1．在正方形ABCD中，E是△ABD内的点，EB＝EC． （1）如图1，若EB＝BC，求∠EBD的度数；
（2）如图2，EC与BD交于点F，连接AE，若S四边形ABFE＝a，试探究线段FC与BE之间的数量关系，并说明理由．
2．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG＝45°，那么
EG与图中两条线段的和相等？证明你的结论．
（2）请用（1）中所积累的经验和知识完成此题，如图2，在四边形ABCD中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠ECG＝45°，BE＝4，求EG的长？
3．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE交BD于点P． （1）求∠DAE的度数； （2）求BP的长．
4．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连接OB，若AB＝8，AF＝10，求OB的长．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝6．求出平行四边形ABCD的边BC上的高h的值．
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（不与O、C重合），作AF⊥BE，垂足为G，分别交BC、OB于F、H，连接OG、CG． （1）求证：△AOH≌△BOE； （2）求∠AGO的度数；
（3）若∠OGC＝90°，BG＝，求△OGC的面积．
7．如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D同时出发，分别沿边
AD、BC、CB、DA移动，当有一个点先到达所在边的另一个端点时，其它各点也随之停止
移动．已知移动一段时间后，若BQ＝xcm（x≠0），AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．当
x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
8．在正方形ABCD中，F是BC边的中点，ED⊥AF于点E，连接CE．
（1）如图1，求证：CE＝CD；
（2）如图2，连接BE、BD，请直接写出图2中所有与∠BEF度数相等的角． 9．如图1，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）如图2所示，点P是平行四边形ABCD的边BC所在直线上一点，若BE＝CE，且AE＝3，DE＝4，求△APD的面积．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、
CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示， ①求证：△DGC≌△BGE； ②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长． 11．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥
BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形 （2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4； （1）求证：四边形ACED是平行四边形．
（2）求BC的长．
13．如图，长方形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝CD，AD＝4cm，点P从点D出发（不含点D）以2cm/s的速度沿D→A→B的方向运动到点B停止，点P出发1s后，点Q才开始从点C出发以acm/s的速度沿C→D的方向运动到点D停止，当点P到达点B时，点Q恰好到达点D．
（1）当点P到达点A时，△CPQ的面积为3cm2，求CD的长；
（2）在（1）的条件下，设点P运动时间为t（s），运动过程中△BPQ的面积为S（cm2），请用含t（s）的式子表示面积S（cm2），并直接写出t的取值范围．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥
BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；
（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．
参考答案
1．解：（1）如图1，∵EB＝BC＝EC， ∴△EBC是等边三角形， ∴∠EBC＝60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBD＝45°，
∴∠EBD＝∠EBC﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°；
（2）线段FC与BE之间的等量关系是：FC•BE＝2a，理由是： 如图2，连接AF交BE于G，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠DBC， ∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF， ∵EB＝EC， ∴∠ECB＝∠EBC， ∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABE＝∠DCE，
∴∠ABE+∠BAF＝∠DCE+∠BCE＝90°， ∴∠AGB＝90°， ∴AF⊥BE，
∴S四边形ABFE＝S△ABE+S△BEF， ＝＝＝
， ，
，
∵S四边形ABFE＝a， ∴
＝a，
∴FC•BE＝2a． 2．解：（1）EG＝BE+DG．
如图1，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝DC，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵∠CDF＝180﹣∠ADC， ∴∠CDF＝90°， ∴∠ABC＝∠CDF， ∵BE＝DF，
∴△EBC≌△FDC（SAS）， ∴∠BCE＝∠DCF，EC＝FC， ∵∠ECG＝45°，
∴∠BCE+∠GCD＝∠BCD﹣∠ECG＝90°﹣45°＝45°， ∴∠GCD+DCF＝∠FCG＝45°， ∴∠ECG＝∠FCG， ∵GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG（SAS）， ∴EG＝GF，
∵GF＝GD+DF＝GD+BE， ∴EG＝GD+BE．
（2）如图2，过点C作CD⊥AG，交AG的延长线于D．
∵AG∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠B＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°， ∵∠CDA＝90°，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形， ∵AB＝BC＝12， ∴CD＝AD＝12， ∵BE＝4， ∴AE＝AB﹣BE＝8，
设EG＝x，由（1）知EG＝BE+GD， ∴GD＝x﹣4，
∴AG＝AD﹣GD＝12﹣（x﹣4）＝16﹣x， 在Rt△AEG中：GE2＝AG2+AE2，
∴x＝（16﹣x）+8，解得x＝10， ∴EG＝10．
3．解：（1）∵四边形ABCD的正方形， ∴∠ACB＝45°，AD∥BC， ∵AC＝EC， ∴∠E＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠E+∠EAC＝45°， ∴∠E＝22.5°， ∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长是1， ∴AB＝1，∠DAB＝90°，∠DBC＝45°， ∵∠DAE＝22.5°，
∴∠BAP＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠APB＝∠E+∠DBC＝22.5°+45°＝67.5°， ∴∠BAP＝∠APB， ∴BP＝AB＝1．
4．证明：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC， ∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFO＝∠CEO， 在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴AF＝CF＝CE＝AE， ∴四边形AECF是菱形； （2）如图，
222
∵AB＝8，AF＝AE＝EC＝10， ∴BE＝∴BC＝16， ∴AC＝
＝
＝8
，
＝
＝6，
∵AO＝CO，∠ABC＝90°， ∴BO＝AC＝4
．
5．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AO＝CO
∴∠AEF＝∠CFE，∠EAC＝∠FCA，且AO＝CO ∴△AOE≌△COF（AAS） ∴OF＝OE，且AO＝CO
∴四边形AFCE是平行四边形； （2）∵∠DAC＝60° ∴∴h＝
， ×AC＝3
．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠ABC＝90°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOE＝90°， ∵AF⊥BE，
∴∠GAE+∠AEG＝∠OBE+∠AEG＝90°， ∴∠GAE＝∠OBE， 在△AOH和△BOE中，∴△AOH≌△BOE（ASA）；
，
（2）∠AGO＝45°；
（3）S△OGC＝OG•CG＝×6＝3． 7．当x为2或﹣3+
时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
8．（1）证明：作CH⊥DE交DE于点H，交AD于点N， ∵ED⊥AF，CH⊥DE， ∴AF∥CN，又AN∥CF， ∴四边形AFCN为平行四边形， ∴AN＝CF，
∵F是BC边的中点，AD＝BC， ∴N是AD边的中点， ∵NH∥AE，DN＝NA， ∴DH＝HE，又CH⊥DE， ∴CE＝CD；
（2）解：作BG⊥AF于点G， 设正方形的边长为4a，则BF＝2a， 由勾股定理得，AF＝
＝
＝2
a，
×AB×BF＝×AF×BG，即×4a×2a＝×2解得，BG＝
a×BG，
a，
∵∠ABF＝90°，BG⊥AF， ∴BF2＝FG•FA，即（2a）2＝FG•2解得，FG＝
a，
a，
∵∠BAF+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠BAG＝∠ADE， 在△BAG和△ADE中，
∴△BAG≌△ADE（AAS）
∴AE＝BG＝a，
a，
∴EG＝AF﹣AE﹣FG＝∴BG＝EG，
∴∠BEF＝45°，
则图2中所有与∠BEF度数相等的角有∠ABD、∠CBD、∠ADB、∠CDB．
9．（1）证明：∵DE是∠ADC的角平分线， ∴∠ADE＝∠CDE，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CED， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE；
（2）解：∵CD＝CE，BE＝CE， ∴BE＝CD＝AB， ∴△ABE为等腰三角形，
∴设∠BAE＝∠BEA＝α，∠CED＝∠CDE＝β， ∴∠ABE＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2β， 又∵∠ABE+∠DCE＝180°， ∴180°﹣2α+180°﹣2β＝180°， ∴α+β＝90°，
∴∠AED＝90°， 即△AED为直角三角形， ∴AD＝
＝
＝5，
过点E作EK⊥AD， ∴EK＝
＝
，
＝6．
△APD的面积＝AD•EK＝×5×
10．解：（1）证明： ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形， ∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC， ∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120° 由（1）知，四边形CEGF是菱形， ∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°， ∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）； ②∵△DGC≌△BGE， ∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC， ∴∠BGD＝∠CGE， ∵CG＝GE＝CE， ∴△CEG是等边三角形， ∴∠CGE＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形， ∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形． ∵∠BAF＝∠DAF， ∴BE＝AB＝DC， ∵M为EF中点， ∴∠CEM＝∠ECM＝45°， ∴∠BEM＝∠DCM＝135°， 在△BME和△DMC中， ∵
，
∴△BME≌△DMC（SAS）， ∴MB＝MD， ∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°， ∴△BMD是等腰直角三角形． ∵AB＝8，AD＝14， ∴BD＝2∴DM＝
，
BD＝．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形， ∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形， ∴∠CEF＝45°， ∴∠AEB＝∠CEF＝45°， ∴BE＝AB＝8， ∴CE＝CF＝14﹣8＝6， ∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3， ∴MH＝CE＝3， ∴DH＝11， ∴DM＝
＝
．
11．（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AM∥CN，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CM∥AN
∴四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC， ∴△ADE≌△CBF（AAS）； ∴DE＝BF＝8， ∵FN＝6， ∴
．
12．解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC， ∴AC∥DE 又∵CE∥AD
∴四边形ACED是平行四边形． （2）∵四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝∵D是BC的中点， ∴BC＝2CD＝4
．
＝
＝2
．
13．解：（1）设点P运动时间为t（s），根据题意，得
点P出发1s后，点Q才开始从点C出发以acm/s的速度沿C→D的方向运动到点D停止， 当点P到达点B时，点Q恰好到达点D． ∴2（t﹣2）＝a（t﹣1），
当点P到达点A时，△CPQ的面积为3cm2， 即a×1×4＝3， ∴a＝．
即2（t﹣2）＝（t﹣1）， 解得t＝5，
所以CD＝a（t﹣1）＝6． 答：CD的长为6； （2）根据题意，得
BC＝AD＝4，CD＝6
DP＝2t，CQ＝1.5（t﹣1），
①点P的运动时间为t，0﹣1秒时点Q还在点C， △BPQ面积不变为＝12；
即S＝12（0＜t≤1） ②当1＜t≤2时，
DQ＝6﹣1.5（t﹣1）＝7.5﹣1.5t，
S＝S梯形DPBC﹣S△DPQ﹣S△BQC
＝（2t+4）×6﹣×2t×（7.5﹣1.5t）﹣×1.5（t﹣1）×4 ＝1.5t2﹣4.5t+15； ③当2＜t≤5时，
BP＝10﹣2t，
S＝BP•BC
＝（10﹣2t）×4 ＝20﹣4t． 综上所述：
运动过程中△BPQ的面积为S（cm）， 用含t（s）的式子表示面积S（cm2）为：
2
S＝12 （0＜t≤1）
或S＝1.5t2﹣4.5t+15（1＜t≤2） 或S＝20﹣4t（2＜t≤5）． 14．解：（1）证明： ∵E是AD的中点 ∴AE＝DE ∵AF∥BC ∴∠AFE＝∠DBE 在△AEF和△DEB中∴△AEF≌△DEB（AAS） ∴AF＝DB
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，
D是BC的中点
∴AD＝CD＝BC ∴四边形ADCF是菱形； （2）解：法一、
设AF到CD的距离为h， ∵AF∥BC，
AF＝BD＝CD，
∠BAC＝90°， ∴S菱形ADCF＝CD•h ＝BC•h ＝S△ABC ＝AB•AC ＝法二、 连接DF
．
∵AF＝DB，
AF∥DB
∴四边形ABDF是平行四边形 ∴DF＝AB＝8
∴S菱形ADCF＝AC•DF ＝法三、
∵三角形ABD与三角形ADC与三角形AFC的面积相等， ∴菱形ADCF的面积等于三角形ABC的面积为24． 答：菱形ADCF的面积为24．
15．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝30°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF＝30°， ∴CE＝AE，
过点E用EH垂直于AC于点H，
．
∴CH＝AH ∵AC＝6， ∴CE＝2
；
答：CE的长为2
（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB， ∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF， 在Rt△ACF与Rt△AGF中，
AF＝AF，CF＝GF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL）， ∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB， ∴CD∥FG， ∴∠CEF＝∠EFG， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∴CE＝FG，
∴四边形CEGF是菱形
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