金融在线 通过非线性最优化模型使散户的投资组合实现 对股票指数的跟踪 王译锌 （美国罗格斯大学商学院） 摘要：规避风险一直是金融行业永恒的主题。投资方向的单一性，信息的不对称性以及操盘的随机性往往使散 户在种类繁多的股票市场中吃亏。近几年指数股的种类和数量增长十分迅速，有跟踪整体大盘或某个行业的、有跟 踪贵金属的、也有跟踪其他国家的股票市场的。指数股价格的变化往往能体现出其所囊括的上市公司和相对应行业 的平均发展趋势。如果某个行业或领域有很大的潜在发展空间，投资者可以通过购买对应的指数股来实现稳定的投 资回报。事实上，投资者可以利用一个简单的量化金融模型，自由选取想投资的行业和领域，创建一个灵活的虚拟指 数股并使自己的投资组合实现对该指数股的跟踪。这种方法不仅能使投资组合更灵活，更多样化，还可以规避仅投 资一种行业或指数股所带来的风险。 关键词：股票投资；量化金融；大数据分析；股票指数跟踪 中图分类号：Ｆ２２４ 文献识别码：Ａ 文章编号：２０９６ 一、模型的建立 记这个矩阵为Ａ，则： Ａ—ａｌ１ａ１２…ａｌｎａ２１ａ２２…ａ２ｎ…ａｍｌａｍ２…ａｍｎ 为了方便建模，我们这里不讨论个人所得税，政治因素 和市场管理等方面的影响，并且只考虑简单地买卖股票，不 考虑空头等其他投资形式。 假设我们选取ｎ种可投资股票１，２，…，ｎ。我们的投 ｎ为股票种类数，ｍ为时间间隔的个数或理解为市场不 同状态的个数。ａｉｊ则为股票 在市场情形ｉ下的收益。手中 现金的收益为０，并且不计入矩阵Ａ当中。假设我们的总投 那么我们的投资组合在市场情形ｉ下的收益为： 资组合实际含有的股票的集合为Ｊ，Ｉ（＝＝｛１，…，ｎ｝，并且手 中可留有一定的现金作为流动资金或投资组合的调整资金。 在市场中取ｍ个极短的时间间隔，观察并记录这ｎ种股票在 对应时间间隔内的收益率（比如第一种股票在１秒内收益率 为０．０４ ）。这样我们就得到了一个ｍ×ｎ的矩阵。我们 】Ｈ 】卜＜ ：■ ）－●【：■ ：， 】．＿（）－●【】．＿（＞●［】 】Ｈ 资为Ｋ，用Ｚ ，Ｚ ，…，Ｚ 来表示在相对应股票中投资的钱数， ｒｉｚ一１ＫＥ１４－ａｉｌｚｌ４－１４－ａｉ２ｚ２４－…４－１４－ａｉｎｚｎ—Ｋ］ 可以把等式简化为： 】．一（ ：， ：， 】 】Ｈ 】卜（ 】 】 】 】卜（ 因为ｚ１＋ｚ２＋…４－ｚｎ≤Ｋ（保留现金时总和＜Ｋ），我们 益、潜在风险和客户期望的价值，找准产品的市场定位；其次 应对金融产品进行分段评估，并邀请专业人员评估研发结 常快，它利用信息数据和电子商务的优势，不断地向市场推 行新的金融产品，其业务已经渗透到各个领域，因此对我国 果，从而降低今后可能出现的金融风险；最后是从技术、市场 和监管等角度对金融风险进行评估、识别和控制，如果发现 风险超过预期值，就要及时采取措施进行控制，从而有效降 低或化解金融风险。 ４．加强科技的研发与应用 商业银行造成了一定的冲击。现阶段，农村商业银行处于转 型期，在竞争中相对处于劣势，因此，农村商业银行应该利用 联网金融带来的挑战，提升自身竞争能力。 参考文献： 自身优势，加大科技和人才投入，大力开展金融创新，直面互 随着网络平台的日益发展，农村商业银行应进一步加强 科技研发力度，重视科技信息技术的应用，从业务层、经营层 到决策层逐步推进。另外，农村商业银行应充分挖掘客户的 需求，利用大数据来分析金融产品，并整合客户数据，进一步 完善客户管理系统，大力引进新技术优化银行业务，还要对 ［１］芮芳媛．互联网金融背景下城市商业银行竞争力评价 研究［Ｄ］．西北农林科技大学，２０１６． ＥＤ］．中共北京市委党校，２０１６． 究ＥＤ］．陕西师范大学，２０１６． 作者简介： 面风险管理。 ［２］曹文凤．互联网金融背景下商业银行发展策略研究 信息数据进行管理，从而完善金融信息系统。最后还要针对 信息处理机制进行完善，如果发生突发事故，工作人员也能 及时进行处理，从而避免出现不必要的损失，还可以降低业 务风险，让互联网金融得以持续发展。 ［３］罗斌．互联网金融背景下Ｓ农村商业银行发展战略研 三、结语 随着信息技术的快速发展，互联网金融的发展速度也非 张行举，济南农村商业银行经济师，硕士；研究方向：银行全 ９２全国流通经济 ｒｉｚ＝１Ｋ（ａｉｌｚｌ十ａｉ２ｚ２＋…＋ａｉｎｚｎ） 如果用Ｘｊ—ｚｉＫ来表示在股票Ｊ中的投资在总资产中的 比例，等式可以进一步被简化： ｒｉｘ＝ａｉｌｘｌ＋ａｉ２ｘ２＋…＋ａｉｎｘｎ ① 在这个方程中，ｉ一１，２，…，１ＴＩ，ｘｌ＋ｘ２＋…＋ｘｎ≤１ 以上是我们对于理想投资组合的描述。至此我们还不 知道每种股票应该投资的比例，也就是说Ｘｊ此时还是个未知 量，也是我们模型最后要算出的值。 我们接下来处理前面提到的虚拟指数股。此模型里的 虚拟指数股所涵盖的样本股票可以由投资者自选。它甚至 还可以涵盖市场上任何指数股，所以非常灵活。目前市场上 的股票指数的计算方法有平均法、综合法和加权法。这里为 了方便建模，我们采用平均法，即算出所有样本股票收益的 算术平均数。也可以理解为我们在每种样本股票中的投资 比例都相等。所以此模型中虚拟指数股的收益ｒｉｙ为： ｒｉｙ＝ｌｎ（ａｉｌ＋ａｉ２＋…＋ａｉｎ），ｉ一１，２，…，ｒｎ ② 从统计学的角度讲，要想使我们投资组合“跟踪”目标指 数，我们要做的就是尽可能地减小跟踪误差（Ｔｒａｃｋｉｎｇ Ｅｒ— ｒｏｒ）。在这里跟踪误差等于投资组合收益和虚拟指数股收益 的偏差（Ｄｅｖｉａｔｉｏｎ）在所有市场状态下的总和。用函数ｆ（ ） 表示跟踪误差则为： ｍｉｎ ｆｘ＝［ｒ１ｘ—ｒｌｙ－］２＋［ｒ２ｘ—ｒ２ｙ］２＋…＋［ｒｍｘ— ｒｍｙ－］２ 限制条件：ｇｘ—ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ一１≤０ ｘｊ≥０ ｆｏｒ ａｌｌ ｊ一１，２，…，ｎ ｘｊ一０ ｆｏｒ ａｌｌ ｊ≠Ｉ 我们将以上方程记为③，ｆｘ则是我们的目标方程，其中 ｒｉｘ和ｒｉｙ分别来自①和②。 二、模型的求解 虽然目标方程③中变量多，条件多，看上去复杂，但是我 们可以用Ｅｘｃｅｌ中的求解器（Ｓｏｌｖｅｒ）求出最优解。考虑到投 资者可能有不同的需求，我们这里列举出三种解法。 １．非线性求解器（Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｏｌｖｅｒ） 我们用ｂｊ来表示是否投资股票ｘｊ： ｂｊ：１， ＆如果投资股票ｊ（在集合Ｉ中）０， ＆如果不 投资股票ｊ（在指数样本中） ④ 则股票的选择与投资比例可以用以下不等式来表示： Ｏ≤ｘｊ≤ｂｊ，ｊ＝１，２，…，ｎ ⑤ 这种解法适用于已经确定想要投资股票种类的投资者， 也就是说ｂｊ为投资者输入的定值。然后求解器会算出最接 近指数股收益的投资比例ｘｊ，以达到追踪虚拟指数股的效 果。如果没有确定投资的股票，投资者可以通过多次尝试， 找出跟踪效果最好（跟踪误差最小）的投资组合。具体操作 为：在Ｅｘｃｅｌ求解器中输入ｍｉｎ ｆｘ为目标方程，Ｘｊ为变量， 方程③和⑤为限制条件。 ２．混合整数模型（Ｍｉｘｅｄ－－ｉｎｔｅｇｅｒ Ｍｏｄｅ１） 这种方法跟前一种方法最本质的区别就是ｂｊ不再是定 值，而是一个二元变量。这就需要我们在之前的操作上再加 一个限制条件： ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ≤Ｎ 这个限制条件意味着模型中可以投资的股票种类的和是 金融在线 个定值Ｎ。也就是说这种解法适用于那些追求投资组合简 单，操作简便，却不知道具体该买哪种股票的投资者。投资者 可以在模型中设定Ｎ一８。这样求解器就会算出最贴近指数 股收益的８种股票以及相对应股票的投资比例。另外这种方 法尤其适合散户使用。其原因不仅仅是因为操作简单，而是 来源于这种解法的一个缺点。这种解法只适用于小规模计算 （比如ｎ＜１００，ｍ＜ｌＯ０）。当ｎ和ｒｎ的值过大的时候，计算量 也会指数性增加。不但Ｅｘｃｅｌ求解器不能很好地运行，而且散 户也会因为可能的投资组合太多而无法取舍。 ３．大数据模型（Ｂｉｇ Ｄａｔａ Ｍｏｄｅ１） 这种方法可以说是整合了之前两种方法，并且引入了大 数据分析的概念。我们将③重新改写为： ａｒｉｎ ｆｘ＝ｒｌｘ－－ｒｌｙ２＋ｒ２ｘ—ｒ２ｙ２＋…＋ｒｍｘ—ｒｍｙ２＋Ｊ３ｘ１ ＋ｘ２＋…＋ｘｎ 限制条件：ｇｘ—ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ一１≤０ Ｘｊ≥Ｏ ｆｏｒ ａｌｌ ｊ一１，２，…，ｎ 我们将以上方程记为⑥。在这里Ｂ是一个大于０的固 定系数，我们可以简单把它理解为投资者在投资组合中加 入股票投资的“惩罚”。直接用Ｅｘｃｅｌ求解器解方程⑥并不 能得到一个很好的跟踪性投资组合，因为Ｇ的存在会使计 算出的投资组合收益相对于指数股收益产生一个偏差。但 是这种方法却可以告诉我们应该投资哪种股票。如果设Ｘｊ 为方程⑥的解，那么ｂｊ（是否投资某种股票）和Ｘｊ的关系可 以总结为： ｂｉ一１， ＆如果ｘｊ＞００， ＆如果ｘｊ一０， ｊ一１， ２， …，ｎ 也就是说求解器算出Ｘｊ为正我们就买该股票，如果为０ 则不买。知道了ｂｊ的值后再使用第一种方法就可以知道每 种股票的投资比例了。这么操作不但避免了第一种方法需 要多次尝试的复杂性和第二种方法中不能分析大数据的弊 端，而且还可以在不确定买什么股票的情况下，帮助投资者 决定股票种类和投资比例，从而构建出一个具有追踪性的投 资组合。 投资缎念收益Ｊ虿虚｛爨指数股收益对比图 ＾ ｆ＼＾ 八 ～ ．尸 二 ｌ０ ∞ 艘 ＂ １ｏｏ 上图为ｎ一２４，ｍ一１００，Ｎ一８时，用Ｅｘｃｅｌ求解器算出 的投资组合的收益和虚拟指数股收益的对比图。 作者简介： 王译锌，美国罗格斯大学商学院学生；研究方向：金融工程。 全国流通经济９３