2019-2020学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（4分）已知椭圆A．

B．

的一个焦点为（2，0），则a的值为（ ） C．6

D．8

2．（4分）已知数列{an}满足a1＝2，an＝an﹣1+2（n∈N*，n≥2），则a3＝（ ） A．5

B．6

C．7

D．8

3．（4分）已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（ ） A．∀x≥1，x2≤1

B．∃x＜1，x2＞1

C．∀x＜1，x2＞1

D．∃x≥1，x2＞1

4．（4分）已知a，b∈R，若a＜b，则（ ） A．a＜2b

B．ab＜b2

C．a2＜b2

D．a3＜b3

5．（4分）已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，那么||＝（ ） A．

B．6

C．9

D．18

6．（4分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7．（4分）已知向量＝（1，x，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（ ） A．﹣1

B．1

C．1或﹣1

D．1或0

8．（4分）德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉．他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数f（x）＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，比如[π]＝3．根据以上定义，当

时，数列x﹣f（x），f（x），x（ ）

A．是等差数列，也是等比数列 B．是等差数列，不是等比数列 C．是等比数列，不是等差数列 D．不是等差数列，也不是等比数列

9．（4分）设有四个数的数列{an}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数

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列，其和为6．则实数m的取值范围为（ ） A．m≥6

B．

C．m≤6

D．m≥2

10．（4分）曲线C：x3+y3＝1．给出下列结论： ①曲线C关于原点对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；

③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②

B．②

C．②③

D．③

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11．（5分）设P是椭圆的距离为 ． 12．（5分）不等式

＜0的解集为 ．

”为假命题的一组a、b值是a＝ ，b＝ ． 上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点

13．（5分）能说明“若a＞b，则

14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F

（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 ．

15．（5分）某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元． 若该渔船预计使用n年，其总花费（含购买费用）为 万元； 当n＝ 时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）．

16．（5分）若x1，x2，x3，…，x9表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：

（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；

（2）灯x1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的i∈{x∈N|2≤x≤9}，要求灯xi的左边有且只有灯xi﹣1是开灯状态时才可以对灯xi进行一次操作．

如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯x4关闭最少需要 次操作；

如果除灯x6外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次

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操作．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（13分）已知等比数列{an}的公比为2，且a3，a4+4，a5成等差数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，且Sn＝62，求n的值． 18．（13分）已知函数f（x）＝x2+ax，a∈R． （Ⅰ）若f（a）＞f（1），求a的取值范围；

（Ⅱ）若f（x）≥﹣4对∀x∈R恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）求关于x的不等式f（x）＞0的解集． 19．（13分）已知椭圆（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点A为椭圆C的上顶点，点B在椭圆上且位于第一象限，且∠AFB＝90°，求△AFB的面积．

20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面ABP，BC∥AD，∠PAB＝90°．PA＝AB＝2，AD＝3，BC＝m，E是PB的中点． （Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC； （Ⅱ）若二面角C﹣AE﹣D的余弦值是

，求m的值；

（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率为

．

（Ⅲ）若m＝2，在线段AD上是否存在一点F，使得PF⊥CE．若存在，确定F点的位置；若不存在，说明理由．

21．（14分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

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（Ⅱ）过（﹣1，0）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线x＝﹣4于点E，直线BF交直线x＝﹣1于点D．是否存在这样的直线l，使得DE∥AF？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．

22．（13分）若无穷数列a1，a2，a3，…满足：对任意两个正整数i，j（j﹣i≥3），ai﹣1+aj+1

＝ai+aj与ai+1+aj﹣1＝ai+aj至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”． （Ⅰ）求证：若数列{an}为等差数列，则{an}为“和谐数列”；

（Ⅱ）求证：若数列{an}为“和谐数列”，则数列{an}从第3项起为等差数列； （Ⅲ）若{an}是各项均为整数的“和谐数列”，满足a1＝0，且存在p∈N*使得ap＝p，a1+a2+a3+…+ap＝﹣p，求p的所有可能值．

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2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（4分）已知椭圆A．

B．

的一个焦点为（2，0），则a的值为（ ） C．6

D．8

【分析】判断椭圆的焦点所在的轴，然后转化求解a即可． 【解答】解：椭圆所以椭圆的长轴是x轴， 所以故选：A．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题． 2．（4分）已知数列{an}满足a1＝2，an＝an﹣1+2（n∈N*，n≥2），则a3＝（ ） A．5

B．6

C．7

D．8

，解得a＝2

．

的一个焦点为（2，0），

【分析】结合等差数列的定义及通项公式即可求解．

【解答】解：由题意可知数列是以a1＝2为是首项，以2为公差的等差数列， 则a3＝6． 故选：B．

【点评】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，属于基础试题． 3．（4分）已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（ ） A．∀x≥1，x2≤1

B．∃x＜1，x2＞1

C．∀x＜1，x2＞1

D．∃x≥1，x2＞1

【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．

【解答】解：命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p：∀x＜1，x2＞1； 故选：C．

【点评】本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等

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号的变化，考查转化思想，属于基础题． 4．（4分）已知a，b∈R，若a＜b，则（ ） A．a＜2b

B．ab＜b2

C．a2＜b2

D．a3＜b3

【分析】利用不等式的性质，逐项分析即可．

【解答】解：取a＝﹣2，b＝﹣1，a＝2b，故选项A错误； 当b＝0时，ab＝b2＝0，故选项B错误； 取a＝﹣1，b＝0，显然选项C错误；

由y＝x3为R上的增函数可知，当a＜b时，a3＜b3，故选项D正确． 故选：D．

【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．

5．（4分）已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，那么||＝（ ） A．

B．6

C．9

D．18

【分析】根据题意，设＝k，即（3，x，y）＝k（﹣1，2，1），分析可得x、y的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥， 则设＝k，即（3，x，y）＝k（﹣1，2，1）， 则有k＝﹣3， 则x＝﹣6，y＝﹣3，

则＝（3，﹣6，﹣3），故||＝故选：A．

【点评】本题考查空间向量的平行以及模的计算，关键是求出x、y的值．

6．（4分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ＝3

；

【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．

【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒

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“平面α和平面β相交”， 反之不成立．

∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件． 故选：A．

【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．

7．（4分）已知向量＝（1，x，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（ ） A．﹣1

B．1

C．1或﹣1 ，由此能求出x的值．

D．1或0

【分析】由，，共面，得

【解答】解：∵向量＝（1，x，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0）， ，，共面， ∴

，∴（1，x，2）＝（n，m，2m），

解得n＝1，m＝x，2＝2m，∴x＝1． 故选：B．

【点评】本题考查实数值的求法，考查向量共面的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．（4分）德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉．他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数f（x）＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，比如[π]＝3．根据以上定义，当

时，数列x﹣f（x），f（x），x（ ）

A．是等差数列，也是等比数列 B．是等差数列，不是等比数列 C．是等比数列，不是等差数列 D．不是等差数列，也不是等比数列

【分析】根据题意，求出f（x）和x﹣f（x）的值，即可得数列x﹣f（x），f（x），x；据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，当则x﹣f（x）＝（

时，f（x）＝2， ﹣1，

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+1）﹣2＝

数列x﹣f（x），f（x），x，即故选：D．

﹣1，2，+1，其不是等差数列，也不是等比数列；

【点评】本题考查数列的表示方法，关键是求出f（x），属于基础题，

9．（4分）设有四个数的数列{an}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6．则实数m的取值范围为（ ） A．m≥6

B．

C．m≤6

D．m≥2

【分析】本题先根据等差数列列出后3项，然后根据等比中项的性质算出第1项，再写出m关于d的表达式，根据二次函数的性质可得出实数m的取值范围． 【解答】解：由题意，后3项成等差数列，其和为6， 故可设公差为d，后3项可写成2﹣d，2，2+d． 又∵前3项成等比数列，

根据等比中项的性质，可知第1项为∴数列{an}为：∴m＝＝d2﹣3d+6

＝（d﹣3）2+≥． 故选：B．

【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的性质，二次函数的知识，考查了函数思想的应用及计算能力．本题属中档题． 10．（4分）曲线C：x3+y3＝1．给出下列结论： ①曲线C关于原点对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；

③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②

B．②

C．②③

D．③

+2﹣d+2

，2﹣d，2，2+d．

．

【分析】将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y，即有﹣x3﹣y3＝1，则x3+y3＝﹣1，曲线C关于原点不对称；曲线C：x3+y3＝1过点M（x，

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），M到原点O（0，0）的距离：

|MO|＝

≥1；曲线C：x3+y3＝1经过（1，0），（0，1）两个整数点．

【解答】解：将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y，即有﹣x3﹣y3＝1，则x3+y3＝﹣1， 所以曲线C关于原点不对称，故①错误； 曲线C：x3+y3＝1过点M（x，M到原点O（0，0）的距离：|MO|＝

），

≥1，故②正确；

曲线C：x3+y3＝1经过（1，0），（0，1）两个整数点，故③正确； 故正确的结论的序号是：②③， 故选：C．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查曲线的对称性、曲线上的点到原点的距离和整点问题等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11．（5分）设P是椭圆的距离为 8 ．

【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a的值，结合椭圆的定义可得若M为椭圆上一点，则有|MF1|+|MF2|＝2a＝10，又由题意，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为其中a＝

＝5，

+

＝1，

上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点

若P为椭圆上一点，则有|PF1|+|PF2|＝2a＝10，

又由P到左焦点F1的距离是2，则P到右焦点的距离为10﹣2＝8； 故答案为：8．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意利用椭圆的定义分析． 12．（5分）不等式【分析】由不等式【解答】解：由不等式故答案为：（0，1）．

【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．

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＜0的解集为 （0，1） ．

＜0可得 x（x﹣1）＜0，由此解得不等式的解集．

＜0可得 x（x﹣1）＜0，解得 0＜x＜1，

13．（5分）能说明“若a＞b，则”为假命题的一组a、b值是a＝ 1 ，b＝ ﹣1 ．

【分析】结合不等式的性质即可进行判断．

【解答】解：利用a＝1，b＝﹣1时，满足a＞b，但是故此时若a＞b，则故答案为：1，﹣1．

【点评】本题主要考查了命题的真假判断，属于基础试题． 14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线

﹣

＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F

”为假命题．

，

（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 2 ．

【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可． 【解答】解：双曲线

＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y＝x

的距离为c，

可得：＝b＝，

可得，即c＝2a，

．

所以双曲线的离心率为：e＝故答案为：2．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

15．（5分）某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元． 若该渔船预计使用n年，其总花费（含购买费用）为 n2+3n+100 万元； 当n＝ 10 时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）．

【分析】第一空：根据增长规律可求得第n年捕捞所需费用为2n+2，进而求出总费用； 第二空：表示出平均花费，利用基本不等式即可求出n＝10时平均花费最低．

【解答】解：因为第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元，

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则第n年捕捞所需费用为4+2（n﹣1）＝2n+2，所以总花费为平均花费＝平均花费最小，

故答案为：n2+3n+100；10．

＝n+

+3≥2

+100＝n2+3n+100；

+3＝23，当且仅当n2＝100即n＝10时，

【点评】本题考查函数模型的实际应用，涉及基本不等式求最值，属于综合题． 16．（5分）若x1，x2，x3，…，x9表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：

（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；

（2）灯x1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的i∈{x∈N|2≤x≤9}，要求灯xi的左边有且只有灯xi﹣1是开灯状态时才可以对灯xi进行一次操作． 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯x4关闭最少需要 3 次操作；

如果除灯x6外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 21 次操作．

【分析】（1）把灯x2关闭，再把x1灯关闭，再把x4灯关闭，最少需要 3次操作； （2）按照规则，适当对灯x1操作，先把灯x6打开，再一步一步把前面的灯打开即可． 【解答】解：（1）如果所有灯都处于开灯状态，那么先把灯x2关闭，再把x1灯关闭，再把x4灯关闭，最少需要 3次操作；

（2）如果除灯x6外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么： 第1次操作：把x2灯关闭， 第2次操作：把x1灯打开， 第3次操作：把x4灯关闭， 第4次操作：把x1灯打开， 第5次操作：把x2灯打开， 第6次操作：把x1灯关闭， 第7操作：把x3灯关闭， 第8次操作：把x1灯打开， 第9次操作：把x2灯关闭， 第10次操作：把x1灯关闭， 第11次操作：把x6灯打开，

第11页（共20页）

第12次操作：把x1灯打开， 第13次操作：把x2打开， 第14次操作：把x1灯关闭， 第15次操作：把x3灯打开， 第16次操作：把x1灯打开， 第17次操作：把x2灯关闭， 第18次操作：把x1灯关闭， 第19次操作：把x4灯打开， 第20次操作：把x1灯打开， 第21次操作：把x2灯打开，

至少需要21次操作，可以使所有灯都开着， 故答案为：3，21．

【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（13分）已知等比数列{an}的公比为2，且a3，a4+4，a5成等差数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，且Sn＝62，求n的值．

【分析】本题第（Ⅰ）题先根据数列{an}的公比为2的等比数列写出a3，a4，a5．然后根据等差中项的性质有2（a4+4）＝a3+a5，代入解出a1，即可得到数列{an}的通项公式；第（Ⅱ）题根据等比数列的求和公式写出前n项和为Sn，然后Sn＝62，化简，解关于n的方程即可得到结果．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，{an}为公比为2的等比数列， 故

，a4＝8a1，a5＝16a1，

依题意，得2（a4+4）＝a3+a5， 即2（8a1+4）＝4a1+16a1， 整理，得4a1＝8，解得a1＝2． ∴数列{an}的通项公式为

．

（Ⅱ）根据（1），可知 ＝

第12页（共20页）

．

故2n+1﹣2＝62， 整理，得2n+1＝， 解得n＝5． ∴n的值是5．

【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质，以及等比数列的求和公式．考查了方程思想的应用和计算能力．本题属中档题． 18．（13分）已知函数f（x）＝x2+ax，a∈R． （Ⅰ）若f（a）＞f（1），求a的取值范围；

（Ⅱ）若f（x）≥﹣4对∀x∈R恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．

【分析】（I）结合已知函数解析式及二次不等式的解法即可求解， （II）结合二次不等式的恒成立可转化为求最值问题，可求， （III）结合二次不等式的解法，对a进行分类讨论即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）由f（a）＞f（1）得a2+a2＞1+a， 整理得2a2﹣a﹣1＞0， 解得

或a＞1}．

（Ⅱ）f（x）≥﹣4对∀x∈R恒成立，则f（x）min≥﹣4， 所以

，

整理得a2﹣16≤0， 解得{a|﹣4≤a≤4}

（Ⅲ）解x2+ax＝0，得x1＝0，x2＝﹣a， ①当﹣a＞0时，即a＜0时，x＜0或x＞﹣a； ②当﹣a＜0时，即a＞0时，x＜﹣a或x＞0； ③当﹣a＝0时，即a＝0时，x≠0．

综上，当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜0或x＞﹣a}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞0}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}．

【点评】本题主要考查了二次不等式的求解及二次不等式的恒成立问题的应用，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，属于中档试题．

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19．（13分）已知椭圆（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率为．

（Ⅱ）设点A为椭圆C的上顶点，点B在椭圆上且位于第一象限，且∠AFB＝90°，求△AFB的面积．

【分析】（Ⅰ）由离心率及焦点坐标和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，A，F的坐标，设B的坐标，由∠AFB＝90°，得直线BF，AF的斜率之积为﹣1，即B在椭圆上，求出B的坐标，进而求出AF，BF的长，求出面积． 【解答】解：（Ⅰ）依题意c＝1，解得

，

，

．

，

所以椭圆C的方程为

（Ⅱ）设点B（x0，y0），因为点B在椭圆上，所以，

因为∠AFB＝90°，所以kFA•kFB＝﹣1，得由①②消去y0得，解得x0＝0（舍），代入方程②得所以

，又

， ，所以

，

， ，

，

所以△AFB的面积

【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．

．

20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面ABP，BC∥AD，∠PAB＝90°．PA＝AB＝2，AD＝3，BC＝m，E是PB的中点． （Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC； （Ⅱ）若二面角C﹣AE﹣D的余弦值是

，求m的值；

（Ⅲ）若m＝2，在线段AD上是否存在一点F，使得PF⊥CE．若存在，确定F点的位置；若不存在，说明理由．

第14页（共20页）

【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥平面PAB． AE⊥BC． AE⊥PB．由此能证明AE⊥平面PBC． （Ⅱ）建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能求出m的值． （Ⅲ）设F（0，0，t）（0≤t≤3）．当m＝2时，C（0，2，2）.

．由PF⊥CE知，

，

，﹣2﹣2t＝0，t＝﹣1．这与0≤t≤3矛

盾．从而在线段AD上不存在点F，使得PF⊥CE． 【解答】解：（Ⅰ）证明：因为 AD⊥平面PAB，BC∥AD， 所以 BC⊥平面PAB．

又因为 AE⊂平面PAB，所以 AE⊥BC．

在△PAB中，PA＝AB，E是PB的中点，所以 AE⊥PB． 又因为 BC∩PB＝B，所以 AE⊥平面PBC．

（Ⅱ）解：因为 AD⊥平面PAB，所以AD⊥AB，AD⊥PA． 又因为 PA⊥AB，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．

则A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，m），E（1，1，0），P（2，0，0），D（0，0，3），

，

．

设平面AEC的法向量为＝（x，y，z）． 则

即

令x＝1，则y＝﹣1，

，于是＝（1，﹣1，）．

因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB．又PB⊥AE，所以PB⊥平面AED． 又因为

，所以 取平面AED的法向量为＝（﹣1，1，0）．

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所以|cos＜＞|＝＝，即

，解得m2＝1．

又因为m＞0，所以m＝1．

（Ⅲ）解：结论：不存在．理由如下： 证明：设F（0，0，t）（0≤t≤3）． 当m＝2时，C（0，2，2）.由PF⊥CE知，

，

．

，﹣2﹣2t＝0，t＝﹣1．这与0≤t≤3矛盾．

所以，在线段AD上不存在点F，使得PF⊥CE．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查实数值的求法，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21．（14分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过（﹣1，0）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线x＝﹣4于点E，直线BF交直线x＝﹣1于点D．是否存在这样的直线l，使得DE∥AF？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．

【分析】（Ⅰ）通过横坐标为1的点到焦点的距离为3，求出p得到抛物线方程．得到准线方程．

（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x+1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，

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y2）． 联立得

消去y得k2x2+（2k2﹣8）x+k2＝0．利用韦达定理，

方法一：直线BF的方程为，求出D的坐标，利用直线DE与直线AF的

斜率相等．推出

方法二：利用DE∥AF，得到程．

．转化求解直线的斜率，得到直线方程．

，转化求解直线的斜率，然后求解直线l的方

【解答】解：（Ⅰ）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以所以y2＝8x，

所以准线方程为x＝﹣2．

，解得p＝4，

（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x+1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立得

消去y得k2x2+（2k2﹣8）x+k2＝0．

．所以

且k≠0．

由△＝（2k2﹣8）2﹣4k4＞0，解得由韦达定理得方法一： 直线BF的方程为

， ，x1x2＝1．

又xD＝﹣1，所以，所以，

因为DE∥AF，所以直线DE与直线AF的斜率相等．

又E（﹣4，﹣3k），所以．

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整理得，即，

化简得，

，即x1+x2＝7．

所以，整理得，

解得．经检验，符合题意．

或

．

所以存在这样的直线l，直线l的方程为方法二：

因为DE∥AF，所以

，所以

．

整理得x1x2+（x1+x2）＝8，即，

整理得解得

．

，经检验，

符合题意．

或

．

所以存在这样的直线l，直线l的方程为

【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交问题弦长问题，点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

22．（13分）若无穷数列a1，a2，a3，…满足：对任意两个正整数i，j（j﹣i≥3），ai﹣1+aj+1

＝ai+aj与ai+1+aj﹣1＝ai+aj至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”． （Ⅰ）求证：若数列{an}为等差数列，则{an}为“和谐数列”；

（Ⅱ）求证：若数列{an}为“和谐数列”，则数列{an}从第3项起为等差数列； （Ⅲ）若{an}是各项均为整数的“和谐数列”，满足a1＝0，且存在p∈N*使得ap＝p，a1+a2+a3+…+ap＝﹣p，求p的所有可能值． 【分析】（I）结合等差数列的性质即可进行证明， （II）结合等差数列的定义进行转化即可求解证明，

（III）对p的所有可能的值进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式及性质可求． 【解答】（Ⅰ）证明：因为数列{an}为等差数列，

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所以 对任意两个正整数i，j（j﹣i≥3），有 ai+1﹣ai＝aj﹣aj﹣1＝d， 所以 ai+1+aj﹣1＝ai+aj． 所以 数列{an}为“和谐数列”．

（Ⅱ）证明：因为数列{an}为“和谐数列”，

所以 当i＝1，j＝4时，只能ai+1+aj﹣1＝ai+aj成立，ai﹣1+aj+1＝ai+aj不成立． 所以 a2+a3＝a1+a4，即a2﹣a1＝a4﹣a3．

当i＝1，j＝5，6，7，8，9…时，也只能ai+1+aj﹣1＝ai+aj成立，ai﹣1+aj+1＝ai+aj不成立． 所以 a2+a4＝a1+a5，a2+a5＝a1+a6，a2+a6＝a1+a7，…， 即 a2﹣a1＝a5﹣a4＝a6﹣a5＝a7﹣a6＝…， 所以 a2﹣a1＝a4﹣a3＝a5﹣a4＝a6﹣a5＝…

令a2﹣a1＝d，则数列{an}满足an﹣an﹣1＝d（n≥4）． 所以，数列{an}从第3项起为等差数列．

（Ⅲ）解：①若p＝1，则ap＝a1＝1，与a1＝0矛盾，不合题意． ②若p＝2，则a1＝0，a2＝2，但a1+a2＝2≠﹣2，不合题意． ③若p＝3，则a1＝0，a3＝3，由a1+a2+a3＝﹣3，得a2＝﹣6， 此时数列{an}为：0，﹣6，3，﹣3，﹣9，…，符合题意． ④若p≥4，设a2﹣a1＝d， 则所以，即

．

．

因为 p﹣1≠0，所以p+d+p﹣（p﹣3）d＝0． 所以 p＝4不合题意． 所以

因为p为整数，所以

．

为整数，所以p＝5，6，8，12．

综上所述，p的所有可能值为3，5，6，8，12．

【点评】本题考查等差关系的确定与等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查运算与推理、证明的能力，属于中档题．

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