2021届高三一轮复习平口单峰函数(绝对值)

一．平口二次函数问题

去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a，一切b，c这些系数与二次函数的形状没有任何影响.在初中的课本中提到的y=ax2平移变换y=a(x-h)+k，我们将坐标轴去掉，单纯研2究二次函数，解决当f(x)=x+bx+c，xÎ[p，q]时，f(x)£c，求c最小值问题.由于有了绝对值，函数2

成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m，此时函数定顶点到蝶宽n弦的距离称为蝶高n，相对应的角叫蝶角，定义tana=，可以得出以下定理：m①tana=m，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；②以对称轴为中心，每增加m的蝶宽，相对应的蝶高比为1:4:9::n2，增加的蝶高n比为1:3:5::2n-1；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M和最小值m的差值g(x)=M-m在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，g(x)=M-m在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点-bp+qbb时，g(x)min=M-m=f(q)-f-；==f(p)-f-2222p+q，M=f(p)=f(q).2综上，如图3，当M+m=0，f(x)£c时，c取得最小值，此时m=f例1：在f(x)=x2+px+q中，找出使得maxx2+px+q，-1x1取得最小值时的函数表达式为解：根据平口二次函数定理可知当仅当M+m=0时，maxx+px+q,-12x1能取得最小值，此时1；2M=f(1)=f(-1)\\1+p+q=1-p+qÞp=0；又m=f(0)=q，M+m=1+q+q=0Þq=-\\f(x)=x2-1,xÎ[-1,1].2例2：设函数f(x)=x2+ax+b，对于任意的实数a,b，总存在x0Î[0,4]，使得f(x0)³t成立，则实数t的取值范围是。解：根据题意，需要找到f(x)max,0x4，不妨设g(x)=x2+ax+b,xÎ[0,4]，g(x)max=M,g(x)min=m，a根据平口二次函数定理：当M=g(0)=g(4)Þ-=2Þa=-4；且m=g(2)=4+2a+b=b-4，又由于M+m=0，2故b+b-4=0Þb=2，f(x)max=2，综上，当t£2时，总存在x0Î[0,4]，使得f(x0)³t成立.总结：平口函数就是在区间的左右端点同时取最大值（最小值）的一类函数总称.平口二次函数由于其特殊的对称性，能在区间的算数平均数中点取到另一个最值.二．平口对勾函数问题

f(x)£c，求a对勾函数涉及极值偏移，算数平均数的中点的值不代表最值，f(x)=x++b,xÎ[p,q]时，

x

c最小值问题，根据平口二次函数的推论，可以知道是f(p)=f(q)，如图4，求出参数a以后再根据f(p)+f(a)=0确定参数b；定理：当仅当a=pq时，对勾函数在区间[p,q]才能构成平口对勾函数，f(x)去最小值时取到了[p,q]的几何平均数中点.图4例3：（2018台州期末）已知f(x)=x+最小值为解：M(a,b)为最小时，函数一定为平口函数，构造g(x)=x+g11-ax-b,xÎ,2，根据平口函数性质可得：x211-ax-b，当xÎ,2时，设f(x)的最大值为M(a,b)，则M(a,b)x2191=g(2)Þa=0，又因为g(1)+g(2)=0Þb=，\\M(a,b)最小值为g(1)=.2442对于任意的实数a,b，总存在x0Î[1,2]，使得f(x0)³m-ax-b，x成立，则实数m的取值范围是。2解：由f(x0)³m，可知f(x)为平口函数，构造g(x)=-ax-b，一定有g(1)=g(2)，则a=-1，又因为x3+223-22当x=2时，g(x)取得最小值，g(1)+g2=0Þb=，\\g(x)max=g(1)=³m.22例4：（2018青浦区二模）设函数f(x)=()三．平口三次函数问题三次函数涉及到双峰问题，我们需要在给定的定义域内构造出单峰三次函数（即部分图像，通常是极大值到极大值等值点这一段），如下图，若x1，2，我们可在此区间构造单峰函数.【例5】（2019•武汉调研）：已知函数fxx3axb的定义域为[1,2]，记fx的最大值为M，则M的最小值为（A.4）B.3C.2D.3解：构造平口单峰fxx33xa3xb，不难发现yx33x在x[1,2]为平口单峰，且极值点x01，根据秒杀秘籍得M的最小值为f(p)-f(x0)2=2-(-2)2=2，故答案选C.秒杀秘籍：关于平口函数的万能招数所有的平口函数y=f(x)一定满足一个共性：出现求minf(x)max，xÎ[p,q]时，一定为平口函数，若ìïfp)=f(q)y=f(x)有一个极值点，也叫平口单峰函数，若f(x)max=M，f(x)min=m，í(ïîM+m=0此为平口单峰函数的万能招数.既然如此，再来几道题，都可以直接秒杀了.建议大家边写题边拍一下参考答案给的解法，对比一下，这种类型题能减少讨论是最好的.例6：（2018呼和浩特期中）设函数f(x)=x-ax-b,a,bÎR,若对于任意的实数a,b总存在实数x0Î[0,4]，使得f(x0)³m成立，则实数m的取值范围为。解：令x=t,tÎ[0,2]，f(t)=t-at2-b,a,bÎR,，令g(t)=t-at2-b,a,bÎR,一看是平口二次函数模型，ì1ïa=ìg(0)=g(2)1112直接上秒杀，故f(t)max=t-t2-Þ=³m.24max4îg(0)+g(1)=0ïb=1î4bÎR，例7：（2018秋杭州期中）已知f(x)=lnx-ax-b，对于任意的a<0，都存在x0Î[1,m]使得f(x0)³1成立，则实数m的取值范围为解：maxlnx-ax-bmin³1，f¢(x)=数理论f(m)-f(1)2.1-a>0，故f(x)为单调增函数，无峰最值只能在两端，根据平口函xlnm-a(m-1)2lnm2me2，注意，没有峰的函数，一定用f(q)-f(p)³2c，这个方法百试不爽.例8：求maxln(x+1)+ax+bmin，x1]a、b[0，R；1-ln2，当解：令f(x)=ln(x+1)+ax+b，无峰不最值，当f(0)=f(1)Þa=-ln2，此时f¢(x)=x+1lnln2-ln2+111，故x=-1时f¢(x)=0，f-1+f(0)=0Þb=()ln2ln22maxln(x+1)+ax+bmin=ln(ln2)-ln2+12.下面给出一个平口单峰函数的解答题证明过程：

若函数f(x)在区间[p,q]为连续的单峰函数，且f(p)=f(q)，此函数为平口单峰函数，x0为其极值点.秒杀秘籍:g(x)=maxf(x)+ax+b的最小值为f(p)-f(x0)2，当仅当a=0，b=-f(p)+f(x0)2时取得.证明：若a¹0时，如图5，图6，则端点值的增量为a(p-q)，而极值点的增量为a(x0-p)或者a(x0-q)，由于p-q>max{x0-p,x0-q}故g(x)=maxf(x)+ax+bmin>maxf(x)+bmin，故不符合题意，即a=0图611例9：（2018•台州月考）：已知函数fxxaxb，当x，2时，设fx的最大值为Ma，b，x2则Ma，b的最小值是（）A.2解：因为xB.12图5C.4D.1411在x，，且极值点x01，根据秒杀秘籍得Ma，2为“平口单峰函数”b的最小值为x21+2-212==.24f(p)-f(x0)2