高考函数专题复习学案+教案

函数部分

（一）基础知识、题型、方法

一， 函数的概念

1， 函数中两个集合A和B必须是非空的数集，否则不能构成函数 2， 集合A 中的元素满足任意性，集合B中的元素满足唯一性 3， 只有一对一，多对一的对应关系才是函数关系

4， 函数具有方向性，即一般情况下，A到B的函数和B到A的函数不是同一个函数 5， 函数的三要素为：定义域，值域和对应关系

6， 集合A叫做函数的定义域，函数的值域是集合B的子集

7， 函数的表示方法为f(x)，f和x是一个整体，而不是乘法，还可以用g(x),h(x),G(x)等来表示函数

二，判断两个函数是否为同一个函数的方法 1，判断两个函数是否为同一个函数的方法

当且仅当两个函数的定义域和解析表达式都相同时两个函数才是同一个函数 2，例题分析

例1， 判断下列函数是否为同一个函数

x2x(1) f(x)2x1与g(x)4x4x1 (2) f(x)与g(x)x1

x2(3) f(x)|x1|与g(x)x1(x1) (4) f(x)x22x与g(t)t22t

1x(x1)2x(x0)(5) f(x)x|x|与g(x)2 (6) f(x)x1x1与g(x)x21

x(x0)三，求函数的值问题

常见的题目类型及方法

(1) 先求出函数解析式，然后代入求值

例1， 已知f(x)2f(x)x3，则f(1)的值是

【变式训练1】已知f(x)(2) 整体法

3x1(x1)，则f[f(3)]=

2x4(x1)x2111f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f()= 例2， 已知，f(x)，则22341x【变式训练2】已知f(x)x3x1a，则f(x)=

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3 函数

(3) 赋值法：对于与抽象函数有关的求值问题可采用此方法 例3， 已知f(xy)f(x)f(y),若f(2)2,求f(16)的值 四， 函数解析式的求法：

方法1，配凑法： 此方法是整体代换思想的体现，把括号里看成一个整体，把等式的右边化成含有这个整体的表达式即可

例1.已知f(x1)x25x3，求f(x)的表达式；

方法2，换元法： 此方法用于不宜配凑的题目或很难配凑出的题目，把括号里的式子换成t，等式的右边用t表示出来，求出f(t)的表达式，然后在把t换成x即可，注意t的范围 例1.已知f(x1)x25x3，求f(x)的表达式； 方法3 ，待定系数法： 如果已知到函数的类型，即已知f(x)是什么样的函数，然后设出此函数的一般式，利用待定系数法求出参数即可

例1， 已知函数f(x)是二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x4，求f(x)的表达

式；

【变式训练1】

（1），已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]2x1，求f(x)的表达式； （2），已知函数f(x)是幂函数，且f(2) 方法4，方程法： 若已知中含有f(x)和f(x),f(x)和f()的关系式时，可构造出另一个方程，然后求出

1，求f(x)的表达式； 81xf(x)

例1， 已知函数f(x)定义域为(1,)，且f(x)2f()x1，求f(x)的表达式；

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1x 函数

【变式训练2】已知函数f(x)满足f(x)2f(x)x3,求f(x)的表达式； 五，分段函数问题 1， 分段函数的定义：

指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数。 2， 两点注意：

（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数

（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集 3，例题分析

x21,x1例1、（12江西理3）若函数f(x)，则f(f(10))（ ）

lgx,x1例2、（10陕西文13）已知函数f(x)＝

4，反馈练习

3x2,x1,xax,x1,2若f(f(0))4a，则实数a

1log3x,x01、（10湖北文3）已知函数f(x)x，则f(f())（ ）

92,x0A、4

B、

11 C、4 D、 44x,x0,2、 (11年浙江理1)设函数f(x)2若f(a)4,则实数a=（ ）

x,x0.A、-4或-2 B、-4或2 C、-2或4 D、-2或22、

x21,x1,3、（10陕西理5）已知函数f(x)=2，若f(f(0))=4a，则实数a等于 （C）

xax,x1,A、

14 B、 C、 2 D、 9 25六，函数的定义域问题

1， 函数定义域就是使函数的表达式有意义时自变量的取值范围，一定用集合或区间表示函

数的定义域；

2， 已知函数的解析式（具体函数），求定义域问题的类型： （1）若解析式是整式，则函数的定义域为全体实数R； （2）若解析式中含有分式，则分母不为零；

（3）若解析式中含有偶次根式，则被开方数为非负； （4）若解析式中含有x，则底数x不为零；

（5）若解析式中含有对数式，则真数大于零，底数大于零且不等于1； （6）实际问题中不仅要考虑解析式的意义，还应该注意其实际意义； （7）若解析式中含有以上某几种情况，则应该去它们的交集； 3， 抽象函数的定义域问题：

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0 函数

（1） 类型一：已知yf(x)定义域为A，求f[g(x)]定义域问题 【解法】只要解关于x的g(x)A不等式即可

（2） 类型二：已知yf[g(x)]定义域为A，求yf(x)的定义域问题 【解法】已知xA，求函数yg(x)的值域即可 4, 例题分析 例1，求下列函数的定义域 （1）f(x)3x2（2）f(x)(x1)0xx（3）f(x)1x22x3lg4x x4例2，已知函数yf(x)定义域是(0,1)，则函数yf(x1)的定义域为____________ 例3（12年山东文3）函数f(x) A、[2,0) 14x2的定义域为（ ）

ln(x1)12(0,2] B、(1,0)(0,2] C、[2,2] D、(1,2]

5，反馈练习 1、（12年安徽文2）设集合A={x|32x13}，集合B为函数ylg(x1)的定义域，则AB=（ ）A、（1，2） B、[1，2] C、 [ 1，2） D、1，2 ] 2、（2012高考江苏5）函数f(x)12log6x的定义域为 ． 3、06年湖北理卷）设f(x)lgA、(4,0)2xx2，则f()f()的定义域为（ ） 2x2x

(0,4) B、(4,1)(1,4) C、(2,1)(1,2) D、(4,2)(2,4)

24、已知函数yf(x1)定义域为[2,3]，求函数yf(2x2)的定义域

七， 求函数的值域问题

1，求函数的值域首先要确定函数的定义域，函数的值域就是当自变量x取不同值时对应的y值的集合；

2， 函数的值域一定要用区间或集合表示；

3， 函数的值域是函数值的集合，与函数的最值不同； 4， 函数值域的求法

方法1，直接法： 有些函数的结构不复杂，可通过基本初等函数的值域结合不等式的性质直接求值域；要对学习过的基本初等函数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的性质和不等式的性质熟练的掌握；

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函数

x例1，（10年山东文第3题）函数fxlog231的值域为（ ）

A. 0, B. 1, 0, C. 1, D. 例2，（2010重庆文第4题）函数y164x的值域是（ ） A．[0,) B. [0,4] C.[0,4) D.(0,4) 方法2，分离常数法： axbax2bxc形如f(x)(ac0)或f(x)2(ad0)的函数，把其化为一个常数和

cxddxexf另一个函数的和（差）的形式，即f(x)axbmk(k,m是常数)或

cxdcxdax2bxcmf(x)2k2(k,m是常数)，即对那个函数进行求取值范围即

dxexfdxexf可；

例3，求下列函数的值域

1x2x2 （1）f(x)（2）f(x)

x11x2方法3，换元法： 换元法求函数的值域分两种情况：（1）代数换元，形如f(x)axbcxd，把根号换掉

例4，求下列函数的值域

（1）f(x)x12x（2）f(x)x1x2 (3) f(x)sin2x2cosx3(4)f(x)32x 2 8x6

方法4，利用函数的单调性求值域： 如：（1）在公共定义域内：简记为：增+增=增 减+减=减 增-减=增 减-增=减。 （2）若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

（3）函数f(x)与

1单调性相反 f(x)例5，求下列函数的值域

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函数

2（1）f(x)x11(x)（2）f(x)x12x x2

方法 5，利用判别式法求值域： ax2bxc形如yf(x)2通过该(a,e不同为0)把函数转化为关于x的二次方程，

exdxf方程有实数根，判别式0可求，要检验等号能否成立； 例6，求下列函数的值域

x2x（1）y2（2）

xx1

5，反馈练习

1，求下列函数的值域

y2x2x

12x11x1xf(x)f(x)()()1，x3,2 （2） （3）xx342211x24x,x[0,5) （4）f(x)()3（1）f(x)八，函数的单调性问题

（一）函数单调性的判断方法：

1，方法一：定义法证明函数单调性的一般步骤： （1）取值：任取x1，x2A，且x1x2； （2）作差：f(x1)f(x2)；

（3）变形定号：将f(x1)f(x2)通过因式分解、通分、有理化、配方等手段变形到能判断其符号；

（4） 下结论：若f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，则yf(x)是增函数；若

f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，则yf(x)是减函数。

2，方法二:图像法：体现属性集合思想，通过观察函数图象判断；从图像观察：若在区间A上沿x轴正方向从左到右是逐渐上升（下降）的，则函数yf(x)在区间A上是增（减）函数

3，性质法：

（1）若f(x)，g(x)均为区间A上的增函数，则f(x)g(x)也为区间A上的增函数； （2）若f(x)，g(x)均为区间A上的减函数，则f(x)g(x)也为区间A上的减函数；

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函数

（3）若f(x)为区间A的上的增函数，g(x)为区间A上减函数，则f(x)g(x)为区间A上的增函数；

（4）若f(x)为区间A上的减函数，g(x)为区间A上的增函数，则f(x)g(x)为区间A上的减函数；

简记为：增+增=增 减+减=减 增-减=增 减-增=减。

（5）若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反； （6）函数yf(x)在公共定义域内与yf(x),y1的单调性相反； f(x)（7）函数yf(x)（f(x)0）在公共定义域内与yf(x)单调性相同；

（8）奇函数在其对称区间上单调性相同，偶函数在其对称区间上单调性相反；

（9）若函数yf(x)在某区间A上是增（减）函数，则yf(x)在区间A的任一子区间上也是增（减）的

4，复合函数单调性的判断方法：yf[g(x)]单调性满足“同增异减”法则，即 （二）常见的结论

函数单调性定义的等价形式： （1）设x1,x2A，且x1x2，

f(x1)f(x2)0f(x)在区间A上为递增的，

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在区间A上为递减的；

x1x2（2），设x1,x2A，且x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2)0f(x)在区间A上为为递增的，f(x1)f(x2)(x1x2)0f(x)在区间A上递减的； 九，函数的奇偶性问题

（一）函数奇偶性的定义：

1，一般地，如果对于函数yf(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么就称函数yf(x)为奇函数；

2，一般地，如果对于函数yf(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么就称函数yf(x)为偶函数； （二）函数奇偶性的判断方法：

1， 图像法：如果函数f(x)的图像关于原点对称，则函数f(x)是奇函数；如果函数f(x)的

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函数

图像关于y轴对称，则函数f(x)是偶函数； 2， 定义法：

(1)先判断函数f(x) 的定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则函数f(x) 是非奇非偶函数；否则做第（2）歩；

(2)判断f(x)与f(x)的关系，如果f(x)f(x)，则函数f(x)为偶函数；如果

f(x)f(x)，则函数f(x)为奇函数；

1， 函数f(x)为偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)0函数f(x)的图像关

于y轴对称；

2， 函数f(x)为奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)0函数f(x)的图像关

于原点对称；

3， 函数f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；

4， 若二次函数f(x)ax2bxc(a0)，则b0； 5， 若奇函数的定义域为全体实数R ，则f(0)0；

6， 在公共的定义域上，若f(x)，g(x)均为奇（或偶）函数，则f(x)g(x)仍为奇（或

偶）函数，简记为：奇奇=奇、 偶偶=偶；

7， 函数yf(x)g(x)的奇偶性满足：“同偶异奇”的法则，（1）若f(x)，g(x)奇偶

性相同，即都是奇函数或都是偶函数时，则yf(x)g(x)为偶函数；（2）若f(x)，

g(x)奇偶性相异，即一奇一偶函数，则yf(x)g(x)为奇函数。

简记为：同偶异奇

8， 奇函数的在对称区间上的单调性相同；偶函数的在对称区间上的单调性相反； （四）例题分析

例1（12重庆文12）若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a__________________ 例2、设f(x)ax7bx5，已知f(7)17，则f(7)的值是___________

例3、已知函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则m的值是（ A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 十，函数的图像变换 （一）函数图像变换 1，平移变换

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（三）常见的结论：） 函数

k0向左平移|k|个单位yf(xk)（左加右减） （1）左右平移：yf(x)k0向右平移|k|个单位（2）上下平移：y2，对称变换 （1）y（2）y（3）yh0向上平移|h|个单位yf(x)h

f(x)h0向上平移|h|个单位关于y轴对称 f(x)yf(x）关于x轴对称 f(x)yf(x）关于原点对称 f(x)yf(x）3，伸缩变换 （1）（2）

横坐标不变，纵坐标变为原来A倍yAf(xyf(x)）

yf(x)yf(ax）

保留y轴右侧图象，将右侧图象作关于y轴对称yf(|x|）yf(x) 保留x轴上方图象，将x轴下方图象作关于x轴对称yf(x)y|f(x)|

纵坐标不变，横坐标变为原来1a4，翻折变换 （1）（2）

（二）例题分析

例1 (11重庆理5)下列区间中，函数f(x)lg(2x)，在其上为增函数的是（ ）

A、(,1] B、 1, C、 [0, ) D、 [1,2) 2343例2、（09北京理3）为了得到函数ylgx3的图像，只需把函数ylgx的图像上所有10的点 （ ）

A、向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B、向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C、向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D、向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

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