2013年第11届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(五年级第1试)

（五年级第1试）

一、以下每题6分，共120分． 1．（6分）计算：5.62×49﹣5.62×39+43.8= _________ ．

2．（6分）规定a△b=a÷（a+b），那么，2△1.8= _________ ．

3．（6分）若干个数的平均数是2013，增加一个数后，平均数仍为2013，则增加的这个数是 _________ ． 4．（6分）如果三位数3□2是4的倍数，那么□里能填的最小的数是 _________ ，最大的数是 _________ ． 5．（6分）观察下图，？代表的数是 _________ ． 1 5 7 9 8 6 4 2 3 2 4 6 8 7 5 3 3 5 7 6 4 4 6 5 ？ 6．（6分）小明在计算一个整除的除法算式时，不小心将除数18看成15，得到的商是24，则正确的商是 _________ ． 7．（6分）将100块糖分成5份，使每一份数量依次多2，那么最少的一份有糖 _________ 块，最多的一份有糖 _________ 块． 8．（6分）一件商品，对原价打九折和打七折后的售价相差5.4元，那么此商品的原价是 _________ 元． 9．（6分）有26个连续的自然数，如果前13个数的和是247，那么后13个数的和是 _________ ． 10．（6分）在三位数253，257，523，527中，质数是 _________ ． 11．（6分）14个棱长为1的正方体在地面上堆成如图所示的几何体，将它的表面（包括与地面接触部分）染成红色，那么红色部分的面积是 _________ ．

12．（6分）如图所示，若梯形ABCD的上底AD长16厘米，高BD长21厘米，并且BD=3DE，则三角形ADE的面积是 _________ 平方厘米，梯形的下底BC长 _________ 厘米．

13．（6分）小丽将一些巧克力装入大，小两种礼盒中的一种礼盒内，如果每个小礼盒装5块巧克力，那么剩下10块；如果每个大礼盒装8块巧克力，那么少2块，已知大礼盒比小礼盒少3个，则这些巧克力共有 _________ 块． 14．（6分）从甲地到乙地，小张走完全程要2小时，小李走完全程要1小时，如果小张和小李同时从甲地出发去乙地，后来，在某一时刻，小张未走的路程恰好是小李为走的路程的2倍，那么此时他们走了 _________ 分钟． 15．（6分）有16盒饼干，期中15盒的重量（含盒子）相同，另有1盒少了几块，如果用天平称，那么至少称 _________ 次就一定能找出这盒饼干． 16．（6分）编号为1～10的10名篮球运动员轮流进行三人传球训练，第1轮由编号（1，2，3）的队员训练，然后，依次是编号（4，5，6）（7，8，9）（，10，1，2），…队员训练．当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第 _________ 轮训练． 17．（6分）将一个胶质的正方体扩大成另一个正方体，使新正方体的表面积是原正方体表面积的4倍，则新正方体的棱长是原正方体棱长的 _________ 倍，体积是原正方体体积的 _________ 倍． 18．（6分）将55株杜鹃分成株数相同的若干份，32株月季也分成株数相同的若干份，然后将两种花逐份间隔，排成一列，并且两端都种杜鹃，如图所示，那么．每份杜鹃有 _________ 株，每份月季有 _________

株．

19．（6分）从1分，2分，5分硬币各有5枚的一堆硬币中取出一些，合成1角，共有不同的取法 _________ 种． 20．（6分）将1到2013中的偶数排成一列，然后按每组1，2，3，4，1，2，3，4，…个数的规律分组如下（每个括号为一组）： （2）（4，6）（8，10，12），（14，16，18，20），（22），（24，26），… 则最后一个括号内的各数之和是 _________ ．

二、附加题（每题10分） 21．（10分）将1，2，3，4，5，6随意填入图中的小圆圈内，将相邻两数相乘，再将所得的6个乘积相加，则得到的和最小是 _________ ．

22．（10分）如图，5个等腰直角三角形叠放在一起，它们的斜边都在一条直线上，已知最小的等腰直角三角形的斜边长是4厘米，其余等腰三角形的斜边依次多4厘米，则图中阴影部分的面积 _________ 是平方厘米．

2013年第11届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷

（五年级第1试）

参与试题解析

一、以下每题6分，共120分． 1．（6分）计算：5.62×49﹣5.62×39+43.8= 100 ． 考点： 小数四则混合运算；运算定律与简便运算． 专题： 运算顺序及法则；运算定律及简算． 分析： 根据乘法分配律计算前面的两项，再相加即可求解． 解答： 解：5.62×49﹣5.62×39+43.8， =5.62×（49﹣39）+43.8， =5.62×10+43.8， =56.2+43.8， =100． 故答案为：100． 点评： 考查了小数四则混合运算，灵活运用运算定律简便运算． 2．（6分）规定a△b=a÷（a+b），那么，2△1.8= ．

考点： 定义新运算． 专题： 运算顺序及法则． 分析： 由题意得出a△b等于a除以a与b的和，由此用此方法求出2△1.8的值． 解答： 解：2△1.8， =2÷（2+1.8）， =2÷4， =， ． 故答案为：点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解答． 3．（6分）若干个数的平均数是2013，增加一个数后，平均数仍为2013，则增加的这个数是 2013 ． 考点： 平均数的含义及求平均数的方法． 专题： 平均数问题． 分析： 增加一个数后，平均数仍为2013，说明增加的数等于前面若干个数的平均数，依此即可求解． 解答： 解：由分析可知，增加的这个数与原来的平均数相等为2013． 故答案为：2013． 点评： 考查了平均数的含义及求平均数的方法，本题关键是理解增加一个数后，平均数与原来的平均数相等，那

么增加的数等于前面若干个数的平均数． 4．（6分）如果三位数3□2是4的倍数，那么□里能填的最小的数是 1 ，最大的数是 9 ． 考点： 找一个数的倍数的方法． 专题： 数的整除． 分析： 根据能被4整除的数的特征：若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除；据此解答． 解答： 解：如果三位数3□2是4的倍数，因为312能被4整除，392能被4整除，所以那么□里能填的最小的数是1，最大的数是9； 故答案为：1，9． 点评： 根据能被4整除的数的特征进行解答． 5．（6分）观察下图，？代表的数是 5 ． 1 5 7 9 8 6 4 2 3 2 4 6 8 7 5 3 3 5 7 6 4 4 6 5 ？ 考点： 数表中的规律． 专题： 探索数的规律． 分析： 根据表得出：从第二列开始，每一个数都等于其上一列数减去1，由此得出答案． 解答： 解：6﹣1=5； 故答案为：5． 点评： 解决此题的关键是关键所给的条件找到规律．本题的规律为：从第二列开始，每一个数都等于其上一列数减去1． 6．（6分）小明在计算一个整除的除法算式时，不小心将除数18看成15，得到的商是24，则正确的商是 20 ． 考点： 乘与除的互逆关系；整数的除法及应用． 专题： 文字叙述题． 分析： 根据“错将除数18看成15，结果得到商24”，用商乘错误的除数可求出被除数的数值，进而再用被除数除以除数即可得正确的商． 解答： 解：被除数：24×15=360， 正确的商：360÷18=20． 故答案为：20． 点评： 解决此题关键是先根据错误的除数和商求出被除数的数值，进而问题得解． 7．（6分）将100块糖分成5份，使每一份数量依次多2，那么最少的一份有糖 16 块，最多的一份有糖 24 块． 考点： 整数的裂项与拆分． 专题： 传统应用题专题． 分析： 因为分成5份，一份比一份多2块，不妨设最少的一份为x块，依次分成的块数为x，x+2，x+4，x+6，x+8块；由题意列出方程解决问题． 解答： 解：设最少的一份为x块，依次分成的块数为x，x+2，x+4，x+6，x+8块； x+（x+2）+（x+4）+（x+6）+（x+8）=100， 5x+20=100， 5x=80，

x=16； 最多的一份为：16+8=24（块）； 答：最少的一份有16块；最多的一份有24块． 故答案为：16，24． 点评： 解答此题主要理解被分成的5份正好成为差值相等的5个数，恰当设出未知数，列出方程解决问题． 8．（6分）一件商品，对原价打九折和打七折后的售价相差5.4元，那么此商品的原价是 27 元． 考点： 百分数的实际应用． 专题： 分数百分数应用题． 分析： 打九折就是按原价的90%出售，打七折就是按原价的70%出售，对原价打九折和打七折后的售价相差5.4元，就是原价的90%﹣70%=20%是5.4元．据此解答． 解答： 解：九折=90%，七折=70%， 5.4÷（90%﹣70%）， =5.4÷0.2， =27（元）． 答：此商品的原价是27元． 故答案为：27． 点评： 本题的关键是根据折扣与百分数的关系，求出5.4元对应的分率，再根据分数除法的意义列式解答． 9．（6分）有26个连续的自然数，如果前13个数的和是247，那么后13个数的和是 416 ． 考点： 数字和问题． 专题： 传统应用题专题． 分析： 后13个数的第一个数比前13个数的第一个数多13，后13个数的第二个数比前13个数的第二个数多13，…，后13个数的最后一个数比前13个数的最后一个数多13，则后13个数的和的和比前13个数的和多13个13，依此即可求解． 解答： 解：247+13×13， =247+169， =416． 答：后13个数的和是416． 故答案为：416． 点评： 考查了数字和问题，本题根据是理解26个连续的自然数，后13个数的和的和比前13个数的和多13个13． 10．（6分）在三位数253，257，523，527中，质数是 523、257 ． 考点： 合数与质数． 专题： 数的整除． 分析： 根据质数、合数的含义：自然数中，除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；据此解答即可． 解答： 解：253=11×23，527=17×31，257=1×257，523=1×523， 质数是523、257； 故答案为：523，257． 点评： 明确质数、合数的含义是解答此题的关键． 11．（6分）14个棱长为1的正方体在地面上堆成如图所示的几何体，将它的表面（包括与地面接触部分）染成红色，那么红色部分的面积是 42 ．

考点： 不规则立体图形的表面积． 专题： 立体图形的认识与计算． 分析： 观察图形可知，上面和下面，分别有3×3=9个小正方体面涂色；从正面、后面、左面、右面，分别有1+2+3=6个小正方体面，据此可得一共有9×2+6×4=42个小正方体面，因为一个面的面积是1×1=1，据此即可求出涂色的总面积． 解答： 解：（9×2+6×4）×1×1， =42×1， =42， 答：红色部分的面积是42． 故答案为：42． 点评： 此题考查的知识点是几何体的表面积，关键是明确各个面上涂色的小正方体的面的总个数． 12．（6分）如图所示，若梯形ABCD的上底AD长16厘米，高BD长21厘米，并且BD=3DE，则三角形ADE的面积是 56 平方厘米，梯形的下底BC长 32 厘米．

考点： 三角形面积与底的正比关系． 专题： 平面图形的认识与计算． 分析： （1）根据三角形的面积公式可以求出三角形ABD的面积是：16×21÷2=168平方厘米，又因为BD=3DE，即ED：BD=1：3，根据高一定时，三角形的面积与底成正比例的性质可得三角形ADE的面积：三角形ADB的面积=1：3，据此即可求出三角形ADE的面积； （2）在梯形ABCD中，因为AD∥BC，所以△ADE和△CBE相似，因为BD=3DE，即DE：BE=1：2，所以AD：CB=1：2，又因为AD=16厘米，由此即可求得BC的长度． 解答： 解：（1）三角形ABD的面积是：16×21÷2=168（平方厘米）， 又因为BD=3DE，即ED：BD=1：3， 所以三角形ADE的面积：三角形ADB的面积=1：3， 则三角形ADE的面积是：168÷3=56（平方厘米）， （2）梯形ABCD中，因为AD∥BC， 所以△ADE和△CBE相似， 因为BD=3DE，即DE：BE=1：2， 所以AD：CB=1：2，又因为AD=16厘米， 所以CB=16×2=32（厘米）， 答：三角形ADE的面积是56平方厘米，梯形的下底BC长32厘米． 故答案为：56；32． 点评： 此题主要考查高一定时，三角形的面积与底成正比例的性质以及相似三角形的对应边成比例的性质的灵活应用．

13．（6分）小丽将一些巧克力装入大，小两种礼盒中的一种礼盒内，如果每个小礼盒装5块巧克力，那么剩下10块；如果每个大礼盒装8块巧克力，那么少2块，已知大礼盒比小礼盒少3个，则这些巧克力共有 70 块． 考点： 盈亏问题． 专题： 传统应用题专题． 分析： 根据题意知好第个大礼盒比每个小礼盒多装8﹣5=3块糖，则就会少10+2+3×8=36块糖，据此可求出小礼盒子的数量的，用小礼盒听数量乘每个小礼盒装的块数，再加10，就是这些巧克力的总数．据此解答． 解答： 解：（10+2+3×8）÷（8﹣5）， =（10+2+24）÷3． =36÷3， =12（个）， 5×12+10， =60+10， =70（块）． 答：这些巧克力共有70块． 故答案为：70． 点评： 本题是典型的盈亏问题，本题的关键是根据大小礼盒装的糖数的差，和礼盒变化后，缺少的糖块的数量，求出小礼盒的个数，再求糖块的数量． 14．（6分）从甲地到乙地，小张走完全程要2小时，小李走完全程要1小时，如果小张和小李同时从甲地出发去乙地，后来，在某一时刻，小张未走的路程恰好是小李为走的路程的2倍，那么此时他们走了 24 分钟． 考点： 简单的行程问题． 专题： 行程问题． 分析： 把从甲地到乙地的路程看作单位“1”，设他们走了x分钟．2小时=120分钟，1小时=60分钟，他们的速度分别是、，以小张未走的路程恰好是小李为走的路程的2倍为等量关系，列方程进行解答即可． 解答： 解：设他们走了x分钟． 1﹣=x=1， x=24； 答：他们走了24分钟． 故答案为：24． 点评： 本题运用“速度×时间=路程”进行解答即可． 15．（6分）有16盒饼干，期中15盒的重量（含盒子）相同，另有1盒少了几块，如果用天平称，那么至少称 3 次就一定能找出这盒饼干． 考点： 找次品． 专题： 优化问题． 分析： 天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小． 解答： 解：为了使称量的次数最少，可以把16盒饼干平均分成3份，（5，5，6），5盒，5盒放在天平上进行称量如天平平衡，较轻的那盒一定在6盒里，如不平衡较轻的那盒在5盒内，再把6盒平均分成（2，2，2，），称后较轻的那盒范围缩小在2盒内，最后再称一次就找出了较轻的一盒．，这样只需称3次就可以找出少了几块的那盒． x×2，

故答案为：3 点评： 解答此题的关键是：将16盒饼干进行合理的分组，进而能逐步找出轻的那盒饼干，若所给物品是奇数个就应该先拿出1个再分组． 16．（6分）编号为1～10的10名篮球运动员轮流进行三人传球训练，第1轮由编号（1，2，3）的队员训练，然后，依次是编号（4，5，6）（7，8，9）（，10，1，2），…队员训练．当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第 11 轮训练． 考点： 哈密尔顿圈与哈密尔顿链． 专题： 探索数的规律． 分析： 一共是10人，而每次有3人进行训练，要使1、2、3号同时训练，中间隔的人数应是10和3的最小公倍数，由此求出中间又隔了多少人，进而求出隔的轮数，再加上1轮即可求解． 解答： 解：10×3=30， 30÷3+1=11（轮）； 答：当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第11轮训练． 故答案为：11． 点评： 本题关键是找出三人再次同时训练时中间隔的人数，再根据每3人一轮进行求解． 17．（6分）将一个胶质的正方体扩大成另一个正方体，使新正方体的表面积是原正方体表面积的4倍，则新正方体的棱长是原正方体棱长的 2 倍，体积是原正方体体积的 8 倍． 考点： 长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积． 专题： 立体图形的认识与计算． 22分析： 设原来正方体的表面积为6a，则扩大新正方体的表面积是24a，分别利用正方体的表面积计算方法，求出原来正方体的棱长和后来正方体的棱长，进而求出新正方体的棱长是原正方体棱长的多少倍，根据正方体的体积公式求出扩大前后的体积，即可求得体积扩大的倍数． 22解答： 解：设原来正方体的表面积为6a，则扩大新正方体的表面积是24a， 则原正方体的棱长为：a， 新的正方体的棱长为：2a， 棱长扩大2a÷a=2倍； 原正方体的体积：a×a×a=a， 3现在的正方体的体积：2a×2a×2a=8a， 33体积扩大8a÷a=8倍； 答：新正方体的棱长是原正方体棱长的2倍，体积是原正方体体积的8倍． 故答案为：2，8． 点评： 此题主要考查正方体的表面积和体积的计算方法的灵活应用． 18．（6分）将55株杜鹃分成株数相同的若干份，32株月季也分成株数相同的若干份，然后将两种花逐份间隔，排成一列，并且两端都种杜鹃，如图所示，那么．每份杜鹃有 11 株，每份月季有 8

3株．

考点： 事物的间隔排列规律． 专题： 探索数的规律． 分析： 因为两端都栽杜鹃，所以杜鹃的份数比月季的份数多1，55=5×11，所以杜鹃只能分成5份或11份，若杜鹃分成5份，则月季就分成5﹣1=4份，所以每份就是32÷4=8（株），如杜鹃分成11份，则月季应该分成11﹣1=10份，32÷10=3.2，不符合题意，据此即可解答问题．

解答： 解：55=5×11，所以杜鹃只能分成5份或11份， 若杜鹃分成5份，每份是11株， 则月季就分成5﹣1=4份，所以每份就是32÷4=8（株）， 如杜鹃分成11份，则月季应该分成11﹣1=10份，32÷10=3.2，不符合题意， 答：每份杜鹃是11株，每份月季是8株． 故答案为：11；8． 点评： 解答此题的关键是抓住两端都栽杜鹃，得出杜鹃的份数比月季的份数多1，据此即可解答问题． 19．（6分）从1分，2分，5分硬币各有5枚的一堆硬币中取出一些，合成1角，共有不同的取法 7 种． 考点： 钱币问题；排列组合． 专题： 传统应用题专题． 分析： 只用一种硬币的：5个2分，2个5分，有2种方法；用1分和2分两种硬币的：2个1分和4个2分，4个1分和3个2分，有2种方法；用1分和5分两种硬币的：5个1分和1个5分，有1种方法；三种硬币都用的：1个5分，2个2分和1个1分；1个5分，1个2分和3个1分，有2种方法．一共有2+2+1+2=7（种）方法． 解答： 解：（1）只用一种硬币的：5个2分，2个5分，有2种方法； （2）用1分和2分两种硬币的：2个1分和4个2分，4个1分和3个2分，有2种方法； （3）用1分和5分两种硬币的：5个1分和1个5分，有1种方法； （4）三种硬币都用的：1个5分，2个2分和1个1分；1个5分，1个2分和3个1分，有2种方法． 一共有2+2+1+2=7（种）方法． 答：共有不同的取法7种； 故答案为：7． 点评： 此题属于易错题，解答此题时，应按一定的规律进行列举，进而解答即可． 20．（6分）将1到2013中的偶数排成一列，然后按每组1，2，3，4，1，2，3，4，…个数的规律分组如下（每个括号为一组）： （2）（4，6）（8，10，12），（14，16，18，20），（22），（24，26），… 则最后一个括号内的各数之和是 6030 ． 考点： 数列中的规律． 专题： 探索数的规律． 分析： 只要求出最后一个括号内偶数的个数即能求得最后一个括号内的各数之和是多少．由于分组规律是1，2，3，4.1+2+3+4=10，所以每10个数一循环，1～2013共有2013÷2=1006（个）偶数，1006÷10=100…6．由此根据其余数即能求得最后一个括号内的个数，进而求得各数之和． 解答： 解：1+2+3+4=10，即分组规律为每10个数一循环， 2013÷2=1006（个）， 1006÷10=100…6． 1～2013中最后6个偶数为：（2002），（2004，2006），（2008，2010，2012）． 则最后一个括号内的各数之和为：2008+2010+2012=6030． 故答案为：6030． 点评： 发现数列中数的分组循环规律是完成此类问题的关键． 二、附加题（每题10分） 21．（10分）将1，2，3，4，5，6随意填入图中的小圆圈内，将相邻两数相乘，再将所得的6个乘积相加，则得到的和最小是 58 ．

考点： 幻方． 专题： 探索数的规律． 分析： 要使和最小，那么两两的乘积就最小，所以和1相邻的两个数就是5和6，6和1，2相邻，5和1，3相邻，4和2，3相邻．如 解答： 解：要6个乘积和最小，显然1与5，6相邻，6和1，2相邻，5和1，3相邻，4和2，3相邻．如图所示： 1×6+2×6+2×4+4×3+3×5+5×1=6+12+8+12+15+5=58； 故答案为：58． 点评： 解决本题关键最值问题，要使积最小，就要把差最大的两个数进行相乘，由此逐步求解． 22．（10分）如图，5个等腰直角三角形叠放在一起，它们的斜边都在一条直线上，已知最小的等腰直角三角形的斜边长是4厘米，其余等腰三角形的斜边依次多4厘米，则图中阴影部分的面积 60 是平方厘米．

考点： 组合图形的面积． 专题： 平面图形的认识与计算． 分析： 如图，画出等腰直角三角形底边上的高线，则把这个图形分成两部分，先看其中左边的部分，最小的阴影部分是一个直角边等于4÷2=2厘米的三角形，面积是2×2÷2=2平方厘米；较大的阴影部分是直角边为2+2+2=6厘米的等腰直角三角形的面积与直角边等于2+2=4厘米的等腰直角三角形的面积之差；最大的阴影部分是直角边为2+2+2+2=8厘米的等腰直角三角形的面积与直角边等于2+2+2=6厘米的等腰直角三角形的面积之差；据此求出它们的面积之和，再乘2即可． 解答： 解：如图，画出等腰直角三角形底边上的高线，则可得出左边是直角边分别是2厘米、4厘米、6厘米、8厘米、10厘米的等腰三角形； 根据题干分析可得： 2×2÷2+6×6÷2﹣4×4÷2+10×10÷2﹣8×8÷2， =2+18﹣8+50﹣32， =30（平方厘米）， 30×2=60（平方厘米）， 答：图中阴影部分的面积是60平方厘米．

故答案为：60． 点评： 解答此题的关键是明确阴影部分的面积包括哪几个部分，再利用三角形的面积公式，计算即可解答．