2020年齐齐哈尔市高中必修二数学下期末试卷(含答案)

一、选择题

vvvvvvv1．已知向量a，b满足a4，b在a上的投影（正射影的数量）为-2，则a2b的最

小值为（ ） A．43 A．1

下统计数据表： 收入x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 B．10 B．4

C．10 C．1或4

D．8 D．2或4

2．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ）

3．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如

支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8

ˆ0.76,aˆ，据此估计，该社区一ˆaˆybxˆbxˆ，其中b根据上表可得回归直线方程y户收入为15万元家庭年支出为（ ） A．11.4万元

B．11.8万元

C．12.0万元

D．12.2万元

4．已知不等式xy（ ） A．8

1a≥9对任意实数x、y恒成立，则实数a的最小值为xyC．4

D．2

B．6

5．

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A．k＞4? C．k＞6?

B．k＞5? D．k＞7?

＜6．已知fxsinxcosx,＞0，2，fx是奇函数，直线

y2与函数fx的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为

，则（ ） 2A．fx在3,上单调递减 88B．fx在0,D．fx在上单调递减 43,上单调递增 881是较小的两份之和，7C．fx在0,上单调递增 47．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的则最小的一份为（ ） A．

5 35B．

10 3C．

5 61,2 2D．

11 68．已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（ ） A．0,

2B．1,4

C．D．5,5

9．若,均为锐角，sinA．25 5325，sin，则cos

55C．B．25 252525 或 525D．25 2510．记max{x,y,z}表示x,y,z中的最大者，设函数

f(x)maxx24x2,x,x3，若f(m)1，则实数m的取值范围是（ ）

A．(1,1)U(3,4) C．(1,4)

点M，那么 ( ) A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上

C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上

12．已知圆C:x3y41和两点Am,0，Bm,0m0，若圆C上存

22B．(1,3)

D．(,1)U(4,)

11．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于

在点P，使得APB90，则m的最大值为（ ） A．7

B．6

C．5

D．4

二、填空题

13．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面

SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为______．

1x2x31的解集是______． 14．不等式()21415．已知a0,b0,ab2，则y的最小值是__________．

ab216．等边ABC的边长为2，则AB在BC方向上的投影为________． 17．函数fxsinxsinx3的最小值为________.

2uuuvuuuv18．设

2

2

2

，则

2

________

19．若圆x＋y＝4和圆x＋y＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为____________． 20．设a12，an12an2，bn，nN*，则数列bn的通项公式an1an1bn= ．

三、解答题

21．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是

70,80,80,90,90,100,90,100，100,110，110,120.

1求图中m的值；

2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；

3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示,求英语成绩在90,120的人数.

分数段 90,100 6:5 100,110 1:2 110,120 1:1 x:y

22．VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cosC(acosBbcosA)c. （1）求角C；（2）若c7，SABC33，求ABC的周长. 2fxAsinxA0,0,23．已知函数的部分图象如图所示.

2

（1）求fx的解析式；

（2）求fx的单调增区间并求出fx取得最小值时所对应的x取值集合． 24．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC,AA1AC2,BC1,E,F分别是AC11,BC的中点．

（1）求证: 平面ABE平面B1BCC1；

（2）求证:C1F∥平面ABE； （3）求三棱锥EABC体积．

25．已知四点A（-3，1），B（-1，-2），C（2，0），D（3m,m4）

2uuuvuuuv（1）求证：ABBC；

uuuvuuuv(2) AD//BC，求实数m的值.

(1)求k的值；

26．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．

(2)设g(x)＝log4a•2－a，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的

3取值范围．

x4

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】

rrrrrrb在a上的投影（正射影的数量）为2可知|b|cosa,b2，可求出|b|2，求rr2a2b的最小值即可得出结果.

【详解】

因为b在a上的投影（正射影的数量）为2，

rrrrr所以|b|cosa,b2， rrr2rr|b|即，而1cosa,b0， cosa,br所以|b|2，

rr2rr2r2rrr2r2rrrrr2因为a2b(a2b)a4ab4b|a|4|a||b|cosa,b4|b|

r2r2=1644(2)4|b|484|b|

rrrr2所以a2b484464，即a2b8，故选D.

【点睛】

本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.

2．C

解析：C 【解析】

设扇形的半径为r，弧长为 l，则l2r12，S∴解得r2，l8 或r4，l4故选C．

1lr8， 2l4或1， r3．B

解析：B 【解析】 试题分析：由题

，所以

．

试题解析：由已知

，，

ˆaˆ0.76,aˆ ˆbxˆ，bˆybx又因为y所以

考点：线性回归与变量间的关系．

，即该家庭支出为

万元．

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

1a1axy9xy展开后利用基本不等由题意可知，，将代数式xyminxy式求出该代数式的最小值，可得出关于a的不等式，解出即可. 【详解】

1aaxyQxya1.

xyyxaxyya1无最小值，不合乎题意； 若xy0，则0，从而

yxx若xy0，则

xy0，0.

yxaxya1无最小值，不合乎题意； ①当a0时，

yx②当a0时，③当a0时，

axyy1aa111，则xy≥9不恒成立； yxxxy1aaxyaxyxya12a1a2a1yxxyyx当且仅当y所以，

a1，

2ax时，等号成立.

a19，解得a4，因此，实数a的最小值为4.

2故选：C. 【点睛】

本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.

5．A

解析：A 【解析】

试题分析：由程序框图知第一次运行k112,S224，第二次运行

k213,S8311，第三次运行k314,S22426，第四次运行k4154,S52557，输出S57，所以判断框内为k4?，故选C.

考点：程序框图.

6．A

解析：A 【解析】 【分析】

首先整理函数的解析式为fx2sinx，由函数为奇函数可得，

44由最小正周期公式可得4，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】

由函数的解析式可得：fx2sinx，

4函数为奇函数，则当x0时：4kkZ.令k0可得4.

因为直线y2与函数fx的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为结合最小正周期公式可得：

2 22，解得：4.

故函数的解析式为：fx2sin4x. 当x3,8834x时，,22，函数在所给区间内单调递减； 当x0,时，4x0,，函数在所给区间内不具有单调性； 4据此可知，只有选项A的说法正确. 故选A. 【点睛】

本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7．A

解析：A 【解析】 【分析】

设5人分到的面包数量从小到大记为{an}，设公差为d，可得a3a4a57(a1a2)，

S5100，求出a3，根据等差数列的通项公式，得到关于d关系式，即可求出结论.

【详解】

设5人分到的面包数量从小到大记为{an}，设公差为d， 依题意可得，S55(a1a5)5a3100， 255， 6a320,a3a4a57(a1a2)， 603d7(403d)，解得da1a32d20故选:A. 【点睛】

555. 33本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.

8．C

解析：C 【解析】

∵函数y=f(x)定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x−1⩽3， 解得−

1⩽x⩽2， 21即函数的定义域为,2，

2本题选择C选项.

9．B

解析：B 【解析】 【分析】

利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】

∵α为锐角，sin∵sin5252 s，∴α＞45°且cos ， ＞5253132，且＜＜ ，＜＜，

252524 ， 5（）∴cos则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα故选B. 【点睛】

本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．

4532525 ．55552510．A

解析：A 【解析】 【分析】

画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】

函数fx的图象如图，

直线y1与曲线交点A(1,1)，B1,1，C3,1，D4,1， 故f(m)1时，实数m的取值范围是1m1或3m4. 故选A. 【点睛】

本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.

11．A

解析：A 【解析】

如图，因为EF∩HG=M，

所以M∈EF，M∈HG，

又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC， 故M∈平面ABC，M∈平面ADC， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法

先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．

12．B

解析：B 【解析】

由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以m15，故选B.

考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.

二、填空题

13．36π【解析】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上SC是球O的直径若平面SCA⊥平面SCBSA=ACSB=BC三棱锥S−ABC的体积为9可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形设球的半

解析：36π 【解析】

三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，

若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9， 可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r， 可得2rrr9 ，解得r=3. 球O的表面积为：4r236 .

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

113214．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题 解析：1,3

【解析】 【分析】

先利用指数函数的单调性得x22x30，再解一元二次不等式即可． 【详解】

12 ()x2x31x22x301x3． 2故答案为1,3 【点睛】

本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．

15．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情 解析：

9 2ab14)()，展开后，利用基本不等2ab【解析】

分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成(式求得y的最小值. 详解：因为ab2，所以

ab1，所以2y14ab145b2a59()()2（当且仅当b2a时等号成ab2ab22ab22立），则y9914的最小值是，总上所述，答案为. ab22点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的

问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.

16．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1

【解析】 【分析】

建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB在BC方向上的投影即可. 【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：A0,0，B2,0，C1,3，

uuuruuuruuuvuuuruuuruuurBC1,3则：AB2,0，，ABBC2

uuuruuuv且AB2，BC10，

uuuvuuuvABBC2ruuuruuu1. v据此可知AB在BC方向上的投影为uuu2AB

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

17．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：13 4【解析】 【分析】

利用换元法，令sinxt，t1,1，然后利用配方法求其最小值． 【详解】

令sinxt，t1,1，则ytt3t当t2113， 2411313时，函数有最小值，故答案为.

442【点睛】

求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成yasinxbsinxc的形式利用配方法求最值；②形如y2asinxb的可化为sinx(y)的形式性求最值；③

csinxdyasinxbcosx型，可化为ya2b2sin(x)求最值；④形如

yasinxcosxbsinxcosxc可设sinxcost,换元后利用配方法求最值. 18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1- 解析：-1 【解析】 【分析】

由分段函数的解析式先求出【详解】

， ，

所以【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现依次求值．

的形式时，应从内到外

，故答案为-1. 的值并判定符号，从而可得

的值.

19．x－y＋2＝0【解析】【分析】设直线l方程为y＝kx+b由题意可得圆心C1和C2关于直线l对称利用得k由C1和C2的中点在直线l上可得b从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的

解析：x－y＋2＝0 【解析】 【分析】

设直线l方程为y＝kx+b，由题意可得圆心C1和C2关于直线l对称，利用kC1C2kl1得

k,由C1和C2的中点在直线l上可得b，从而得到直线方程． 【详解】

由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（﹣2，2）， ∵圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4＝0关于直线l对称， ∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l对称，设直线l方程为y＝kx+b， ∴

200202+b， nk＝﹣1且＝k•

2022解得k＝1，b＝2，故直线方程为x﹣y＝﹣2， 故答案为：x－y＋2＝0． 【点睛】

本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题．

20．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则

解析：2n+1 【解析】

22an12an1a22n2bn，且b14，所以数列bn是首项由条件得bn12an11an11an1n1n1为4，公比为2的等比数列，则bn422．

三、解答题

21．（1）m0.005（2）平均数为93（3）140人 【解析】 【分析】

(1)根据面积之和为1列等式解得.

(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, (3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可. 【详解】

解：1由102m0.020.030.041, 解得m0.005.

2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,

即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593.

3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在90,100,100,110,110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在

90,100,100,110,110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在90,120的

有140人.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图,属中档题. 22．（1）C【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：（1）根据正弦定理把2cosC(acosBbcosA)c化成

3（2）57 2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，利用和角公式可得cosC1,从而求得角C；2（2）根据三角形的面积和角C的值求得ab6，由余弦定理求得边a得到ABC的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC

2cosCsin(AB)sinCcosC（2）SABC1C 231313absinC3abab6 2222又Qa2b22abcosCc2

2a2b213，(ab)25ab5

∴ABC的周长为57 考点：正余弦定理解三角形.

k,k,(kZ)；x取f(x)2sin(2x)23．（1）（2）单调增区间为663x|xk,kZ,(kZ) 值集合3【解析】 【分析】

（1）先由函数yfx的最大值求出A的值，再由图中对称轴与相邻对称中心之间的距离得出最小正周期T，于此得出2，再将点,2代入函数yfx的解析式结T6合的范围得出的值，于此可得出函数yfx的解析式； （2）解不等式区间，由2x【详解】

（1）由图象可知，A2.

22k2x622kkZ可得出函数yfx的单调递增

622kkZ可求出函数yfx取最小值时x的取值集合．

因为

5T2，所以T.所以. 解得2. 1264又因为函数f(x)的图象经过点(,2)，所以2sin(2解得=6)2， 6+2k(kZ). 6，所以f(x)2sin(2x).

266（2）2k2x2k，kZ，解得kxk,kZ，

26236又因为，所以=f(x)的单调增区间为k,k,(kZ)，

63f(x)的最小值为-2，取得最小值时x取值集合x|xk,kZ,(kZ). 3【点睛】

本题考查由三角函数图象求解析式，以及三角函数的基本性质问题，在利用图象求三角函数yAsinxbA0,0的解析式时，其基本步骤如下： （1）求A、b：A（2）求：ymaxyminyymin，bmax； 222； T（3）求：将顶点或对称中心点代入函数解析式求，但是在代对称中心点时需要结合函数在所找对称中心点附近的单调性来考查． 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】

试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.

（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB，

又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，因为AB平面ABE，所以平面ABE平面

3． 3B1BCC1.

（2）取AB中点G，连结EG，FG，

因为E，F分别是A1C1、BC的中点，所以FG∥AC，且FG=

1AC， 2因为AC∥A1C1，且AC=A1C1，所以FG∥EC1，且FG=EC1， 所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F//EG， 又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，

所以C1F//平面ABE.

（3）因为AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=所以三棱锥EABC的体积为：VAC2BC23，

1113SABCAA1=312=. 3323考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 25．(1)见解析(2) 【解析】

1或1 2uuuvuuuvuuuvuuuv试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB，BC算出ABBC（2）由向量的平行

进行坐标运算即可. 试题解析：

uuuvuuuv(1)依题意得，AB2,3,BC3,2

uuuvuuuv所以ABBC23320

uuuvuuuv所以ABBC. uuuv2(2)AD3m3,m3，

uuuvuuuv因为AD//BC

所以3m323m30

2整理得2m2m10 所以，实数m的值为26．（1）k＝－【解析】

(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，

－

∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4x＋1)－kx.

1或1. 21.（2）{－3}∪(1，＋∞)． 214x＋1log4－x＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.

24＋1(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－log4a•2－a有且只有一个实根，化简得方程2x＋

3根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－

1x＝2x414x

a·2a有且只有一个实＝－x324at－1＝0有且只有一个正根． 3①a＝1t＝－

333，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝444t＝－2，不合题

11<0a>1. ；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即

a12综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．

意，若a＝－3t＝