基于Duffing振子的信号频谱重构随机共振研究

第35卷第21期

JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.35 No. 21 2016

基于Duffing振子的信号频谱重构随机共振研究

赖志慧饶锡新\\刘建胜\\冷永刚2

(1.南昌大学机电工程学院，南昌330031; 2.天津大学机械工程学院，天

M

津

300072)

要：针对信号特征频率和采样频率所要求的匹配关系对Duffmg振子变尺度随机共振的，研究一种频谱

重构的信号预处理方法，并进一步提出基于Duffmg振子的信号频谱重构随机共振方法。该方法通过引人频谱重构参数 实现信号特征频率的灵活转化，与变尺度方法和阻尼比参数调节方法相结合,可以实现任意信号特征频率和采样频率下 的Duffmg系统的大参数随机共振，从而扩展其在微弱信号处理中的应用。数值仿真和故障诊断实例分析均验证了该方 法的有效性。

关键词：

Duffmg振子;随机共振;频谱重构;变尺度;故障诊断

中图分类号：TH17;TN911.4 文献标志码：A

DOI：10. 13465/j. cnki. jvs. 2016.21.002

Signal spectrum reconstruction stochastic resonance method based on a Duffing oscillator

LAI Zhihui1 ,z, RAO Xixin , LIU Jiansheng1, LENG Yonggang2

(1. School of Mechatronical & Electrical Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031 , China；

2. School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Abstract ： The matching relation between signal characteristic frequency and sampling frequency has a restriction on the scale-varying stochastic resonance (SR) of a Duffing oscillator. Therefore, a signal pre-processing approach based on spectrum reconstruction was studied here, and a signal spectrum reconstruction SR method based on a Duffing oscillator was further proposed. This method introduced spectrum reconstruction parameters to realize the flexible varying of signal characteristic frequency. When combined with the scale varying and damping-ratio-adjustment methods, this method realized the large parametric SR of a Duffing system under any signal characteristic frequency and sampling frequency, thus its application in weak-signal detection was extended. Both numerical simulation and fault diagnosis example analysis verified the effectiveness of the proposed method.Key words： Duffing oscillator； stochastic resonance; spectrum reconstruction； scale varying； fault diagnosis

随机共振是1981年

BENZI等[1 _3]首次提出的，用

输出现象，故称为随机共振。随机共振发生时，一部分 噪声能量转移到信号身上，使原本微弱的信号强度大 大增强，因此随机共振模型被广泛应用于微弱信号检 测中，取得了丰富的研究成果[8_12]。

近十几年的研究表明，随机共振现象不仅发生在 双稳系统[13]中，在单稳系统[14]、三稳系统[15]、混沌系 统[16]、时延系统[17]中随机共振现象同样可能发生，这 些研究极大地丰富了随机共振的理论。由微弱信号和

噪声共同驱动的Duffing系统是一种能够产生随机共振 的非线性模型[18_22]。与经典的一维Langevin方程的 随机共振模型相比，二维Duffing系统同样是一个双稳 系统，而模型中可调的阻尼比又增强了系统对不同噪 声强度信号的适应能力[23]。但Duffing振子的随机共 振受限于严格的小参数条件[24]，这大大了其在微 弱信号检测中的应用。文献[25 ]建立基于Duffing振 子随机共振的微弱信号检测模型，提出线性幅值变换、

以解释过去70万年间地球冰川期和暖气候期交替出 现的现象。随后，FAUVE等[4_5]分别在Schimitt触发 器和双稳态环形激光器实验中观测到随机共振现象， 验证了随机共振的存在。从此以后，这一非线性现象 得到广泛而深入的研究[6]。

随机共振发生的三个基本要素是非线性系统、微 弱信号和噪声[7]。它利用非线性系统，在输入信号和 噪声的协同作用下，系统输出的信噪比将会在某一噪 声强度时出现峰值，产生类似力学中人们熟知的共振

基金项目：国家自然科学基金（51275336);江西省自然科学基金

(2〇6

llBAB2l6lll);江西省教育厅科学技术研究项目（GJJl5〇〇68)

收稿日期：2015 -07 -06修改稿收到日期:2015-10-16 第一作者赖志慧男，博士，讲师，19年7月生 通信作者刘建胜男，博士，副教授，1978年7月生

E-mail ： victorljs@163.com

10振动与冲击

2016年第35卷

变尺度、参数调节等方法，分别实现Duffing振子在大幅 值、大频率、大噪声强度信号输入条件下的随机共振， 扩展其在实际工程中的应用范围。其中，通过对待测 信号进行时间尺度变换，可实现大频率信号的随机共 振。但该方法不仅要求尺度变换后的特征信号频率满 足合适的小参数范围，而且要求采样频率与特征信号 频率之间保持一个合适的比例关系。在实际工程的信 号采集过程中，针对可能的特征信号频率特意设置采 样频率不仅是繁琐的，甚至可能是无法实现的，这就限 制了基于Duffing振子的变尺度随机共振方法在实际工 Duffing系统的双稳势函数\"(％)、周期特征信号

调制的势函数及Brownian粒子运动轨迹，其中a = 6 = 1,4 = 0. 3Brownian图1

程中的应用。

本文提出基于Duffing振子的频谱重构信号随机共 振方法，通过对特征信号进行频谱重构，使变换后的信 号特征频率与采样频率相匹配，Duffing系统输出实现 随机共振，从而将频谱重构后的特征信号频率检测出 来，实现微弱待测信号的频率特征提取。研究表明，本 文所提出的方法与变尺度方法相结合，能够在同一采 样频率下实现不同频率特征信号乃至复合频率信号的 随机共振检测，从而克服采样频率的设置困难；同时， 该方法与阻尼比参数调节等方法相结合可以实现大参 数信号的随机共振检测。实例分析验证了该方法的可 行性和有效性。

1 Duffing振子的随机共振

1.1基本理论

Duffing振子的随机共振模型如式（1)所示： x + kx - ax + bx3 = Acos(2tt/〇/； + (p) + y/2D^(t) (1)

式中4为阻尼比，为大于零的系统参数;s(〇 =

如〇8(277/^ + p)表示幅值为人频率为/。、初相位为p的周期特征信号;〃(0 =、_(0表示强度为D的噪 声信号，其中“0是均值为〇方差为1的高斯白噪声;

记W(0 =40 +<〇表示系统的输入信号。

当

=0时，Duffing系统（1)的势函数

u(x) = -

+ -^-X4 (2)

这是一个典型的双稳势场结构，如图1所示，系统存在两个稳定平衡点（％ = ± \\/a/b)和一^个不稳定平衡 点(> =0)，势垒高度At/ = a2/(4/>)。而当特征信号 4 0存在时，系统势函数被周期性地抬高或加深，变为

V{x) - U(x) - xAcos(27rf0t + cp)--^~x2 +

- xAcos(27rf0t + cp)

(3)

系统势函数F(幻的变化如图1所示。周期特征信 号存在一^临界幅值= V4a3/27(b)，当4

时，周

期性变化的势函数^>)将有可能从双稳退化为单稳。

。当噪声存在时，粒子将有可能越过

势垒。

Fig. 1 Bistable potential function of the Duffing system with­out driving force (solid line) and potential changes with driving force (dotted line) when a = b = l , A =0. 3. Switching events may take place in the presence of noise as indicated by the arrow

Duffing方程（1)的输出可理解为单位质量的 Brownian粒子在势场中运动的位移函数，表征了其运

动轨迹，如图1所示。粒子受到阻尼力-心和势场作用 力-dF(:\\;)/ck的共同作用，当4 时，Brownian粒子只能在单阱中小幅震荡;而当噪声〃(0同时存在时， 即使周期信号幅值4 < 4，Bn)wnian粒子也可能在噪 声的帮助下实现阱间跃迁。当信号、噪声和非线性 Duffing系统三者之间实现最优匹配时，Brownian粒子 能够越过势垒，实现噪声驱动下周期特征信号主导的 大范围跃迁运动[26]，高频能量向低频信号转移，使系统 输出信号幅值大大增强，Duffing方程（1)发生随机共 振。这就是Duffing振子的随机共振机理。1.2

Duffing振子的大参数随机共振

Duffing振子随机共振对微弱特征信号的增强特性

使其成为一种潜在的微弱信号检测模型，用于实现强 背景噪声下的微弱特征信号检测。其应用的最大困难

在于Duffing振子的随机共振受到绝热近似理论严格的 小参数，即要求方程（1)中4 <欠，/〇《1 Hz，D《1， 这很难在实际工程中得到满足，从而大大了该模 型在实际工程微弱信号检测中的应用。针对该问题， 文献[25]提出线性幅值变换和阻尼比参数调节方法， 分别实现大幅值和大噪声强度信号的随机共振;该文 献同时提出变尺度和参数调节两种大频率信号随机共 振的实现方法，并证明了二者的等价性。

所谓变尺度，是指改变待测信号的频率/时间尺 度，即在不改变离散数值的情况下，对信号的频率/时 间尺度进行压缩或放大。对于一组以采样频率/；采集 的含有大频率/。成分的待测信号^(0，将它输入方程(1)所示的Duffing系统。引入变尺度系数只，以计算步 长\"=K//S对方程进行数值求解，则待测信号尺度变换 为wG')，其特征信号频率变为/。' =/。/心变尺度采样

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赖志慧等：基于Duffing振子的信频谱重构随机共振研究

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频率当及取值合适时，就相当于通过变尺 度系数^将大频率参数/〇尺度变换为小频率参数/〇、 当其他参数条件合适时，系统发生随机共振，从输出响 应识别出频率/〇'，最后通过尺度反变换即可得到原信 号的特征频率/〇=^ •/〇、

可以看出，该方法的本质是将一个大频率信号转 换成一个符合绝热近似条件的小频率信号，以利于随 机共振的产生，从而进行特征信号的频率提取。将 Duffing方程（1)在时间尺度意义下重写为

x + kx - ax + bx3 =

Acos(2tt/〇/； + (p) + \\/2D^{ t) (5)

对其进行频谱重构的过程如图2所示。

图2

信号的频谱重构过程

Fig. 2 The reconstruction of signal spectrum

在实际工程信号的频谱重构过程中，需先用采样 频率/；对连续信号4 0进行离散采样，得到含有#个 数据点的离散信号以〃）U = 1，2，…，iV)。接下来，首 Acos(2〇' + p) + tr) (4)

式中(〇和以〇就是时间尺度，下的系统

输入和输出信号P方程(4)就是二维Duffing振子的变 尺度随机共振方程，它能够通过频率/时间尺度变换实 现大频率信号的随机共振。

2 Duffing振子的信号频谱重构随机共振

Duffing振子的变尺度随机共振方法大大扩展了 Duffing振子在实际工程微弱信号检测中的应用。但该

方法不仅要求变尺度后的信号频率/〇' =/〇/^满足合适 的小参数条件，变尺度采样频率// =//^还须同时满 足数值计算稳定性条件(//不能太小）和频率分辨力的 要求(//不能太大），即//也存在|定的取值范围。因 此实测信号的米样频率/s与特征信号频率/〇之间就必

须满足合适的比例关系，如文献[25]中/〇 =0.01 Hz,

/s =5 Hz和/0 =4〇 Hz，/s =2〇 000 Hz 两组参数，///0 保

持了一个500倍的比例关系3如果该比例关系不合 适，就无法将/〇和/s同时压缩至合适的数值范围内，也 就无法实现大频率信号的随机共振#

基于这个原因，在实际工程应用中，就需要根据可 能的特征信号频率设置合适的米样频率进行工程信号 采集。这样存在的问题是:首先，对特征信号频率的估 计往往是粗略的，因此采样频率的设置也就无法绝对 精准;其次，由于米样频率在彳旨号米样完成后无法更 改，该方法不适用于已有信号的微弱信号检测;再次， 如果待测信号中有多个频率成分需要检测，需针对每 一个频率成分都设置一个相应的米样频率进行数据米 集，是非常繁琐且不经济的。针对上述问题，本文提出 一种频谱重构的信号处理方法，并与变尺度方法相结 合，实现Duffing振子在任意频率信号条件下的随机共 振，最终识别出微弱特征信号。2.1信号的频谱重构方法

考虑一组特征信号以0

+P)和噪声

信号〃(〇 =、_(〇混合的待测信号：

sn(t) = s(t) + n(t)=

先对w( 〃）进行FFT变换，得到其离散频谱m (/);其 次，对^(/)进行频谱重构，得到重构后的离散信号频

谱^ (/);最后，对‘ (/)进行IFFT变换，得到频谱重 构后的信号(〃）。其中，频谱重构的含义说明如下：

引入■_个频谱重构参数A/w(/)中，我们将A/$/$//2的频谱区域Z/7整体前移 A/个单位，而将〇 $/ < A/的频谱区域Z,补到区域Z/7

的后面，如图3所示。其中，//2是频谱的折叠频率。 这样，频谱的高频区域A就向低频转移，其间的信号频率/变为7=/- A/;而频谱的低频区域Z,则向高频 转移，其间的信号频率/就变为？=/+//2 - A/+//7V。

图3信号的频谱重构示意图，相应参数/

s = 100 Hz，

4=0. 1，/〇 =20 Hz，屮=20，乃=0. 1，A/=18 Hz，# = 2 000 Fig. 3. The diagram of signal spectrum-reconstruction； the corresponding parameters are fs =100 Hz, A =0. 1,/〇 =20 Hz，屮=20, 0=0. 1, A/=18 Hz，# = 2 000

对信号频谱进行重构的过程中，我们保留了离散 频谱的所有信息，而只是对其位置进行了重排，并通过 线性的FFT变换和IFFT变换进行转换。显然，将

频谱重构为w'(〃），我们只改变了叠加的周期信 号的频率参数，而幅值、相位等信息都没有发生变化。 2.2频谱重构信号的随机共振

频谱重构方法能够将特征信号的频率/〇通过重构 参数Af进行灵活转化，因此，当待测信号的特征频率/〇 与采样频率/s不符合Duffing振子随机共振的比例关

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振动与冲击

2016年第35卷

系时，可以通过频谱重构方法对信号频率/〇进行调整，使频谱重构后的信号特征频率又与采样频率满足合适 的比例关系，从而实现Duffing振子的随机共振&基于 此，本文提出基于Duffing振子的频谱重构信号随机共 振方法，其模型如下：

x(tf) + kx(tr) - ax{tr) + bx (tf)3 = snf(tf) (6)式中w⑴为式（5)描述的输入待测信号，(〇是其 频谱重构信号，重构参数为A/，=份是尺度变换后的 时间尺度，为变尺度系数。在式（6)中，令& =0.5,

a=/>=l，A=0.1，/0=0.5 Hz，p=0，/s=5 Hz。显然，/〇

式中为输出频谱在频率/ =又处的谱峰值4m，

为噪声频谱，取为输出信除特征信号频率处所 有谱峰的平均值^

系统输出特征信号幅值Am表征了输出特征信号 的绝对强度，输出信噪比SNR则表征了输出特征信号 的可识别能力，二者随噪声强度^的变化均呈现出先 增大后减小的趋势，这是典型的随机共振特点。这说 明，信号频率/〇不合适的待测信号，经过频谱重构后输 入Duffing系统，系统输出能够实现随机共振。图4中 两曲线均在D =〇. 26时取得极大值，说明D =0. 26是 该组参数条件下Duffing系统实现随机共振所需的最优 噪声强度。D =〇. 26时，输入信号的波形和频谱、频谱 重构前后输出信号的波形和频谱如图5所示。

不符合绝热近似理论的小参数条件，相对于釆样频率/； 其数值又太大，因此无论是直接计算还是引入变尺度 方法进行计算，系统输出都无法实现随机共振。下面， 我们引入频谱重构方法进行处理，令^ = 1，引入频谱重

构参数A/ = 0.49 Hz,这样特征信号频率由/。=0.5 Hz变换为7。=/。-八/ = 〇.〇1出。同时，取计算点数7¥ = 20 000，将噪声强度D在[0，5]区间进行取值，采用4阶

Runge-Kutta算法求解方程（6)，绘出系统输出频谱频

率/=乂处谱峰值与系统输出信噪比SNR随噪声 强度D的变化规律，如图4所示^这里，系统输出信噪 比定义为

SNR = 20 lg

noise(7)

Duffing系统输出信号的信号幅值—与

信噪比SNR随噪声强度的变化规律

Fig. 4 Response curve of the Duffing system output signal amplitude and SNR against noise intensity

图4

图5

频谱重构信号的随机共振

Fig. 5 SR for spectrum-reconstructed signal

观察图5，由于特征信号频率/〇 =0. 5 Hz不满足绝 热近似理论的小参数条件，直接将待测信号0输入 Duffing系统(6)将无法实现随机共振输出，如图5 ( c) 和（d)所示，系统输出特征信号幅值甚至比输入特征信 号幅值还要小^而将待测信号进行频谱重构后输入 Duffing系统(6)，信号特征频率由/。=0. 5 Hz变换为符

合绝热近似理论的小频率/〇 =〇.〇1 Hz,系统输出实现 随机共振，如图5(e)和⑴所示。从图5(f)可以看出，输出信号频谱在特征频率？〇 =〇• 〇1 Hz处出现明显峰 值，其幅值要比输入特征信号幅值大得多。这是因为，

频谱重构后的低频信号与噪声、非线性Duffing系统三

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赖志慧等：基于Duffing振子的信号频谱重构随机共振研究13

者之间实现最优匹配，高频噪声能量通过Duffing系统 向低频信号转移，使原本微弱的特征信号能量大大增 强，并在输出频谱中体现出来。这就是基于Duffing振 子的频谱重构信号随机共振机理。

过设置不同的频谱重构参数，结合变尺度方法实现随 机共振。其次，取不同的频谱重构参数，将特定的频率 成分变换为与采样频率相匹配，并结合变尺度方法，可 以实现复合频率信号的随机共振。

3讨论

信号的频谱重构方法能够调整输入信号中特征信 号的频率，使其与采样频率相匹配，实现Duffing系统的 随机共振。因此，频谱重构信号的随机共振方法克服 了传统随机共振方法用于微弱信号检测时采样频率的 设置困难。为进一步扩展其应用范围，本节进行进一 步讨论分析。

3.1频谱重构信号的变尺度随机共振

结合变尺度方法，可以将待测信号的特征信号频 率/〇和采样频率/；扩展到更大的范围内。首先考虑同 一采样频率下不同特征频率信号的随机共振问题。令

sn(t) = A1cos(27[f1t + cpi) + A2cos(2tt/2£ +

) +A3co^>{2ruf3t + cp3) + \\/2D^{t)

(8)

表示一个含三个频率成分(/!，/2和/3)的特征信号 与噪声的混合信号，其中皂H=42 =〇• l，/i =400

1z2,/20 °=2=0 000 • 26,Hz,/3 =4 000 Hz,^1 =0,cp2 =40°,^3 =

信号采样频率/s =20 000 Hz,数据点数

7V = 20 000。该信号频谱如图6(a)所示。将其输入

〇碰

1^系统(6)，设众=0.5，《=/) = 1。显然，由于信号

特征频率由于/lx/2和/3均远远超出绝热近似要求的 小频率参数条件，系统输出将无法实现随机共振。对 于大频率参数的情况，通常采用变尺度方法进行处理。 但是，该组信号特征频率/II和/3与采样频率/；的比 例关系均不合适，无法直接通过尺度变换将二者压缩 至合适的参数范围内，因此，在对待测信号进行尺度变 换之前，我们考虑进行频谱重构。

针对=400 Hz的频率成分，我们在系统(6)中引 入频谱重构参数A/= 360 Hz,使特征信号频率变换为义=40 Hz;同时引入变尺度系数只=4 000,以步长\"=

K//s =0. 2 s对方程(6)进行数值求解，这样特征信号频

率进一步变为//=$/只=0. 01 Hz,变尺度采样频率

//=//K =5 Hz;系统输出频谱如图6(b)。类似的，分

别取 A/= 1 960 Hz 和 A/= 3 960，使U3 = 40 Hz，在

只=4 000条件下，/2' =/3 =0. 01 Hz,得到系统输出频谱

如图6(c)和（d)。

图6 (b)〜（d)的结果表明，系统输出在不同重构 参数条件下均实现随机共振，高频噪声能量向低频信 号转移，从而在频谱重构后的低频特征信号频率/ =0.01 Hz处出现明显峰值。这一结果有两层意义。首 先，在相同的采样频率下，不同特征频率的信号可以通

图6

频谱重构信号的变尺度随机共振

Fig. 6 Sc ale-transformation SR for

spectrum-reconstructed signal

进一步考虑不同采样频率下同一信号的频谱重构 变尺度随机共振问题。令M(0 =〇• 1c〇S(2ttx4〇0〇 表示一个幅值为〇. 1，频率为400 Hz,初相位为0的待 测信号，分别以采样频率2 000 Hz、5 000 Hz和10 000

Hz对其进行采样，得到不同采样频率下同一信号的三

组采样数据。分别取不同的频谱重构参数A/和变尺 度系数^的组合对这三组采样数据进行处理，使/〇'=7。/只=〇.〇1 Hz,//=5 Hz,得到随机共振输出，如图7 所示。该结果说明，对相同特征频率的信号，也可以在 不同的采样频率下，通过设置不同的频谱重构参数，并

结合变尺度方法实现随机共振。对比图7(a)〜（c)还 可以看出，当采样频率/s越大时，采用频谱重构和变尺 度方法得到的系统随机共振输出信号幅值也越大。这 是因为/；越大，待测信号中高频噪声能量也越大，通过 随机共振转移到低频微弱信号的能量也越大，从而使 系统输出信号幅值增大。

因此，在实际工程应用中，我们无需再针对特定频 率的信号设置米样频率，而可以通过频谱重构信号的 变尺度随机共振方法，实现待测信号的随机共振，并最 终将微弱特征信号检测出来。

3.2频谱重构信号的大参数随机共振

频谱重构信号随机共振的本质是通过频谱重构方 法将与采样频率/；不匹配的特征信号频率/〇转换为与之匹配的特征信号频率？〇,从而使系统输出实现随机 共振。因此，频谱重构信号随机共振与传统随机共振 方法具有相同的调参规律，待测信号经过频谱重构后， 如果信号参数存在大参数情况，也能够通过变尺度和 参数调节方法，实现频谱重构信号的大参数随机共振。

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振动与冲击

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图7

不同采样频率下同一信号的频谱重构变尺度随机共振

Fig. 7 The spectrum-reconstruction and scale-transformation SR for a signal under different sampling frequencies

Duffing方程（6)中，取信

号参数A =0• 1，/0 =2 000 Hz，屮=0，D =5，/s =20 000 Hza信号点数TV = 5 000对4 096点进行十次谱平均

不考虑大幅值情况。在

，

从系统输出频谱图8 ( d)可以观察到明显的谱峰， 其频率/' =0. 01 Hz，经过变尺度和频谱重构的反变 换，得到/=/' •只+A/=2 000 Hz,正是原时间尺度下 待测信号中特征信号的频率。这样，我们就将淹没于 强背景噪声下的微弱特征信号提取出来。这说明，将 频谱重构方法与变尺度和阻尼比参数调节方法相结

合，可以实现大参数条件下Duffing系统的随机共振，从 而实现微弱信号检测。

计算，得到输入信号的波形和频谱，如图8 ( a)和（b)所 示。从中可以看出，由于噪声强度太大，从输入信号频

谱图8(b)无法识别出/=2 000 Hz的特征信号谱峰，特 征信号淹没于强背景噪声中无法提取。如果直接将该 待测信号输入Duffing方程（6)，由于/。=2 000 Hz和 出将无法实现随机共振0为了在该参数条件下实现系 统的随机共振输出，对于大噪声情况，可以对阻尼比& 进行调节;对于大信号频率情况，则采用频谱重构信号 的变尺度随机共振方法s

首先，引入重构参数A/= 1 960 Hz将待测信号

w(0频谱重构为w'(0，特征信号频率从/〇 =2 000 Hz

D =5均远远超出绝热近似要求的小参数条件，系统输

4实例分析

实验在图9所示的滑动轴承转子实验台上进行，

转轴直径为+12 mm，其几何中心偏离旋转轴线0. 38

mm，滑动轴承转子系统存在弯曲不平衡故障。为了模

拟微弱故障状态，在远离轴承基座0.5 m的实验台面 上布置了一个加速度传感器，这样轴弯曲故障振动信 号强度通过轴承和实验台结构得到进一步衰减，传感 器可采集到模拟微弱故障的振动信号。根据故障机 理，具有轴弯曲故障的旋转机械振动信号中含有明显 的基频信号，同时常伴有二倍频或高次谐波成分。

变为又=40 Hz;其次，引入变尺度系数只=4 000，以步长/^

= 〇. 2 s对方程(6)进行数值求解，使特征信

Hz,变尺度采样频

号频率进步变为/〇'=又/^ =〇.

率// =//^ =5 Hz;最后，进步根据系统输出情况调 节系统参数，当& =3. 6，a=/> = l时，系统输出实现随 机共振，如图8(c)和（d)所示^

图9

滑动轴承转子轴弯曲故障模拟实验台示意图

Fig. 9 Sliding-bearing experimental table

for shaft-bending fault experiments

电机带动转子旋转，实验时转轴的转速为1 680

r/min，即转子转频为28 Hz。利用NI公司生产的NI PXI - 1033信号采集器，对加速度传感器信号进行数据

采集，采样频率设置为/； =5 000 Hz,取采样点数7V = 5 000,对4 096点进行频谱计算，谱平均十次，分别得

图8

频谱重构信号的大参数随机共振

到实测信号的波形、频谱和低频频谱（〇〜500

Hz),如图10所示。由于实验台面上的加速度传感器

Fig. 8 Large-parameter SR for spectrum-reconstructed signal

远离振动源，信号在传播过程中受到噪声的干扰，采集

第21期

赖志慧等：基于Duffing振子的信频谱重构随机共振研究

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到的故障信号十分微弱。其频谱图10(b)和（c)可以 识别出转频/=28. 08 Hz的信号谱峰，但与其他频率成 分谱线相比并不明显突出，且其高次谐波成分也不明 显，这不易于判断转子是否存在故障以及存在何种故 障。为进一步对该转子系统的运行状态进行诊断，采 用基于Duffing振子随机共振的微弱信号检测方法对待 测微弱信号^ (0进行分析。首先，将w ( 0整体放大 200倍并输入方程(6)，由于基频/ = 28 Hz与采样频率

/s =5 000 Hz比值太大，因此先对w(〇进行频谱重构

足小参数条件，我们须在图11的基础上增大A/、减小

I 当 A/=25 Hz,只=1 500,同时调节 Duffing 系统（6)

中参数& = 1.7，a=/)=l时，系统输出信号频谱如图12 所示，从中可以看出明显的基频、二倍频及高次谐波成 分。这样，我们就能够判断出该滑动轴承实验台存在 转子轴弯曲故障，从而实现故障诊断。

Z-OIXS9X

/

处理，取频谱重构参数A/= 18 Hz,使频谱重构后的特征信号频率又=//5〇〇 = 10 HzQ调整Duffing系统参数0.01 ，当& = 13. 9，a =/> = 1，只=1000(此时/〇' =7〇/只=Hz)时，系统输出信号频谱如图11所示（注：图中 频率坐标尺度已换算到原频率尺度下）e

§2

2

0

0.2

0.4 t/s

0.60.8 1.0

(a)

波形图

5§ 〇

^figure(c)Xn 1. 1. LljliblJillll] ....fliiilLk.Jm510 Ii 丄0 20 iii

25b/x15

102/Hz()频谱图

5〇 f=28.08Hz5-...A a1 2 1

0 /x/Hz

3 4 5

102(c)

低频频谱图

图10转子轴弯曲故障振动信号

Fig. 10 Vibration signal of shaft-bending fault

31 ,

xxs〇

5

10

/x15

102/Hz

20

25

图 11

18 Hz，A： = 13. 9，a = 6 = 1，

尺=1 000时，Duffing系统的输出频谱

Fig. 11 The output spectrums of Duffing systemwhen Af = 18 Hz, k = 13. 9, a = b = \\ and R = \\ 000

从图11中可以看出频率/Q =27. 77 Hz的信号谱 峰，远大于其他信号成分，是故障信号的基频特征，这 意味着滑动轴承实验台存在着轴弯曲故障或不对中故 障，二者的最大区别在于轴弯曲故障的信^^频谱中存 在着二倍频及高次谐波成分，但我们无法从图11进行 判断a为了判断待测信号中是否存在基频信的高次 谐波成分，我们进一步调整参数。为了使经过频谱重 构和尺度变换后的w次谐波信号频率(〃/。- A/)/K满

H^

0 1 2

/x 102/Hz

3 4 5

图 12

Af = 25 Hz，/c = 1.7，a = b = l，/? = 1 500时，Duffing系统的输出频谱

Fig. 12. The output spectrums of Duffing system when Af=25 Hz, k = 1. 7 , a = b = 1 and R = 1 5005

结论

微弱信号和噪声共同驱动的二维Duffing振子是一 种能够产生随机共振现象的非线性振子模型，在解决 其在大幅值、大频率、大噪声强度等大参数信号条件下 的随机共振问题后，可以将其作为一种微弱信号检测 模型应用于实际工程中@已有的大频率信靜随机共振 方法是通过频率/时间尺度变换将大频率参数变换为 符合绝热近似理论的小频率参数，以满足随机共振的 小频率参数条件。该方法能够实现Duffing振子的 大频率信号随机共振，但是它要求米样频率和特征信 号频率满足一定的比例要求，因此需要较为准确地估 计待测信号特征频率的范围，需要针对不同的特征信 号频率设置不同的采样频率，这为实际工程信号采集 过程中的采样频率设置带来困难，甚至是无法实现的; 同时，针对已经采集好无法改变采样频率的待测信号，

也可能无法通过该方法进行特征信号频率识别6本文 研究一种频谱重构的信号预处理方法，并进一步提出 基于Duffing振子的信.频谱重构随机共振方法&该方 法通过频谱重构参数A/对待测信号进行频谱重构，使重构后的信号特征频率又与采样频率/；相匹配，从而 实现Duffing系统的随机共振。与变尺度方法相结合， 该方法可以扩展到任意信号特征频率和采样频率下的 随机共振，从而克服Duffing振子随机共振对采样频率 的，扩展其在微弱信号检测中的应用，进一步的 研究表明，在大参数信号条件下，该方法也能够通过参 数调节等方法实现很好的随机共振输出效果。最后， 通过一个轴弯曲故障诊断实例验证了所提出方法的有 效性和可靠性。

16振动与冲击2016年第35卷

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