一、考点回顾 1、实数的分类 2、实数的运算
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用；
（2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行． 3、实数大小的比较
（1）正数大于零，负数小于零，两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小． （2）作差法比较大小 设a，b是任意两个实数．
若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b． 4、数轴
数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数一一对应． 5、相反数、倒数、绝对值 ①实数a、b互为相反数 ②实数a、b互为倒数
a＋b＝0； ab＝1；
③
6、近似数、有效数字
对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始到最末一个数字止，都是这个近似数的有效数字．
7、数的平方与开方
①正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根； ②若b3＝a，则b叫a的立方根；
③
二、考点精讲精练
例1、①光的速度大约是300 000 000米/秒，把300 000 000用科学记数法表示为__________；②某细小颗粒物的直径为0.000 0025m，用科学记数法表示为__________． 答案：
①3×108；②2.5×106
－
变式练习1：
用科学记数法表示下列各数： 1、567 000； 2、0.000 0205
答案：1、5.67×105；2、2.05×105
例2、用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.050（精确到0.001） 答案：C 变式练习2：
用四舍五入法把0.00205取近似值，结果保留两个有效数字为__________． 答案：0.0021
－
例3、计算．
答案：变式练习3：
．
计算：① ②答案：①原式＝
＝3－1－4＋3 ＝1；
；
．
②原式＝
＝3＋1－2－1 ＝1． 例4、①
的平方根为__________；
②－（－3）的相反数为__________． 答案：①变式练习4：
；②－3
①的平方根为__________．
②答案： ① ②2
的倒数的相反数为__________．
，的平方根为；
例5、实数a、b在数轴上的位置如图所示，则解：变式练习5：
①写出一个比－3大的负无理数__________； ②已知m，n是两个连续的整数，且 ③在1，－3，答案：①
的化简结果为________．
，则m＋n＝__________；
，0，π中，最小的数为__________．
；②11；③－3
例6、已知α为锐角，且答案：
，计算的值．
，
∴α＋15°＝60°，∴α＝45°，
变式练习6：
．
已知α为锐角，且答案：
，求的值．
，
，
∵α为锐角，∴α＝30°，
.
备考模拟
一、选择题
1、的倒数为（ ）
A． B．3 C．－3 D．
2、计算2的结果为（ ）
－2
A． B． C． D．4
3、12的负的平方根介于（ ）
A．－2与－1之间 B．－3与－2之间 C．－4与－3之间 D．－5与－4之间
4、已知，则（ ）
A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5
5、已知实数x，y满足，则x－y＝（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．1 6、下列各数中，无理数为（ ）
A． B．0 C．0.202002 D．
7、的平方根为（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2 8、下列式子中结果是负数的是（ ）
A．－（－3） B．－|－3| C．－（－3） D．3 二、填空题
3
－2
9、计算＝__________． 10、的倒数为__________．
11、化简＝__________． 12、|－2|的相反数为__________．
13、把1370536用科学记数法表示出来且保留三个有效数字为__________． 14、0.00000102用科学记数法表示为__________．
15、若m是2的算术平方根，则__________．
三、计算题
16、；
17、；
18、；
19、；
20、．
代数式
一、考点回顾
1、用字母可以表示任意一个数．
2、用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数或一个字母也是代数
式，如0，，－x等．
3、一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，叫代数式的值．
4、体会字母表示数的意义及用代数式表示规律． 二、考点精讲精练
例1、一列数a1，a2，a3，…，其中（ ）
，（n为不小于2的整数），则a4的值为
A．答案：A
B． C． D．
变式练习1：
（1）给定一列按规律排列的数：1，，，，，…，它的第10个数是（ ）
A．答案：C
B． C． D．
（2）按一定规律排列的一列数依次为__________．
，，，，，，…，按此规律，第7个数为
答案：
3、已知，记b1＝2（1－a1），b2＝2（1－a1）（1－a2），…，bn＝2（1
－a1）（1－a2）·…·（1－an），则通过计算推测出bn的表达式为bn＝__________（用含n的代数式表示）． 答案：
，，
例2、如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答：
（1）表中第8行的最后一个数是__________，它是自然数__________的平方，第8行共有__________个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是__________，最后一个数是__________，第n行共有__________个数； （3）求第n行各数之和． 答案：（1），8，15；
（2）n2－2n＋2，n2，2n－1；
（3）变式练习2：
1、观察下列等式：
（1）猜想并写出第n个等式； （2）证明你写出的等式的正确性．
．
答案：（1）猜想：；
（2）证明：，即．
2、观察下列各式：，，根据观察计算：
（n为正整数）．
答案：
例3、正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3、…按如图放置，其中点A1、A2、A3、…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3、…在直线y＝－x＋2上，依次类推，则点An的坐标为__________． 答案：设B1（y1，y1），代入y＝－x＋2得y1＝1，∴B1（1，1），A1（1，0），设B2（y2＋1，y2），
代入y＝－x＋2可得，，．同样可求，
．
变式练习3：
如图所示，直线y＝x＋1与y轴交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，然后延长C1B1与直线y＝x＋1交于点A2，得到第一个梯形A1OC1A2；再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，同样延长C2B2与直线y＝x＋1交于点A3得到第二个梯形A2C1C2A3；再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，延长C3B3，得到第三个梯形；…；则第二个梯形A2C1C2A3的面积是__________；第n（n是正整数）个梯形的面积是__________（用含n的式子表示）．
答案：6，
－
解析：依题意OA1＝1，C1A2＝2，…，Cn－1An＝2n1，∴第二个梯形A2C1C2A3的面积为6，第n个
梯形的面积为.
例4、如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，……，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒__________根（用含有n的代数式表示）．
答案：图（1）四根，图（2）4×3－2根，图（3）4×5－4根，图（4）4×7－6根，…图（n）4×（2n－1）－2（n－1）根，故填6n－2． 变式练习4：
如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是__________． 答案：n＋2
例5、已知，则的值为__________．
解： 由得a－b＝－4ab，
．
变式练习5：
已知a－2b＝3，则6－2a＋4b的值为__________． 答案：6－2a＋4b＝6－2（a－2b）＝6－2×3＝0．
备考模拟
一、选择题
1、在直线坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…．则边长为8的正方形内部的整点的个数为（ ）
A． B．49 C．36 D．25
2、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（ ） A．（13，13） B．（－13，－13） C．（14，14） D．（－14，－14）
3、古希腊着名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31
4、一列数a1，a2，a3，…，其中，（n为不小于2的整数），则a4的值为（ ）
A． B． C． D．
5、将代数式x＋6x＋2化成（x＋p）＋q的形式为（ ）
A．（x－3）＋11 B．（x＋3）－7 C．（x＋3）－11 D．（x＋2）＋4
6、某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%．则5月份的产值是（ ）
2
2
2
2
22
A．（a－10%）（a＋15%）万元 B．a（1－10%）（1＋15%）万元 C．（a－10%＋15%）万元 D．a（1－10%＋15%）万元
7、小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A．2010 B．2012 C．2014 D．2016 二、填空题 8、观察下列等式：
第一行 3＝4－1 第二行 5＝9－4
第三行 7＝16－9 第四行 9＝25－16… … 按照上述规律，第n行的等式为__________．
9、某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是__________元（结果用含m的代数式表示）．
10、如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：
所剪次数 正三角形个数 1 4 2 7 3 10 4 13 … … n an 则an＝__________（用含n的代数式表示）．
11、如图①，②，③，④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是__________，第n个“广”字中的棋子个数是__________． 12、已知当x＝1时，2ax＋bx的值为3，则当x＝2时，ax＋bx的值为__________．
13、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次
2
2
报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报样得到的20个数的积为__________．
，第2位同学报，第3位同学报……这
14、有一组多项式：a＋b，a－b，a＋b，a－b，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为__________．
15、如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数得__________（用含有n的代数式表示）．
16、用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①．用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为__________．
17、图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝__________．（用n表示，n是正整数） 三、解答题
18、用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： （1）第5个图形有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
22438
整式
一、考点回顾 1、代数式的分类
2、同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项，合并同类项时，只把系数相加，所含字母和字母的指数不变． 3、整式的运算
（1）整式的加减——先去括号或添括号，再合并同类项． （2）整式的乘除
①幂的运算性质：am·an＝amn（m，n为整数，a≠0）； （am）n＝amn（m，n为整数，a≠0）； （ab）n＝anbn（n为整数，a≠0，b≠0）； am÷an＝amn（m，n均为整数，且a≠0）；
－
＋
②a0＝1（a≠0）；
③单项式乘单项式，单项式乘多项式， 单项式除以单项式，多项式除以单项式． ④乘法公式：
；
平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2； 完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2．
（3）因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫多项式的因式分解． 因式分解的基本方法：①提公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法． 因式分解常用公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b） a2±2ab＋b2＝（a±b）2 二、考点精讲精练
例1、若单项式与－2x3ya
＋b
是同类项，则这两个单项式的积为_______．
解：依题意
解得
．
变式练习1：
若－2amb2m
＋3n
与的和仍为一个单项式，则m与n的值分别为（ ）
A．1，2 B．2，1 C．1，1 D．1，3
解：依题意，－2amb2m
＋3n
与是同类项，
∴ m＝2n－3且 2m＋3n＝8, 得 m＝1，n＝2 选A．
例2、下列计算正确的是（ ）
A．（－p2q）3＝－p5q3 B．（12a2b3c）÷（6ab2）＝2ab C．3m2÷（3m－1）＝m－3m2 D．（x2－4x）·x1＝x－4 答案：D 变式练习2：
（1）下列计算正确的是（ ） A．a＋a＝a2
－
B．（2a）3＝6a3 C．（a－1）2＝a2－1 D．a3÷a＝a2
B．a3＋a2＝2a5
（2）下列计算中正确的是（ ） A．（a＋b）2＝a2＋b2
C．（－2x3）2＝4x6 D．（－1）1＝1
－
答案：（1）D （2）C
例3、已知实数a、b满足（a＋b）2＝1和（a－b）2＝25，求a2＋b2＋ab的值． 解：由（a＋b）2＝1得由（a－b）2＝25得①＋②得
①－②得 ab＝－6, ∴a2＋b2＋ab＝13－6＝7． 变式练习3：
若x＝a2＋b2＋5a＋1，y＝10a2＋b2－7a＋6，则x，y的大小关系为（ ） A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．不能确定 解：
∴ x＜y． 答案：B
例4、已知x2＋3x＝10，求代数式（x－2）2＋x（x＋10）－5的值． 解：（x－2）2＋x（x＋10）－5 ＝x2－4x＋4＋x2＋10x－5 ＝2x2＋6x－1 ＝2(x2＋3x)－1 ＝2×10－1 ＝19 变式练习4：
．
，① ，②
已知整式的值为6，则2x2－5x＋6的值为__________．
解：
＝6，
．
∴2x2－5x＋6＝12＋6＝18．
例5、若a，b，c是三角形三边的长，则代数式a2＋b2－c2－2ab的值（ ） A．大于0 B．小于0 C．大于或等于0 D．小于或等于0 解：a2＋b2－c2－2ab ＝（a－b）2－c2 ＝(a－b＋c)(a－b－c)
若a，b，c是三角形三边的长, 则a－b＋c＞0，a－b－c＜0，
∴(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即a2＋b2－c2－2ab＜0． 选B． 变式练习5：
（1）多项式ac－bc＋a2－b2分解因式的结果为（ ）
A．（a－b）（a＋b＋c） B．（a－b）（a＋b－c） C．（a＋b）（a＋b－c） D．（a＋b）（a－b＋c） （2）分解因式 ①2x2－4xy＋2y2
②（2x＋1）2－x2
③（a＋b）（a－b）＋4（b－1） ④x2－y2－3x－3y
答案：（1）ac－bc＋a2－b2＝c(a－b)＋(a＋b)(a－b) ＝(a－b)(a＋b＋c), 选A． （2）①2x2－4xy＋2y2 ＝2（x2－2xy＋y2） ＝2（x－y）2
②（2x＋1）2－x2＝(3x＋1)(x＋1) ③（a＋b）（a－b）＋4（b－1） ＝a2－b2＋4b－4 ＝a2－(b2－4b＋4) ＝a2－(b－2)2 ＝(a＋b－2)(a－b＋2) ④x2－y2－3x－3y ＝(x＋y)(x－y)－3(x＋y) ＝(x＋y)(x－y－3)
备考模拟
一、填空题
1、若a＝3，a＋b＝2，则a＋ab＝__________．
2、已知（x－y）＝8，（x＋y）＝2，则x＋y＝__________． 3、分解因式xy＋6xy＋9x＝__________． 4、计算9a÷（－3a）＝__________． 5、若－3x
2m＋n3
2
22
2
2
2
2
y和2xy
m＋2n
的差是单项式，则m＋n＝__________．
二、选择题
6、计算（a）÷（a）的结果为（ ） A．a B．a C．a D．a 7、若5×25×125＝5，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
8、分解因式（a－1）－2（a－1）＋1的结果为（ ）
A．（a－1）（a－2） B．a C．（a＋1） D．（a－2） 9、下列运算正确的是（ ）
A．－3（x－1）＝－3x－1 B．－3（x－1）＝－3x＋1 C．－3（x－1）＝－3x－3 D．－3（x－1）＝－3x＋3 10、把代数式x＋4x－1化为（x＋p）＋q的形式为（ ）
A．（x－2）＋3 B．（x＋2）－4 C．（x＋2）－5 D．（x＋2）＋4 三、解答题
11、先化简，再求值：（x＋3）＋（2＋x）（2－x），其中x＝－2．
12、已知a＋2ab－2b＝0，求代数式a（a＋4b）＋（a＋2b）（a－2b）的值．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
m
21
2
3
4
2
3
2
2
13、先化简，再求值：2a（a＋b）－（a＋b），其中
2
．
14、已知x（x－1）－（x－y）＝－3，求x＋y－2xy的值． 15、因式分解．
①a－4a＋4a； ②1－a＋2ab－b； ③b－16.
3
2
2
2
4
222
分式
一、考点回顾 1、分式
若A、B是整式，将A÷B写成的形式，如果B中含有字母，式子叫分式．分式的分母
B≠0，若分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零．
2、分式的基本性质：3、分式的运算
，（其中M为非零整式）
（1）分式的加减：
（2）分式的乘除：
（3）分式的乘方：；
（4）符号法则：．
4、约分：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫约分．
5、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫通分．
二、考点精讲精练
例1、下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C．答案：A 变式练习1：
D．
下列变形正确的是（ ）
A．答案：C
B． C． D．
例2、若分式__________． 答案：3或－2；2 变式练习2：
无意义，则x＝__________；若分式的值为0，则x的值为
若分式__________．
有意义，则x的取值范围是__________；若的值为0，则x的值为
答案：x≠3；－2
例3、化简．
解：原式变式练习3：
化简．
解：原式＝
例4、先化简，再求值：，其中．
解：原式＝ ∵ ∴ ∴原式＝变式练习4：
， ． ．
有这样一道题：计算的值，其中x＝2013．某同学把“x＝2013”错抄
成“x＝2031”，但它的结果也正确，请你说说这是怎么回事．
解：∵
∴ 结果与x无关．故把“x＝2013”错抄成“x＝2031”，不影响它的结果． 变式练习5：
1、若，则__________．
2、已知实数x满足答案：
，则的值为__________．
1、法1：由得，
法2：由得，
2、由得，
．
备考模拟
1、化简的结果为（ ）
A．x＋1 B．x－1 C．－x D．x
2、化简的结果是（ ）
A． B．a C．a－1 D．
3、若分式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≠2 B．x＞2 C．x＜2 D．x＝2
4、若分式的值为0，则x＝（ ）
A．1 B．－1 C．±1 D．0
5、已知abc≠0，且，则k的值为（ ）
A． B．1 C．或－1 D．不确定
6、化简得__________．
7、若分式有意义，则x的取值范围为__________．
8、已知，则式子的值为__________．
9、已知ab＝－2，a＋b＝3，则式子的值为__________．
10、化简为__________．
11、化简：．
12、化简：．
13、先化简：代入求值．
，再从的范围内选取一个合适的整数作为x的值
14、先化简，再选取一个恰当的数值代入求值．
15、已知a是一元二次方程x2＋3x－2＝0的实数根，求代数式
整式方程
一、考点回顾 1、等式的基本性质． 2、一元一次方程的解法：
的值．
①解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及将未知数的系数化为1； ②最简方程ax＝b的解有以下三种情况：
当a≠0时，方程有且仅有一个解；
当a＝0，b≠0时，方程无解； 当a＝0，b＝0时，方程有无数个解．
3、一元二次方程的一般形式为ax＋bx＋c＝0（a≠0），其解法主要有：直接开平方法，配方法，因式分解法，求根公式法．
4、一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式为
2
2
（b－2ac≥0）
2
5、一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b－4ac． △＞0 △＝0 △＜0
方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根．
22
二、考点精讲精练
例1、方程2x（x－3）＝5（x－3）的解为（ ）
A． B．x＝3 C．x1＝3， D．
解析：
2x（x－3）＝5（x－3） 2x（x－3）－5（x－3）＝0 （x－3）（2x－5）＝0
∴x1＝3，．
答案：C 变式练习1：
若代数式2x2
－x与4x－2的值相等，则x的值为（ A．2 B． C．2，或 解：
2x2
－x＝4x－2
x(2x－1)－2(2x－1)＝0 (2x－1)(x－2)＝0 ∴2x－1＝0 或x－2＝0
∴
）
D．1
答案：C
例2、若一元二次方程ax＋bx＋c＝0的一根为1，且满足
2
，则c＝__________．
解：
依题意a＋b＋c＝0．
∵，,
∴a－2＝0，b－3＝0 ∴a＝2，b＝3
∴2＋3＋c＝0，c＝－5． 答案：－5 变式练习2：
已知α是方程x2
＋x－1＝0的根，则代数式
的值为__________．解：
依题意α2
＋α－1＝0，α2
＋α＝1．
．
答案：14
例3、关于x的方程k2
x2
＋（2k－1）x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是（ A． B．
） C． D．
解：当k＝0时，原方程为一元一次方程－x＋1＝0, x＝1，有实根.
若k≠0时，原方程为一元二次方程，，得 k≤．
∴．
综合得，故选A．
答案：A 变式练习3：
关于x的方程2kx＋（8k＋1）x＝－9k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
2
A． B． C． D．
解：依题意，2k≠0, k≠0． 2kx＋（8k＋1）x＋9k＝0 △＝(8k＋1)－4×2k×9k＞0,
2
2
∴k＞
∴
答案：D
例4、某纪念品原价为168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（ ） A．168（1＋a%）＝128 B．168（1－a%）＝128 C．168（1－2a%）＝128 D．168（1－a2%）＝128 答案：B 变式练习4：
甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，那么顾客在哪家超市购买这种商品更合算（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．都一样 解：设这种商品原价为a元．
2
2
甲超市；
乙超市；
丙超市．
∵ 0.a＞0.63a＞0.6a,
∴在乙超市购买这种商品更合算． 答案：B
例5、某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件．批发商为了增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元． （1）填表（不需要化简）
时间 单价（元） 第一个月 80 第二个月 清仓时 40 销售量（件） 200 （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 答案：（1）80－x；200＋10x；800－200－（200＋10x）；
（2）依题意，得80×200＋（80－x）（200＋10x）＋40[800－200－（200＋10x）]－50×800＝9000． ∴x－20x＋100＝0，解此方程得x1＝x2＝10， 且x＝10时，80－x＝70＞50． 故第二个月的单价为70元． 变式练习5：
某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元，当同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？ 答案：设每盆至多植x株，
依题意（3＋x）（4－0.5x）＝14， x1＝1，x2＝4，
因要尽可能地减少成本，∴x＝4舍去． ∴取x＝1，x＋3＝4．
即每盆植4株时，每盆的盈利为14元．
2
分式方程
一、考点回顾
1、分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程． 2、解分式方程的基本思想方法：分式方程3、解分式方程要验根． 二、考点精讲精练
整式方程．
例1、若分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．以上都不对 答：去分母x－3＝m，
把x＝2代入得m＝－1，故选C． 变式练习：
若分式方程有增根，则它的增根为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．1和－1 解：两边同乘（x＋1）（x－1）， 得x2＋m（x＋1）－7＝0，
当x＝1时，m＝3；当x＝－1时，m不存在， ∴x＝1是增根，故选B．
例2、解分式方程．
解：方程两边同乘以（x＋1）（x－1）， 得5（x＋1）＝3(x－1) 解得x＝－4．
经检验知 x＝－4是原方程的根． ∴原方程的根为x＝－4． 变式练习：
解分式方程．
解：，
x－4＋2(x－3)＝－4 3x＝6 x＝2
经检验，x＝2是原方程的根． ∴原方程的根是x＝2．
例3、用换元法解方程，若设x2－3x＋1＝y，则原方程可化为（ A．y2－6y＋8＝0 B．y2－6y－8＝0
）
C．y2＋6y＋8＝0 D．y2＋6y－8＝0
解：
∵x2－3x＋1＝y,
，
∴答案：A 变式练习：
．
已知方程的两根分别是，，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．
解：，
，
x－1＝a－1，或．
得 x＝a，或 答案：A
．
例4、某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%．问原计划完成这项工程用多少个月？ 分析：相等关系是实际施工效率＝原计划施工效率×（1＋12%）．
解：设原计划完工用x个月，则 解得x＝28，
经检验，x＝28是方程的根． 答：原计划完成这项工程用28个月． 变式练习：
，
甲、乙两人共同打印文件，甲共打1800个字，乙共打2000个字，已知乙的工作效率比甲高25%，完成任务的时间比甲少5分钟，问甲、乙二人各花了多少时间完成任务？
解：设甲所用时间为x分钟，
则，x＝45．
检验知，x＝45是原分式方程的根．
答：甲花了45分钟完成任务，乙花了40分钟完成任务．
例5、在社会主义新农村建设中，某乡决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数． 解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天，
依题意 得x＝60．
，
检验知，x＝60是原方程的解． 答：乙工程队单独完成这项工程需要60天．
（2）
答：两队合做完成这项工程需要24天． 变式练习：
一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需超过规定日期4天才能完成．如果两组合做3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？ 解：设规定日期为x天，则
解得x＝12．
，
经检验知，x＝12是原方程的解． 答：规定日期为12天．
备考模拟
一、填空题
1、分式方程的解为__________．
2、已知x＝3是方程的一个解，则k＝__________．
3、若分式的值为0，则x的值为__________．
4、若分式的值为，则y＝__________．
5、若关于x的方程无解，则a的值为__________．
二、选择题
6、解分式方程，去分母后的结果为（ ）
A．x＝2＋3 B．x＝2（x－2）＋3 C．x（x－2）＝2＋3（x－2） D．x＝3（x－2）＋2
7、当x＝__________时，与互为相反数（ ）
A． B． C． D．
8、若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．－1
9、分式方程的解为（ ）
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝0 D．无解
10、若xy＝x－y≠0，则（ ）
A． B．y－x C．1 D．－1
三、综合题
11、解分式方程．
12、若关于x的方程有增根，试求k的值．
13、甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自
行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车速度的车的速度各是多少？
，求步行和骑自行
14、去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？
15、随着江宁的快速发展，地铁1号线南延线将于今年5月28日通车，而连接江宁和南京的地铁2号线和3号线即将开工，某工程队（有甲、乙两组）承包天元路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．
（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天．如果甲、乙两组先合做20天，剩下的由甲单独做，则要误期2天完成，那么规定的时间是多少天？
（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队承包了东段的改造工程，需抽
调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为留下哪一组最好？请说明理由？
方程组
一、考点回顾
1、二元一次方程组的解法 ①代入法解二元一次方程组； ②加减法解二元一次方程组． 2、列方程组解应用题
运用二元一次方程组解决简单的实际问题． 二、考点精讲精练
例1、解方程组：
解：两方程相加得 4a＝20 a＝5
将a＝5代入a－b＝8得 5－b＝8 所以 b＝－3
方程组的解是
变式练习1、解方程组：
解：由（2）得y＝2x－1 将y＝2x－1代入（1） 得3x＋5(2x－1)＝8
解得x＝1 把x＝1代入（2） 得y＝1
∴
例2、已知a、b满足方程组求（a＋b）
－2013
的值．
解：两式相加得a＋b＝1， ∴（a＋b）
－2013
＝1
－2013
＝1．
变式练习2、已知是方程组的解，求代数式4m（m－n）＋n（4m－n）＋5的值．
答：原式＝4m－n＋5，由已知有
22
两式相乘得4m－n＝3，∴原式＝3＋5＝8．
22
例3、若关于x、y的方程组的解满足方程2x＋3y＝6，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
解：将方程组中的k当作常数，解得
∴2×5k＋3×（－2k）＝6，
，选B．
变式练习3、若点P（a＋b，－5）与（1，3a－b）关于x轴对称，则a＝__________，b＝__________．
解：依题意
解得
例4、某校2009年初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2010年秋季初一年级招生人数增加20%，高一年级招生人数增加25%，这样2010年秋季初一年级、高一年级招生总数比2009年将增加21%，求2010年秋季初一、高一年级的招生人数各是多少？ 解：设2009年初一年级招x人，高一年级招y人，则 (1＋20%)x＝480，(1＋25%)y＝125．
答：初一年级招480人，高一年级招125人．
变式练习4、在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？
答：设胜x场，平y场，则
例5、某酒店客房有三人间、双人间的客房，收费数据如下表：
普通（元/间·天） 豪华（元/间·天） 150 140 300 400 三人间 双人间 为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？
解：设三人普通间和双人普通间各住了x，y间，则
答：旅游团住了三人普通间客房8间，双人普通间客房13间．
变式练习5、我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．
（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？ （2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？ 解：（1）设购买甲种树苗x株，乙种树苗y株，
列方程组得
解得
答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株． （2）设购买甲种树苗z株，乙种树苗（800－z）株， 则列不等式
85%z＋90%（800－z）≥88%×800， 解得z≤320．
答：甲种树苗至多购买320株．
备考模拟
一、选择题
1、下列方程组的解中是二元一次方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
2、为保护生态环境，我省某山区响应国家“退耕还林”号召，将该县某地一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，为求改变后林地面积和耕地面积各为多少平方千米，设耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3、某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（ ）
A． B． C． D．
4、已知2x
b＋5
y与－4xy
3a2a2－4b
是同类项，则b的值为（ ）
a
A．2 B．－2 C．1 D．－1
5、若方程组的解x、y的值相等，则a的值为（ ）
A．－4 B．4 C．2 D．1 二、填空题
6、若是关于x，y的二元一次方程ax－3y＝1的解，则a的值为__________．
7、方程组的解为__________．
8、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了__________朵．
9、请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为__________只、树为__________棵．
10、若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元． 三、综合题
11、解方程组：
12、解方程组：
13、（贵州贵阳）童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟． （1）小李生产1件A产品需要__________分钟，生产1件B产品需要__________分钟；
（2）求小李每月的工资收入范围．
14、2009年12月联合国气候会议在哥本哈根召开．从某地到哥本哈根，若乘飞机需要3小时，若乘汽车需要9小时．这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为7千克，飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车的多千克，分别求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量．
15、某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．
（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米，按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
不等式
一、考点回顾
1、掌握不等式，一元一次不等式（组）及其解集的概念．
2、掌握不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法以及解集的数轴表示．
（1）解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．要特别注意，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向． （2）解一元一次不等式组的一般步骤是：
①先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集；
②再利用数轴确定各个解集的公共部分，即求出了这个一元一次不等式组的解集． 二、考点精讲精练
例1、下列四个命题中，正确的有（ ）
①若a＞b，则a＋1＞b＋1；②若a＞b，则a－1＞b－1； ③若a＞b，则－2a＜－2b；④若a＞b，则2a＜2b． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 变式练习1 1．已知A．答案：B 2、若
，则下列不等式中不能成立的是（ ） ，下列不等式中错误的是（ ）
B．
C．
D．
A．答案：B
B． C． D．
3、下列不等式一定成立的是（ ）
A．答案：C
B． C． D．
例2、不等式2x＋1≥5的解集在数轴上表示正确的是（ ） 答案：D 变式练习2
1、如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ） A．答案：D
2、关于x的不等式
的解集如图所示，则a的取值是（ ）
B．
C．
D．
A．0 B．－3 C．－2 D．－1 答案：D
3、如果不等式组答案：
的解集是，那么的值为_______．
得；
2x－b＜3得 ．
∴
∴a＋b＝1．
4、已知不等式x＋8＞4x＋m（m是常数）的解集是x＜3，求m 的值． 解：解不等式x＋8＞4x＋m 3x＜8－m
∵不等式x＋8＞4x＋m（m是常数）的解集是x＜3，
∴ ∴ m＝－1
，
例3、函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2，且x≠3 C.x≤2 D．x≠3
答案： 变式练习3
得x≥2，且x≠3．
1、一次函数的图象如图所示，当－3＜y＜3时，x的取值范围是（ ）
A．x＞4 B．0＜x＜2 C．0＜x＜4 D．2＜x＜4 答案：C
2、关于x的方程2x＋3k＝1的解是负数，则k的取值范围是多少？ 答案：2x＋3k＝1，
．
依题意，
∴ ．
3、点A(m―4，1―2m)在第三象限，那么m值是（ ）
A． B．m＜4 C． D．m＞4
答案：点A(m―4，1―2m)在第三象限，
则得．选C．
例4、解不等式组，并在数轴上表示解集． 解： 由（1）得x≥13， 由（2）得x＞－2
故解集为x ≥13．(数轴上表示解集略) 变式练习4
解不等式组：答案：－1＜x≤2
例5、不等式组的最小整数解是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．－1
答案：不等式组的解集是，最小整数解是0．选A．
变式练习5
1、不等式组的整数解是（ ）
A．－1，0，1 B．－1，1 C．－1，0 D．0，1
答案： 不等式组的解集是－1≤x＜1，整数解是－1，0．选C．
2、已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是__________．
答案：x－a≥0，得x≥a；5－2x＞1，得x＜2． 不等式组的解集是a≤x＜2．
∵不等式组只有四个整数解，即 1，0，－1，－2， ∴ －3＜a≤－2．
备考模拟
一、填空题
1、不等式的解集是__________．
2、关于x的方程kx－1＝2x的解为正实数，则k的取值范围是__________．
3、把某个不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是__________．
4、不等式组的解集是__________．
5、关于x的不等式组的解集是x＞－1，则m ＝__________．
二、选择题
6、函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞－2 B． C． D．
7、不等式组的整数解共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8、已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
9、把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10、如图，直线y＝kx＋b经过点A（－1，－2）和点B（－2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx＋b＜0的解集为（ ）
A． B． C． D．
11、一家服装商场，以1000元/件的价格进了一批高档服装，出售时标价为1500元/件，后来由于换季，需要清仓处理，因此商场准备打折出售，但仍希望保持利润率不低于5%，那么该商场至多可以打___________折．（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6 三、综合题
12、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
13、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
14、若关于x的一元二次方程kx－2x－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
2
15、九年级（5）班学生到学校阅览室上课外阅读课，班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：假如我把43本书分给各个组，若每组8本，还有剩余；若每组9本，却又不够，你知道该分几个组吗？（请你帮助班长分组，注意写出解题过程，不能仅有分组的结果）
不等式(组)的应用
一、考点回顾
用一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤：
（1）审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系 （2）设：设适当的未知数
（3）找：找出题目中的所有不等关系 （4）列：列不等式(组) （5）解：求出不等式组的解集 （6）答：写出符合题意的答案 二、考点精讲精练
例1、某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月．如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨．该校计划每月烧煤多少吨（吨数取整数）？
解：设该校计划每月烧煤x吨． 不等式组的解集为20 解：由题意可以设原来每天每个小组生产X件产品，则 3×10×x＜500且3×10×（x＋1)＞500, 解得＜x＜，则x＝16件． 答：原来每个小组每天生产16件产品． 例2、某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划用这些原料生产A、B两种产品共50 件．已知生产一件A种产品需甲种原料9 kg、乙种原料3 kg；生产一件B种产品需甲种原料4 kg、乙种原料10 kg, (1)设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组； (2)有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计． 解：(1) (2)由(1) 得30≤x≤32，∴x＝30，31，32. 共有三种方案：生产30件A种产品，生产20件B种产品； 生产31件A种产品，生产19件B种产品； 生产32件A种产品，生产18件B种产品． 变式练习2、今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨； （1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来 （2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？ 解：设安排x辆甲种货车，（10－x）辆乙种货车． 解得 ，∴x＝5，6，或7. 共三种方案： 方案1：甲车5辆，乙车5辆； 方案2：甲车6辆，乙车4辆； 方案3：甲车7辆，乙车3辆． （2）2000×5＋1300×5＝16500(元)； 2000×6＋1300×4＝17200(元)； 2000×7＋1300×3＝17900(元)． 所以方案一运费最少，最少运费是16500元． 例3、我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数量至少是500份． (1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系，并指出自变量x的取值范围． (2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案?如果这个中学要印制2000份录取通知书．那么应当选择哪一个厂?需要多少费用? 解：(1)y甲＝1.5×0.8x＋900＝1.2x＋900（ x≥500且x是整数）， y乙＝1.5x＋900×0.6＝1.5x＋0( x≥500，且x是整数)． (2)令y甲>y乙，即1.2x＋900>1.5x＋0，∴x<1200； 令y甲＝y乙，即 1.2x＋900＝1.5x＋0，∴x＝1200； 令y甲 答：当500≤x＜1200份时，选择乙厂比较合算； 当x＝1200份时，两个厂的收费相同； 当x>1200份时，选择甲厂比较合算； 所以要印2000份录取通知书，应选择甲厂，费用是3300元． 变式练习3、某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说:“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠”．若全票价是1200元，你认为选择哪家旅行社更加优惠? 解：设有x名学生，甲的费用是y1，乙的费用为y2， y1＝1200＋1200×0.5x，y2＝1200×0.6(x＋1). 令y1>y2，即1200＋1200×0.5x>1200×0.6(x＋1)，x<4， 令y1＝y2，即1200＋1200×0.5x＝1200×0.6(x＋1)，x＝4， 令y1 故学生人数超过4人时选甲旅行社，若学生人数等于4人时两家旅行社费用相同，学生人数少于4人时选乙旅行社． 备考模拟 1、某班有住宿生若干人，分别住若干宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住，若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数． 2、甲以5 km/h的速度进行有氧体育锻炼，2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲．根据他们两人的约定，乙最快不早于1h追上甲，最慢不晚于1h 15min追上甲．乙骑车的速度应当控制在什么范围？ 3、一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满. （1）设有x间宿舍，请写出x应满足的不等式组； （2）可能有多少间宿舍、多少名学生？ 4、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数. 5、已知利民服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M,N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需A种布料0.6米，B种布料0.9米，做一套N型号时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？ 6、火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B节货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，共有哪几种方案？请你设计出来；并说明哪种方案的运费最少？ 7、2012年伦敦奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为伦敦奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票． （1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？ （2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？ 8、为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶． （1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？ 9、自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资＝销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息： 职工 月销售件数（件） 月工资（元） 甲 200 1800 乙 180 1700 （1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ （2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 10、在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所用的时间分别是__________； （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； （3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？ 11、百舸竞渡，激情飞扬．端午节期间，某地举行龙舟比赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题： （1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先位置？ （2）在这次龙舟赛中，哪支龙舟队先到达终点？先到达多少时间？ （3）求乙队加速后，路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式． 12．如图，表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系． （1）当一天的销售量为__________辆时，销售收入等于销售成本； （2）当一天的销售超过__________辆时，工厂才能获利． （3）对应的函数表达式是__________；（4）你能求出利润S与销售量x之间的函数关系式吗？ 平面直角坐标系及变量之间的关系 一、考点回顾 1、平面直角坐标系中特殊点的坐标的特征． x轴上的点，其纵坐标为0，y轴上的点，其横坐标为0，原点的坐标为（0，0）． 2、各象限内的点的坐标的符号特征． 3、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征． 平行于x轴的直线上任两点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上任两点的横坐标相同． 4、象限角平分线上的点的坐标特征． 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 5、对称点的坐标特征 A（a，b）关于x轴的对称点坐标为（a，－b），A（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（－a，b），A（a，b）关于原点的对称点为（－a，－b）． 6、对函数概念的理解 （1）在某一个变化过程中有两个变量x，y； （2）变量y的值随变量x的值的变化而变化； （3）对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对立． 7、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法． 二、考点精讲精练 例1、已知点A（－1，2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到点B，则点B的坐标为__________． 解：A（－1，2）向左平移2个单位得（－3，2），再向上平移3个单位得（－3，5）． 变式练习1 1、在直角坐标系中，把点A（－2，3）向右平移3个单位到B点，则点B的坐标为__________． 答案：（1，3） 2、将点P（－3，y）向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q（x，－1），则xy＝__________． 解： 将点P（－3，y）向下平移3个单位得（－3，y－3），再向左平移2个单位得到点（－5，y－3），所以 x＝－5，且y－3＝－1．得x＝－5，y＝2，所以xy＝－10． 例2、已知点P（－2，a），Q（b，3），且PQ∥x轴，则a＝__________，b≠__________． 答案：a＝3，b≠－2 变式练习2 1、已知线段AB＝3，AB∥x轴，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为__________． 答案：4，2或－2，2 2、过A（－2，4）和B（－2，2）两点的直线一定（ ） A．垂直于x轴 B．与y轴相交但不平行于x轴 C．平行于x轴 D．与x轴，y轴相交 答案：A 例3、已知如图，菱形ABCD的边长为2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为__________． 解：过B作BD⊥x轴于D． 依题意有∠BOD＝45°，BC＝2， ∴ BD＝2sin45°＝ CD＝2cos45°＝ ∴ OD＝2＋变式练习3 在平面直角坐标系中，若以点A（0，－3）为圆心，5为半径画一个圆，则这个圆与x轴的负半轴相交的点的坐标为（ ） A．（4，0） B．（0，－4） C．（0，4） D．（－4，0） 答案：D ， ， ∴B(2＋ ， ) ， 例4、如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转 60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（ ） A．答案：B 提示：变式练习4 如图，将平面直角坐标系中的△AOB绕点O顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB＝60°，∠B＝90°， ，则点B′的坐标是（ ） ． B． C． D． A．解：∵ B． C． D． ，∠AOB＝60°， ∴A（－2，0），∴OA′＝2，∠A′OB′＝60°， ∴OB′＝1，∠B′Ox＝30°，，故选A． 例5、一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15km/h，水流速度为5km/h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是（ ） 答案：C 轮船顺水航行的速度比逆水航行的速度快，而航行的路程相同，所以顺航所用时间比逆航所用时间短，故选C． 变式练习5 某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（ ） A．学校离家的距离为2000米 B．修车时间为15分钟 C．到达学校时共用时间20分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米 答案：B 例6、函数中自变量x的取值范围为__________． 解：依题意得x≤12且 x≠4． 变式练习6、函数答案：x≥－2且x≠1． 中，自变量x的取值范围为__________． 一次函数 考点回顾: 1、形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的函数叫一次函数．正比例函数也是一次函数． 2、一次函数的图象是一条过，（0，b）的直线． 3、一次函数的性质：①当k＞0时，y随x的增大而增大；②当k＜0时，y随x的增大而减小． 4、会用待定系数法求一次函数的解析式． 考点精讲精练： 例1、一次函数的图象如图所示，求其解析式． 解： 设函数解析式为y＝kx＋b， ∵点（1，0），（0，－2）在其图象上， ，∴y＝2x－2． 变式练习1、若直线y＝kx＋b与直线y＝－3x平行，且过点（1，－1），求k，b的值． 解：∵直线y＝kx＋b与直线y＝－3x平行， ∴ k＝－3． 将（1，－1）代入y＝－3x＋b， －1＝－3×1＋b b＝2 ∴y＝－3x＋2，∴k＝－3，b＝2． 例2、若一次函数y＝（1－2k）x－k的函数值y随x的增大而增大，且此函数图象过一、三、四象限，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：依题意，故选D． 变式练习2、下列图象中，不可能是关于x的一次函数y＝mx－（m－3）的图象的是（ ） 答案：C 例3、如图，设函数y＝x＋4的图象与y轴交于点A，函数y＝－3x－6的图象与y轴交于点B，两个函数的图象交于点C，求通过线段AB的中点D及点C的一次函数的解析式． 解： 依题意有方程组 在y＝x＋4中，令x＝0，则y＝4，∴A（0，4）； 在y＝－3x－6中，令x＝0，则y＝－6，∴B（0，－6）． ∴线段AB的中点D的坐标为（0，－1）． 设直线CD的解析式为y＝kx＋b，C、D的坐标代入有 ∴过C、D的一次函数的解析式为y＝－x－1． 变式练习3、若直线y＝kx＋b与直线y＝－3x平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为解析式． 解：依题意有k＝－3，∴y＝－3x＋b． ，求直线的 当x＝0时，y＝b；令y＝0，则． ，解得b＝±2． ∴直线的解析式为y＝－3x＋2，或y＝－3x－2． 例4、一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间后，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过几分钟，容器中的水恰好放完？ 解：由图可知，只打开进水管，4分钟共进水20升，则进水管的进水速度为；从4分钟 到?12分钟，进水管与出水管一起打开，8分钟共进水10升，设出水速度为m升/分，则（5－m）·8＝ 30－20， 才能将水恰好放完． ；至12分钟时，关停进水管，此时容器中有水30升，所以需要 变式练习4、小敏从A地向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于P的两条线段l1，l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y（km）与已用时间x（h）之间的关系，则小敏、小聪的速度分别为（ ） A．3km/h和4km/h B．3km/h和3km/h C．4km/h和4km/h D．4km/h和3km/h 答：分别求得l1、l2的解析式为y1＝－4x＋11.2，y2＝3x， ∴l1与y轴的交点为（0，11.2）， ∴小敏速度为， 小聪速度为，故选D． 例5、甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一副定价为60元，乒乓球每盒定价为10元．世乒锦标赛期间，两家商店都进行促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠．某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）．设该校要买乒乓球x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需用y2元． （1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式（不必注明x的取值范围）； （2）试说明在哪一家商店购买所需商品较便宜？ 解：（1）依题意y1＝10（x－4）＋60×2＝10x＋80，∴y1＝10x＋80； y2＝0.9（10x＋60×2）＝9x＋108；∴y2＝9x＋108． （2）令y1＞y2，即10x＋80＞9x＋108，∴x＞28． ∴当购买乒乓球盒数大于28时，在乙商店购买更便宜． 令y1＝y2，即10x＋80＝9x＋108，∴x＝28． ∴当购买盒数为28时，在两家商店购买一样便宜． 令y1＜y2，即10x＋80＜9x＋108，∴x＜28． 又∵x≥4，∴4≤x＜28． ∴当购买盒数少于28而又大于等于4盒时，在甲店购买较便宜． 备考模拟 一、选择题 1、如图，直线y＝kx＋b与x轴交于点（－4，0），则当y＞0时，x的取值范围是（A．x＞－4 B．x＞0 C．x＜－4 D．x＜0 2、关于直线y＝－2x＋1，下列结论正确的是（ ） A．图象必过点（－2，1） B．图象经过第一、二、三象限 ）C．当时，y＜0 D．y随x的增大而增大 3、如图所示，函数y＝－x－2的图像大致是（ ） 4、若直线y＝mx＋2m－3经过第二，三，四象限，则m的取值范围是（ ） A．m＜ B．m＜0 C．m＞ D．m＞o 5、已知函数，，它们的共同点是：①在每一个象限内，都是函数y随x的增大而增 大；②都有部分图象在第一象限；③都经过点（1，4），其中错误的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 6、若点A（m，2）在函数y＝2x－6的图象上，则m的值为__________． 7、若一次函数y＝kx＋b的图像经过（－2，－1）和点（1，2），则这个函数的解析式是__________． 8、某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表 质量x（千克） 1 2 3 4 …… 售价y（元） 3.60＋0.20 7.20＋0.20 10.80＋0.20 14.40＋0.2 …… 由上表得y与x之间的关系式是____________________． 9、当__________时，一次函数y＝（m＋1）x＋6的函数值随x的增大而减小． 10、直线y＝kx＋b上有两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x1＞x2时，y1＜y2，则常数k的取值范围是____________________． 三、综合题 11、已知一次函数的图象经过点（－ 4，9）和（6，3）． （1）求这个一次函数的关系式． （2）试判断点（1，6）是否在这个函数的图象上． 12、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费.即一月用水10吨以内（包括10吨）用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元水费，超过的部分每吨按b元（b＞a）收费．设一户居民月用水y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求a的值，若某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？ （2）求b的值，并写出当x大于10时，y与x之间的函数关系； （3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？ 13、在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）．现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元（总费用＝广告赞助费＋门票费）；方案二：购买门票方式如图所示． 解答下列问题： （1）方案一中，y与x的函数关系式为______；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为______，当x＞100时，y与x的函数关系式为______； （2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； （3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元．求甲、乙两单位各购买门票多少张． 14、某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱共100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： 型号 成本（元/台） 售价（元/台） （1）冰箱厂有哪几种生产方案？ A型 2200 2800 B型 2600 3000 （2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的补贴，那么在这种方案下需补贴给农民多少元？ （3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种． 15、某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元． （1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式． （2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据； 请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？ 反比例函数 考点回顾： 1、一般地，形如 y＝( k是常数, k≠0) 的函数叫做反比例函数． 反比例函数解析式有三种常见的表达形式：（A）y＝（C）y＝kx1（k≠0）. 2、反比例函数的图象和性质： － （k≠0），（B）xy＝ k（k ≠ 0）， （1）反比例函数的图象是双曲线．当k>0时，双曲线分别位于第一、三象限；当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内． （2）反比例函数性质：当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大． 考点精讲精练： 例1、若函数 A． B． 是反比例函数，则 C． 或 的值为（ ） D． 且 解：依题意由①得但答案：A 变式练习1 ． 不满足② ，∴m＝－2． 1、已知是的反比例函数，当时，，那么当时，的值为______. 解：设．把x＝3，y＝4代入上式得k＝36. ∴． 当时，． 答案：16 2、若反比例函数 的图象经过二、四象限，则k＝_______. 解：依题意得k＝0． 答案：k＝0 3、已知反比例函数A．答案：A B． 的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（ ） C． D． 例2、在反比例函数 ，则 的图象上有两点，，当时，有 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：变式练习2 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） 随的增大而减小 ，则 A．图象必经过点（1，2） B．C．图象在第一、三象限内 D．若答案：B 例3、如图所示，在函数的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是矩形， 点B、P在曲线上，下列说法不正确的是（ ） A．矩形FOEP和正方形COAB面积相等 B．点B的坐标是（4，4） C．点B在直线y＝x上 D．矩形BCFG和矩形GAEP面积相等 解：设B（m，n），∵四边形COAB是正方形， ∴m＝n．∴ ∴B（2，2）． 答案：B 变式练习3 ． 如图，正比例函数y＝kx (k >0)与反比例函数垂线交x轴于B，连接BC，求△ABC的面积． 的图象相交于A、C两点，过A作x轴的 解：． 例4、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应（ ） A．小于答案：C m3 B．大于m3 C．不小于m3 D．小于m3 解析；设，则， 得k＝96． ∴． 令P＝120，∴由图象知，选C． 变式练习4 ． 某空调厂的装配车间计划组装9000台空调： （1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台/天）与生产的时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？ （2）原计划用2个月时间（每月以30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？ 答案：（1）mt＝9000， （2）t＝50时，m＝180． 反比例函数. ∵ 当t>0时，m的值随t的增大而减小，故每天至少要组装180台空调． 例5、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点. （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围. 解：（1）把（－2，1）代入得m＝－2． ， （2）从图象可看出，当x<－2，或0 （3）反比例函数的关系式； （4）点D的坐标； （5）请观察图象回答：当x取何值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值. 答案： 备考模拟 一、选择题 1、正比例函数y＝2x与反比例函数（ ） 的图象有一个交点为（2，4），则另一个交点坐标为 A．（2，－4） B．（－2，－4） C．（－2，4） D．（－2，－2） 2、若m<－1时，则在下列函数①值随x值的增大而增大的是（ ） ，②，③y＝mx，④中，y A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 3、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么k1和k2的关系一定是（ ） A．k1<0，k2>0 B．k1>0，k2<0 C．k1、k2同号 D．k1、k2异号 二、填空题 4、是y关于x的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m的值为___________； 5、考察的图象，当时，x的取值范围为________. 6、在函数 大小关系是________. 为常数）的图象上有三点，，，则y1，y2，y3的 7、设有反比例函数 则k的取值范围是________. ，、为其图象上的两点，若时，， 8、已知点P（1，a）在反比例函数个函数的图象在第________象限. 的图象上，其中（m为实数），则这 9、若反比例函数的图象与直线无交点，则k的取值范围是________. 三、综合题 10、已知反比例函数的图象经过点A（－2，1），一次函数的图象经 过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B. （1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式. （2）求点B的坐标. 11、反比例函数的图象与一次函数的图象交于A（1，5），B（n，－1）两点. （1）求反比例函数与一次函数的解析式. （2）当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？ 12、已知y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例.当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝3．当x＝6时，求y的值. 13、若一次函数y＝2x－1和反比例函数的图象都经过点（1，1）. （1）求反比例函数的解析式. （2）已知点Ａ在第三象限，且同时在两个函数的图像上，求点A的坐标. （3）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标. 14、为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方 米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室? 二次函数（一） 考点回顾： 1、二次函数的概念 ?一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数． ?2、二次函数的图像与性质 （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下； （2）抛物线的顶点坐标为； （3）抛物线的对称轴为； （4）当时，二次函数有最小值；当时，二次函数有最大值； 3、二次函数一般有三种形式： （1）一般式：； （2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为（h，k）； （3）交点式： ，x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标． 解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式． 4、了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系． 考点精讲精练： 1、二次函数y＝－4x2＋2x＋的对称轴是直线__________． 解： a＝－4，b＝2，c＝，对称轴直线是． 或y＝－4x2＋2x＋＝－4（x－）2＋，所以对称轴直线是． 答案：x＝变式练习1 1、抛物线y＝(x－2)2＋3的对称轴是（ ） A．直线x＝－3 B．直线x＝3 C．直线x＝－2 D．直线x＝2 答案：D 2、二次函数 的顶点坐标是（ ） A.(2，－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 答案：A 例2、将y＝3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____． 解： ． 答案：y＝3x2＋18x＋25 变式练习2 1、把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A．y＝3(x＋3)2－2 B．y＝3(x＋3)2＋2 C．y＝3(x－3)2－2 D．y＝3(x－3)2＋2 答案：D 2、二次函数 的图象是由 的图象向左平移1个单位，再向下平移2 个单位得到的，则b＝ _____，c＝_____． 解：依题意，把函数 的图象．把 则答案：－8，7 例3、已知二次函数解：由图象知a<0，c＞0． 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得 配方得 ． ，即 b＝－8，c＝7． 的图象如图所示，则点在第_____象限． 又∵ ∴bc＜0，答案：三 变式练习3 ，∴b＜0． 在第三象限． 在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx的图象可能为（ ） 答案：A 例4、已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 解：（1）设这个抛物线的解析式为 ． 由已知，抛物线过A（－2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得 解这个方程组，得a＝2，b＝2，c＝－4． ∴所求抛物线的解析式为 也可以设二次函数解析式为交点式求解． ． （2） ∴该抛物线的顶点坐标为变式练习4 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3，0）． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标． 解：（1）设二次函数解析式为 二次函数图象过点B（3，0）， ，即，解方程，得 ， ， ，得a＝1． ． ． ∴二次函数解析式为 （2）令y＝0，得 ∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（－1，0）． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为（4，0） 例5、函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 答案：C 备考模拟 一、选择题 1、在同一坐标系中，抛物线y＝4x，y＝ 2 x，y＝－ 2 x的共同特点是（ ） 2 A．关于y轴对称，开口向上 B．关于y轴对称，y随x的增大而增大 C．关于y轴对称，y随x的增大而减小 D．关于y轴对称，顶点是原点 2、把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 ，则有（ ） A．b＝3，c＝7 B．b＝－9，c＝－15 C．b＝3，c＝3 D．b＝－9，c＝21 3、把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4、二次函数的图像与x轴的交点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5、已知二次函数关于的一元二次方程 的顶点坐标（－1，－3.2）及部分图象(如图)，由图象可知的两个根分别是 （ ） A．－1.3 B．－2.3 C．－0.3 D．－3.3 二、综合题 6、如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是________． 7、用配方法将二次函数化成的形式，那么y＝________． 8、二次函数的对称轴是x＝2，则b＝_______． 9、一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值满足上述两条性质的函数的解析式是________（只写一个即可）． 随自变量的增大而增大； 10、抛物线 的三角形面积为________． 的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成 显示答案 答案： 6、－1 7、y＝（x－6）＋3 2 8、 9、如等（答案不唯一） 10、1 三、综合题 11、已知二次函数 的解． 的部分图象如图所示，写出关于x的一元二次方程 显示答案 答案： ， 12、如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，求在线段AB上离中心M处5米的地方桥的高度． 显示答案 解：以直线AB、MC为坐标轴建立平面直角坐标系，抛物线解析式为时，y＝15，即离中心M处5米的地方桥的高度为15米． ，x＝5 13、已知二次函数图象的对称轴是，图象经过(1，－6)，且与y轴的交点为(0，). (1)求这个二次函数的解析式； (2)当x为何值时，这个函数的函数值为0? (3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值随x的增大而增大? 显示答案 解：(1)设抛物线的解析式为 ， 由题意可得， 解得，所以 (2)或－5 (3) 14、某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 中重力加速度g以10米/秒计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？ 2 （0＜t≤2），其 （2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 显示答案 解：（1）由已知得，，解得当时不合题意，舍去．所 以当爆竹点燃后1秒离地15米． （2）由题意得，＝，可知顶点的横坐标，又抛物线开 口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹在上升． 15、如图，已知二次函数的图像经过点A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离． 二次函数（二） 考点回顾： 二次函数的应用一般可分为： （1）在代数中的应用； （2）在几何中的应用； （3）在实际问题中的应用． 考点精讲精练： 例1、某地要建造一个圆形喷水池，在水池垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图（1）和（2）所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度 y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是 （1）柱子OA的高度为多少米？ （2）喷出的水流距水面的最大高度是多少？ ，请回答下列问题． （3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 解： （1）当x＝0时，，故OA的高度为1.25米． （2）∵，∴顶点是（1，2.25）， 故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米． （3）解方程，得． ∴B点坐标为．∴． 故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外． 变式练习1 某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式（0＜t≤2）， 其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？ （2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由． 答案： （1）由已知得，， 解得t1＝3，t2＝1，当t＝3时不合题意，舍去． 所以当爆竹点燃后1秒离地15米． （2）由题意得，h＝－5t2＋20t＝－5（t－2）2＋20， 可知顶点的横坐标t＝2，又抛物线开口向下， 所以在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹在上升． 例2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 解： （1）设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c， 由题意得（或）， 解得∴． （2）把S＝30代入 解得t1＝10，t2＝－6（舍）， ，得， 答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元； （3）把t＝7代入，得， 把t＝8代入，得 答：第8个月公司获利润5.5万元． 变式练习2 ，16－10.5＝5.5， 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 解：（1）． （2）， 化简得：． （3）． 红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元． （4）我认为，小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额 来说，当x为160元时，月销售额W最大．∴当 x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对． 方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对． 备考模拟 一、选择题 1、一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h＝－5（t－1） 2 ＋6，则小球距离地面的最大高度是（ ） A．1米 B．5米 C．6米 D．7米 显示提示 解：∵高度h和飞行时间t?满足函数关系式：h＝－5（t－1）＋6， ∴当t＝1时，小球距离地面高度最大， ∴h＝－5×（1－1）＋6＝6米，故选C． 2 2 2、竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at＋bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ） A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒 显示提示 解：由题意可知：h（2）＝h（6）， 即4a＋2b＝36a＋6b， 解得b＝－8a， 2 函数h＝at＋bt的对称轴t＝ 2 ＝4， 故在t＝4s时，小球的高度最高， 题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒， 故在第4.2秒时小球最高．故选C． 二、综合题 3、汽车行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40千米/时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米．查有关资料知：甲车的刹车距离S甲（米）与车速x（千米/时）之间有下列关系：S甲＝0.1x＋0.01x；乙车的刹车距离S乙（米）与车速x（千米/时）的关系如图所示．请你从两车的速度方面分析相碰的原因． 显示答案 解：解方程0.01x＋0.1x＝12，得x1＝30，x2＝－40（舍去），故甲车的速度是30千米/时， 2 2 未超过限速，由图像知：速行驶． ，由得40＜x＜48．故乙车超速，原因在乙车超 4、容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即，为充分利用土地资源， 更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8．一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1m建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示． （Ⅰ）试求图（1）中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积； （Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c的函数关系式． 2 2 显示答案 解：（Ⅰ）设线段l函数关系式为M＝kt＋b，由图象得 解之，得 ∴线段l的函数关系式为M＝13000t＋2000， 1≤t≤8． 由知，当t＝1时，S用地面积＝M建筑面积， 把t＝1代入M＝13000t＋2000中，得M＝15000m． 即开发该小区的用地面积是15000m． （Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为Q＝a（t－4）＋k， 把点（4，0.09），（1，0.18）代入， 2 2 2 得解之，得 ∴抛物线段c的函数关系式为，即（1≤t≤8）． 5、已知二次函数图象的顶点是（－1，2），且过点． （1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象； （2）求证：对任意实数m，点M（m，－m）都不在这个二次函数的图象上． 显示答案 2 解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为， 又点在它的图象上，可得，解得． 所求为． 令y＝0，得x1＝1，x2＝－3． 画出其图象如下． （2）证明：若点M在此二次函数的图象上， 则．得． 方程的判别式：4－12＝－8＜0，该方程无解． 所以原结论成立． 6、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax＋bx＋c＝0的两个根． （2）写出不等式ax＋bx＋c＞0的解集． （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． （4）若方程ax＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 显示答案 答案：（1）x1＝1，x2＝3 （2）1＜x＜3 2 2 2 （3）x＞2 （4）k＜2 7、已知抛物线与x轴有两个交点． （1）求k的取值范围； （2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点E的坐标． 显示答案 解：（1）根据题意得：△＝1－2k＞0，，∴k的取值范围是； （2）设A（x1，0）、B（x2，0），则x1＋x2＝2，x1x2＝2k． ， 由得顶点，当△ABD是等腰直角三角形时 得；，解得舍去，∴所求抛物线的解析 式是； （3）设E（0，y），则y＞0，令y＝0得， ∴x1＝－1，x2＝3，∴A（－1，0）、B（3，0）， 令＝0得：， （i）当△AOE∽△BOC时得：，，解得； （ii）当△AOE∽△COB时得：，，解得y＝2，∴E2（0，2）， ∴当△AOE和△BOC相似时，或E2（0，2）． 8、如图，抛物线y＝x＋bx－c经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC∶S△ACD＝5∶4的点P的坐标． 显示答案 解：（1）直线y＝x－3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）， 2 则解得 所以此抛物线解析式为y＝x－2x－3． （2）抛物线的顶点D（1，－4），与x轴的另一个交点C（－1，0）．设P（a，a－2a－3），则 2 2 ．化简得|a－2a－3|＝5． 2 当a－2a－3＞0时，a－2a－3＝5得a＝4，a＝－2．∴P（4，5）或P（－2，5）． 当a－2a－3＜0时，－a＋2a＋3＝5即a＋2a＋2＝0，此方程无解． 综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）． 2 2 2 22 9、如图所示，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE＝1，，直线FE交 AB的延长线于G．过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M、N．设HM＝x，矩形AMHN的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系； （2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？ 显示答案 答案：（1）. （2）当x＝3时有最大面积12． 10、某商店分别以4000元和8800元购进甲、乙两种商品销售，其中乙种商品的数量是甲种商品数量的2倍，每件乙种商品比每件甲种商品的进价多4元． （1）求甲、乙两种商品的进价； （2）据了解，乙种商品每件盈利20元，每周的销售量为40件，当每件降价1元时，其销售量将每周增加10件．设每件乙种商品降价x元，一周的利润为y元，求y?与x的函数关系式．每件乙种商品定价为多少时，该商品的周利润最大，最大利润是多少？ 角、相交线与平行线 考点回顾： 1、1周角＝2平角＝4直角； 2、如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，同角或等角的补角相等； 3、若一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角互为对顶角，对顶角相等； 4、平行线：在同一平面内，互不相交的两条直线互相平行． 5、同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交或平行． 6、平行线的性质： （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； （2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. 7、平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．也可依据平行线的定义判定． 考点精讲精练： 例1、如图，AB∥CD，∠1＝110°∠ECD＝70°，∠E的大小是（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 答案：B 变式练习1 1、如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝60°，则∠2＝_________． 答案：60° 2、如图，直线a、b被直线c所截，若要a∥b，需增加条件__________（填一个即可）． 答案：∠1＝∠4或∠1＝∠3或∠1＋∠2＝180°． 例2、已知：如图，AB∥CD，求证：∠B＋∠D＝∠BED． 答案： 过点E作EF∥AB，则∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）． ∴∠D＝∠2（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠BED＝∠1＋∠2， ∴∠BED＝∠B＋∠D（等量代换）． 变式练习2 1、已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED＝360°－（∠B＋∠D）． 答案： 过点E作EF∥AB，则∠B＋∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）． ∴∠D＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠B＋∠1＋∠D＋∠2＝180°＋180°（等式的性质）． 又∵∠BED＝∠1＋∠2， ∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°（等量代换）． ∴∠BED＝360°－（∠B＋∠D）（等式的性质）． 2、已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED＝∠D－∠B． 答案： 过点E作EF∥AB，则∠FEB＝∠B（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）． ∴∠FED＝∠D（两直线平行，内错角相等）． ∵∠BED＝∠FED－∠FEB， ∴∠BED＝∠D－∠B（等量代换）． 3、已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED＝∠B－∠D． 答案： 过点E作EF∥AB，则∠1＋∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）． ∴∠FED＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 即∠1＋∠2＋∠D＝180°． ∴∠1＋∠2＋∠D＝∠1＋∠B （等量代换）． ∴∠2＝∠B－∠D（等式的性质）． 即∠BED＝∠B－∠D． 例3、如图，CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，下列说法正确的是（ ） A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC C．∠ACF是α的余角 D．α与∠ACF互补 答案： ∵ ∠α＋∠B＝∠ACB＋∠B＝90°， ∴∠α＝∠ACB, ∵ ∠ACB＋∠ACF＝180°, ∴∠α＋∠ACF＝180°． 选D. 变式练习3 1、一副三角板，如图2叠放在一起，∠α的度数是_________度． 2、两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ） A．一定有一个锐角 B．一定有一个钝角 C．一定有一个直角 D．一定有一个不是钝角 3、一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角为______度． 答案：1、105 2、D 3、45 例4、如图，已知AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC＝28°，则∠AOD＝_______度． 答案： ∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°． ∵ ∠AOD＋∠AOE＋∠EOC＝180°， ∴∠AOD＝180°－∠AOE－∠EOC＝62°． 变式练习4 1、已知：如图，∠1＝70°，OE平分∠AOC，求∠EOC和∠BOC的度数． 答案： 因为∠1＋∠AOC＝180°；又∠1＝70°，所以∠AOC＝180°－70°＝110°．又OE为∠AOC的平分 线，所以，又因为∠BOC＝∠1（对顶角相等），所以∠BOC＝70°． 2、将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论： （1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4； （3）∠2＋∠4＝90°；（4）∠4＋∠5＝180°， 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 3、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于（ ） A．90° B．135° C．270° D．315° 答案：C 备考模拟 一、选择题 1、如图a∥b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1＋∠2＋∠3＝（ ） A．180° B．270° C．360° D．0° 2、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A．20° B．120° C．20°或120° D．36° 3、如图，直线l1∥l2，l分别与l1，l2相交，如果∠2＝120°，那么∠1的度数是（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 4、一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即AB∥CD，如图）．如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么，∠C应是（ ） A．140° B．40° C．100° D．180° 5、下列各图中，∠1大于∠2的是（ ） 6、设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α，则（ ） A．0°＜α＜90° B．0°＜α≤90° C．0°＜α＜90°或90°＜α＜180° D．0°＜α＜180° 二、综合题 7、如图，AB//CD，BC//DE，则∠B＋∠D＝__________． 8、如图，直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D．若∠1＝20°，∠2＝65°，则∠3＝__________． 三、综合题 9、直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOA∶∠AOD＝1∶4，求∠EOB的度数． 10、如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°．求∠AGD． 11、如图，AB∥CD，∠NCM＝90°，∠NCB＝35°，CM平分∠BCE，求∠B的大小． 12、已知：如图，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE．求证：∠BFE＝∠FEC． 13、如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上 各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角 是0°） （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC＋∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？ 解：（1）证明：过P作PQ∥AC，则∠APQ＝∠PAC． ∵AC∥BD， ∴PQ∥BD． ∴∠BPQ＝∠PBD． ∴∠APQ＋∠BPQ＝∠PAC＋∠PBD． 即∠APB＝∠PAC＋∠PBD． （2）解：当动点P在第②部分时，结论∠APB＝∠PAC＋∠PBD不成立， 过P作PQ∥AC， ∵AC∥BD， ∴AC∥PQ∥BD， ∴∠APQ＋∠PAC＝180°，∠QPB＋∠PBD＝180°， ∴∠PAC＋∠APB＋∠PBD＝360°， 即其存在的关系式是∠PAC＋∠PBD＝360°－∠APB． 三角形及全等三角形 考点回顾： 1、三角形的分类： ①按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． ②按边分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为腰与底不等的等腰三角形和等边三角形． 2、三角形的三边关系 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 3、三角形的三个内角和为180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任一个内角． 4、三角形的中位线及其性质 ①连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线； ②三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半． 5、全等三角形的判定 ①SSS，SAS，ASA，AAS ②Rt△的“HL” 考点精讲精练： 例1、已知三角形三边长分别为2，x，13，且x为整数，则这样的三角形的个数为（ ） A．2 B．3 C．5 D．13 解： 13－2＜x＜2＋13，∴11＜x＜15，∴整数x＝12，13，14． 答案：B 变式练习1 已知三角形两边的长分别为4和10，则此三角形第三边的长可能为（ ） A．5 B．6 C．11 D．16 解： 设第三边长为x．10－4＜x＜10＋4， 6≤x≤14．故选C． 答案：C 例2、如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC≌△ADC的是（ ） A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90° 答案：B 变式练习2 如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是__________． 答案：∠C＝∠E，或AD＝FB或AB＝FD 例3、如图，D、E分别为AB、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE，求证：∠B＝∠C． 证明： △ABE与△ACD中， ∵AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD ∴ △ABE≌△ACD（SAS）． ∴∠B＝∠C． 变式练习3 如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠C＝20°，则∠BED＝________． 解： △OBC与△OAD中， AO＝BO，∠O＝∠O，OC＝OD， ∴△OBC≌△OAD． ∴∠D＝∠C＝20°． ∵∠DBC＝∠O＋∠C＝70°， ∴ ∠BED＝180°－∠D－∠DBC＝90°． 答案：90° 例4、如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O为AD、BC的交点，点E为AB的中点，试判断OE与AB的位置关系，并给出证明． 解： OE⊥AB．理由如下： ∵AC＝BD，∠BAC＝∠ABD，AB＝BA ∴△CAB≌△DBA（SAS）． ∴∠OAB＝∠OBA ∵ E为AB中点， ∴ OE⊥AB． 变式练习4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过E作AC的垂线，交CD的延长线于点F，试判断AB与FC的大小关系，并给予证明． 解：AB＝FC． 理由：∵CD⊥AB于点D， ∴ ∠CDB＝90°，∠BCD＋∠B＝90°． ∵ ∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B． 又 ∵∠FEC＝90°＝∠ACB，CE＝BC， ∴△ACB≌△FEC ∴AB＝FC． 答案：相等 例5、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA至D，使 （1）求证：DF＝BE； （2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG＝DG． 证明：（1）∵EF为△ABC的中位线， ，点E、F分别为边BC、AC的中点． ∴EF∥AB，EF＝∵∠BAC＝90°， AB． ∴ ∠EFC＝∠DAF＝90°． ∵ AD＝AB， ∴ AD＝EF． ∵F为AC中点， ∴AF＝CF， ∴ △DAF≌△EFC． ∴DF＝EC，∴DF＝BE． （2）∵AG∥BC， ∴ ∠DAG＝∠B． ∵EF∥AB，∴∠FEC＝∠B． 由（1）知∠FEC＝∠D， ∴∠B＝∠D，∠DAG＝∠D， ∴AG＝DG． 变式练习5 如图，△ABC中，M为BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N．已知AB＝10，AC＝16，则MN＝__________． 解：延长BN交AC于D． ∵ AN平分∠BAD， ∴ ∠1＝∠2． ∵AN＝AN，∠ANB＝∠AND＝90°， ∴ △ABN≌△ADN(ASA)． ∴ BN＝DN，AB＝AD． ∵M为BC中点， ∴ MN为△BCD的中位线，MN＝CD． ∵CD＝AC－AB＝16－10＝6， ∴MN＝3． 答案：3 备考模拟 一、填空题 1、如图，△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长为__________cm． 2、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝__________． 3、如图，点D、B、C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝______． 4、如图，要测量A、B两点间的距离，在O点打桩，取OA的中点C，OB的中点D，测得CD＝30m，则AB＝__________m． 5、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于D，交边AB于E，若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长的差为12，则线段DE的长为__________． 答案： 1、5 2、50° 3、45° 4、60 5、6 二、选择题 6、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于D，则AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7、如图，正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连AE，交对角线BD于点F，连CF，则图中全等三角形共有（ ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 8、如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ） A．∠B＝∠C，BD＝DC B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．BD＝DC，AB＝AC 9、如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．下列结论： ①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（ ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 10、如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（ ） A．2 B．3 C． D． 三、综合题 11、如图，点B在射线AE上，∠CAE＝∠DAE，∠CBE＝∠DBE．求证：AC＝AD． 显示答案 证明：∵∠CBE＝∠DBE，∴∠ABC＝∠ABD． 又∵∠CAE＝∠DAE，AB＝AB，∴△ACB≌△ADB， ∴AC＝AD． 12、如图，C为线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）若∠D＝50°，求∠B的度数． 显示答案 解：（1）证明：∵CD平分∠ACE，∴∠1＝∠2． ∵CE平分∠DCB，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3． ∵CD＝CE，AC＝BC，∴△ACD≌△BCE． （2）由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠D＝∠E＝50°， ， ∴∠B＝70°． 13、如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD，线段AC上的两点E、F关于点O成中心对称，求证：BF＝DE． 显示答案 证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C，∠ABO＝∠CDO， 又∵AB＝CD，∴△ABO≌△CDO，∴OB＝OD． ∵E、F关于点O成中心对称，∴OE＝OF． 又∵∠EOD＝∠FOB，∴△DOE≌△BOF，∴BF＝DE． 14、已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE＝DF． 显示答案 证明：连AD．∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD．∴∠BAD＝∠CAD． ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF． 15、如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E为BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD． 显示答案 证明：延长DE交AB延长线于F． ∵∠C＝∠EBF，∠DEC＝∠FEB，CE＝BE，∴△CDE≌△BFE． ∴DE＝FE，∠CDE＝∠F． ∵DE平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠ADF＝∠F． ∴AD＝AF．又∵DE＝FE， ∴AE平分∠DAF（等腰三角形“三线合一”性质）． 等腰三角形与直角三角形 考点回顾： 1、等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两底角相等； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． ③等边三角形的各角相等，都等于60°． 2、等腰三角形的判定 ①等角对等边； ②有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形． 3、直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2＋b2＝c2； 若一个三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，则这个三角形为直角三角形． 4、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等；到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 考点精讲精练： 例1、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于E，垂足为D，则∠EBC的度数为__________． 解： ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C． ∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°． ∵DE为AB的垂直平分线， ∴ EA＝EB．∴∠ABE＝∠A＝36°． ∴ ∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝72°－36°＝36°． 答案：36° 变式练习1 已知，如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于F，交BC的延长线于E．求证：∠CAE＝∠B． 答案： ∵EF为AD的垂直平分线， ∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA． 又∠ADE＝∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAE，∠BAD＝∠DAC， ∴∠CAE＝∠B． 例2、如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD交于点F， H是BC边的中点，连DH与BE交于点G．（1）求证：BF＝AC；（2）求证：BG的大小关系如何？证明你的结论． ；（3）CE与 提示： （1）证△BDF≌△CDA，∴BF＝AC； （2）证△BEA≌△BEC， （3）连CG，则BG＝CG，∴BG＝CG＞CE． 变式练习2 ； 如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别为∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE． （1）求证：DA⊥AE； （2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论． 答： （1），∴DA⊥AE； （2）AB＝DE．∵四边形AEBD为矩形，∴AB＝DE． 例3、如图，△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为AC的延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于点F，求证：DF＝EF． 证明： 过D作DH∥AE交BC于H．则∠DHB＝∠ACB，∠DHF＝∠ECF． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∠B＝∠DHB．∴DB＝DH． ∵ DB＝EC，∴DH＝EC． 又 ∵ ∠DHF＝∠ECF，∠DFH＝∠EFC， ∴ △DHF≌△ECF．∴DF＝EF． 变式练习3 如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上任一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC＝4，则DE＋DF＝__________． 答案： 连AD，作AH⊥BC于H． ∵， ∴ 又 ∵AB＝BC＝CA， ∴ DE＋DF＝AH． ． 在Rt△ABH中，AH＝sin60°·AB＝， ∴DE＋DF＝． 例4、如图，CA⊥AB于点A，CE⊥BE于点E，连AE，M为BC的中点，N为AE的中点，连MN，求证：MN⊥AE． 证明： 连MA，ME， 则MA＝BC，ME＝BC， ∴MA＝ME． ∵N为AE的中点，∴MN⊥AE． 变式练习4 如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AM为BC边上的中线，且AM＝4，求△ABC的周长． 解： ∵∠B＝60°，∠C＝30°， ∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝90°， 又∵AM是BC边上的中线， ∴AM＝BC， 又∵AM＝4， ∴BC＝2AM＝8， 在Rt△ABC中，∠C＝30°， ∴AB＝BC＝4，， ∴△ABC的周长为：AB＋BC＋AC＝． 备考模拟 一、填空题 1、△ABC中，∠A＝80°，∠B和∠C的平分线交于点O，则∠BOC＝__________． 2、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为12cm，AC＝5cm，则△ABC的周长为__________cm． 3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若BD＝10cm，则AC＝__________． 4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC，交BC于D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为__________． 5、如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′＝30°，则∠BEA′＝__________． 显示答案 答案： 1、130° 2、17 3、5cm 4、4 5、60° 二、选择题 6、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）． A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 7、如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ） A．P为∠A、∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC、AB两边上的高的交点 D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 8、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）cm． A．5 B．4 C．3 D．2 9、如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（ ） A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP 10、如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q为射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、综合题 11、如图，P为∠BAC内的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AE＝AF．求证：①PE＝PF；②点P在∠BAC的平分线上． 显示答案 解：①证明：连AP，则△AFP≌△AEP，∴PE＝PF； ②∵PE＝PF，PE⊥AB，AF⊥AC， ∴点P在∠BAC的平分线上． 12、如图，正方形ABCD中，F为CD的中点，E为BC上一点，且 显示答案 ．证明：AF⊥EF． 证明：连AE．设CE＝a，则BE＝3a，DF＝2a，AB＝AD＝4a． 在Rt△ABE中，AE2＝（4a）2＋（3a）2＝25a2， 在Rt△ECF中，EF2＝a2＋（2a）2＝5a2， 在Rt△ADF中，AF2＝（4a）2＋（2a）2＝20a2． ∵AF2＋EF2＝20a2＋5a2＝25a2＝AE2， ∴∠AFE＝90°，∴AF⊥EF． 13、如图，OE、OF分别为△ABC的AB、AC的垂直平分线，∠OBC、∠OCB的平分线交于I．求 证：OI⊥BC． 显示答案 证明：连OA．∵OE、OF分别为AB、AC的垂直平分线， ∴OB＝OA＝OC． ∵BI、CI分别平分∠OBC、∠OCB， ∴OI为∠BOC的平分线．∴OI⊥BC． 14、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数． 显示答案 解：如图（1），当DE交边AC于E时，∠B＝65°； 如图（2），当DE交CA的延长线时，∠B＝25°. ∴∠B的度数为65°或25°． （1） （2） 15、已知，如图，BD＝DC，ED⊥BC交∠BAC的平分线于E，作EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM＝CN． 显示答案 证明：连EB，EC． ∵BD＝DC，ED⊥BC，∴EB＝EC． ∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC， ∴EM＝EN． ∵EB＝EC，EM＝EC， ∴Rt△EBM≌Rt△ECN（HL）． ∴BM＝CN． 多边形与平行四边形 考点回顾： 1、在平面内，各内角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形． 2、n边形的内角和为（n－2）·180°，外角和为360°． 3、两组对边分别平行的四边形叫平行四边形． 4、平行四边形的性质： ①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等； ③平行四边形的两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分． 5、平行四边形的判定 ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 考点精讲精练： 例1、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是__________． 解： 设这个多边形为n边形，则（n－2）·180°＝360°，∴n＝4． 答案：4 变式练习1 一个凸多边形的内角和等于0°，则它的五个内角中锐角最多有__________个． 答： （n－2）·180°＝0°，n＝5． ∵它的五个外角中最多有3个钝角，∴它的内角中最多有3个锐角． 例2、如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F在AC上，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG．求证：GF∥HE． 证明： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC， 即OE＝OF，同理OE＝OH． ∴四边形EGFH为平行四边形，∴EH∥GF． 变式练习2 如图，□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，如果AC＝12，BD＝10，AB＝m，则m的取值范围是__________． 答案： AO＝6，BO＝5，∴6－5＜AB＜6＋5，即1＜AB＜11． 例3、如图，E、F分别为□ABCD的CD、BA边上的点，且DE＝BF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若M、N分别为AE、CF的中点，连MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论． 证明： （1）在□ABCD中， AD＝CB，∠D＝∠B． 又∵DE＝BF， ∴△ADE≌△CBF． （2）四边形MFNE为平行四边形． ∵△ADE≌△CBF， ∴CE＝AF． ∵M、N分别为AE、CF的中点， ∴ME＝FN． ∵DC＝AB，DE＝BF， ∴CE＝AF． ∵CE∥AF， ∴四边形BFDE为平行四边形． ∴ME∥FN． ∴四边形MFNE为平行四边形． 变式练习3 如图，在□ABCD中，点E为CD的中点，连BE并延长，交AD的延长线于点F，求证：DF＝AD． 证明： 在□ABCD中，AD＝BC，AD∥BC． ∴∠F＝∠ECB，∠FDE＝∠C． ∵E为CD的中点，∴DE＝EC． ∴△DFE≌△DBE，∴DF＝CB(视频中DE应为DF)．∴DF＝AD． 例4、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连DF． （1）证明：AC＝EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 证明： （1）∵∠BAC＝30°，F为AB的中点， ．又∵AE＝BA， ∴Rt△ACB≌Rt△EAF，∴AC＝EF． （2）∵AD＝AC，AC＝EF，∴AD＝EF． ∵∠DAB＝90°＝∠AFE，∴DA∥EF， ∴四边形ADFE为平行四边形． 变式练习4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，连CE，过点E作ED⊥BC于D，在DE的延长线上取点F，使AF＝CE．求证：四边形ACEF是平行四边形． 证明： ∵点E为AB中点，∴AE＝EB. 又∵∠ACB＝90°， ∴CE＝AE＝EB， 又∵AF＝CE， ∴AF＝AE， ∴∠3＝∠F， 又EB＝EC，ED⊥BC， ∴∠1＝∠2（三线合一）， 又∠2＝∠3， ∴∠1＝∠F， ∴CE∥AF， ∴四边形ACEF是平行四边形． 备考模拟 一、填空题 1、已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________． 2、若凸多边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数为__________． 3、在□ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，若S△AOB＝10，则S□ABCD＝__________． 4、若一个平行四边形的边长为10，一条对角线长为8，则它的另一条对角线m的取值范围是________． 5、已知一个四边形的三个角的度数之比为1∶2∶3，第四个角比前三个角中最大一个角小9°，则这个四边形的四个内角度数分别为__________． 6、在□ABCD中，已知AB＝6cm，AD＝8cm，DE平分∠ADC，交BC于点E，则BE＝__________cm． 7、如图，在□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数为__________度． 8、如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12cm，F在AB上，过F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于D，则四边形BDEF的周长为__________． 显示答案 答案： 1、6 2、6 3、40 4、12＜m＜28 5、41°，82°，123°，114° 6、2 7、45 8、24cm 二、选择题 9、以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 10、一个凸多边形的内角和为1080°，那么这个多边形的对角线的条数为（ ）． A．5 B．9 C．15 D．20 三、综合题 11、已知，如图，E、F为□ABCD的对角线AC上两点，AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）BE∥DF． 显示答案 证明： （1）在□ABCD中， AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF． 又∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF． （2）∵△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴∠DFE＝∠BEF， ∴BE∥DF． 12、已知，如图，四边形ABCD为平行四边形，且∠EAD＝∠BAF． （1）求证：△CEF为等腰三角形； （2）△CEF的哪两边之和恰好等于□ABCD的周长？请证明你的结论． 显示答案 解：（1）证明：在□ABCD中， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠EAD＝∠F． 同理∠BAF＝∠E． ∵∠EAD＝∠BAF， ∴∠E＝∠F， ∴CE＝CF． 即△CEF为等腰三角形． （2）CF＋CE＝□ABCD的周长， 由（1）知BA＝DF，AD＝ED， ∴AB＋BC＋CD＋DA＝BF＋BC＋CD＋DE＝CF＋CE． 13、已知，如图，□ABCD中，E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF为平行四边形． 显示答案 证明：连BD，交AC于O． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF． ∴OE＝OF．∴四边形BEDF为平行四边形． 14、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC为等边三角形，若AC＝8，AB＝5，求ED的长． 显示答案 解：在□ABCD中，OA＝OC． ∵EA＝EC，∴EO⊥AO． 在Rt△AOB中，AO＝4，AB＝5， ∴BO＝3，∴OD＝3． 在Rt△AEO中，OA＝4，AE＝8， 15、如图，在□ABCD中，E为BC边的中点，连AE，F为CD边上的点，且满足∠DFA＝2∠BAE．（1）若∠D＝105°，∠DAF＝35°，求∠FAE的度数；（2）求证：AF＝CD＋CF． 显示答案 解：（1）∵∠D＝105°，∠DAF＝35°， ∴∠DFA＝180°－∠D－∠DAF＝40°． 在□ABCD中，AB∥CD， ∴∠DFA＝∠FAB＝40°． ∵∠DFA＝2∠BAE， ∴∠FAB＝2∠BAE．即∠FAE＋∠BAE＝2∠BAE． ∴∠FAE＝∠BAE， 又∵∠FAB＝∠FAE＋∠BAE＝40°， ∴2∠FAE＝40°， ∴∠FAE＝20°． （2）证明：在AF上截取AG＝AB，连EG，CG． ∵∠FAE＝∠BAE，AE＝AE，∴△AEG≌△AEB． ∴EG＝BE，∠B＝∠AGE． 又∵E为BC的中点，∴CE＝BE． ∴EG＝EC，∴∠EGC＝∠ECG． ∵AB∥CD，∴∠B＋∠BCD＝180°． 又∵∠AGE＋∠EGF＝180°，∠AGE＝∠B， ∴∠BCF＝∠ECF， 又∵∠EGC＝∠ECG， ∴∠FGC＝∠FCG， ∴FC＝FG． 又∵AG＝AB，AB＝CD， ∴AF＝AG＋GF＝AB＋FC＝CD＋FC． 特殊的平行四边形 考点回顾： 1、矩形的性质和判定 性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；（4）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形． 判定：（2）有一个是直角的平行四边形叫矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形． 2、菱形的性质与判定 性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形． 判定：（1）一组邻边相等的平行四边形叫菱形；（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形． 3、正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形，或有一个角为直角的菱形是正方形． 考点精讲精练： 例1、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE． （1）求证：DA⊥AE； （2）试判断AB和DE是否相等？并证明你的结论． 证明： （1）∵AE、AD分别平分∠BAF，∠BAC， ∴AD⊥AE． （2）答：AB＝DE． ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC．∠BDA＝90°． 又∵∠BEA、∠DAE都为直角， ∴四边形ADBE为矩形． ∴AB＝DE． ， 变式练习1、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连AE，交BC于F． （1）求证：△ABF≌△ECF； （2）若∠AFC＝2∠D，连AC，BE，求证：四边形ABEC为矩形． 证明： （1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ABCD．又∵CE＝CD，∴ABEC， ∴四边形ABEC为平行四边形， ∴ AF＝EF，BF＝CF，又∠AFB＝∠EFC， ∴△ABF≌△ECF． （2）在□ABCD中，∠ABC＝∠D． ∵∠AFC＝2∠D＝2∠ABC＝∠ABC＋∠BAF， ∴∠ABF＝∠BAF，∴FA＝FB， ∵FA＝FE，FB＝FC，∴FA＝FB＝FE＝FC． ∴BC＝EA，∴四边形ABEC为矩形． 例2、在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，过D点作DE∥AC，交BC的延长线于点E，如图所示． （1）求△BDE的周长； （2）点P为线段BC上的点，连PO并延长交AD于点Q，求证：BP＝DQ． 解： （1）在菱形ABCD中， AC⊥BD，且OB＝OD． ∵AB＝5，AC＝6， ∴OA＝3．∴BD＝8． ∵AD∥BC， ∴AD∥CE， 又∵AC∥DE， ∴四边形ACED为平行四边形． ∴DE＝AC＝6． BE＝2BC＝2AB＝10． ． ∴△BDE的周长为8＋6＋10＝24． （2）证明：在菱形ABCD中，DA∥BC， ∴∠ODQ＝∠OBP，∠OQD＝∠OPB． 又OD＝OB，∴ △BPO≌△DQO． ∴BP＝DQ． 变式练习2、如图，DE为□ABCD的∠ADC的平分线，EF∥AD交DC于F． （1）求证：四边形AEFD为菱形； （2）若∠A＝60°，AD＝5，求菱形AEFD的面积． 证明： （1）∵DF∥AE，AD∥EF， ∴ 四边形AEFD为平行四边形． ∴∠FDE＝∠AED． ∵DE为∠ADC的平分线， ∴∠ADE＝∠FDE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE． ∴□ABCD为菱形． （2）∠A＝60°，AD＝AE， ∴△ADE为等边三角形． 例3、如图，在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO＝FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明结论； （3）在（2）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形？证明你的结论． 解： （1）∵EF∥BC， ∴∠OEC＝∠ECB， ∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE， ∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF． （2）当点O为AC的中点时，四边形AECF为矩形． ∵OA＝OC＝OE＝OF， ∴四边形AECF为矩形． （3）当∠ACB＝90°时，为正方形． ∵当∠ACB＝90°时，∵MN∥BC， ∴∠AOE＝90°， ∴AC⊥EF． ∴矩形AECF的对角线互相垂直， ∴四边形AECF为正方形． 变式练习3、已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF． （1）求证：BE＝DF； （2）连AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？证明你的结论． 证明： （1）∵ AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，AE＝AF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴BE＝DE． （2）四边形AEMF为菱形， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC． ∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF． 即CE＝CF，∴OE＝OF． ∵OM＝OA，∴四边形AEMF为平行四边形． ∵AE＝AF，∴□AEMF为菱形． 备考模拟 一、填空题 1、如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝__________． 2、如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为__________cm2． 3、如图，四边形ABCD为矩形，点E在线段CB的延长线上，连DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为__________． 4、如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小可以为__________． 5、如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积等于__________cm2． 6、①如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD边上的中点，则四边形EFGH为__________． ②若ABCD为平行四边形，则EFGH为__________． ③若ABCD为矩形，则EFGH为__________． ④若ABCD为菱形，则EFGH为__________． 显示答案 答案： 1、135° 2、 3、 5、 4、15°；或165° 6、①平行四边形；②平行四边形；③菱形；④矩形 二、选择题 7、如图，四边形ABCD是菱形，△AEF为正三角形，点E、F分别在边BC，CD上，且AB＝AE，则∠B＝（ ）． A．60° B．80° C．100° D．120° 8、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折叠为EF，若∠EFC′＝125°，则∠ABE的度数为（ ）． A．15° B．20° C．25° D．30° 9、如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F分别为边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值为（ ）． A．3 B．4 C．5 D．6 10、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB于E，①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④ ，则下列结论中正确的个数有（ ）． ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长为（ ）． A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4 三、综合题 12、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）试判断四边形OCED的形状，并证明理由． （2）若AB＝6，BC＝8，求S四边形OCED． 显示答案 解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形． 又∵矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形OCED为菱形． （2）连OE．则四边形BCEO为平行四边形，∴OE＝BC＝8． ． 13、如图，边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连DP交AC于点Q． （1）试证明：无论P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； （2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积为正方形ABCD面积的 显示答案 ？ 解：（1）∵AD＝AB，∠DAQ＝∠BAQ，AQ＝AQ，∴△ADQ≌△ABQ． （2）△ADQ的面积恰好为正方形ABCD面积的时，过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB 于F，则QE＝QF，． 由△DEQ∽△DAP得，解得AP＝2． ∴当AP＝2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的． 14、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，，∠C＝30°． 点D从点C出发沿CA方向以每 秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到 达终点时，另一个点随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒，过点D作DF⊥BC于点F，连DE、EF． （1）求证：AE＝DF； （2）四边形AEFD能成为菱形吗？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由． 显示答案 解：（1）在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，∴DF＝t． 又∵AE＝t，∴AE＝DF． （2）能．理由如下： ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF． 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形． ∴AC＝2AB＝10． ∴AD＝AC－DC＝10－2t． 若使□AEFD为菱形，则需AE＝AD＝10－2t，即. 即当时，四边形AEFD为菱形 梯形 考点回顾： 1、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形；两腰相等的梯形叫等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫直角梯形． 2、等腰梯形的性质：等腰梯形的同一底上的两底角相等，等腰梯形的对角线相等． 3、等腰梯形的判定： ①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． ②对角线相等的梯形是等腰梯形． 4、三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 5、梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于底边，且等于两底和的一半． 考点精讲精练： 例1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，梯形ABCD的周长为26，BE＝4，则△DEC的周长为__________． 答案： AD＝BE＝4，∴AB＋DC＋EC＝AB＋BC＋CD＋DA－AD－BE＝26－4×2＝18． ∵DE＝AB，∴DE＋DC＋EC＝18． 变式练习1 若等腰梯形的三边长为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为（ ） A．21 B．29 C．21或29 D．21，22，或29 解析： 当腰为3，或4时，梯形不存在． 答案：B 例2、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积为49cm2，求梯形的高． 解： 如图，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E． ∵AC⊥BD，∴AC⊥AE．又∵AD∥EB， ∴四边形AEBD是平行四边形，∴AE＝BD，EB＝AD． 又∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴AE＝AC． ∴△AEC是等腰直角三角形，∵AF为斜边上的高，∴AF为斜边上的中线． ∴AF＝7cm． 变式练习2 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝4，AC＝3，BD＝4，求梯形面积． 解： 如图，作DE∥AC交BC的延长线于E． ∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形． ∴AD＝CE，AC＝DE． 在△BDE中，BD＝4，DE＝3，BE＝1＋4＝5． ∵BD2＋DE2＝BE2，∴∠BDE＝90°． ． ∵AD∥BC，∴S△BAD＝S△DCE，∴S梯形ABCD＝S△BDE＝6． 例3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，若BC＝12cm，则AB＋AD＝__________． 解： 过A作AE∥DC交BC于E，则四边形AECD为平行四边形，且BA＝BE，∴AB＋AD＝BE＋EC＝BC＝12cm． 变式练习3 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，BD＝BC，求等腰梯形各内角的度数． 解： 在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝∠DCB． ∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDA． ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB． ∴∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC， ∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2∠DBC． 在△BDC中，5∠DBC＝180°，∴∠DBC＝36°． ∴∠C＝72°，∠ABC＝72°，∠BAD＝∠CDA＝108°． 例4、如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°．过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连EF．求证：△DEF为等边三角形． 证明： ∵DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，∴∠ABC＝∠A＝60°． 又∵BD平分∠ABC，． ∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝30°．∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD． ∵CF⊥BD，∴F为BD中点，∵DE⊥AB，∴DF＝BF＝EF． ∵∠ABD＝30°，∴∠BDE＝60°，∴△DEF为等边三角形． 变式练习4 1、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，AD⊥CD，AB＝BC，且AE⊥BC于E．求证：CD＝CE． 证明： 连AC，∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB． ∵AB＝BC，∴∠BCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠BCA． ∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D＝∠AEC＝90°． 又∵AC＝AC，∴△ADC≌△AEC，∴CD＝CE． 2、已知：在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，四边形EFDH是等腰梯形吗？为什么？ 解：四边形EFDH是等腰梯形． ∵AH⊥BC，AD＝BD， ∵AD＝BD，AF＝CF，∴DF∥BC． ∵BE＝CE，AF＝CF． ． ，∴DH＝EF． ∵DF∥BC，EF与DH不平行， ∴四边形DHEF为等腰梯形． 备考模拟 一、选择题 1、如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4cm，AD＝5cm，∠C＝30°，则BC＝（ ）cm． A． B． C．8 D． 2、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，若∠D＝110°，∠ACD＝30°，则∠BAC＝（ ） A．80° B．90° C．100° D．110° 3、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，且AE＝AD，BC＝3AD，则∠B＝（ ） A．30° B．45° C．60° D．135° 4、四边形的四个内角的度数比为2∶3∶3∶4，则这个四边形是（ ） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．平行四边形 D．不能确定 5、以线段a＝16，b＝13为梯形的两底，c＝10，d＝6为腰画梯形，这样的梯形（ ） A．只能画出1个 B．能画出2个 C．能画出无数个 D．不能画出 二、填空题 6、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，AD＝8，BC＝11，则CD＝__________． 7、等腰梯形的腰长5cm，上、下底的长分别为6cm和12cm，则它的面积为__________cm2． 8、已知等腰梯形的两底分别为10cm和20cm，一腰长为 ，则它的对角线长为__________cm． 9、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，若∠B＝30°，AD＝2cm，BC＝6cm，则梯形的周长为__________． 10、梯形上、下底的长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a的取值范围是__________． 答案： 6、3 7、36 8、17 9、三、综合题 10、5＜a＜9 11、已知：如图，在△ABC中，M为AB的中点，D为边BC延长线上一点， 交AC于点N． （1）求证：MN∥BC； （2）猜想：当∠ACB为何值时，四边形BDNM为等腰梯形？证明你的猜想． 显示答案 ，作DN∥CM， 证明：（1）延长CD至F，使DF＝CD，连AF．，CD＝DF，∴BC＝CF． ∵BM＝AM，∴MC∥AF．∵MC∥DN，∴ND∥AF．又∵CD＝DF，∴CN＝ AN．∴MN∥BC． （2）当∠ACB＝90°时，四边形BDNM是等腰梯形．理由如下： ∵MN∥BD，BM与DN不平行，∴四边形BDNM是梯形． ∵∠ACB＝90°，BM＝AM，∴CM＝BM＝AM，∵MC∥ND，MN∥BC， ∴四边形MCDN为平行四边形．∴CM＝DN，∴BM＝DN． ∴四边形BDNM为等腰梯形． 12、如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝DC，AD＝2，BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD． （1）证明：△BAD≌△DCE； （2）若AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值． 显示答案 证明：（1）∵AD∥BC，∴∠CDA＝∠DCE．又∵四边形ABCD为等腰梯形．∴∠BAD＝∠CDA．∴∠BAD＝∠DCE．∵AB＝DC，AD＝CE，∴△BAD≌△DCE． （2）∵AD＝CE，AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形． ∴AC∥DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD． 由（1）可知△BAD≌△DCE，∴DE＝BD． ∴△BDE是等腰直角三角形，即∠E＝45°．∴DF＝FE＝FC＋CE． ∵四边形ABCD为等腰梯形，且AD＝2，BC＝4，∴FC＝1． ∵CE＝AD＝2，∴DF＝FE＝3． 13、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，AD＝5，BC＝12， ，∠C＝ 45°，点P为BC边上一动点，设PB的长为x． （1）当x的值为__________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是直角梯形； （2）当x的值为__________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形； （3）点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形吗？说明理由． 显示答案 解：（1）3或8； （2）1或11； （3）由（2）知，当BP＝11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形． ∴EP＝AD＝5．过D作DF⊥BC于F，则DF＝FC＝4， ， ∴FP＝3． ∴EP＝DP，∴此时□PDAE为菱形． 14、已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M，点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA． （1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB； （2）求证：． 答案：证明：（1）连MD．∵点E为DC的中点，ME⊥DC， ∴MD＝MC．又∵AD＝CF，MF＝MA，∴△AMD≌△FMC． ∴∠MAD＝∠MFC＝120°．∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝90°，∴∠MAB＝30°． 在Rt△AMB中，∠MAB＝30°，，即AM＝2BM． （2）∵△AMD≌△FMC，∴∠ADM＝∠FCM． ∵AD∥BC，∴∠ADM＝∠CMD．∴∠CMD＝∠FCM． ∵DE＝EC，ME⊥DC，． ． 在Rt△MBP中， 圆的有关概念与性质 考点回顾： 1、圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合． 2、点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外内 d＜r． d＞r，点P在圆上d＝r，点P在圆 3、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧． 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧； 推论2：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧； 推论3：弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧． 4、在同圆或等圆中，等弦 等弧 等圆心角． 5、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 6、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对弦相等． 7、半圆（或直径）所对的圆周角相等，90°的圆周角所对的弧相等． 8、圆内接四边形的对角互补． 考点精讲精练： 例1、如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若，则⊙O的半径为（ ）． A．解： B． C． D． 连OA．设AB与OC交于D，则，设OA＝r，则，由勾股定理得 ，，故选A． 变式练习1、如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为__________． 解： 作OF⊥CD于F，OP⊥AB于P． ∴OP＝1，连OA，则． 例2、在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB＝6分米，若再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）分米． A．6 B．8 C．10 D．12 解： 设油面上升1分米到A′B′，则A′B′＝8分米，AB＝6分米，过点O作OC⊥AB于点E，交A′B′于点D，则ED＝1分米， 设OD＝x分米，则32＋（x＋1）2＝42＋x2，∴x＝3． ，∴MN＝10（分米），选C． 变式练习2、一批游客乘坐游轮高出水面6.6m，顶宽10.2m，赵州桥拱高CD＝7.2m，所在圆弧的半径R＝27.9m，如图所示． （1）此游轮能否顺利通过该桥？ （2）若在汛期河面涨高0.2m，此时该游轮是否可以通过赵州桥？ 答案： （1）如图，作OC⊥AB于D，在OC上取DG＝6.6m，过G作EF⊥DG交圆弧于E、F． ∵CD＝7.2m，R＝27.9m，∴CG＝7.2－6.6＝0.6m，OG＝R－CG＝27.3m． 在Rt△EGO中，EG2＝EO2－GO2＝27.92－27.32， ∴EG＝5.75m，∴EF＝2EG＝11.5m＞10.2m， ∴该游轮可以通过． （2）此时CG＝0.4m，∴OG＝27.5m， ，∴5.1＞EG，∴游轮不能通过． 例3、如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，求∠ACD的度数． 解： ∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∵∠BAD＝50°，∴∠B＝40°，∴∠ACD＝∠B＝40°． （视频中∠ACB应为∠ACD） 变式练习3、如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD＝DO，以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连EF．若∠BAC＝22°，求∠EFG的度数． 解： ∵AD＝DO，∴∠DOA＝∠A＝22°，， ∴∠EFG＝∠A＋∠AEF＝22°＋11°＝33°． 例4、一个圆形人工湖如图所示，弦AB为湖上的一座桥，已知桥长AB＝100m，测得圆周角∠ACB＝45°，求这个人工湖的直径AD的长． 解： 连BD，则∠ADB＝∠ACB＝45°，又∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝45°，∴AB＝BD＝100．又AD2＝AB2＋BD2， ． 变式练习4、如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，D为垂足，E是证明： 连AO并延长交⊙O于F，连接BF， 的中点，求证：∠EAO＝∠EAD． 则∠ABF＝90°，∵∠ADC＝90°，∠F＝∠C，∴∠BAO＝∠CAD， ∵E是的中点，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠EAO＝∠EAD． 备考模拟 一、选择题 1、如图，⊙O的弦AB＝8，M为AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ） A．8 B．2 C．10 D．5 2、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（ ） A．16 B．10 C．8 D．6 3、已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB、CD之间的距离为（ ）cm． A．17 B．7 C．12 D．17或7 4、如图，已知 ，弦BD与AC相交于点P，∠BPC＝80°，则∠ACD＝（ ） A．40° B．30° C．25° D．20° 二、填空题 5、如图，⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__________cm． 6、如图，△ABC为⊙O 的内接三角形，AB为⊙O 的直径，点D为⊙O 上一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为__________． 7、如图，海边有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB＝80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为__________． 8、如图，⊙O 的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，BE＝1， ，则∠AED＝ __________． 9、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E是AB的中点，以B为圆心，BC为半径作圆，则点E在⊙B的__________． 10、等边三角形的外接圆半径为8cm，则这个三角形的面积为__________． 显示答案 答案： 5、24 6、35° 7、40° 8、30° 9、内部 10、三、综合题 11、如图，已知AB为⊙O 的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，连AC、OC、BC． （1）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的半径； （2）求证：∠ACO＝∠BCD． 显示答案 解：（1）设⊙O的半径为r，则OE＝r－8，． 在Rt△CEO中，OC2＝OE2＋CE2，∴r2＝（r－8）2＋122，∴r＝13． （2）∵AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD，∴CE＝ED， ． ∴∠BCD＝∠BAC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠ACO＝∠BCD． 12、如图，半径为 的⊙O 内有互相垂直的两条弦AB，CD交于P点．（1）设BC的中点为F， 显示答案 连FP并延长交AD于E．求证：EF⊥AD；（2）若AB＝8，CD＝6，求OP的长． 解：（1）证明：∵F为BC的中点，△BPC为直角三角形，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又 ∵∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE． ∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD． （2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由垂径定理得 ，可证四边形MONP为矩形， ，． 13、如图，⊙O 的直径AB＝4，∠ABC＝30°，的位置关系，并说明理由． 显示答案 ，D是线段BC的中点，试判断D与⊙O 解：点D在⊙O上，理由如下： 连OD，作OF⊥BC于点F，在Rt△BOF中，，∠B＝30°， ， 中， ， ，∴点D在⊙O上． ，．在Rt△ODF 14、如图，AB为⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求 显示答案 证：CF＝BF；（2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长． 解：（1）证明：连AC． ∵C为 的中点，∴∠BDC＝∠DBC．在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠BCE＝∠BAC．又∵∠BDC＝∠BAC， ∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF． （2）解：∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB，∴∠BEF＝∠ADB＝90°． 在Rt△ADB与Rt△FEB中，∵∠ABD＝∠FBE，∴△ADB∽△FEB， ∴CF＝3EF．由勾股定理得 ∴BF＝3EF．又∵BF＝CF， ． 又∵△EBC∽△ECA， ∴（CF＋EF）2＝（6－BE）·BE． ．即CE2＝AE·BE． 与圆有关的位置关系 考点回顾： 1、点与圆的三种位置关系：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，点在圆内＝r；点在圆外 d＞r； 直线l与圆相离；dd＜r；点在圆上 d 2、直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则d＞r＝r 直线l与圆相切；d＜r 直线l与圆相交． 3、切线的判定方法：①定义；②和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线． 4、切线的性质：①切线和圆心的距离等于半径；②切线垂直于过切点的半径； 5、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 6、和三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形三个内角平分线的交点． 7、设两圆的半径分别为R，r（R≥r＞0），圆心距为d，则d＞R＋r切；R－r＜d＜R＋r考点精讲精练： 例1、如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA＝40°，求∠ADC的度数． 解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°． ∵∠OBA＝40°，∴∠AOB＝50°，∴∠ADC＝25°． 变式练习1 如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的长为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（ ） 两圆相交；d＝R－r 两圆内切；d＜R－r 两圆外离；d＝R＋r两圆内含． 两圆外 A． B． C．3 D．2 答案： 连OP，OB，则△OBP是一个直角三角形． ∵OB的长不变，∴当OP最小时，PB最小． 当OP⊥l时，OP最小，此时，故选B． 例2、如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线． 证明：连OE，DE．∵CD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠CED＝90°． ∵G为AD的中点，，∴∠GED＝∠GDE． ∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＋∠GED＝∠ODE＋∠GDE， ∴∠OEG＝∠ODG＝90°，∴CE是⊙O的切线． 变式练习2 如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若∠ACB＝120°，OA＝2，求CD的长． 答案：（1）解：CD与⊙O相切，理由如下： 连OC． ∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB． 设OC交AB于E，则OC⊥AB，AE＝BE． ∵AB∥CD，∴OC⊥CD， ∴CD与⊙O相切． （2）∵CD∥AB，OC⊥DC，∴OC⊥AB，又∠ACB＝120°，∴∠OCA＝∠OCB＝60°， ∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠D＝90°－∠DOC＝90°－60°＝30°． 在Rt△DCO中，OD＝2OC＝2×2＝4， ． 例3、如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，且⊙O的直径BD＝6，连CD，AO．求证：CD∥AO． 证明： 连CO．∵AC、AB分别切⊙O于C，B， ∴AO平分∠CAB，∠ACO＝∠ABO＝90°，∴∠COA＝∠BOA． ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠COB＝∠OCD＋∠ODC， ∴∠AOC＝∠DCO，∴CD∥AB． 变式练习3 1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径． 证明：（1）连OA．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∵DA平分∠BDE， ∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴OA∥DE． ∵AE⊥CD，∴∠3＋∠4＝∠1＋∠4＝90°．∴∠OAE＝90°，即OA⊥AE． ∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线． （2）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°． ∵∠AED＝90°，∴∠BAD＝∠AED． 又∵∠2＝∠3，∴△BAD∽△AED． ∵AB＝4，AE＝2， ． ∴BD＝2AD．在Rt△BAD中，由勾股定理得． ∴⊙O的半径为． 2、如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝2，BD＝3，求AB的长． 答案：（1）如图，过O点作OE⊥CD，垂足为E． ∵CO平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ECO ∵AC是切线，∴OA⊥AC，∠OAC＝∠OEC． 又OC＝OC，∴△OAC≌△OEC． ∴OA＝OE．∵OE⊥CD于E，∴CD是⊙O的切线． （2）过C作CF⊥BD，垂足为F. ∵AC，CD，BD是切线， ∴AC＝CE＝2，BD＝DE＝3．∴CD＝CE＋DE＝5． ∵∠CAB＝∠ABD＝∠CFB＝90°，∴四边形ABFC是矩形． ∴BF＝AC＝2，DF＝BD－BF＝1． 在Rt△CDF中，CF2＝CD2－DF2＝52－12＝24，． 例4、如图，⊙A，⊙B的圆心A、B在直线l上，两圆半径都为1cm，开始时圆心距AB＝4cm，现⊙A、⊙B同时沿直线l以2cm/s的速度相向移动，则当两圆相切时，求⊙A运动的时间． 解： 假定⊙B不动，则⊙A以4cm/s的速度向⊙B移动．当⊙A第一次与⊙B相切时，⊙A运动了2cm，则 运动时间为；当⊙A第二次与⊙B相切时，⊙Q运动了6cm，则运动时间为 备考模拟 一、选择题 1、两圆的圆心坐标分别为 和（0，1），它们的半径分别为3和5，则这两个圆的位置关系 是（ ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 2、在平面直角坐标系中，以点（－3，4）为圆心，4为半径的圆（ ） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 3、如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，∠B＝25°，则∠D＝（ ） A．25° B．40° C．30° D．50° 4、已知两圆的半径R，r分别为方程x2－5x＋6＝0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系为（ ） A．相离 B．内切 C．相交 D．外切 5、已知⊙O1与⊙O2外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距O1O2的长为（ ） A．O1O2＝1 B．O1O2＝5 C．1＜O1O2＜5 D．O1O2＞5 二、填空题 6、在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，若⊙M与y轴相切，则m＝__________；若⊙M与y轴相交，则m的取值范围为__________． 7、△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，以点B为圆心，6cm为半径作⊙B，则边AC所在直线与⊙B的位置关系为__________． 8、如图，平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x轴的正半轴上，若以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为__________． 9、如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，圆心的坐标为（1，0），⊙P 与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有__________个． 10、如图，⊙O1和⊙O2的半径分别为1和3，连O1O2，交⊙O2于点P，O1O2＝8，若将⊙O1绕点P顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切了__________次． 显示答案 答案： 6、±2；－2＜m＜2 7、相切 8、 9、3 10、3 三、综合题 11、如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点P，CP交⊙O于点D． （1）求证：AP＝AC； （2）若AC＝3，求PC的长． 显示答案 解：（1）证明：连AO，则AO⊥PA，∵∠AOC＝2∠B＝120°， ∴∠AOP＝60°，∴∠P＝30°．又∵OA＝OC，∴∠ACP＝30°． ∴∠P＝∠ACP．∴AP＝AC． （2）在Rt△PAO中，∠P＝30°，PA＝3． ， ， 12、如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，连DB．过点D作DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）求证：DB2＝AB·BE． 显示答案 解：（1）证明：连OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°． ∵AB＝BC，∴D为AC的中点．∵O为AB的中点，∴OD∥BC． ∵DE⊥BC，∴∠ODE＝∠CED＝90°．∴DE为⊙O的切线． （2）∵AB＝BC，∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠DBA．又∠ADB＝∠DEB＝90°， ∴△ADB∽△DEB，，∴DB2＝AB·BE． 13、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过点D作DF⊥AC于点 F，交BA的延长线于点E． 求证：（1）BD＝CD； （2）DE为⊙O的切线． 显示答案 证明：（1）连AD．∵AB为直径，∴∠ADB＝90°． ∵AB＝AC，∴BD＝CD． （2）连OD．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC． ∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DE是⊙O的切线． 14、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D，E，连EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若 显示答案 ，AB＝5，求AE的长． 解：（1）证明：连AD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°． ∵AB＝AC，∴CD＝BD．又∵OA＝OB，∴OD∥AC．∵BE⊥AC，∴OD⊥BE. （2）∵∠CEB＝∠AEB＝90°，CD＝BD， ， ． 在△ABE和△BCE中，由勾股定理有AB2－AE2＝BC2－EC2， 设AE＝x，则 ，∴x＝3，∴AE＝3． 与圆有关的计算 考点回顾： 1、如果弧长为l，圆心角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为； 2、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形的面积为s，则扇形的面积的计算公式为或 （其中l表示扇形的弧长）； 3、圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图是扇形； 4、设圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为S＝2πRh，圆柱的全面积为S＝2πR2＋2πRh； 5、设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为S＝πar，圆锥的全面积为S＝πr2＋πar． 考点精讲精练： 例1、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F． （1）若弧CF长为，求圆心角∠CBF的度数； （2）求圆中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）． 解： （1）设∠FBC的度数为n，则 ，∴n＝60．∴∠CBF＝60°． （2）由（1）知，∠CBF＝60°，∴∠ABF＝30°， 又∵BF＝BC＝2， 变式练习1、如图，半径OA＝6cm，C为OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分面积．答案： 作AD⊥OC，与BO延长线交于D．S阴影ABC＝S扇形ABO－S△ACO， ， ∵∠DOA＝60°，OA＝6，∴∠DAO＝30°，OD＝3，． 例2、如图，AB切⊙O于点B，，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的长为（A． B． C．π D． 解：连OB、OC．∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°． ， ， ∴∠A＝30°，∠AOB＝60°． ∵CB∥OA，∴∠CBO＝∠AOB＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形． ） ∴∠BOC＝60°，，故选A． 变式练习2、如图，AB为⊙O的切线，半径OA＝2，OB交⊙O于点C，∠B＝30°，则劣弧__________． 的长是 答：∠AOB＝60°，． 例3、如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径为（ ） A．1 B．解： C． D． 设圆锥底面圆的半径为r，则，，故选C． 变式练习3、如果圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长为________． 答： 设圆锥的母线长为l，则，∴l＝30． 例4、如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF． （1）证明：△AFO≌△CEB； （2）若EB＝5cm，解： ，设OE＝x，求x的值及阴影部分的面积． （1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OF⊥AC，∴∠AFO＝90°，∴OF∥BC，∴∠AOF＝∠ABC，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°．∴∠AFO＝∠CEB，又∵OF＝BE，∴△AFO≌△CEB． （2）∵AB⊥CD，． 设OE＝x，则OB＝5＋x＝OC，在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋EC2． ．∴x＝5．在Rt△OCE中，OC＝5＋x＝5＋5＝10， OE＝5，，∴∠OCE＝30°．∴∠COE＝60°． 由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为 ． 变式练习4、如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧∠ADB＝30°． （1）求∠AOC的度数； （2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积． 解： 上一点，连BD，AD，OC， （1）∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE，又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝60°． ． （2）由（1）知EB＝EC．∵BC＝6，在Rt△OCE中，∠OCE＝30°，OC＝2OE． ． 又∵OE2＋CE2＝OC2，∴OE2＋32＝（2OE）2，．连接OB． ，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°．OC＝2OE＝． ． 例5、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是多少？ 解： 圆锥的侧面展开图是扇形，如图，展开后扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，＝90． ，∴n 即∠APA′＝90°．A点的对应点为A′，所要求的最短线路长即为线段AA′的长，连AA′． ∵AP＝4，∠APA′＝90°，， ∴最短路线长为． 备考模拟 一、选择题 1、若一个圆锥的底面圆的周长为4π cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为（ ） A．40° B．80° C．120° D．150° 2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6cm，CD⊥AB于D，以C为圆心，CD为半径画弧，交BC于E，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2． A． B． C． D． 3、已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图，则sinθ的值为（ ） A． B． C． D． 4、将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）cm． A．10 B．30 C．45 D．300 5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，周，所得的几何体的表面积为（ ） ，若把△ABC绕边AB所在的直线旋转一 A．4π B． C．8π D． 二、填空题 6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12．分别以AB、AC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为__________． 7、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，分别以A、C为圆心，以的 长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个图形，则剩余（阴影）部分的面积为__________cm2． 8、如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，且AE＝6，EF＝8，FC＝10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为__________． 9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积为__________． 显示答案 10、用一个半径为8，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为__________． 答案： 6、 7、 8、80π－160 9、 10、 三、综合题 11、如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2． （1）求OE和CD的长； （2）求图中阴影部分的面积． 显示答案 解：（1）在△OCE中，∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2， ∵OA⊥CD，∴CE＝DE，． 12、如图，已知点A，B，C，D均在已知图上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四边形ABCD的周长为15． （1）求此圆的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 显示答案 解：（1）∵AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB＝30°， ，∠BCD＝60°． ∴AB＝AD＝DC，∠BDC＝90°．在Rt△BDC中，BC为圆的直径，BC＝2DC， ，∴BC＝6，∴圆的半径为3． （2）设BC的中点为O，由（1）知O为圆心，连OA，OD，过O作OE⊥AD于E，在 Rt△AOE中，∠AOE＝30°，，， ． 13、如图，AB为⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB交于点P，连EF，EO，若 ，∠DPA＝45°． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 显示答案 解：（1）∵直径AB⊥DE，．∵DE平分AO， ，又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°． 在Rt△COE中，，∴⊙O的半径为2． （2）连OF，在Rt△DCP中， ∵∠DPC＝45°，∴∠D＝90°－45°＝45°，∴∠EOF＝2∠D＝90°． ． 14、如图，在△ABC中，∠A＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC边相切于D，E两点，连OD，已知BD＝2，AD＝3，求：（1）tanC的值；（2）图中两部分阴影的面积之和． 显示答案 解：（1）连OE．∵AB，AC分别切⊙O于D，E两点， ∴∠ADO＝∠AEO＝90°．又∵∠A＝90°，∴四边形ADOE为矩形． ∵OD＝OE，∴四边形ADOE为正方形． ∴OD∥AC，OD＝AD＝3，∴∠BOD＝∠C， 在Rt△BOD中， （2）由（1）得，四边形ADOE为正方形． ∴∠DOE＝90°，∴∠COE＋∠BOD＝90°． 在Rt△EOC中，，OE＝3，， 图形的轴对称、平移与旋转 考点回顾： 考点一：轴对称与轴对称图形 1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点． 2、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴． 3、轴对称与轴对称图形的区别与联系 （1）轴对称是指两个特定图形之间的位置关系，轴对称图形是描述一个图形的形状特征； （2）轴对称只有一条对称轴，而轴对称图形不一定只有一条对称轴． 4、轴对称两点在平面直角坐标系中的坐标关系 （1）关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同． （3）点A（a，b）关于直线y＝x对称的点的坐标为（b，a），点A（a，b）关于直线y＝－x对称的点的坐标为（－b，－a）． 考点二：轴对称和轴对称图形的性质 1、关于某条直线成轴对称的两个图形是全等的，对应线段相等，对应角相等． 2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线． 3、两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上． 4、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 考点三：中心对称与中心对称图形 1、中心对称：把一个图形绕着某一定点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形关于这个定点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 2、中心对称图形：在平面内，一个图形绕某一定点旋转180°，能够和原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心． 3、中心对称与中心对称图形的区别与联系 （1）中心对称是指两个特定图形之间的位置关系，中心对称图形是描述一个图形的形状特征； （2）将成中心对称的两个图形看做一个整体时，这个整体图形就是中心对称图形． 考点四：中心对称的性质 1、对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分； 2、对应线段相等、平行或共线； 3、对应角相等； 4、点A（a，b）关于原点对称的点的坐标为（－a，－b）； 5、点A（a，b）关于点（m，n）对称的点的坐标为（2m－a，2n－b）． 考点五：图形的平移 将某一基本的图形沿着一定的方向移动一定的距离，这种图形的平行运动称为图形的平移，简称平移．平移由移动的方向和距离所决定． 考点六：图形平移的性质 1、平移后的图形与原来图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等． 2、平移后的图形与原来图形的对应角相等，且对应角的两边分别平行，方向一致． 3、平移后的图形与原来的图形的对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等． 4、平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置． 考点七：图形的旋转 1、旋转的概念 在平面中，将一个图形绕一个定点沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角． 2、旋转对称图形 （1）概念：如果一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合，那么这个图形就叫做旋转对称图彤，其中的定点叫做旋转对称图形的旋转中心． （2）旋转对称图形的识别 判断一个图形是不是旋转对称图形的方法是根据旋转对称图形的定义，判断图形能否绕一定点旋转一定的角度后与自身完全重合． 考点八：图形旋转的性质 1、图形旋转时，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度； 2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角的度数都等于旋转角的度数； 3、对应点到旋转中心的距离相等； 4、对应线段相等，对应角相等； 5、图形的形状与大小都没有发生变化． 考点精讲精练： 例1、如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个？ 解析：C 由轴对称的性质可知，C项正确． 变式练习1、将一个矩形纸片依次按图1、图2的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，最后将图4的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ） 答案：A 例2、在平面直角坐标系xOy中，如果有点P（－2，1）与点Q（2，－1），那么：①点P与点Q关于x 轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在上．前面的四种描述正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 的图象 答案：D 变式练习2、如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（－1，4）．将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，则点C的对应点C1的坐标是__________；若△ABC与△A2B2C2关于原点O对称，则点A的对应点A2的坐标是__________． 答案：（3，1）；（1，－4） 例3、如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有__________种． 答案：5 变式练习3、如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为____________________． 答案：（－1，1），（－2，－2），（0，2），（－2，－3） 例4、如图，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF＝（ ） A．110° B．115° C．120° D．130° 答案：B 解析：由折叠，可知∠BFE＝∠B′FE＝65°，由AE∥BF，知∠AEF＝115°． 变式练习4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_________cm． 解析：C△ABE＝AB＋BE＋AE＝ AB＋BE＋CE＝AB＋BC＝3＋4＝7cm． 答案：7 例5、如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（ ） A．25° B．30° C．35° D．40° 解析：由题意知∠AOA′＝∠BOB′＝45°，所以∠AOB′＝∠BOB′－∠AOB＝45°－15°＝30°．故选B． 答案：B 变式练习5、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处．若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ） A． B． C． D． 解析：由题意，得∠B′＝∠B，所以答案：B ． 例6、如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为__________． 解析： 由旋转的性质可知，△ABD≌△ACE，所以BD＝CE．在等边三角形ABC中，AB＝6，则BC＝6，由BC＝3BD，可知BD＝2，所以CE＝2． 答案：2 变式练习6、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于__________． 解析： △AEE′为等腰直角三角形，． 答案： 例7、如图，边长为a的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°得到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 解析：阴影部分面积＝正方形面积－两个正方形重叠的面积 答案：C 变式练习7、如图（左），点P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数． 解析： 将△APC绕点A逆时针旋转60°后，得到△AFB，连接FP（如图（右）），则FB＝PC＝10，FA＝PA＝6，∠FAP＝60°，∴△FAP是正三角形，∴FP＝PA＝6．在△PBF中，PB2＋PF2＝82＋62＝102＝BF2，∴∠BPF＝90°，∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝60°＋90°＝150°． 备考模拟 一、选择题 1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．菱形 2、下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 3、如图，已知△OAB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点Ｏ按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD．则旋转的角度是（ ） A．150° B．120° C．90° D．60° 4、在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（4，－1）、B（1，1）．将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（－2，2），则点B′的坐标为（ ） A．（－5，4） B．（4，3） C．（－1，2） D．（－2，－1） 5、在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的□ABCD，点A的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，－1）处，则此平移可以是（ ） A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位 D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 二、填空题 6、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案） （1）点A关于点O中心对称的点的坐标为__________； （2）点A1的坐标为__________． 7、如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积等于__________cm2． 8、如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________． 显示答案 答案：6、（1）（－3，－2）；（2）（－2，3） 7、 8、（0，1） 三、综合题 9、如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应） （2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积． 显示答案 解析：（1）如下图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形． （2）由上图可知四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1＝4，CC1＝2，高是4， 10、如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（－1，3），B（－3，－1），C（－3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是__________，旋转角是__________度； （2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形； （3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理． 显示答案 解：（1）旋转中心坐标是O（0，0），旋转角是90°． （2）画出的图形如图所示： （3）由旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形． 图形的相似 考点回顾： 考点一：比例线段 在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，如：，我们就 说，这四条线段是成比例线段，简称比例线段．在比例式（或a∶b＝c∶d）中，a、b、c、d称 为比例的项，a、d称为比例外项，b、c称为比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项． 考点二：比例的性质 1、基本性质：．特别地，，将b称为a、c的比例中项． 2、合比性质： 3、等比性质：若考点三：黄金分割 ，则． 线段的黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果AC是线段AB和BC的比例中 项，则点C叫做线段AB的黄金分割点，且考点四：相似多边形 ． 1、相似多边形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）． 2、相似多边形的性质 （1）相似多边形的周长比等于相似比． （2）两个相似多边形对应对角线的比等于相似比． （3）相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比． （4）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 考点五：相似三角形 1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形、其中对应边的比叫做相似比． 2、相似三角形的基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形和原三角形相似． 3、相似三角形的判定 （1）两角对应相等的两个三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4、相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等、对应边成比例； （2）相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比、对应高的比、对应周长的比都等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方． 5、判定三角形相似的几种思路 （1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理． （2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例． （3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等． （4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例． （5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例． 考点六：位似图形 1、位似图形的性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比、利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小． 2、位似图形与相似图形的区别 保持图形的形状不变的几何变换叫做相似变换．位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形不一定是位似图形． 3、识别相似图形中的位似图形的方法 观察相似图形上任意一对对应点的连线是否都经过同一点（即位似中心），若经过同一点，这样的相似图形就是位似图形． 4、位似图形的画法 先确定位似中心及方向，再过位似中心和每个顶点作直线，在直线上位似中心的同侧或异侧（与位似方向有关）分别取原多边形的各顶点的对应顶点，顺次连接各点，即可得到放大或缩小的图形． 考点精讲精练： 例1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 答案：C 变式练习1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是（ ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 答案：B 例2、将左下图中的箭头缩小到原来的答案：A ，得到的图形是（ ） 变式练习2、如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__________． 答案：OA∶OA′＝10∶20＝1∶2． 例3、如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB，AC于D，E两点，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积比为__________． 答案：1∶9 变式练习3、在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积是5，那么AB的长为__________． 解析： △ADE∽△ACB，△ADE与△ACB面积的比为， ∴答案：3 ， ∵AE＝2，∴AB＝3． 例4、如图所示，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有__________对． 解析： 图有4个三角形，因为EF∥GH∥IJ∥BC，故它们彼此都相似，共6对． 答案：6 变式练习4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G． （1）求证：； （2）若GE＝2，BF＝3，求线段EF的长． 解析： （1）∵点E是AD的中点，∴AE＝DE． ∵AD∥BC， 即. （2）∵AD∥BC， 设EF＝x，则 解得x＝1．∴EF＝1． ， 例5、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O． （1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM的长度． 解： （1）证明：∵A与C关于直线MN对称， ∴AC⊥MN． ∴∠COM＝90°． 在矩形ABCD中，∠B＝90°， ∴∠COM＝∠B． 又∵∠MCO＝∠ACB， ∴△COM∽△CBA． （2）∵在Rt△CBA中，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10，∴OC＝5． ∵△COM∽△CBA， 变式练习5、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）找出与△ABH相似的三角形，并证明． 解： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝∠ECF＝90°． ∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°． 又∵∠AEB＋∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， ∴△ABE∽△ECF． （2）△ABH∽△ECM． 证明：∵BG⊥AC， ∴∠ABG＋∠BAG＝90°， ∵∠BAG＋∠BCA＝90， ∴∠ABH＝∠ECM， 由（1）知，∠BAH＝∠CEM， ∴△ABH∽△ECM． 备考模拟 一、选择题 1、如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论不正确的是（ ）A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABC C． D．S△ABC＝3S△ADE 2、如图，在△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC＝（ ） A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4 3、如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 4、如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果，那么（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5、如果，那么_________． 6、如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线 交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为S，则四边形BOGC的面积＝__________． 7、如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD＝2DE．若△DEF的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为__________（用a的代数式表示）． 显示答案 答案： 5、 6、 7、12a 三、综合题 8、如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长． 答案： 提示：ΔACD∽ΔABC， 9、如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E． （1）求证：△ADE∽△BCE； （2）如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB． 显示答案 解：（1）证明：如图（1）． 又∵∠1＝∠2， ，∴∠A＝∠B． ∴△ADE∽△BCE． （2）证明：如图（2）．由AD2＝AE·AC得 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACD． ∴∠AED＝∠ADC． 又∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°． 即有∠AED＝90°， ∴直径AC⊥BD． ∴CD＝CB． ． 10、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）求EF的长． 显示答案 解：（1）证明：如图．∵EF⊥BE，∴∠FEB＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°． 在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴△ABE∽△DEF． （2）在△ABE中，∠A＝90°，AB＝6，AE＝8， DE＝AD－AE＝12－8＝4． 由（1）得△ABE∽△DEF， 解直角三角形 考点回顾： 考点一：直角三角形中边与边的关系 1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2． 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c满足关系式a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角． 3、ab＝ch（a、b为直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高）． 考点二：锐角三角函数 1、三角函数的定义 如图，在Rt△ABC中， 锐角A的正弦、余弦、正切统称为锐角的三角函数． 2、三角函数的函数值及其变化规律 （1）当∠A为锐角时，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0． （2）一个锐角的正弦、正切值均随着角度的增大而增大，而一个锐角的余弦值随着角度的增大而减小． （3）当α＞45°时，sinα＞cosα；当a＜45°时，sinα＜cosα．（α为锐角） 考点三：特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 考点四：三角函数间的关系 1、互为余角的三角函数的关系 若∠A为锐角，则有：sin（90°－A）＝cosA，cos（90°－A）＝sinA． 2、同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A＋cos2A＝1． 30° 1 45° 60° （2）商数关系：考点五：解直角三角形 ． 1、解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的3个未知元素，这叫做解直角三角形． 2、解直角三角形的基本类型和解法 已知条件 两边 两直角边a，b ，利用 求∠A，∠B＝90°－∠A 解法 一直角边a，斜边c ，利用 求∠A，∠B＝90°－∠A 一边、一锐角 一直角边a，一锐角A ∠B＝90°－∠A， 斜边c，一锐角A ∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA 解直角三角形的基本方法可概括为：有斜（斜边）用弦（正、余弦），无斜用切（正切）；宁乘勿除，取原（原始数据）避中（近似数）；数简用勾（勾股定理），数繁用函（三角函数）. 考点六：解直角三角形在实际中的应用 1、仰角与俯角：它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图，∠AOC就叫做仰角，∠BOC就叫做俯角． 2、坡度与坡角：如图，通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示，即， 坡度一般写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，则有． 3、方位角：如图，A点位于O点的北偏东30°方向，而B点位于O点的南偏东60°方向． 考点精讲精练： 例1、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ） A．解析： B． C． D． 借助网格过点A作BC边上的高，交BC延长线于点D，在Rt△ADB中，BD＝4，，所以 ． 答案：B 变式练习1、如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5米，那么这两棵树在坡面上的距离AB为（ ） A．5cosα B． C．5sinα D． 解析：利用三角函数的定义进行解答． 答案：B 例2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1cm，BC＝2cm，求sinA，tanA． 解析： 在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，， 变式练习2、如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，解析： 过点C作CD⊥AB于点D（如图）． ，求AB的长． 在Rt△ACD中，∠A＝30°，， 所以 在Rt△BCD中，∠B＝45°， 例3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果解析： ，那么tanB的值为__________． 已知一个锐角三角函数值，可以应用三角函数的定义，引入字母表示两个边长，然后用勾股定理求出第三边，最后用定义就可以求出锐角三角函数值． 由，可得，故设b＝4k，c＝5k． 根据勾股定理，得． 应用三角函数的定义，得． 变式练习3、已知：如图，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12， 求：（1）线段CD的长； （2）tan∠EDC的值． 解析： ． （1）在Rt△ABD中，， 故设AD＝4k，则AB＝5k，所以BD＝3k． 因为AD＝12，则4k＝12，所以k＝3，故BD＝3k＝9． 所以CD＝BC－BD＝14－9＝5． （2）在Rt△ADC中，E为AC边的中点， 所以DE＝EC，所以∠EDC＝∠C，故． 例4、如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米，试帮助小华求出旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米， ） 解析： ∵BD＝CE＝6米，∠AEC＝60°， ∴在Rt△ACE中，， ∴AB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9（米）． 答：旗杆AB的高度约为11.9米． 变式练习4、某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话： 小明：我站在此处看树顶仰角为45°． 小华：我站在此处看树顶仰角为30°． 小明：我们的身高都是1.6m． 小华：我们相距20m． 请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度． （参考数据：解： 延长BC交AD于E，则BE⊥AD， 设AE的长为x m， ，结果保留三个有效数字） 在Rt△AEC中，∠ACE＝45°，∠AEC＝90°，∴CE＝AE＝x． 在Rt△AEB中，∠B＝30°，AE＝x． ∵BE－CE＝BC，BC＝20m． 答：这棵汉柏树的高度约为28.9m． 例5、如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁．一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°方向上，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上．问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？ 解析： 如图，过P作PC⊥AB于C点，根据题意，知， ∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PCB＝90°， ∴PC＝BC． 在Rt△APC中， 故客轮不改变方向继续前进无触礁的危险． 备考模拟 一、填空题. 1、在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距__________m． 2、在207国道襄阳段改造中，需沿AC方向开山修路（如图所示），为了加快施工速度，需要在小山的另一边同 时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1000m，∠D＝50°．为了使开挖点E在直线AC上，那么 DE＝____________________m． 3、如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为__________秒． 4、观察下列等式： 根据上述规律，计算sin2α＋sin2（90°－α）＝__________． 显示答案 1、200 提示：由已知得：∠ABC＝90°＋30°＝120°，∠BAC＝90°－60°＝30°， ∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝180°－120°－30°＝30°， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴BC＝AB＝200． 2、1000sin40°或1000cos50° 3、16 4、1 解析：由题意，得sin230°＋sin2（90°－30°）＝1； sin245°＋sin2（90°－45°）＝1； sin260°＋sin2（90°－60°）＝1． 故可得sin2α＋sin2（90°－α）＝1． 二、综合题 5、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，且a∶b∶c＝3∶4∶5，求证： 显示答案 解析：设a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0）， ∵a2＋b2＝（3k）2＋（4k）2＝25k2＝c2， ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形， ． ∴∠C＝90°，则， 6、勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载、如图 （1）是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图（2）是由图（1）放入矩形内得到 的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，求矩形KLMJ的面积. 显示答案 解析：由题意可知ED＝JI＝HM＝3，KE＝DJ＝IH＝4，所以KJ＝11，JM＝10，所以矩形KLMJ的面积为11×10＝110． 7、如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处． （1）求该轮船航行的速度； 千米的A （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据： ） 显示答案 解：过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得 ，OB＝20千米，∠AOC＝30°． ． ∵在Rt△AOC中，． ∴在Rt△ABC中，． ∴轮船航行的速度为：． （2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸． 理由：延长AB交l于点D． ∵AB＝OB＝20（千米，）∠AOC＝30°． ∴∠OAB＝∠AOC＝30°， ∴∠OBD＝∠OAB＋∠AOC＝60°． ∴在Rt△BOD中， ， ∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸． 8、如图所示，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°．求小华的眼睛到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据： ） 显示答案 解：设AC＝x，则在Rt△CAA1中，∵∠CA1A＝∠ACA1＝45°， ∴AC＝AA1＝x． 又在Rt△DB1B中，∵∠DB1B＝30°，， ． 由对称可知：AE＝A1E，BE＝B1E， ∴BB1＝AA1＋1，即， 解得，∴小华的眼睛到地面的距离约为1.4米． 9、如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC．现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据： ） （1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为__________米； （2）一座建筑物GH距离坡脚A点27米远（即AG＝27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？ 显示答案 解：（1）由题图知DE的长随∠BEF的增大而增大，故当∠BEF＝45°时，DE最长．此时在Rt△BEF 中，BF＝15，则EF＝BF＝15，又， ． （2）过点D作DP⊥AC，垂足为P． 在Rt△DPA中，，． 在矩形DPGM中，MG＝DP＝15，． 在Rt△DMH中，， ． 答：建筑物GH高约为45.6米． 投影与视图 考点回顾： 考点一：投影的概念 1、平行投影：太阳光可以看成平行光线，这样的光线所形成的投影叫做平行投影． 2、中心投影：像探照灯、手电筒、路灯或台灯等的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影． 3、正投影：当投影线与投影面垂直时，这种投影叫正投影；物体的正投影称为物体的视图、物体的三视图实际上是该物体在某一平行光线下的正投影． （1）线段的正投影：当线段与投影面平行时，线段的长不变；当线段与投影面垂直时，线段成为一点；当线段与投影面既不平行又不垂直时，线段的长变短、简称为“平行长不变，倾斜长变短，垂直成一点”． （2）平面图形的正投影：当平面图形与投影面平行时，投影后平面图形的形状不发生改变；当平面图形与投影面垂直时，投影成为一条线段；当平面图形与投影面既不平行又不垂直时，投影后平面图形的形状发生改变．简称为“平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段”． （3）几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形． 考点二：不同投影方式下的影子与光线的关系 1、因为灯光的光线可以看成是从一点出发的，所以我们可知在同一灯光下物体的影子与物体上对应点的连线必过灯泡所在的位置． 2、太阳光是平行光线，所以在同一时刻物体的影子也互相平行，且同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形是相似的． 考点三：物体在太阳光下形成影子的变化 物体在太阳光下的不同时刻，影子的长短和方向都在发生变化，以北半球为例，从早到晚，物体的影子的长短是由长变短，再由短变长，指向是西、西北、北、东北、东． 考点四：几何体的三视图 1、三视图的概念：一个立体图形从正面看到的平面图形叫做主视图，从上面看到的平面图形叫做俯视图，如果是从左面看，则称为左视图．主视图、俯视图和左视图统称三视图． 2、常见几何体的三视图 （1）正方体的三视图都是正方形，长方体的三视图均为矩形． （2）圆柱的两个视图都是矩形，一个视图是圆． （3）圆锥的两个视图都是三角形，一个视图是标有圆心的圆． （4）球体的三视图都是圆． 3、几何体的三视图的画法及注意事项 （1）画三视图：画三视图时，要从三个方面仔细观察，从正面看时，可看到立体图形的长和高，即画主视图时 其长和高与原立体图形的长和高相等；从左面看时，可看到立体图形的高和宽，即画左视图时其高和宽与原立体图形的高和宽相等；从上面看时，可看到立体图形的 长和宽，即画俯视图时其长和宽与原立体图形的长和宽相等． (2)注意事项： ①从不同的方向观察同一个物体得到的图形不一定相同．物体的三视图与物体的放置位置有关系． ②三视图的位置关系：主视图 左视图 俯视图 ③在画三视图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线． 4、立体图形的展开图 将几何体沿着它的某些棱剪开铺平得到一个平面图形，这个图形叫做几何体的平面展开图、将此平面图形折叠后还能还原成空间几何体． 考点精讲精练： 例1、如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（ ） 答案：D 解析：观察各选项知应选D． 变式练习1、 如图，试画出该物体的三种视图． 解析：如图所示： 例2、如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱 答案：D 变式练习2、 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 答案：D 例3、下图是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由__________块长方体的积木搭成． 答案：4 变式练习3、 一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有__________个． 答案：5 例4、长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ） A．3 B．4 C．12 D．16 解： 由主视图易得高为1，由俯视图易得宽为3． ∴左视图面积＝1×3＝3，故选A． 答案：A 变式练习4、 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ） A．18cm2 B．20cm2 C．解析： D． 由三视图可知这个几何体是正三棱柱，所以侧面积为3×2×3＝18（cm2）． 答案：A 例5、下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（ ） 答案：C 变式练习5、 如图所示的几何体中，俯视图相同的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 答案：C 例6、已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示，若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ） 答案：D 变式练习6、 下图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎、B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为__________m． 答案：解析： 如图（1），若将A点看做平面①内的点，B点既可看做平面②内的点，又可看做平面③内的点．若展成平面图，则如图（2）所示（为了方便，我们可只展开与A点、B点相关的面①②③），则壁虎爬到蚊子处的距离，即为AB或AB′或AB″的长．易知 ．可见壁虎爬到蚊子处的最短距离应为 ， ． ， 例7、我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时亥0测得树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为__________m． 答案：4.8 解析： 太阳光可看成是平行光线，所以这是平行投影，同一时刻，同一地点，不同物体的自身高度与其影 长成正比．设这棵树的高度约为x m，得变式练习7、 ，解得x＝4.8． 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计 了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相 同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）． 已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）． 解： 过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，（如图） 则EH＝AG＝CD＝1.2， DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30． ∵EF∥AB，∴． 由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5． ∴，解之，得BG＝18.75． ∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0． ∴楼高AB约为20.0米． 例8、如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是__________． 答案：左视图 变式练习8、 5个棱长为1的正方体组成如图的几何体． （1）该几何体的体积是__________（立方单位），表面积是__________（平方单位）； （2）画出该几何体的主视图和左视图． 解： （1）5；22 （2） 备考模拟 一、选择题 1、如图所示的几何体的主视图是（ ） 2、如图所示的工件的主视图是（ ） 3、如果用□表示1个立方体，用 表示2个立方体叠加，用■表示3个立方体叠加，那么由7个立 方体叠成的几何体（如图），从正前方观察，可画出的平面示意图形是（ ） 4、如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（ ） 5、小明为好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（ ） 6、长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ） A．3 B．4 C．12 D．16 二、填空题 7、如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米、甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是__________米． 8、由n个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如下所示，则n的最大值是__________． 9、图1是表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的正六边形表示该建筑物的俯视图．P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域，小明想同时看到的该建筑物的三个侧面，他应站在__________区域． 显示答案 答案：7、6 8、18 9、Q 三、综合题 10、十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下图中几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是__________； （2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________； （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱、设该多面体外表面三角形的个数为x，八边形的个数为y，求x＋y的值． 显示答案 解：（1）6，6 V＋F－E＝2． （2）由题意可知：F＝V＋8，E＝30． ∴V＋V＋8－30＝2， 2V＝24， V＝12． ∴F＝V＋8＝12＋8＝20． （3）设这个多面体的面数为x＋y，棱数为条， 根据V＋F－E＝2可得，24＋（x＋y）－36＝2， ∴x＋y＝14． 统计 考点回顾： 考点一：数据的收集 1、数据的收集方式有全面调查和抽样调查． 2、全面调查与抽样调查的区别 （1）全面调查是对总体中每个个体进行调查，范围广，数据多；而抽样调查范围有局限性，数据不全面． （2）当受客观条件或调查具有破坏性时，往往采用抽样调查． （3）有些数据的调查方式不唯一，既可用全面调查，也可用抽样调查． （4）若采用抽样调查，样本的选择要有广泛性和代表性． 3、调查收集数据的过程 （1）明确调查问题； （2）确定调查对象； （3）选择调查方法； （4）展开调查； （5）记录结果； （6）得出结论． 考点二：总体、个体、样本及样本容量 总体是指要考察对象的全体，个体是组成总体的每一个对象；从总体中抽取的一部分用于调查的个体叫做总体的一个样本，样本中所包含的个体的数目叫做样本容量．总体、个体及样本都是指所要考察的具体对象的属性，而不是具体的人或物． 考点三：三种统计图 1、条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成高低不同的直条，再把这些直条按照一定的顺序排列起来所得的统计图． 2、折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来所得的统计图． 3、扇形统计图：用圆和扇形来表示总体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中的百分比大小的统计图． 考点四：频数分布直方图 1、频数分布直方图的特点： （1）能够显示各组数据频数分布的情况； （2）易于显示各组数据之间的频数的差别． 2、绘制频数分布直方图的步骤： （1）计算最大值与最小值的差； （2）决定组数和组距．当数据在100个以内时，通常按照数据的多少分成5～12组； （3）确定分点．一般把最小值减小一点作为分点，把最大值增加一点作为分点； （4）列频数分布表； （5）画频数分布直方图． 考点五：几种描述数据的方式 1、用条形统计图描述数据 条形统计图的特点： （1）能够显示每组中的具体数据； （2）易于比较数据之间的差别． 2、用扇形统计图描述数据 （1）扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；②易于显示每组数据所占的百分比． （2）扇形统计图的绘制步骤：①计算各部分数量占总体数量的百分比；②计算各部分所对应的扇形圆心角的度数；③画出扇形统计图． 3、用折线统计图描述数据 折线统计图的特点是易于显示数据的变化趋势． 4、用频数分布直方图描述数据 频数分布直方图的特点：（1）能够显示各组数据频数分布的情况；（2）易于显示各组数据之间的频数的差别． 考点六：频数与频率 1、频数：对总的数据按某种标准进行分组，统计各组内含某个数据的个数叫做频数． 2、频率：每个小组的频数与数据总数的比值叫做这个小组的频率． 3、所有频数之和等于数据总数，所有频率之和等于1． 4、在频数分布直方图中，各小长方形的高之比等于频数之比，也是频率之比． 考点七：平均数、中位数、众数 1、平均数：一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把叫做这n个数的算术平 均数，简称平均数，记作，即2、中位数 ． 一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 3、众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 考点八：加权平均数 一般地，当所给的n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次，则 ，其中f1＋f2＋…＋fk＝n，f1，f2，…，fk分别表示数据x1，x2，…， xk在这组数据中出现的次数，即权数．权越大，这个数据对这组数据的影响就越大．如果权以百分比的形式出现，则权之和为1． 考点九：极差、方差、标准差 1、极差：一组数据中最大值与最小值的差，叫做这组数据的极差．即极差＝最大值－最小值．它能反映这组数据的变化范围． 2、方差：在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方和的平均数叫做方差．即 ．方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它反 映的是一组数据偏离平均值的大小，方差越小，这组数据的离散程度就越小，数据就越稳定． 3、标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差． 即 考点精讲精练： 例1、下列调查方式，你认为最合适的是（ ） ． A．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用普查方式 B．了解衢州市每天的流动人口数，采用抽查方式 C．了解衢州市居民日平均用水量，采用普查方式 D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 答案：B 变式练习1、 为了了解攀枝花市2012年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考数学成绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指（ ） A．150 B．被抽取的150名考生 C．被抽取的150名考生的中考数学成绩 D．攀枝花市2012年中考数学成绩 答案：C 例2、甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者方差的大小关系是（ ） A．解析： B． C． D．不能确定 方差是描述数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大．本题中甲的成绩比乙的成绩稳定，说明甲的成绩的数据渡动小，所以甲的方差比乙的方差小，所以选A． 答案：A 变式练习2、 已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么这组数据的方差是（ ） A．2.8 B．解析： C．2 D．5 因为一纽数据10，8，9，x，5的众数是8，所以x＝8．于是这组数据为10，8，9，8，5． 该组数据的平均数为：， 方差答案：A ． 例3、重庆农村医疗保险已经全面实施．某县七个村中享受了住院医疗费用报销的人数分别为：20，24，27，28，31，34，38，则这组数据的中位数是__________． 解析： 七个村中享受了住院医疗费用报销的人数按从小到大排序为20，24，27，28，31，34，38，处于中间位置的数是28，故中位数是28. 答案：28 变式练习3、 某公司全体员工年薪的具体情况如下表： 年薪/万元 员工数/人 30 1 14 1 9 1 6 2 4 7 3.5 6 3 2 则所有员工的年薪的平均数比中位数多__________万元． 解析： 所有员工的年薪的中位数是4， 平均数是（3×2＋3.5×6＋4×7＋6×2＋9＋14＋30）÷（2＋6＋7＋2＋1＋1＋1）＝6． 故该公司全体员工年薪的平均数比中位数多6－4＝2万元． 答案：2 例4、某商场用加权平均数来确定什锦糖果的单价，由单价为15元/千克的甲种糖果10千克，单价为12元/千克的乙种糖果20千克，单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为（ ）． A．11元/千克 B．11.5元/千克 C．12元/千克 D．12.5元/千克 解析： 混合后的单价不仅与三种糖果的单价有关．而且还与它们的频数有关，即数据15，12，10的权分别为10，20，30．按加权平均数的计算公式计算：若n个数据x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…， wn，则答案：B 变式练习4、 叫做这n个数的加权平均数． 在一次爱心捐款中，某班有40名学生拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元、50元的，如图反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款________元． 解：（40×5×60%＋40×10×10%＋40×20×10%＋40×50×20%）÷40＝16元． 答案：16 例5、某市每年都要举办中小学三独比赛（包括独唱、独舞、独奏三个类别），下图是该市2012年参加三独比赛的不完整的参赛人数统计图． （1）该市参加三独比赛的总人数是__________人，图中独唱所在扇形的圆心角的度数是__________度，并把条形统计图补充完整； （2）从这次参赛选手中随机抽取20人调查，其中有9人获奖，请你估算今年全市约有多少人获奖？ 解： （1）400，180 参加比赛的总人数为；参加独唱的人数为400－120－80＝200（人），则独唱所在 扇形的圆心角为．补充完整的条形统计图如下图： （2）全年全市获奖人数约有变式练习5、 ． 第三十届夏季奥林匹克运动会于2012年7月27日至8月12日在英国伦敦举行．某校学生会为了确定宣传 专刊的主题，想知道学生对伦敦奥运火炬传递路线的了解程度，故随机抽取了部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不 完整的统计图（如图）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有__________名； （2）请补全折线统计图，并求出扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的大小； （3）若该校共有1200名学生，请根据上述调查结果估计该校学生中对伦敦奥运火炬传递路线达到“了解”和“基本了解”程度的总人数． 答案： （1）30÷50%＝60（名） （2）60－（10＋30＋15）＝5（名）．补全折线统计图如图所示 扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的大小为． （3）估计这两部分的总人数为． 估计该校学生中对伦敦奥运火炬传递路线达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为400名． 备考模拟 一、填空题 1、2010年10月10日，宁德地质公园被联合国教科文组织正式通过列入世界地质公园名录，为了了解广大市民对这一喜讯的知晓率，应采用的合适的调查方式为__________（选填“普查”或“抽样调查”） 2、“Welcome to Senior High School.”（欢迎进入高中），在这段句子的所有英文字母中，字母o出现的频率是__________． 3、某初中学校的男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校男生、女生以及教师的总人数为1200人，则根据图中信息，可知该校教师共有__________人． 4、某校为了解学生喜爱的体育活动项目，随机抽查了100名学生，让每人选一项自己喜欢的项目，并制成如图所示的扇形统计图．如果该校有1200名学生，则喜爱跳绳的学生约有__________名． 5、在义乌市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中，某班10名学生成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的中位数是__________分，众数是__________分． 6、某初中学校共有学生720人，该校有关部门从全体学生中随机抽取了50人对其到校方式进行调查，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图，由此可以估计全校坐公交车到校的学生有__________人． 显示答案 答案： 1、抽样调查 2、0.2 3、108 4、360 5、90；90 6、216 二、综合题 7、多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（ ） A．极差是47 B．众数是42 C．中位数是58 D．每月阅读数量超过40的有4个月 显示答案 答案：C 8、某中学为了庆祝建党90周年举行唱“红歌”比赛，已知10位评委给某班的打分是：8，9，6，8，9，10，6，8，9，7． （1）求这组数据的极差和众数； （2）比赛规定：去掉一个最高分和一个最低分，剩下分数的平均数作为该班的最后得分，求该班的最后得分． 显示答案 解：（1）极差＝10－6＝4； 这组数据中8，9各出现3次， 所以这组数据的众数为8，9． ． 9、某校为了了解本校八年级学生课外阅读的喜好，随机抽取该校八年级部分学生进行问卷调查（每人只选一种书籍）．如图（1）（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次活动一共调查了__________名学生； （2）在扇形统计图中，“其他”所在扇形的圆心角等于__________度； （3）补全条形统计图； （4）若该年级有600名学生，请你估计该年级喜欢“科普常识”的学生人数是__________名． 显示答案 解析：（1）80÷40%＝200． （2）“漫画”所占的百分比为，“其他”所占的百分比为1－40%－30%－20% ＝10%．故“其他”所在扇形的圆心角度数为360°×10%＝36°． （3）补全条形统计图如图所示． （4）600×30%＝180（名）． 10、为进一步加强中小学生近视眼的防控工作，市教育局近期下发了有关文件，将学生视力保护工作纳入学校和教师的考核内容，为此，某县教育主管部门对今年初中毕业生的视力进行了一次抽样调查，并根据调查结果绘制如下频数分布表和频数分布直方图的一部分． 视力 频数（人） 频率 4.0～4.2 4.3～4.5 4.6～4.8 15 45 105 0.05 0.15 0.35 4.9～5.1 5.2～5.4 请根据图表信息回答下列问题： a 60 0.25 b （1）求表中a、b的值，并将频数分布直方图补充完整； （2）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，估计该县5600名初中毕业生视力正常的学生有多少人？ 显示答案 解：（1）这次调查的人数是： 15÷0.05＝300（人）， 所以a＝300×0.25＝75， b＝60÷300＝0.2， 因为a＝75， 所以4.9～5.1的人数是75． 补全频数分布直方图如下图． （2）根据题意得： 5600×（0.25＋0.2）＝2520（人）． 答：该县初中毕业生视力正常的学生有2520人． 概考点回顾： 考点一：事件 1、事件的分类 2、事件的概念 （1）必然事件：在一定条件下，有些事件我们事先能肯定它一定会发生，这样的事件是必然事件． （2）不可能事件：在一定条件下，有些事件我们事先知道它一定不会发生，这样的事件是不可能事件． （3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件． 考点二：概率 1、概率： 在n次重复试验中，如果事件A发生的次数为m，当n越来越大时，频率那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． 2、事件的慨率： （1）必然事件的概率：P（A）＝1． （2）不可能事件的概率：P（A）＝0． （3）随机事件的概率：0＜P（A）＜1． 考点三：用频率估计概率 会稳定在某个常数附近， 在大量重复试验中，事件A出现的频率为考点四：求概率的常用方法 ，我们可以估计事件A发生的概率大约为． 1、重复试验法：用重复试验（试验次数足够多）的方法观察频率，进而用频率去估计概率的值． 2、列表法或画树状图法：一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多的时候，为不重不漏地列出所有的可能结果，通常采用列表法或画树状图法． 考点五：游戏规则公平的判定与修正 1、判断游戏规则是否公平：要判断游戏规则是否公平，需判断游戏双方获胜的概率是否相等，只有双方获胜的概率相等时，游戏才公平，否则，谁获胜的概率大，游戏规则就对谁有利． 2、修改不公平的游戏规则：修改游戏的规则一般都要依据题目的要求进行，不能随心所欲．修改后的游戏规则是否对双方公平的依据还是要看双方获胜的概率是否相等．若相等，则游戏规则是公平的；否则需要重新进行修改或设计游戏规则． 考点精讲精练： 例1、下列事件中，属于随机事件的是（ ） A，通常水加热到100℃时沸腾 B．测量孝感某天的最低气温，结果为－150℃ C．一个袋中装有5个黑球，从中摸出1个是黑球 D．篮球队员在罚球线上投篮1次，未投中 答案：D 变式练习1、下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．抛掷一枚1元硬币落地后，有国徽的一面向上 B．打开电视任选一频道，正在播放襄阳新闻 C．到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上 D．某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖 解析： 抛掷一枚1元硬币，可能国徽的一面向上，也可能国徽的一面向下，所以不是必然事件；打开电视任选一频道， 不一定正在播放襄阳新闻，所以不是必然事件；到线段两端点距离相等的点，一定在该线段的垂直平分线上，所以是必然事件；彩票的中奖率是10%并不是说买 100张彩票就一定能中奖，这是随机事件． 答案：C 例2、用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，若宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 解析：108÷360＝0.3． 答案：B 变式练习2、小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC上的点，且EF∥AB，点M、N在EF上，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（ ） A． B． C． D． 解析： 因为四边形ABCD是矩形，所以M到AB的距离、N到CD的距离之和等于矩形的边长BC，所以△ABM、 △CDN的面积之和为，即为矩形ABCD面积的，所以投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是 ，故选C． 答案：C 例3、如图，把一个圆形转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为__________． 答案： 变式练习3、 某校从参加计算机测试的学生的成绩中抽取了60名学生的成绩（40～100分）进行分析，并将其分成了六 段后绘制成如图所示的频数分布直方图（其中70～80分数段看不清楚），若60分以上（含60分）为及格，试根据图中信息估计这次测试的及格率为 __________． 答案：[60－(6＋9)]÷60＝75% 例4、有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱 子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为 __________． 答案：1000×0.6＝600(个) 变式练习4、 研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球和黄球．怎样估算不同颜色球的数量？ 操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验． 摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中再继续． 活动结果：摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表： 无记号 红色 18 黄色 28 2 有记号 红色 黄色 2 球的颜色 摸到的次数 推测计算：由上述的摸球实验可推算：盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？盒中有红球多少个？ 解： 由题意可知：50次摸球实验话动中，出现红球20次，黄球30次， 所以红球所占百分比为 黄球所占百分比为1－40%＝60%． ， 总球数为． 红球数为100×40%＝40（个）． 例5、甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛，求下列事件的概率． （1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学； （2）随机选取2名同学，其中有乙同学． 解： （1）己确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是； （2）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学，所有可能出现的结果有：（甲，乙）、（甲，丙）、 （甲，丁）、（乙，丙）、（乙、丁）、（丙、丁），共有6种，它们出现的可能性相同．所有 的结果中，满足“随机选取2名同学，其中有乙同学”（记为事件 A）的结果有3种，所以变式练习5、 ． 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．求下列事件的概率： （1）两次取的小球的标号相同； （2）两次取的小球的标号的和等于4． 解：画出树状图如图： 由图可知共有16种等可能的结果． （1）两次取的小球的标号相同（记为事件A）的结果有4种，则． （2）两次取的小球的标号的和等于4（记为事件B）的结果有3种，则 例6、为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个游戏： ． 口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个，四个球除了颜色和编号不同外，没有任何别 的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛．先甲摸两次，每次摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球．如果甲摸出的两个球 都是红色，甲得1分，否则，甲得0分；如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则，乙得0分；得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来． （1）运用列表法或画树状图法求甲得1分的概率； （2）这个游戏是否公平？请说明理由． 解析： （1）列表如下： 或画树状图如图： 由以上可得甲得分的情况有12种，而甲得1分有6种情况，故 （2）不公平． ． ， ∴P（甲得1分）≠P（乙得1分），∴这个游戏不公平． 变式练习6、 有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张． （1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果； （2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率； （3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px＋qy＝360，求每种平面镶嵌中p、q的值． 解： （1）所有出现的结果共有如下12种： 第一次/第二次 A B C D AB AC AD BC BD CD A B BA C CA CB D DA DB DC （2）因为12种结果中能构成平面镶嵌的有四种：AB、AD、BA、DA， 所以P（两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌）＝； （3）当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，则有60p＋90q＝360，即2p＋3q＝12． 因为p、q是正整数，所以p＝3，q＝2， 当正三角形和六边形构成平面镶嵌时， 则有60p＋120q＝360，即p＋2q＝6． 因为p、q是正整数， 所以p＝4，q＝1或p＝2，q＝2． 备考模拟 一、选择题 1、从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽出1张，下列事件中，必然事件是（ ） A．标号小于6 B．标号大于6 C，标号是奇数 D．标号是3 2、端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其他均相同．小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（ ） A． B． C． D． 3、给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打给甲的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4、口袋内装有大小、质量和材质都相同的红色1号、红色2号、黄色1号、黄色2号、黄色3号5个小球，从中摸出两球，这两球都是红色的概率是__________． 5、任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是__________事件． 6、在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为__________． 7、如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏．游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P＝__________． 显示答案 答案：4、 5、随机 6、 7、 三、综合题 8、某中学举行数学知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，如图．根据图中所给信息解答下列问题： （1）二等奖所占的比例是多少？ （2）这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是多少？ （3）请将条形统计图补充完整； （4）若给所有参赛学生每人发一张卡片，各自写上自己的名字，然后把卡片放入一个不透明的袋子里，摇匀后任意摸取一张卡片，求摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率． 显示答案 解析：（1）因为1－10%－24%－46%＝20%，所以二等奖所占的比例为20%． （2）参赛学生共有20÷10%＝200（人），所以这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是200×20%＝40（人）． （3）补充完整的条形统计图略． （4）参赛学生共有200人，获得一等奖的有20人，所以所求概率为． 9、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数． （1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数； （2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由． 显示答案 解：（1）共24种可能； 树状图如下： 所有可能的三位数有24个，分别为123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432． （2）甲胜的概率为， 乙胜的概率为，所以这个游戏不公平． 10、某校将举办“心怀感恩·孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如图所示的条形统计图． （1）本次调查抽取的人数为__________，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上（含40分钟）的人数为__________； （2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 显示答案 解：（1）50 320 8＋10＋16＋12＋4＝50（人），． （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，恰好抽到甲、乙两名同学的有2种，所以P（恰好抽到甲、乙 两名同学）＝ ． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
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