初中数学 《整式的乘除》复习指导

幂的运算学习导航

一、运算法则精读 （一）同底数幂的乘法

1、同底数幂的乘法的法则是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用字母可以表示为：am×an＝am+n（m、n都是正整数）.在这个表达式中，等式的左边是两个幂底数相同，且是乘积的关系；而右边是一个幂，与左边相比，底数不变，只是指数是左边的指数相加而得到.

2、在同底数幂的乘法法则中的底数字母a可以表示一个数，也可以表示一个单项式或

111一个多项式.如＝333232311.

243353、法则am×an＝am+n还可以推广使用，即当三个或三个以上的同底数相同时，底数仍然不变，只要将指数分别相加即可，如am×an×ap＝am+n+p（m、n、p都是正整数）.如－a×a m+1×a

m－1＝－a1+m+1+m－1＝－a2m+1.

4、只有同底数的幂相乘时才能运用这个法则，千万不要出现形如y5×(－y4)＝y9的这类错误，因为这里的两个底数并不相同.

5、法则am×an＝am+n还可以逆向使用，即可以写成am+n＝am×an，如y7＝y2+5＝y2×y5；又

5如1420054•252005514＝－1452005＝－12005＝－1.

（二）幂的乘方

1，幂的乘方的法则是：幂的乘方，底数不变，指数相乘.用字母可以表示为：(am)n＝amn

（m、n都是正整数）.这个法则的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘.

2，同样这个法则也可以进行逆向运用，即amn＝(am)n＝(a n) m. （三）积的乘方

1、积的乘方的法则是：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 用字母可以表示为： (a×b)n＝an×bn（n是正整数）.

2、法则可以推广使，即对于三个或三个以上的因式的积的乘方也适用这一法则. 3、可以逆向运用这个法则，即an×bn＝(a×b)n. （四）同底数幂的除法

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1、同底数幂的除法的法则是：同底数幂相除，底数不变，指数相减.用字母可以表示为：am÷an＝amn（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）.可见这个法则成立的条件是：同底数幂相除，结论是：底数不变，指数相减.

2、法则中的底数a要不等于0，因为若a＝0了，则除数为0，除法就没有意义了，另外，法则中不说零指数和负指数的概念，所以在这个法则必须规定m、n都是正整数，且m＞n.

3、法则也可以推广运用，即am÷an÷ap＝am

－n－p

－

（m、n、p都是正整数，m＞n＞p）.如

3333222272721381. 2164（五）四个运算法则的异同点

四个运算法则既有相同点又有不同点.它们的共同点是：①运算时底数不变，只对指数运算；②表达式中的底数具有普遍性，既可以是一个具体的数，也可以是一个单项式或多项式；③指数都是正整数.它们的不同点是：①同底数的幂相乘的指数是相加，而同底数的幂相除的指数是相减；②幂的乘方是指数相乘；③积的乘方是将每一个因式分别乘方.

《整式的乘除》复习指导

在初一上学期，我们学习了合并同类项。这就是整式加减法的基础，本章就是继合并同类项之后，进一步研究关于整式的第一级运算——整式的加减法和第二级运算——整式的乘除法。

一、知识要点

对于本章知识的学习，应达到以下要求： 1、掌握幂的运算性质，会用它们进行运算；

2、掌握单项式运算以及多项式运算的法则，会用它们进行运算； 3、灵活运用乘法公式，熟练使用它们解题；

4、会进行整式的加、减、乘、除、单项式的乘方等混合运算；灵活使用运算律与各种公式进行简便运算.

二、知识结构

幂的运算性质是整式乘除法的基础，它是单项式乘除法、多项式乘除法以及使用乘法

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公式运算的必备知识；其中，单项式乘除法又是多项式乘除法运算的知识基础. 它们之间的关系可有下面的知识结构图来表示：

整 式 的乘 除

三、基础知识

学习本章包括幂的运算性质、单项式乘除法、多项式乘除法、乘法公式五部分内容. 其中，乘法公式是重点.

1、幂的运算重要知识点有：

（1） 同底数幂的乘法：am·an=am+n(m,n为正整数)； （2） 幂的乘方：(am)n=amn(m,n为正整数)； （3） 积的乘方：(ab)n=an·bn(n为正整数)； 2、整式乘法重要知识点有： （1） 单项式乘以单项式； （2） 单项式与多项式相乘； （3） 多项式与多项式相乘； 3、乘法公式重要知识点有：

（1） 平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2； （2） 和的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2； （3） 差的完全平方公式：(a－b)2=a2－2ab+b2. 4、整式除法重要知识点有：

（1） 同底数幂的除法：am÷an=amn(a≠0, m,n为正整数，并且m＞n)； （2） 单项式除以单项式； （3） 多项式除以单项式. 四、重点提示

－

同底数幂乘法 幂的乘方 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 乘法公式 整式乘法 积的乘方 同底数幂除法单项式除以单项式 多项式除以单项式 整式除法 第5页 共7页

需要说明的是，有很多内容是通过本章知识派生出的，对于它们也应充分注意，比如： 1、在多项式乘法中，含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式. 如果用a,b分别表示含有一个系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有公式：

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab （*）.

这个公式对于解此类多项式乘法的计算题，是非常有效的.

2、对同底数幂除法的运算性质am÷an=amn(a≠0, m,n为正整数，并且m＞n)的拓展。当指数相同时，则有an÷an=ann =a0=1，从而解释了“任何不等于0的数的0次幂都等于1”的规定，同时，又将同底数幂除法的运算性质中m＞n的条件扩大为m≥n；而当m＜n时，仍然使用am÷an=amn，则m－n＜0，便出现了负指数幂ap=

－

－

－

－

－

1

( a≠0, p为正整数)；至此，同底ap

数幂除法的运算性质am÷an=amn的适用范围中，已不必在过分的强调m、n之间的大小关系，m、n的值也由正整数扩大到全体整数了.

3、同底数幂的乘法与除法性质的出现，进一步补充和完善了科学记数法的使用. 尤其是负指数幂的应用，使表示微观世界的物体特征变得简便易行.

五、思想方法

1、转化的数学思想方法：我们可以用转化思想来寻求平方差公式、完全平方公式以及公式（*）之间的关系. 对于公式（*）而言，当b= －a时，则有：

(x+a)(x－a)=x2+(a－a)x+a(－a)=x2－a2

此即平方差公式；当b=a时，(x+a)(x+a)=x2+(a+a)x+a·a，即

(x+a)2=x2+2ax+a2

此即完全平方公式.

若以和的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2为原型，当把b改为－ b时，公式变为：

(a－b)2=a2+2a(－b)+(－b)2=a2－2ab+b2

此即差的完全平方公式.

在这些变形中，我们能很好的认识到事物在特定条件下可以相互转化的辩证关系，从而把不同的知识内容统一起来.

2、“特殊——一般——特殊”的思想方法：课本中，很多知识的得出，都是先举出一些具体的例子，然后找出它们的共同特征，加以推广，概括出一般化的结论，再把所得结论应用于具体的解题过程中。比如，在学习同底数幂的乘法时，教材先以两个具体的例子，作为

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出发点：

根据乘方的意义，得

102×103=（10×10）（10×10×10）=10×10×10×10×10=105；

103×105=（10×10×10）（10×10×10×10×10） =10×10×10×10×10×10×10×10=108 105×104=（10×10×10×10×10）（10×10×10×10） =10×10×10×10×10×10×10×10×10=109

由此总结出

102×103 =102+3；103×105 =103+5；105×104 =105+4

若用字母a表示任意底数，则有 a2·a3 =(aa)(aaa)=aaaaa=a5. 也就是 a2 ·a3=a5.

进一步推广，用字母m, n表示任意正整数，那么

即 am·an=am+n(m,n为正整数).

这就是说，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 然后，将此结论用于解题中。

这种从个体中总结规律，再应用于实践的思维过程，是科学研究中经常使用的。

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整式乘除考点精析

《整式的乘除与因式分解》一章的内容是中考命题的热点，现结合2009年的中考试题进行归类赏析，希望对同学们有所帮助.

考点一、幂的运算性质

例1（2009年湘西自治州）在下列运算中，计算正确的是（ ）

A．a3a2a6 B．(a)a C．a8a2a4

235D．(ab)ab

2224解析：由同底数幂相乘，底数不变，指数相加得a3·a2= a3+2=a5，由幂的乘方公式（a m）

n=amn（m、n

都是正整数）可知，(a2)3=a6，由同底数幂相除，底数不变，指数相减得a8÷a2=

2224－

a82= a6，用积的乘方公式（ab）n=anbn（n为正整数）求解，得(ab)ab，所以答案为

D.

说明：幂的运算是整式乘除的基础，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法等运算，熟练掌握运算法则是解决此类问题的关键.

考点二、整式的乘除

1例2（1）(2009年贺州市)计算：(2a)(a31) = ．

4（2）(2009年重庆市) 计算2xx的结果是（ ） A．x

B．2x

C．2x

532D．2x

6解析：问题（1）是单项式乘以多项式，注意用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.原式=(－2a)×(

141 3

a)+(－2a)×(－1）=a2a.问题（2）是单项式相除，注意

24－

把系数与同底数幂分别相除作为商的因式.原式 =（2÷1）×（x 3÷ x 2）=2x32=2x.故答案为B．

说明：单项式的乘除是整式乘除的关键，多项式乘（除以）单项式、多项式乘多项式都要转化为单项式的乘除来运算.

考点三、乘法公式

例3（1）(2009年白银市) 当x3、y1时，代数式(xy)(xy)y的值是 ． （2）(2009年十堰市) 已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值.

解析：问题（1）主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x 2－ y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题

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（2）考查了完全平方公式的变形应用，∵(ab)a2abb， ∵

222a2b2(ab)22ab32225.

说明：乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质，把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍.

考点四、因式分解

例4（1）(2009年本溪市) 分解因式：xy9x ． （2）(2009年锦州市) 分解因式：a2b－2ab2+b3=____________________.

解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解.

（1）xy9x x (y 2－9)= x(y3)(y3)． （2）a2b－2ab2+b3= b(a2－2ab +b2) =b(a－b)2．

说明：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 练习：

1. (2009年宁德市)下列运算正确的是（ ） A．6a5a1 B．(a)a 2.(2009年黄冈市)计算： 3x322235632 C．aaa D．aaa

23512x=________． 9223.（2009年长沙市）化简:(ab)(ab)(ab)2a. 4.（2009年嘉兴市）因式分解：(xy)23(xy) ． 5. (2009年内江市)分解因式：x2xx_____________. 参考答案：

32x51.D 2. 

33. 原式aba2abb2a2ab 4. (xy)(xy3) 5. －x(x+1)2

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