直线和圆的方程知识要点

1．直线的倾斜角和斜率

(1)直线的倾斜角α∈[0，π)． (2)直线的斜率，即ktan(900)

(3)斜率公式：经过两点P(xyy1(x1，y1)、P22，y2)的直线的斜率为k21x(x2x10)

2x12．直线的方程

(1)点斜式 已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则其方程为：y－y0=k(x－x0) (2)斜截式 已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则其方程为：y=kx＋b (3)两点式 已知直线过两点(x1，y1)和(x2，y2)，则其方程为：

yy1xyx1 2y1x2x1(4)截距式 已知直线在x，y轴上截距分别为a、b，则其方程为：xyab1 (5)一般式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同时为0)． （6）直线系方程：过两直线l1:A1xB1yC10的交点的直线系方程是

l2:A2xB2yC20A1xB1yC1(A2xB2yC2)0（A2xB2yC20不包括在内）

3．两条直线的位置关系

(1)平行：当直线l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1≠b2； (2)重合：当l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1=b2； (3)相交：当l1，l2是斜截式方程时，k1≠k2

（4）垂直：设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1l2k1k21

一般式方程时，l1l2A1B2A2B10（优点：对斜率是否存在不讨论）

（5）交点：求两直线交点，即解方程组A1xB1yC10A2xB2yC20

4．点到直线的距离：设点P(x0By0C0,y0)，直线l:AxByC0,P到l的距离为dAxA2B2.

5.两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，它们之间的距离为d，则有dC1C2A2.

B26. 关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

⑵关于某直线对称的两条直线：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.

⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.即求点P(x0,y0)关于直线l：

AxByC0（A,B不全为零）对称点时，设对称点为P'(x,y),则根据l是线段PP'的垂直平分线，即l⊥PP'且PP'的中点在直线l上，得x',y'应满足的方程组为：

y0y'(Ax)10x'B，由此解得P'点的坐标(x,y). Ax0x'By0y'22C07．简单的线性规划----线性规划的三种类型：

1．截距型：形如z=ax+by, 把z看作是y轴上的截距，目标函数的最值就转化为y轴上的截距的最值。

2斜率型：形如zyaxb时,把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线的斜率，目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。

3距离型：形如z(xa)2(yb)2时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(a,b)距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。

二、曲线和方程

(1)由曲线(图形)求方程的步骤：

①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； ②列式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)}； ③代入：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0； ④化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；

⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 上述方法称“五步法”，步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程． 2．交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组． 三、圆

1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2．圆的方程:

(1)标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2

．(a，b)为圆心，r为半径．

当圆心为(0，0)时，方程为x2＋y2=r2

(2) 圆的一般方程：x2y2DxEyF0 .

当D2E24F0时，方程表示一个圆，其中圆心CDED2E24F2,2，半径r2.

当D2E24F0时，方程表示一个点DE,. 22当D2E24F0时，方程无图形（称虚圆）.

xarcos（3）圆的参数方程：（为参数）.

ybrsin3．点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圆C内d(x0a)2(y0b)2r2 ②M在圆C上d（x0a)2(y0b)2r2 ③M在圆C外d(x0a)2(y0b)2r2 4．直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)； 直线l：AxByC0(A2B20)； 圆心C(a,b)到直线l的距离dAaBbCAB22.

①几何法：dr时，l与C相切；dr时，l与C相交；dr时，l与C相离.

(xa)2(yb)2r2② 代数法：方程组用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式

AxBxC0为，则：0l与C相切；0l与C相交；0l与C相离.

注意：几何法优于代数法

5．求圆的切线方法

①若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条。利用相切条件求k值即可。

②若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为y－y0=k(x－x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

6．圆与圆的位置关系：已知两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则

(1)两圆外切|O1O2|=r1＋r2；(2)两圆内切|O1O2|=|r1－r2|；(3)两圆相交|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2．