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量方程是〔 〕

A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0 【考点】IB：直线的点斜式方程．

【分析】求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可． 【解答】解：由解得：

，

，

的直线

jz*

.

.

由方向向量

直线的斜率k=﹣3，

得：

故直线方程是：y+2=﹣3〔x﹣1〕， 整理得：3x+y﹣1=0， 应选：A．

11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，假设从中任意选出4个排成节目单，那么能排出不同节目单的数量最多是〔 〕

A．72 B．120 C．144 D．288

【考点】D8：排列、组合的实际应用．

【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：

①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，

②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目， 有C21C43=8种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能， 那么以排出8×24=192个不同节目单，

③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，

jz*

.

.

有C22C42=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A22=2种情况，排好后有3个空位，

在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A32=6种情况， 此时有6×2×6=72种可能， 就可以排出72个不同节目单，

那么一共可以排出24+192+72=288个不同节目单， 应选：D．

12．假设a，b，c均为实数，且a＜b＜0，那么以下不等式成立的是〔 〕 A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2 D．【考点】R3：不等式的根本性质．

【分析】A，由a＜b＜0，可得a+c＜b+c； B，c的符号不定，那么ac，bc大小关系不定； C，由a＜b＜0，可得a2＞b2； D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b⇒

；

【解答】解：对于A，由a＜b＜0，可得a+c＜b+c，故正确； 对于B，c的符号不定，那么ac，bc大小关系不定，故错； 对于C，由a＜b＜0，可得a2＞b2，故错； 对于D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b⇒应选：A

，故错；

13．函数f〔x〕=2kx，g〔x〕=log3x，假设f〔﹣1〕=g〔9〕，那么实数k的值是〔 〕

jz*

.

.

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

【考点】4H：对数的运算性质．

【分析】由g〔9〕=log39=2=f〔﹣1〕=2﹣k，解得即可． 【解答】解：g〔9〕=log39=2=f〔﹣1〕=2﹣k， 解得k=﹣1， 应选：C

14．如果A．﹣18

，，那么

D．18

等于〔 〕

B．﹣6 C．0

【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】由求出【解答】解：∵∴那么

=

，且＜

及与的夹角，代入数量积公式得答案． ，

， ＞=π．

=3×6×〔﹣1〕=﹣18．

应选：A．

15．角α的终边落在直线y=﹣3x上，那么cos〔π+2α〕的值是〔 〕 A． B． C．

D．

【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义． 【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求cosα，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式可求cos〔π+2α〕的值．

【解答】解：假设角α的终边落在直线y=﹣3x上，

〔1〕当角α的终边在第二象限时，不妨取x=﹣1，那么y=3，r=

jz*

= ，

.

.

所以cosα=，可得cos〔π+2α〕=﹣cos2α=1﹣2cos2α=；

=

，

〔2〕当角α的终边在第四象限时，不妨取x=1，那么y=﹣3，r=所以sinα=应选：B．

，cosα=，可得cos〔π+2α〕=﹣cos2α=1﹣2cos2α=，

16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域〔阴影局部〕是〔 〕

A． B． C． D．

【考点】7B：二元一次不等式〔组〕与平面区域．

【分析】利用二元一次不等式〔组〕与平面区域的关系，通过特殊点判断即可．

【解答】解：因为〔1，0〕点满足2x﹣y＞0，

所以二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域〔阴影局部〕是：C． 应选：C．

17．圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，假设圆C1的方程是〔x+5〕2+y2=4，那么圆C2的方程是〔 〕

A．〔x+5〕2+y2=2 B．x2+〔y+5〕2=4 C．〔x﹣5〕2+y2=2 D．x2+〔y﹣5〕2=4 【考点】J1：圆的标准方程．

【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆C1的圆心关于y=﹣x的对称点，再由圆的标准方程得答案．

【解答】解：由圆C1的方程是〔x+5〕2+y2=4，得圆心坐标为〔﹣5，0〕，半径为2，

设点〔﹣5，0〕关于y=﹣x的对称点为〔x0，y0〕，

jz*

.

.

那么，解得．

∴圆C2的圆心坐标为〔0，5〕， 那么圆C2的方程是x2+〔y﹣5〕2=4． 应选：D．

18．假设二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，那么展

开式中的常数项是〔 〕 A．20 B．﹣20

C．15 D．﹣15

【考点】DB：二项式系数的性质．

【分析】先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【解答】解：∵二项式n=6，

那么展开式中的通项公式为 Tr+1=C6r•〔﹣1〕r•x

．

的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴

令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为 C62•〔﹣1〕2=15， 应选：C．

19．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最正确人选为〔 〕 成绩分析表

jz*

.

.

甲 乙 丙 丁

平均成绩 96 96 85 85 标准差s

4

2

4

2

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】BC：极差、方差与标准差．

【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可．

【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙，

由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加． 应选：B．

20．A1，A2为双曲线〔a＞0，b＞0〕的两个顶点，以A1A2为直径的圆

，那么该双

与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，假设△A1MN的面积为曲线的离心率是〔 〕 A．

B．

C．

D．

【考点】KC：双曲线的简单性质．

【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A1〔﹣a，0〕到直线渐近线的距离d，根据三角形的面积公式，即可求得△A1MN的面积，即可求得a和b的关系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．

【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±x，设以A1A2为直径的圆与双曲线的渐近线y=x交于M，N两点，

jz*

.

.

那么A1〔﹣a，0〕到直线y=x的距离d=△A1MN的面积S=×2a×那么a2=b2﹣c2=c2，即a=双曲线的离心率e==应选B．

=c， ，

=

=，

，整理得：b=c，

二、填空题：

21．假设圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥的侧面积等于 3π ． 【考点】L5：旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．

【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2π，那么圆锥侧面积S=πrl，由此能求出结果．

【解答】解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2πr ∴圆锥侧面积： S=

=πrl

=π×1×3=3π．

jz*

.

.

故答案为：3π．

22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，那么cosA=． 【考点】HR：余弦定理．

【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解． 【解答】解：∵∠B=2∠A， ∴sin∠B=2sin∠Acos∠A， 又∵a=2，b=3， ∴由正弦定理可得：∵sin∠A≠0， ∴cos∠A=． 故答案为：．

，

23．F1，F2是椭圆

+

=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，那

么△PQF2的周长等于 24 ． 【考点】K4：椭圆的简单性质．

【分析】利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=12，|QF1|+|QF2|=2a=12即可求得△PQF2的周长． 【解答】解：椭圆长为l，

jz*

+

=1的焦点在y轴上，那么a=6，b=4，设△PQF2的周

.

.

那么l=|PF2|+|QF2|+|PQ|，

=〔|PF1|+|PF2|〕+〔|QF1|+|QF2|〕 =2a+2a， =4a=24．

∴△PQF2的周长24， 故答案为：24．

24．某博物馆需要志愿者协助工作，假设从6名志愿者中任选3名，那么其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】先求出根本领件总数n=中包含的根本领件个数：m=选中的概率．

【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名， 根本领件总数n=

，

=4，

，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选

=4，由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被

其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的根本领件个数：m=∴其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：

jz*

.

.

p===．

故答案为：．

25．对于实数m，n，定义一种运算：，函数f〔x〕=a*ax，其中0

＜a＜1，假设f〔t﹣1〕＞f〔4t〕，那么实数t的取值范围是 〔﹣，2]． 【考点】5B：分段函数的应用．

【分析】求出f〔x〕的解析式，得出f〔x〕的单调性，根据单调性得出t﹣1和4t的大小关系，从而可得t的范围． 【解答】解：∵0＜a＜1，

∴当x≤1时，ax≥a，当x＞1时，a＞ax， ∴f〔x〕=

．

∴f〔x〕在〔﹣∞，1]上单调递减，在〔1，+∞〕上为常数函数， ∵f〔t﹣1〕＞f〔4t〕，

∴t﹣1＜4t≤1或t﹣1≤1＜4t， 解得﹣＜t≤或∴﹣

．

．

故答案为：〔﹣，2]．

三、解答题：

26．函数f〔x〕=log2〔3+x〕﹣log2〔3﹣x〕，

〔1〕求函数f〔x〕的定义域，并判断函数f〔x〕的奇偶性； 〔2〕f〔sinα〕=1，求α的值．

jz*

.

.

【考点】4N：对数函数的图象与性质．

【分析】〔1〕要使函数f〔x〕=log2〔3+x〕﹣log2〔3﹣x〕有意义，那么⇒﹣3＜x＜3即可，

由f〔﹣x〕=log2〔3﹣x〕﹣log2〔3+x〕=﹣f〔x〕，可判断函数f〔x〕为奇函数．

〔2〕令f〔x〕=1，即，解得x=1．即sinα=1，可求得α．

【解答】解：〔1〕要使函数f〔x〕=log2〔3+x〕﹣log2〔3﹣x〕有意义，那么⇒﹣3＜x＜3，

∴函数f〔x〕的定义域为〔﹣3，3〕；

∵f〔﹣x〕=log2〔3﹣x〕﹣log2〔3+x〕=﹣f〔x〕，∴函数f〔x〕为奇函数． 〔2〕令f〔x〕=1，即∴sinα=1， ∴α=2k

，解得x=1．

，〔k∈Z〕．

27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案： ①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；

②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．

请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低． 【考点】5D：函数模型的选择与应用．

jz*

.

.

【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论． 【解答】解：假设按方案①缴费，需缴费50×0.9=45万元；

假设按方案②缴费，那么每天的缴费额组成等比数列，其中a1=，q=2，n=20，

∴共需缴费S20=

==219﹣=524288﹣≈52.4万元，

∴方案①缴纳的保费较低．

28．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A1C1的中点，如下图．

〔1〕求证：DE∥平面BCC1B1；

〔2〕求DE与平面ABC所成角的正切值．

【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．

【分析】〔1〕取AC的中点F，连结EF，DF，那么EF∥CC1，DF∥BC，故平面DEF∥平面BCC1B1，于是DE∥平面BCC1B1． 〔2〕在Rt△DEF中求出tan∠EDF．

【解答】〔1〕证明：取AC的中点F，连结EF，DF， ∵D，E，F分别是AB，A1C1，AC的中点，

∴EF∥CC1，DF∥BC，又DF∩EF=F，AC∩CC1=C， ∴平面DEF∥平面BCC1B1，

jz*

.

.

又DE⊂平面DEF， ∴DE∥平面BCC1B1．

〔2〕解：∵EF∥CC1，CC1⊥平面BCC1B1． ∴EF⊥平面BCC1B1，

∴∠EDF是DE与平面ABC所成的角， 设三棱柱的棱长为1，那么DF=，EF=1， ∴tan∠EDF=

．

29．函数

〔1〕求该函数的最小正周期； 〔2〕求该函数的单调递减区间；

．

〔3〕用“五点法〞作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． 【考点】HI：五点法作函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象；H2：正弦函数的图象． 【分析】〔1〕由利用两角差的正弦函数公式可得y=3sin〔2x﹣式即可得解． 〔2〕令2kπ+

≤2x﹣

≤2kπ+

，k∈Z，解得：kπ+

≤x≤kπ+

，k∈

〕，利用周期公

Z，可得函数的单调递减区间．

〔3〕根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象． 【解答】解：〔1〕∵

jz*

=3sin〔2x﹣〕，

.

.

∴函数的最小正周期T=〔2〕∵令2kπ+∈Z，

≤2x﹣

=π． ≤2kπ+

，k∈Z，解得：kπ+

≤x≤kπ+

，k

∴函数的单调递减区间为：[kπ+〔3〕列表：

x 2x﹣y

，kπ+]，k∈Z，

0 0

3

π 0

2π 0

﹣3

描点、连线如下图：

30．椭圆

离心率是，如下图． 〔1〕求椭圆的标准方程；

的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的

〔2〕抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l

jz*

.

.

与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．

【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．

【分析】〔1〕根据题意得F〔1，0〕，即c=1，再通过e=及c2=a2﹣b2计算可得椭圆的方程；

〔2〕将准线方程代入椭圆方程，求得A点坐标，求得抛物线的切线方程，由△=0，求得k的值，分别代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段AB的长．

【解答】解：〔1〕根据题意，得F〔1，0〕，∴c=1， 又e=，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3， 故椭圆的标准方程为：

〔2〕抛物线的准线方程为x=﹣1

由，解得，，

由A位于第二象限，那么A〔﹣1，〕， 过点A作抛物线的切线l的方程为：即直线l：4x﹣3y﹣4=0

jz*

.

.

由整理得

整理得：ky2﹣4y+4k+6=0，

当k=0，解得：y=，不符合题意，

当k≠0，由直线与抛物线相切，那么△=0， ∴〔﹣4〕2﹣4k〔4k+6〕=0，解得：k=或k=﹣2， 当k=时，直线l的方程y﹣=〔x+1〕，

那么，整理得：〔x+1〕2=0，

直线与椭圆只有一个交点，不符合题意，

当k=﹣2时，直线l的方程为y﹣=﹣2〔x+1〕，

由

，整理得：19x2+8x﹣11=0，解得：x1=﹣1，x2=

，

那么y1=，y2=﹣

，

，﹣

=

由以上可知点A〔﹣1，〕，B〔∴丨AB丨=

综上可知：线段AB长度为

〕，

，

jz*

.

.

2017年7月12日

jz*