《抛物线及其标准方程》教案

2.4.1 抛物线及其标准方程

教学目标 ：

知识与技能：使学生掌握抛物线的定义，理解焦点、准线方程的几何意义，能够根据已知条件写出抛物线的标准方程。

过程与方法：掌握开口向右的抛物线的标准方程的推导过程，进一步理解求曲线的方法——坐标法；通过本节课的学习，学生在解决问题时应具有观察、类比、分析和计算的能力。

情感、态度与价值观：通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．

教学重、难点

重点：抛物线的定义和标准方程． 难点：抛物线的标准方程的推导． 教学过程： (一) 导出课题

我们已学习了椭圆、双曲线两种圆锥曲线．在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如绽放的烟花，著名的赵州桥，天上美丽的彩虹等都是抛物线的形状，那么到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？

这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题§2.4.1 抛物线及其标准方程） (二) 抛物线的定义 1.折纸游戏

准备一张长方形白纸，按如下方法折叠： （1）在长方形内取一点F

（2）在长方形的一边依次取出点Hi（i=1,2，…n）

（3）过点Hi（i=1,2，…n）作出该边的垂线，记为li（i=1,2…n）并用虚线画出该直线

（4）将长方形折叠，使得点F与点Hi重合，折痕与li的交点记为pi点 （5）用光滑的曲线将这些交点pi顺次连接起来，这条曲线叫做抛物线

2

2．定义

这样，可以把抛物线的定义概括成：

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

(三) 抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

1. 建系

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l

交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图）．

2. 设点

pp设|FK|=p，则F(,0），直线l的方程为x，设抛物线上任意一点M（x，

22y）

3.列式

根据抛物线的定义点M的集合是p={M||MF|=d}．

pp4.代入得 （x)2y2x

225.化简后得：y2=2px(p＞0)．（其中p的几何意义是焦点到准线的距离）

这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．我们把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程，它所表示的抛物线顶点在原点，开口向右，焦点在x轴上。

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：

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注意：四种情形中P＞0；图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．

(四) 四种标准方程的应用 例题：

(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

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方程是x2=-8y．

小结：根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．

已知焦点位置求抛物线标准方程时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．

课堂练习：课本第67页1,2 (五) 课时小结 1、抛物线的定义； 2、抛物线的四种标准方程；

3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义. （六） 布置作业

课本P73页习题2.3A组1,4

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