——四边形
一．选择题（共19小题） 1．（2020•深圳模拟）如图，在正方形ABCD中，E是AD边上一点，M为BE中点，将△DEM绕M顺时针旋转90°得△GFM，则下列结论正确的有（ ） ①CM＝GM； ②tan∠BCG＝1； ③BC垂直平分FG； ④若AB＝4，点E在AD上运动，则D，F两点距离的最小值是
32
√2．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．（2020•盐田区二模）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③
𝐴𝐴𝐴𝐴
=；④若正5
7
方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值√2．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（2020•大鹏新区一模）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．分析下列结论：①AP⊥BN；②BM＝DN；③点P一定在以CM为直径的圆上；④正方形内不存在点P使得PC=
√5−1
2．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2020•龙华区二模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为√13−2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2020•光明区一模）如图，在▱ABCD中，BD⊥DC，E是BC的中点，以点E为圆心，大于点E到BD的距离为半径画弧，交BD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线EF分别与BD，AD交于点G，H，若DG＝3，AB＝4，则BC的长为（ ）
21
A．√13 B．5 C．2√13 D．10 6．（2020•南山区模拟）下列叙述正确的是（ ） A．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 B．对角线相等且垂直的四边形是正方形 C．tanβ＝1＝45°
D．不等式﹣2x＞4的解集是x＜2 7．（2020•龙岗区二模）如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，将这个纸片沿直线DE剪去一个角后变成一个四边形ABED，则图中∠1+∠2的度数为（ ）
A．180° B．90 C．270° D．315° 8．（2020•深圳模拟）在边长为2的正方形ABCD中，P为AB上的一动点，E为AD中点，PE交CD延长线于Q，过E作EF⊥PQ交BC的延长线于F，则下列结论： ①△APE≌△DQE； ②PQ＝EF；
③当P为AB中点时，CF=√2；
④若H为QC的中点，当P从A移动到B时，线段EH扫过的面积为1， 其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2020•龙岗区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为√5，E在正方形外，DE＝DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是（ ） ①∠DAE＝∠DEA；②∠DMC＝45°；③
𝐴𝐴+𝐴𝐴𝐴𝐴
=
√2；④若MH＝2，则S△CMD=2𝐴△𝐴𝐴𝐴
1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2020•龙岗区校级模拟）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2√3 D．4 11．（2020•宝安区三模）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF＝45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD．下列结论：①DE+BF＝EF；②BN2+DM2
̂与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（ ） ＝MN2；③△AMN∽△AFE；④𝐴𝐴
A．5个
→
B．4个
→
C．3个
→
D．2个
12．（2022•罗湖区模拟）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n）向量𝐴𝐴可以用点P的坐标表示为：𝐴𝐴=（m，n）．已知：𝐴𝐴=（x1，y1），𝐴𝐴=（x2，y2），如果x1x2+y1y2＝0，那么𝐴𝐴与𝐴𝐴相
互垂直．
下列四组向量，不能判定互相垂直的是（ ） A．𝐴𝐴=（0，1），𝐴𝐴=（1，0）
→
→
→
→
→
→
→
B．𝐴𝐴=（3，2）𝐴𝐴=（﹣2，3）
C．𝐴𝐴=（3，4），𝐴𝐴=（8，﹣6）
D．𝐴𝐴=（sin45°，tan60°），𝐴𝐴=（cos45°，﹣tan30°） 13．（2022•大鹏新区二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2√34−6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（ ）
→
→
→→
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2022•罗湖区一模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，点E是CD的中点，且OE＝4，则菱形的周长为（ ）
A．32 B．20 C．16 D．12 15．（2022•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECO的面积是（ ）
A．
2√33
B．
16．（2022•盐田区模拟）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD交BC于E，垂足为F，BG平分∠ABD交AE
2
于H，GP∥BD交AE于P，下列结论：①BF+GP=2CD；②（S△ABF）＝S△BEF•S△AFD；③
√3 6
C．
√3 3
D．
√3 9
3
1𝐴𝐴2+
1𝐴𝐴2=
1𝐴𝐴2；④
1
𝐴𝐴
+
1
𝐴𝐴
=
1
𝐴𝐴
．其中结论正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 17．（2022•宝安区二模）如图所示，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则平行四边形的周长为（ ）
A．18cm
→
B．20cm
→
18．（2022•龙华区二模）阅读理解：设𝐴=（x1，y1），𝐴=（x2，y2），若𝐴⊥𝐴，则𝐴•𝐴=0，即x1•x2+y1•y2＝0．已知𝐴=（﹣2，x+1），𝐴=（3，x+2），且𝐴⊥𝐴，则x的值为（ ） A．±2 B．1或﹣4 C．﹣1或4 D．1 19．（2022•深圳模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF＝1，CE、DF相交于点O，下列结论： ①∠DOC＝90°，②OC＝OE，③tan∠OCD=3，④△COD的面积等于四边形BEOF的面积，正确的有 （ ）
4
→
→
→
C．24cm
→
D．26cm
→
→
→→
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 20．（2020•龙岗区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，分别以点B、C为圆心，1为半径画弧，与BC边分别交于点M、N，且与对角线AC交于同一点P，则图中阴影部分的面积为 ．
→
21．（2020•龙岗区校级模拟）具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作𝐴𝐴，已知𝐴𝐴+𝐴𝐴=𝐴𝐴，如下图所示：如果𝐴𝐴=𝐴，𝐴𝐴=𝐴，则𝐴𝐴=𝐴+𝐴，若D为AB的中点，𝐴𝐴=2𝐴，若BE为AC上的中线，则用𝐴，𝐴表示𝐴𝐴为 ．
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
1→
22．（2022•福田区模拟）如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连结CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连结OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为 ．
23．（2022•福田区二模）如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边做矩形CDEF，使边EF过点B，连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D运动过程中，当线段OF有最大值时，点F的坐标为 ．
24．（2022•罗湖区一模）如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线．试根据下面几种多边形的顶点数、线段数及三角形个数统计结果，推断f、e、v三个量之间的数量关系是 ．
多边形
顶点个数f 线段条数e
4 5
5 7
6 9
…… ……
2 3 4 三角形个数v ……
25．（2022•罗湖区校级二模）如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB＝3cm，GC＝4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为 cm．
三．解答题（共16小题） 26．（2020•南山区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图： ①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点M．交BC于点N； ②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G； ③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E； ⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求DP的长．
21
27．（2020•大鹏新区一模）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF． （1）求∠AEG的度数；
（2）求证：四边形BEGF是平行四边形．
28．（2020•福田区模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AE＝8，AD＝10，求OE的长．
29．（2020•坪山区一模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，点M是AB上的一点，连接DM交AC于点N，连接BN．
（1）求证：△ABN≌△ADN；
（2）若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝a，求点M到AD的距离及tana的值．
30．（2020•福田区校级模拟）如图，已知平行四边形ABCD，对角AC与BD交于点O，以AD、AB边分别为边长作正方形ADEF和正方形ABHG，连接FG． （1）求证：FG＝2AO；
（2）若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝60°，请求出△AGF的面积．
31．（2020•龙岗区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
32．（2020•宝安区校级一模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO＝∠DCO．
（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．
33．（2020•龙岗区校级模拟）如下图，正方形ABCD，G是CD边上的一个动点（G不与C、D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE、BG，并延长BG交DE于点H． （1）点G运动到何处时，四边形DGEF是平行四边形，并加以证明； （2）判断BG、DE的位置关系和大小关系； （3）当BH＝13，DH＝5时，求AH的长．
34．（2020•龙岗区校级模拟）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC． （1）探究PG与PC的位置关系及
𝐴𝐴𝐴𝐴
的值（写出结论，不需要证明）；
𝐴𝐴𝐴𝐴
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及
的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边
AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
35．（2022•大鹏新区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2√5，BD＝4，求OE的长．
36．（2022•大鹏新区二模）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1．
（1）当点A1落在AC上时：
①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形； ②如图2，AD1交CB于点O，若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO；
（2）如图3，当A1D1过点C时，若BC＝10，CD＝6，直接写出A1A的长．
37．（2022•福田区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．
38．（2022•宝安区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFG和正方形BCDE，过点D做FC的延长线的垂线，垂足为点H． （1）求证：△ABC≌△HDC； （2）连接FD，交AC的延长线于点M，若AG=√3，tan∠ABC=3，求△FCM的面积．
2
39．（2022•龙华区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC． （1）求证：AD＝CF；
（2）若AB⊥AF，且AB＝6，BC＝4，求sin∠ACE的值．
40．（2022•南山区一模）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED＝90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=√2AE； （3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB＝2√5，CE＝2，求线段AE的长．
41．（2022•坪山区模拟）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．
广东中考数学复习各地区2022-2020年模拟试题分类（深圳专版）（6）——
四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题） 1．【答案】B
【解答】解：①如图，过点M作MH⊥CD于H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD⊥CD，BC⊥CD， ∴ED∥MH∥BC， ∵EM＝MB， ∴DH＝HC， ∵MH⊥CD， ∴MD＝MC，
由旋转的性质可知，MD＝MG， ∴CM＝GM，故①正确，
②延长GF交AD于J，FG交BC于T．
由旋转的性质可知，∠MFG＝∠DEM，∠EMF＝90°， ∵∠MFG+∠MFJ＝180°， ∴∠EMF+∠EJF＝180°， ∴∠EJF＝90°， ∵BC∥AD，
∴∠CTG＝∠DJF＝90°，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∠MDC＝∠MCD， ∴∠ADM＝∠BCM， ∵∠ADM＝∠AGF， ∴∠MCB＝∠MGT， ∵MG＝MC，
∴∠MGC＝∠MCG，
∴∠TCG＝∠TGC＝45°， ∴tan∠BCG＝1，故②正确， 连接EF，BF，AM，FC， ∵FM＝ME＝MB，
∴∠EFB＝∠EAB＝90°， ∵EM＝BM，
∴ME＝MF＝MB＝MA， ∴A，B，F，E四点共圆， ∵FM⊥EB，FE＝FB， ∴EF＝FB， ̂=𝐴𝐴̂， ∴𝐴𝐴
∴∠EAF＝∠FAB，
∴点F在正方形ABCD的对角线AC上， ∴∠FCT＝45°，
∵∠CTG＝∠CTF＝90°， ∴∠CFG＝∠CGF＝45°， ∴CF＝CG， ∵CB⊥FG， ∴FT＝TG，
∴BC垂直平分线段FG，故③正确， ∵点F在对角线AC上运动，
∴DF⊥AC时，DF的值最小，最小值＝AB•sin45°＝2√2，故④错误．
故选：B．
2．【答案】B
【解答】解：如图，延长AE交DC的延长线于点H，
∵点E是CM的中点， ∴ME＝EC， ∵AB∥CD，
∴∠MAE＝∠H，∠AME＝∠HCE， ∴△AME≌△HCE（AAS）， ∴AE＝EH，
又∵∠ADH＝90°， ∴DE＝AE＝EH，
∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF， ∴AE＝EF，∠AEF＝90°， ∴AE＝DE＝EF，故①正确； ∵AE＝DE＝EF，
∴∠DAE＝∠ADE，∠EDF＝∠EFD，
∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD＝360°， ∴2∠ADE+2∠EDF＝270°， ∴∠ADF＝135°，
∴∠CDF＝∠ADF﹣∠ADC＝135°﹣90°＝45°，故②正确；
如图，连接AC，过点E作EP⊥AD于点P，过点F作FN⊥EP于N，交CD于G，连接CF，
∵EP⊥AD，FN⊥EP，∠ADC＝90°， ∴四边形PDGN是矩形， ∴PN＝DG，∠DGN＝90°，
∵∠CDF＝45°， ∴点F在DF上运动，
∴当CF⊥DF时，CF有最小值， ∵CD＝2，∠CDF＝45°， ∴CF的最小值=
2=√2，故④正确； √2∵EP⊥AD，AM⊥AD，CD⊥AD， ∴AM∥PE∥CD， ∴
𝐴𝐴𝐴𝐴
=
𝐴𝐴𝐴𝐴
=1，
∴AP＝PD，
∴PE是梯形AMCD的中位线， ∴PE=（AM+CD），
∵∠FDC＝45°，FN⊥CD， ∴∠DFG＝∠FDC＝45°， ∴DG＝GF，DF=√2DG，
∵∠AEP+∠FEN＝90°，∠AEP+∠EAP＝90°， ∴∠FEN＝∠EAP，
又∵AE＝EF，∠APE＝∠ENF＝90°， ∴△APE≌△ENF（AAS）， ∴AP＝NE=AD，
∵PE=（AM+CD）＝NE+NP=AD+NP， ∴AM＝NP＝DG，
21
𝐴𝐴=√2DF， √212121212∴AM＝2DG＝2×∴
𝐴𝐴𝐴𝐴
=
√2，故③错误；
故选：B． 3．【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°， ∵△PBC∽△PAM， ∴∠PAM＝∠PBC，
𝐴𝐴𝐴𝐴
=
𝐴𝐴𝐴𝐴
=
𝐴𝐴𝐴𝐴
，
∵∠PBC+∠PBA＝90°， ∴∠PAM+∠PBA＝90°， ∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BN，故①正确；
∵∠ABP＝∠ABN，∠APB＝∠BAN＝90°， ∴△BAP∽△BNA， ∴∴
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
==
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
， ，
∵AB＝BC， ∴AM＝AN，
∴AB﹣AM＝AD﹣AN， ∴BM＝DN，故②正确； ∵△PBC∽△PAM， ∴∠APM＝∠BPC，
∴∠CPM＝∠APB＝90°，
∴点P一定在以CM为直径的圆上，故③正确；
√5−1
为半径画圆，以AB为直径画圆，如图所示： 2
√51
∴CO=√𝐴𝐴2+𝐴𝐴2=√12+()2=，
22√5−11√5∵+=，
222
以点C为圆心
∴两个圆相切，
∴∠APB＝90°，即AP⊥PB， ∵∠PBC＝∠PAB，
∴只要作∠APM＝∠BPC，就可得出△PBC∽△PAM，符合题意， ∴正方形内存在点P使得PC=2，故④错误； 综上所述，结论正确的个数是3， 故选：C．
√5−1
4．【答案】B
【解答】解：连接AE，过E作EH⊥AB于H， 则EH＝BC， ∵AB＝BC， ∴EH＝AB， ∵EG⊥AF，
∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°， ∴∠EGH＝∠AFB， ∵∠B＝∠EHG＝90°， ∴△HEG≌△ABF（AAS）， ∴AF＝EG，故①正确； ∵AB∥CD，
∴∠AGE＝∠CEG，
∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°， ∵∠BAF＝∠PCF， ∴∠AGE＝∠PCE， ∴∠PEC＝∠PCE， ∴PE＝PC；故②正确； 连接EF，
∵∠EPF＝∠FCE＝90°， ∴点E，P，F，C四点共圆， ∴∠FEC＝∠FPC＝45°， ∴EC＝FC，
∴BF＝DE＝1，
同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且EPCF四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误； 取AE 的中点O，连接PO，CO， ∴AO＝PO=2AE， ∵∠APE＝90°，
∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上， ∴当OC最小时，CP的值最小， ∵PC≥OC﹣OP，
∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC−2AE， ∵OC=√22+()2=∴PC的最小值为故选：B．
72√651
1
2，AE=√42+12=√17，
√65√17−，故④错误， 22
5．【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4， ∴DC＝AB＝4，
连接FN，FM，EM，EN， ∵以点E为圆心，大于点E到BD的距离为半径画弧，两弧相交于点F， ∴FM＝FN，EM＝EN， ∴EF⊥NM， ∵BD⊥DC， ∴EF∥CD，
∵E为BC中点， ∴G为BD的中点， ∵DG＝3，AB＝4， ∴BD＝2DG＝6，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC=√𝐴𝐴2+𝐴𝐴2=√62+42=2√13， 故选：C． 6．【答案】A 【解答】解：A、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形顶角相等，则底角相等，由角边角定理可证明．故A正确；
B、对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故B错误；
C、∵tanβ＝1，∴∠β＝45°，故C错误；
D、不等式﹣2x＞4的解集是x＜﹣2，故D错误； 故选：A． 7．【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，
∵∠1+∠A+∠B+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°， 故选：C． 8．【答案】B
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠A＝∠EDQ＝90°， ∵E为AD中点， ∴AE＝ED， 在△APE和△DQE中，{𝐴𝐴=𝐴𝐴，
𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴
∴△APE≌△DQE（ASA），故①正确；
②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，如图1所示： ∴∠PGQ＝∠EMF＝90°， ∵EF⊥PQ，
∴∠PEF＝90°，
∴∠PEM+∠MEF＝90°， ∵∠GPE+∠MEP＝90°， ∴∠GPE＝∠MEF，
在△EFM和△PQG中，{𝐴𝐴=𝐴𝐴，
𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴
∴△EFM≌△PQG（ASA）， ∴EF＝PQ，故②正确； ③连接QF，如图2所示：
则QF＝PF，PB2+BF2＝QC2+CF2， 设CF＝x，则（2+x）2+12＝32+x2， ∴x＝1，故③错误； ④如图3所示：
∠𝐴=∠𝐴𝐴𝐴
∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴
当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处， 当P运动到B时，QC的中点H与D重合， 故EH扫过的面积为△ESD的面积为，故④错误； 故选：B．
21
9．【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠ADC＝90°， ∵DC＝DE， ∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，故①正确， ∵DA＝DC＝DE， ∴∠AEC=2∠ADC＝45°（圆周角定理），
1
∵DM⊥AE，
∴∠EHM＝90°，
∴∠DMC＝45°，故②正确， 如图，作DF⊥DM交PM于F， ∵∠ADC＝∠MDF＝90°， ∴∠ADM＝∠CDF， ∵∠DMF＝45°，
∴∠DMF＝∠DFM＝45°， ∴DM＝DF，∵DA＝DC， ∴△ADM≌△CDF（SAS）， ∴AM＝CF，
∴AM+CM＝CF+CM＝MF=√2DM， ∴
𝐴𝐴+𝐴𝐴𝐴𝐴
=
√2，故③正确，
若MH＝2，则易知AH＝MH＝HE＝2，AM＝EM＝2√2， 在Rt△ADH中，DH=√𝐴𝐴2−𝐴𝐴2=√5−4=1， ∴DM＝3，AM+CM＝3√2， ∴CM＝CE=√2，
∴S△DCM＝S△DCE，故④错误． 故选：C．
10．【答案】B
【解答】解：过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝6， ∴BC＝AB＝6，∠B＝60°， ∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2， ∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°， ∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2， ∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∴QF=2EF＝1，
1
12
12
∴△EFC的面积为×𝐴𝐴×𝐴𝐴=×4×1=2，
故选：B． 11．【答案】B
【解答】解：延长CB到G，使BG＝DE，连接AG．
𝐴𝐴=𝐴𝐴
在△ABG和△ADE中，{𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，
𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△ABG≌△ADE（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAE＝∠BAG，
又∵∠EAF＝45°，∠DAB＝90°， ∴∠DAE+∠BAF＝45° ∴∠GAF＝∠EAF＝45°． 在△AFG和△AFE中， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
{𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△AFG≌△AFE（SAS）， ∴GF＝EF＝BG+BF， 又∵DE＝BG，
∴EF＝DE+BF；故①正确；
在AG上截取AH＝AM，连接BH、HN，
𝐴𝐴=𝐴𝐴
在△AHB和△AMD中，{𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，
𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△AHB≌△AMD，
∴BH＝DM，∠ABH＝∠ADB＝45°， 又∵∠ABD＝45°， ∴∠HBN＝90°． ∴BH2+BN2＝HN2． 在△AHN和△AMN中， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
{𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△AHN≌△AMN， ∴MN＝HN．
∴BN2+DM2＝MN2；故②正确； ∵AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAM．
∵∠AEF＝∠AED，∠BAM＝180°﹣∠ABM﹣∠AMN＝180°﹣∠MAN﹣∠AMN＝∠AND， ∴∠AEF＝∠ANM， 又∠MAN＝∠FAE，
∴△AMN∽△AFE，故③正确； 过A作AP⊥EF于P，
∵∠AED＝∠AEP，AD⊥DE， ∴AP＝AD，
̂与EF相切；故④正确； ∴𝐴𝐴
∵∠ANM＝∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN， ∴∠AMN不一定等于∠AEF，
∴MN不一定平行于EF，故⑤错误， 故选：B．
12．【答案】D
【解答】解：A、∵𝐴𝐴=（0，1），𝐴𝐴=（1，0）， ∴0×1+1×0＝0，
∴𝐴𝐴⊥𝐴𝐴．本选项不符合题意． B、∵𝐴𝐴=（3.2），𝐴𝐴=（﹣2，3）， ∴3×（﹣2）+2×3＝0，
∴𝐴𝐴⊥𝐴𝐴．本选项不符合题意． C、∵𝐴𝐴=（3，4），𝐴𝐴=（8，﹣6）， ∴3×8+4×（﹣6）＝0，
∴𝐴𝐴⊥𝐴𝐴．本选项不符合题意．
→→
→→
→
→
→→
→
→
→
→→
D、∵𝐴𝐴=（sin45°，tan60°），𝐴𝐴=（cos45°，﹣tan30°）， ∴
√2√2×+22
→
→
→
√3×（−
√33）=−1=−≠0，
1
212∴𝐴𝐴与𝐴𝐴不垂直，本选项符合题意． 故选：D． 13．【答案】D
【解答】解：①∵四边形OACB是矩形， ∴∠OBC＝90°，
∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD，
∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP， ∵∠BOP＝45°，
∴∠DOP＝∠BOP＝45°， ∴∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°， ∴四边形OBPD是矩形， ∵OB＝OD，
∴四边形OBPD为正方形；故①正确； ②过D作DH⊥OA于H， ∵点A（10，0），点B（0，6）， ∴OA＝10，OB＝6，
∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°， ∴∠DOA＝30°， ∴DH=2𝐴𝐴=3，
1
12
12∴△OAD的面积为OA•DH=×3×10＝15，故②正确； ③连接OC，
则OD+CD≥OC，
即当OD+CD＝OC时，CD取最小值， ∵AC＝OB＝6，OA＝10，
∴OC=√𝐴𝐴2+𝐴𝐴2=√102+62=2√34， ∴CD＝OC﹣OD＝2√34−6，
即CD的最小值为2√34−6；故③正确； ④∵OD⊥AD， ∴∠ADO＝90°，
∵∠ODP＝∠OBP＝90°， ∴∠ADP＝180°， ∴P，D，A三点共线， ∵OA∥CB，
∴∠OPB＝∠POA， ∵∠OPB＝∠OPD， ∴∠OPA＝∠POA， ∴AP＝OA＝10， ∵AC＝6，
∴CP=√102−62=8，
∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确； 故选：D．
14．【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO， 又∵点E是CD的中点 ∴BC＝2OE＝8
∴菱形ABCD的周长＝4×8＝32 故选：A． 15．【答案】B
【解答】解：如图：过点C作CF⊥BD于F． ∵矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，
∴∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∠AEB＝∠CFD＝90°． ∴△ABE≌△CDF，（AAS）， ∴AE＝CF． ∴CF＝AE=2AD＝1， ∴BE=
√3
1
3AE=
√3∵BD＝2AB=3， ∴OE=3， 故选：B．
12√34√33，AB＝2BE=
2√3， 3∴S△ECO=OE•CF=×
12√33×1=
√36，
16．【答案】C
【解答】解：如图1，作GM⊥BD于点M，
，
在△ABG和△MBG中，
{𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴=90°， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△ABG≌△MBG（AAS）， ∴BM＝AB，
∵AE⊥BD，GM⊥BD， ∴AE∥GM， 又∵GP∥BD，
∴四边形PGMF是矩形， ∴GP＝FM，
∵BM＝BF+FM＝BF+GP，BM＝AB，AB＝CD， ∴BF+GP＝CD，故①错误． ∵AD∥BC， ∴∵∴
𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴△𝐴𝐴𝐴𝐴△𝐴𝐴𝐴𝐴△𝐴𝐴𝐴
∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴
=
𝐴𝐴
，
==
𝐴𝐴𝐴△𝐴𝐴𝐴𝐴△𝐴𝐴𝐴𝐴△𝐴𝐴𝐴
，
𝐴△𝐴𝐴𝐴
=
𝐴𝐴𝐴𝐴
，
，
∴S△ABF2＝S△BEF•S△AFD，故②正确．
∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠ABF+∠ADB＝90°， ∴∠BAF＝∠ADB，
在△ABF和△DBA中，∵∠BAF＝∠ADB，∠AFB＝∠DAB＝90°， ∴△ABF∽△DBA， ∴
𝐴𝐴𝐴𝐴
=
𝐴𝐴𝐴𝐴
，
又∵AD＝BC， ∴AB•BC＝AF•BD， ∴AB2•BC2＝AF2•BD2，
又∵BD2＝AB2+AD2＝AB2+BC2， ∴AB2•BC2＝AF2•（AB2+BC2）， ∴
1𝐴𝐴2+
1𝐴𝐴2=
1𝐴𝐴2．故③正确．
如图2，作GM⊥BD于点M，
在△ABG和△MBG中， 𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴
{𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴=90°， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△ABG≌△MBG（AAS）， ∴MG＝AG，
∵AE⊥BD，GM⊥BD， ∴AE∥GM， ∴∴∴
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴1𝐴𝐴
=++
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴1𝐴𝐴
=
𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐴𝐴1
=1−𝐴𝐴，
𝐴𝐴
=1， =
𝐴𝐴
，故④正确．
综上，结论正确的有3个：②③④． 故选：C． 17．【答案】A
【解答】解：∵AC＝4cm，若△ADC的周长为13cm， ∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）＝18cm． 故选：A． 18．【答案】B
→
→
【解答】解：∵𝐴=（﹣2，x+1），𝐴=（3，x+2），且𝐴⊥𝐴， ∴𝐴•𝐴=0，即﹣2×3+（x+1）（x+2）＝0． 整理，得 （x﹣1）（x+4）＝0． 解得x1＝1，x2＝﹣4 故选：B． 19．【答案】C
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴BC＝CD＝4，∠B＝∠DCF＝90°， ∵AE＝BF＝1，
∴BE＝CF＝4﹣1＝3， 在△EBC和△FCD中， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
{𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△EBC≌△FCD（SAS）， ∴∠CFD＝∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC＝∠BCE+∠CFD＝90°， ∴∠DOC＝90°，故①正确；
→→
→→
连接DE，如图所示： 若OC＝OE， ∵DF⊥EC， ∴CD＝DE，
∵CD＝AD＜DE（矛盾），故②错误；
∵∠OCD+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DFC＝90°， ∴∠OCD＝∠DFC，
∴tan∠OCD＝tan∠DFC=𝐴𝐴=3，故③正确； ∵△EBC≌△FCD， ∴S△EBC＝S△FCD，
∴S△EBC﹣S△FOC＝S△FCD﹣S△FOC， 即S△ODC＝S四边形BEOF，故④正确； 故选：C．
𝐴𝐴
4
二．填空题（共6小题） 20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接BP、DP，如图所示：
根据题意得：AP＝CP＝AB＝PD＝CD＝1，AC＝2＝2AB， ∴∠PCD＝60°，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝60°，
∴△ABP为等边三角形， ∴∠ABP＝60°，
√3√360𝐴×1𝐴1
∴扇形ABP的面积=360=6，△ABP的面积=2×1×2=4，
𝐴√3∴阴影AP的面积=6−4，
2
作PQ⊥BC于Q，
则阴影PMQ的面积＝阴影PNQ的面积=2阴影AP的面积， ∴图中阴影部分的面积＝（故答案为：
𝐴3
𝐴6
1
−
−
√3． 2
√3𝐴√3）=3−2； 4
21．【答案】见试题解答内容
→
→
→
【解答】解：∵𝐴𝐴=𝐴𝐴−𝐴𝐴，
1→1→→
∴𝐴𝐴=𝐴+𝐴−𝐴=𝐴+𝐴．
22→1→
→→→
故答案为：𝐴+𝐴．
2
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：当点D与点A重合时，如图： ∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD， ∴S矩形OABC＝12， ∵C点坐标为（0，3）， ∴OC＝3， ∴OA＝4，
∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，
∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M， 则MF=BC＝2，OM=√𝐴𝐴
1
122+𝐴𝐴2=√13，
∴OF的最大值＝OM+2BC=√13+2，即O、M、F三点共线， 设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x， ∴（2x）2+（3x）2＝（√13+2）2， 解得：x=∴2x=
√13(√13+2)
4√136√13+2，3x=+3 13134√136√13∴点F坐标（+2，+3）
13134√136√1313（负值舍去）
故答案为：（
13
+2，
13
+3）
23．【答案】见试题解答内容
【解答】解：当点D与点A重合时，如图： ∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD， ∴S矩形OABC＝12， ∵C点坐标为（0，3）， ∴OC＝3， ∴OA＝4，
∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，
∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，
1
则MF=BC＝2，OM=√32+22=√13，
2
∴OF的最大值＝OM+2BC=√13+2，即O、M、F三点共线， 设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x， ∴（2x）2+（3x）2＝（√13+2）2， 解得：x1=
1
∴点F的坐标为：（
13+2√1313+2√13，x（舍去）， 2=−131326+4√1339+6√1313
，
13
），
故答案为：（
26+4√1313
，
39+6√1313
）．
24．【答案】见试题解答内容
【解答】解：观察表格中的数， 发现规律：线段条数e＝f+v﹣1， ∴f+v﹣e＝1，
故答案为f+v﹣e＝1； 25．【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，
过G作GM⊥AB于M，设BF＝x，CF＝y， 则ME＝CG﹣BE＝1，
在Rt△GEM中，EG2＝1+（x+y）2， 在Rt△GCF中，GF2＝16+y2 在Rt△EBF中，EF2＝9+x2
∵等边△EFG中EF＝EG＝GF，
∴9+x2＝16+y2，即x2﹣y2＝7 （1） 1+（x+y）2＝9+x2，即y2+2xy＝8 （2）
（1）×8﹣（2）×7后整理得，8x2﹣14xy﹣15y2＝0， 两边同除以y2得8（）2+14（）﹣15＝0，
𝐴𝐴
𝐴2
设a=𝐴，则有8a﹣14a﹣15＝0
5
214
5
3
𝐴
𝐴
（2a﹣5）（4a+3）＝0，解之得a=2或a=−4（舍去） 所以x=2y，代入（1）得，y2＝7， y=3cm． 所以x=y=
5
22√35√3， 3所以正方形边长＝x+y=故答案为：
7√33
7√3cm． 3．
三．解答题（共16小题） 26．【答案】（1）证明过程见解析部分； （2）DP＝2√19． 【解答】（1）证明：由作图知BA＝BE，∠ABF＝∠EBF，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AFB， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AB＝AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形， 又AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝8， ∴AB＝AF＝8，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF， ∴AP=2AB＝4，
∴PH＝2√3，DH＝8，
∴DP=√𝐴𝐴2+𝐴𝐴2=√12+64=2√19． 27．【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABE＝∠BCF＝90°，
𝐴𝐴=𝐴𝐴
在△ABE和△BCF中，{𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，
𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF， ∵EG∥BF，
∴∠CBF＝∠CEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CEG+∠BEA＝90°， ∴AE⊥EG，
∴∠AEG的度数为90°；
（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示： 则AP＝CE，∠EBP＝90°， ∴∠P＝45°，
∵CG为正方形ABCD外角的平分线， ∴∠ECG＝45°， ∴∠P＝∠ECG，
由（1）得∠BAE＝∠CEG， 在△APE和△ECG中，{𝐴𝐴=𝐴𝐴，
𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴
∴△APE≌△ECG（ASA）， ∴AE＝EG， ∵AE＝BF， ∴EG＝BF，
1
∠𝐴=∠𝐴𝐴𝐴
∵EG∥BF，
∴四边形BEGF是平行四边形．
28．【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵菱形ABCD， ∴AD∥BC． ∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形． ∵AE⊥BC，
∴平行四边形AECF是矩形； （2）∵AE＝8，AD＝10， ∴AB＝10，BE＝6． ∵AB＝BC＝10， ∴CE＝16． ∴AC＝8√5，
∵对角线AC，BD交于点O， ∴AO＝CO＝4√5． ∴OE=4√5． 29．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠1＝∠2． 又∵AN＝AN，
∴△ABN≌△ADN（SAS）．
（2）作MH⊥DA交DA的延长线于点H． 由AD∥BC，得∠MAH＝∠ABC＝60°．
在Rt△AMH中，MH＝AM•sin60°＝4×sin60°＝2√3． ∴点M到AD的距离为2√3． ∴AH＝2．
∴DH＝6+2＝8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH=，
𝐴𝐴由（1）知，∠MDH＝∠ABN＝α，
∴tanα=4． 30．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ADEF和四边形ABHG都是正方形， ∴AD＝AF，AB＝AG，∠BAG＝∠DAF＝90°， ∴∠GAF+∠BAD＝180°，
√3
𝐴𝐴
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∴∠GAF＝∠ADC， 在△AFG和△DAC中， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
{𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△AFG≌△DAC（SAS）， ∴GF＝AC，
∵平行四边形ABCD中，AC＝2AO， ∴GF＝2AO；
（2）解：过点D作DM⊥AB于点M，
∵AD＝4，∠BAD＝60°，∠AMD＝90°， ∴DM＝4×sin60°＝4×2=2√3，
∴S平行四边形ABCD＝AB•DM＝6×2√3=12√3， ∵△AFG≌△DAC， ∴S△DAC＝S△AGF＝6√3． 即△AGF的面积为6√3． 31．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明： ∵E是AD的中点 ∴AE＝DE ∵AF∥BC
∴∠AFE＝∠DBE
∴S△DAC=2𝐴平行四边形𝐴𝐴𝐴𝐴=6√3，
1
√3∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴
在△AEF和△DEB中{𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△AEF≌△DEB（AAS） ∴AF＝DB
∴四边形ADCF是平行四边形 ∵∠BAC＝90°， D是BC的中点
∴AD＝CD=2BC
∴四边形ADCF是菱形； （2）解：法一、
1
设AF到CD的距离为h， ∵AF∥BC， AF＝BD＝CD， ∠BAC＝90°， ∴S菱形ADCF＝CD•h =2BC•h ＝S△ABC
121
=×6×8=24． 21
=AB•AC 法二、 连接DF
∵AF＝DB， AF∥DB
∴四边形ABDF是平行四边形 ∴DF＝AB＝8 ∴S菱形ADCF=AC•DF
1
12
=2×6×8=24． 法三、
∵三角形ABD与三角形ADC与三角形AFC的面积相等， ∴菱形ADCF的面积等于三角形ABC的面积为24． 答：菱形ADCF的面积为24． 32．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC， ∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线， ∴OH＝OD＝OB， ∴∠1＝∠DHO， ∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°， ∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°， ∴∠1＝∠DCO， ∴∠DHO＝∠DCO；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB=2BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC，
1
在Rt△OCD中，CD=√32+42=5， ∴菱形ABCD的周长＝4CD＝20， 菱形ABCD的面积=×6×8＝24．
1233．【答案】见试题解答内容
1
【解答】解；（1）当G是CD的中点，即CG=2CD时，四边形DGEF是平行四边形． 理由：∵G是CD的中点， ∴CG＝GD．
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴DG∥EF，CG＝EF． ∴DG＝EF．
∴四边形DGEF是平行四边形．
∴当G是CD的中点，即CG=2CD时，四边形DGEF是平行四边形； （2）BG＝DE，BG⊥DE．
理由：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴∠BCG＝∠DCE，
𝐴𝐴=𝐴𝐴
在△BCG和△DCE中，{𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，
𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG＝DE，
∵△BCG≌△DCE， ∴∠CBG＝∠CDE，
又∠CBG+∠BGC＝90°， ∴∠CDE+∠DGH＝90°， ∴∠DHG＝90°， ∴BH⊥DE．
（3）如图所示：连接BD，过点H作HN⊥AB，垂足为N，交DC于点M．
1
∵在Rt△BDH中，BD＝DH+BH2＝169+25＝194， ∴BD=√194．
∵在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，
2
2
∴AB＝BD⋅2=√97．
∵∠BGC＝∠HGD，∠BCG＝∠BHD， ∴△BCG∽△DHG．
√2∴
𝐴𝐴𝐴𝐴
=
𝐴𝐴𝐴𝐴
．
𝐴𝐴𝐴
设GH＝x，则=
5∵△BCG∽△DHG，
𝐴𝐴
𝐴𝐴
√97，整理得：CG=
√97𝐴5．则DG=√97−
√97𝐴5．
√97−55∴=，即=． 𝐴𝐴𝐴𝐴13−𝐴√9720
解得：x=．
9√97204√97∴GC=×=．
599√97𝐴∵∠MHG＝∠GBC， ∴HM＝GH•9420480=9×=． √97√979979√97√97√974√9780√9752√9720√97117√97∴MC＝GC+MG=+=，NH=√97+=．
987397979752√9745√97∴AN＝AB﹣BN=√97−=．
979745√97117√97在Rt△ANH中，AH=√𝐴𝐴2+𝐴𝐴2=√(97)2+(97)2=√162=9√2．
=
20
×
9=
20√97，MG=𝐴𝐴⋅
∴AH的长为9√2． 34．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；
证明：如图2，延长GP交DC于点H， ∵P是线段DF的中点， ∴FP＝DP，
由题意可知DC∥GF， ∴∠GFP＝∠HDP， ∵∠GPF＝∠HPD， ∴△GFP≌△HDP， ∴GP＝HP，GF＝HD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB， ∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形， ∴PG⊥PC，（三线合一） 又∵∠ABC＝∠BEF＝60°， ∴∠GCP＝60°， ∴
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴
=1；
（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；
𝐴𝐴𝐴𝐴
=
√3．
=
√3；
（3）在（2）中得到的两个结论仍成立． 证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG， 连接CH，CG，DH， ∵P是线段DF的中点， ∴FP＝DP，
∵∠GPF＝∠HPD， ∴△GFP≌△HDP，
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC， ∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°， ∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上， ∴∠GBC＝120°，
∵四边形BEFG是菱形， ∴GF＝GB， ∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°， 即∠HCG＝120°
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°， ∴
𝐴𝐴𝐴𝐴
=
√3．即PG=√3PC．
35．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝4， ∴OB=BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2√5，OB＝2， ∴OA=√𝐴𝐴2−𝐴𝐴2=4， ∴OE＝OA＝4．
12
36．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：①如图1中，
∵∠CAB＝60°，BA＝BA1， ∴△ABA1是等边三角形， ∴∠AA1B＝60°， ∵∠A1BD1＝60°， ∴∠AA1B＝∠A1BD1， ∴AC∥BD1， ∵AC＝BD1，
∴四边形ABD1C是平行四边形．
②如图2中，连接BD1，BD，DD1．
∵BA＝BA1，BD＝BD1，∠ABA1＝∠DBD1， ∴∠BAA1＝∠BDD1， ∵∠BAA1＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠BDD1， ∴D，C，D1共线，
∵∠BCD1＝∠BAD1＝90°，BD1＝D1B，BC＝A1D1， ∴Rt△BCD1≌Rt△D1A1B（HL）， ∴CD1＝BA1， ∵BA＝BA1， ∴AB＝CD1， ∵AC＝BD1
∴四边形ABD1C是平行四边形， ∴OC＝OB
∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO， ∴△DCO≌△ABO（SAS）， ∴DO＝OA．
（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．
在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝10．AB＝6， ∴CA1=√𝐴𝐴2−𝐴1𝐴2=√102−62=8， ∵𝐴△𝐴1𝐴𝐴=2•A1C•A1B=2•BC•A1F，
24
∴A1F=5，
∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°， ∴四边形A1EBF是矩形，
242418，A1E＝BF=√𝐴𝐴2−𝐴𝐴2=√62−()2=， 555246
∴AE＝AB﹣BE＝6−=，
551866√10在Rt△AA1E中，AA1=√𝐴1𝐴2+𝐴𝐴2=√(5)2+(5)2=5．
1
1
∴EB＝A1F=
37．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵DA＝AE，
∴AE＝BC，AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形， ∵AC⊥AD，
∴∠DAC＝90°， ∴∠CAE＝90°，
∴四边形AEBC是矩形； （2）∵EG⊥AB， ∴∠AFG＝90°， ∵∠CAB＝30°，
∴∠AGF＝60°，∠EAF＝60°， ∵四边形AEBC是矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴AE＝EO， ∴AF＝OF， ∴AG＝OG，
∴∠GOF＝∠GAF＝30°， ∴∠CGO＝60°， ∴∠COG＝90°， ∵OC＝OA=2AB＝3， ∴OG=√3，
∴△OGC的面积=2×3×√3=2√3．
1
3
1
38．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵四边形BCDE是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵四边形ACFG是正方形，
∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠ACH＝90°， ∴∠ACB＝∠HCD， ∵DH⊥CF，
∴∠H＝90°＝∠BAC， 在△ABC和△HDC中，{𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，
𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△ABC≌△HDC；
（2）∵AG=√3， ∴AC=√3，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=∴AB=AC=
1323√3， 29
√3𝐴𝐴2==， 𝐴𝐴𝐴𝐴3
∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴
∴S△ABC=2AB×AC=4， ∵△ABC≌△HDC，
9
∴S△HDC＝S△ABC=4，AC＝CH， ∴CH＝CF，
∴S△DHF＝2S△CDH=，
2∵∠FCM＝∠H＝90°， ∴CM∥HD，
∴△FCM∽△FHD， ∴
𝐴△𝐴𝐴𝐴𝐴△𝐴𝐴𝐴
9
=（
1
𝐴𝐴𝐴𝐴
）2=4，
9
1
39．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC
∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F， ∵E是CD的中点 ∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS） ∴AD＝CF，
（2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD＝BC＝4 ∵△ADE≌△FCE
∴S△FCM=4S△FHD=8
∴AD＝CF＝BC＝4， ∵AB⊥AF ∴AC=2BF＝4
AF=√𝐴𝐴2−𝐴𝐴2=√82−62=2√7 ∴AE＝EF=2AF=√7 ∵AB∥CD， ∴CD⊥AF
∴sin∠ACE=𝐴𝐴=4． 40．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABFD是平行四边形，
𝐴𝐴
√71
1
∴AB＝DF， ∵AB＝AC， ∴AC＝DF， ∵DE＝EC， ∴AE＝EF，
∵∠DEC＝∠AEF＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．
∵四边形ABFD是平行四边形， ∴AB＝DF＝AC，AB∥DF， ∴∠CDF＝∠BAC＝90°，
又∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠C＝∠FDE＝45°，DE＝CE， 在△ACE和△FDE中， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
{𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△ACE≌△FDE（SAS）， ∴EF＝EA，∠AEC＝∠FED， ∴∠FEA＝∠CED＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=√2AE．
（3）如图3，当AD＝AC＝AB时，四边形ABFD是菱形，
设AE交CD于H，
依据AD＝AC，ED＝EC，可得AE垂直平分CD，而CE＝2， ∴EH＝DH＝CH=√2，
Rt△ACH中，AH=√(2√5)2−(√2)2=3√2，
∴AE＝AH+EH＝4√2． 41．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF＝90°， 在△ADE和△ABF中 𝐴𝐴=𝐴𝐴
{𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴， 𝐴𝐴=𝐴𝐴
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵BC＝8， ∴AD＝8，
在Rt△ADE中，DE＝6，AD＝8， ∴AE=√𝐴𝐴2+𝐴𝐴2=10，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴△AEF的面积=2AE2=2×100＝50（平方单位）．
1
1
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容