第七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试(1996年)

初一第2试

一、选择题：

1．当a0.01时，在(a)2,|a|,a2,(a2)中，其值为正数的是（ ） A．(a)2；B．|a|；C．a；D．(a2)； 2.如果

2a0，那么有理数a,b（ ） bA．都是零；B．互为相反数；C．互为倒数；D．不都是零；

3．五个有理数a,b,c,d,e在数轴上的位置如图5所示，则abdce等于（ ）

A．8.5；B．4；C．5；D．8.5；

4．若a0,ab0，那么|ba1||ab5|等于（ ）

A．4；B．4；C．2a2b6；D．1996；

5．A,B两地相距s千米．甲、乙的速度分别是a千米/小时，b千米/小时(ab)，甲、乙都从A到B去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B地的小时数是（ ）

ssssssss1；B.1；C.1；D.1； abbaabba6．若|x|a，则|xa| （ ）

A．2x或2a；B．xa；C．ax；D．零；

7．设关于x的方程a(xa)b(xb)0有无穷多个解，则（ ）

aA.ab0；B.ab0；C.ab0；D.0；

b111111中删去两个加数后使余下的四个加数之和恰等于1，那么删去的两个加数是8.从24681012A.（ ） A.

11111111,；B. ,；C. ,；D. ,； 412610108(4a1)xa(3x4)的解，那么（ ） 439.如果关于x的方程3(x4)2a5的解大于关于x的方程A.a2；B.a2；C.a77；D.a； 181810.在某浓度的盐水中加入一杯水后，得到新盐水，它的浓度为20%，又在新盐水中加入与前述一杯水的

13A.23%；B.25%；C.30%；D.32%；

二、填空题：

22重量相等的纯盐合，盐水浓度变为33%,那么原来盐水的浓度是（ ）

11．若(x1996)(7y)0，则xy________；

3m2n212.自然数m,n是两个不同的质数，mnmn的最小值是p，则________； 2p1()的值时,全班得13.角,,中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算1523.50,24.50,25.50这样三个不同结果,其中确有正确答案,那么________；

14．已知有理数a,b的和ab及差ab在数轴上如图6所示，则化简|2ab|2|a||b7|，得到的

值是________；

15.在长方形ABCD中，M是CD边的中点，DN是以A为圆心的一段圆弧，KN是以B为圆心的一段圆弧，ANa,BNb，则图7中阴影部分的面积是________；

16．快慢两列火车的长分别是150米和200米，相向行驶在平行轨道上，若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是________秒；

17．若一个三角形的底边a增加3厘米，该底边上的高ha减少3厘米后面积保持不变，那么

haa________厘米；

18．一次数学测验满分是100分，全班38名学生平均分是67分，如果去掉A,B,C,D,E五人的成绩，其余人的平均分是62分，那么在这次测验中，C的成绩是________分；

19．从3点15分开始到时针与分针第一次成30角，需要的时间是________分钟；

20．甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇，已知每秒钟甲比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是________米；

三、解答题

21．（1）请你写出不超过30的自然数中的质数之和， （2）请回答，千位数是1的四位偶自然数共有多少个？

（3）一个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的质数去除时，余数也都是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？

22．（1）用11,22,33三种型号的正方形地板砖铺设2323的正方形地面，请你设计一种辅设方案，使得11的地板砖只用一块；

（2）请你证明：只用22,33两种型号的地板砖，无论如何铺设都不能铺满2323的正方形地面而不留空隙；

答案·提示 一、选择题 提示：

1．当＜0时，（－a）2＞0，|－a|＞0，a2＞0

所以－（－a）2＜0，－|－a|＜0，－a2＜0，因此排除A、B、C，选D． 事实上，a＜0时，a2＞0，－（－a2）＞0．当然a=－0.01时更是如此．

3．a=－3，b=－6，c=－1，d=2，e=4，

a＋b－d×c÷e=（－3）＋（－6）－2×（－1）÷4=－8.5，选A． 4．由a＜0，ab＜0 可知b＞0，于是b－a＞0， b－a＋1＞0,a－b＜0,a－b－5＜0．

因此|b－a＋1|－|a－b－5|=b－a＋1＋a－b－5=－4，选B．

6．因|x|=a，所以a≥0，下面对x分情况讨论． 当x＜0时x－a＜0|x－a|=－（x－a）=a－x． 当x≥0时，x=a，x－a=0=a－x，∴|x－a|=a－x． 综上,对任意x，都有|x－a|=a－x成立，选C． 7．整理原方程得 （a＋b）x=a2－b2．

要使该方程有无穷多解，只当a＋b=0且a2－b2=0，当a＋b=0时a=－ba2－b2=0． 所以当a＋b=0时,原方程有无穷多个解，选A．

9．关于x的方程3（x＋4）=2a＋5的解为

10．设原盐水溶液为a克，其中含纯盐m克，后加入“一杯水”为x克，依题意得

由①a＋x=5m ③

由②a＋2x=3m＋3x 即a－x=3m ④ ③＋④得2a=8m,∴a=4m．

二、填空题 提示：

11．由（x－1996）2＋（7＋y）2=0得x=1996，y=－7． ∴x＋y3=1996＋（－7）3=1996－343=1653． 12．m、n都是质数，要m＋n＋mn取最小值， 只能m、n取2与3，所以p=2＋3＋2×3=11．

13．由α、β、γ中有两个锐角一个钝角,易知 90°＜α＋β＋γ＜360°

∴α＋β＋γ=352.5°．

14．由图6中可见，0＜a－b＜1，a＋b＜－1 所以 2a＜0，因此a＜0，若b≥0

则a－b＜0与a－b＞0不等,所以b＜0． 此时 2a＋b＜0，b－7＜0． 所以 |2a＋b|－2|a|－|6－7| =－(2a＋b)－2(－a)－[－(b－7)] =－2a－b＋2a＋b－7=－7． 15．矩形面积为a(a＋b) 设阴影面积为S．则

16．设快车速为x米/秒，慢车速为y米/秒，

17．由题意得

即 aha=aha＋3ha－3a－9,∴3（ha－a）=9．ha－a=3． 18．设A、B、C、D、E分别得分为a、b、c、d、e．

因此 a＋b＋c＋d＋e=500

由于最高满分为100分，因此a=b=c=d=e=100，即C得100分．

作为追及问题，由于3点15分时分钟与时针成角小于30°，所以分针必须追上时针并超出

20．解法1（方程法）：设乙每秒行x米，则甲每秒行（x＋0.1）米，依题意有 8×60（x＋x＋0.1）=400×3,解得x=1.2

则在8分钟内，乙共行1.2×60×8=576（米）

去掉乙走过了一整圈400米，还余176米，由于不足200米，故是相遇地点沿跑道距A点的最短距离． 解法2（算述法）：在8分钟内，甲比乙共多行0.1×60×8=48米，这时一共有了三圈，每圈甲比乙多行16米，即相遇地是越过此出发地始终端的400米跑道的中点16÷2=8（米）．三圈累计，越过8×3=24（米）．所以第三次相遇点距A沿跑道的距离是176米或224米，较小值176米是所求的最短距离． 三、解答题 21．

（1）不超过30的质数和为

2＋3＋5＋7＋11＋13＋17＋19＋23＋29=129． （2）千位数是1的四位自然数中最小为1000最大为1999．共连续1000个自然数．其中有500个是偶数．所以千位数是1的四位偶自然数共有500个．

（3）设满足题设性质的自然数为x，则x的千位数字是1，个位数字是偶数码． 又设质数p1＜p2＜p3＜p4，则依题意有x=kp1p2p3p4＋1 ①,其中k为自然数．

若p1=2，则kp1p2p3p4＋1为奇数，与x为偶数不符．所以p1，p2，p3，p4均为奇质数． 设p1=3，p2=5，p3=7，p4=11，有3×5×7×11=1155，所以k=1． 而p1=3，p2=5，p3=11，p4=13时3×5×11×13=2145＞1999．

所以p1=3，p2=5，p3=7是①中p1，p2，p3的唯一取值法．这样一来，只须再对p4讨论： 当p4=11时，x1=3×5×7×11＋1=1156． 当p4=13时，x2=3×5×7×13＋1=1366． 当p4=17时，x3=3×5×7×17＋1=1786． 当p4=19时，x4=3×5×7×19＋1=1996．

而当p4=23时，x5=3×5×7×23＋1＞2000不合要求．

所以，满足题设条件的自然数共四个，它们是1156，1366，1786，1996． 其中最大的一个是1996．

22．（1）如图8，用12块3×3地板砖与6块2×2地板砖能铺成12×11的长方形地面．

如图9的铺设方案．用4个12×11的图8所示的板块，恰用1块1×1地板砖，可以铺满23×23的正方形地面．

（2）我们将23×23的大正方形分成23行23列共计529个1×1的小方格，再将第1行，第4行，第7行，第10行，第13行，第16行，第19行，第22行这八行染红色，其余的15行都染白色，如图10所示．

任意2×2或3×3的小正方块无论怎样放置（边线与大正方形格线重合），每块2×2或3×3的正方块都将盖住偶数块1×1的白色小方格．

假设用2×2及3×3的正方形地板砖可以铺满23×23后正方形地面，则它们盖住的白色1×1的小方格总数为偶数个．然而23×23地面染色后共有23×15（奇数）个1×1的白色小方格，矛盾．

所以，只用2×2，3×3两种型号地板砖无论如何铺设，都不能铺满23×23的正方形地面而不留空隙．